BÀI tập lớn sức bền vật LIỆU TÍNH dầm TRÊN nề đàn hồi và uốn NGANG PHẲNG

BI TP LN SC BN VT LIU-TNH DM
TRấN N N HI V UN NGANG PHNG
tính dầm trên nền đàn hồi
đầu bài:

cho dầm dài hửu hạn đặc trên nền đàn hồi với hệ số nền k 0 và

chụi lực nh hình vẽ:
1) Vẽ các biểu đồ y, , M , Q cho dầm.
2) Tính ứng suất lớn nhất trong dầm: max và max.
Số liệu:

E = 2. 108 kN/m2;

k0 = 6.104 kN/m3

a = 3,2 m;

IN0 22; P1=38 kN;

q1=28kN;

q2= 23kN;

P1

P2 = 22kN;

M1 = 88 kNm; M2 = 44 kNm

q1

q2

P2

M2

M1
o

z

y
a

a

bài giải:

1) Đặc trng hình học của mặt cắt ngang:

a


Tra bảng IN0 22: h = 22cm;

b = 11cm;

Jx(1) = 2550 cm4;

d= 0,54cm;

Wx(1) = 232 cm3;

t= 0,87cm;

Sx(1) = 131 cm3.

Vậy mặt cắt có:
Jx = 2. Jx(1) = 2 . 2550 = 5100 cm 4;
Wx = 2. Wx(1) = 2 . 232 = 464 cm3;
Sx = 2. Sx(1) = 2 . 131 = 262 cm3;

2) Tính các hệ số :
EJ = 2.108.51.10-6 = 1,02.104 kN/m2
k = k0. b = 6.104 . 0,11 = 6,6. 103 kN/m2.
3

6,6.10
k
=
= 0.16
4 EJ 4.1,02.10 4
=> m = 0.632;
m2 = 0.4;
m4 =

m3 = 0.253

3) Lập bảng thông số:

Z= 0
Y0 = 0
Y0 = 0 0
M0 = 0
Q0 = VA
q0 = -q2 = - 23
q0 = 0

Z = a = 3,2m
Y = 0
Y= 0
M = - M2 = -44kNm
Q = 0
q = q = 23
q = 0

4) Viết phơng trình y, , M và Q:
Đoạn 1: ( 0 z 3,2 m)
q2

VA
q
Amz + 0 Bmz Dmz + 2
3
k
k
m
EJm
4mq 2
VA

Cmz +
Dmz
1= 0.Amz 2
EJm
k
q
V
k
M1 = A Bmz - 22 C mz + 3 Dmz
m
m
m
q
k
Q1 = VA.Aaz - 2 Bmz + 20 C mz
m
m
Y 1= -

Z = 2a = 6,4m
Y = 0
Y =0
M = 0
Q = -P2 = -22
q = - q1 = -28
q = 0


§o¹n 2: ( 3,2 ≤ z ≤6,4 m)
q2

M2
Am ( z −3, 2 ) C m ( z − 3, 2 )
k
EJm 2
4mq 2
M
D m ( z − 3 , 2 ) - 2 B m ( z − 3, 2 )
θ2 = θ1 k
EJm
Y2 = y1 +

M2 = M1 + M2.Am(z-3,2) +
Q2 = Q1 +

q2
C m ( z − 3, 2 )
m2

q2
Bm ( z −3, 2 ) -4m.M2. Dm(z – 3,2)
m

§o¹n 3 : ( 6,4 ≤ z ≤ 9,6 m)
q1
P2
Am ( z − 6, 4 ) +
Dm ( z − 6 , 4 )
k
EJm 3
P2

4mq1
C m ( z −6, 4) +
Dm ( z − 6 , 4 )
θ3 = θ2 +
2
EJm
k
q
P
M3 = M2 - 2 B m( z − 6, 4 ) - 12 C m ( z − 6, 4 )
m
m
q
Q3 = Q2 – P2. Am(z – 6,4) - 1 Bm ( z − 6, 4 )
m
Y3 = y2 -

5) TÝnh c¸c hÖ sè cña ph¬ng tr×nh (1) ÷ (3) ;
§oan 1:
1
23
23
q2
q
1
-3
=
=
3,5.10
;

=
=
1,58;
=
= 36,4
6,6. 10 3
k
m 0,632
m 0,632
23
q2
=
= 57,5;
2
0,4
m

6,6.10 3
k
=
= 16,5.103;
2
m
0,4

1
6,6.10 3
1
k
3

=
=
26,1.10
;
=
= 2,45.10-4;
4
3
2
1,02.10 .0,4
m
0,253
EJm


4mq2 4.0,632.23
=
= 8,8.10-3
3
6,6.10
k

1
1
=
= 3,9.10-5;
4
3
1,02.10 .0,253
EJm

Thay c¸c hÖ sè vµo ta cã:

Y(1)= -3,5.10-3Amz + 1,58θBmz – 3,9.10-5.VA.Dmz + 3,5.10-3
θ(1) = θ0 .Amz - 2,45.10-4.VA.Cmz + 8,8.10-3Dmz
M(1) = 1,58.VA.Bmz – 57,5Cmz + 26,1.103.θ0.Dmz
Q(1)_ = VA.Amz – 36,4.Bmz + 16,5.103.θ0.Cmz
§o¹n 2:
23
q
=
= 3,5.10-3 ;
k 6,6. 10 3

23
23
q
q
=
=
57,5;
=
= 36,4
m 2 0,4
m 0,632

4mq 4.0,632.23
=
= 8,8.10-3;
3
6,6.10

k

44
M2
=
= 107,8.10-4
4
2
1,02.10 .0,4
EJm

44
M2
=
= 68,3.10-4 ; 4.m.M2 = 4.0,632.44 = 111,2
4
EJm 1,02.10 .0,632
Thay vµo hÖ ta cã:
Y(2)= y(1) + 3,5.10-3Am(z- 3,2) - 107,8.10-4.Cm(z – 3,2)
θ(2) = θ(1)- 8,8.10-3.Dm( z - 3,2) -68,3.10-4. Bm( z - 3,2)
M(2) = M(1) – 44.Am( z - 3,2) + 57,5.Cm( z - 3,2)
Q(2) = Q(1) + 36,4.Bm( z - 3,2) - 111,2. Dm( z - 3,2)
§o¹n 3:
28
28
q
q
=
= 4,24.10-3;
=

= 70;
3
2
0,4
k 6,6. 10
m

28
q
=
= 44,3
m 0,632


4mq 4.0,632.28
=
= 10,7.10-3;
3
6,6.10
k

P2
22
=
= 54.10-4;
4
2
1,02.10 .0,4
EJm

P2
22
=
= 85,3.10-4;
4
3
1,02.10
.0,253
EJm

P2
22
= 34,8
=
m 0.632

Thay vµo hÖ ta cã:
Y(3) = y(2) - 4,24.10-3 Am( z- 6,4) + 85,3.10-4.Dm( z- 6,4)
θ(3) = θ(2) + 54.10-4Cm( z- 6,4) + 10,7.10-3.Dm( z- 6,4)
M(3) = M(2) – 34,8Bm( z- 6,4) - 70.Cm( z- 6,4)
Q(3) = Q(2) – 22.Am( z- 6,4) - 44,3Bm( z- 6,4)

6) X¸c ®Þnh c¸c th«ng sè cha biÕt ( VA vµ θ0 ):
Tõ ®iÒu kiÖn biªn t¹i B : z = l = 9,6 m ta cã Q(3) = 0; M(3) = M1 = 88
M(3)(l) = 1,58.VA.Bml– 57,5Cml + 26,1.103.θ0.Dml – 44.Am( l - 3,2) + 57,5.Cm( l - 3,2) – 34,8Bm( l6,4)

- 70.Cm( l - 6,4)= 88

Q(3)(l) = VA.Aml – 36,4.Bml + 16,5.103.θ0.Cml + 36,4.Bm( l - 3,2) - 111,2. Dm( l - 3,2) – 22.Am( l - 6,4)
- 44,3Bm( l - 6,4)= -38

Tra b¶ng Crlèp :
ml = 6,07=>

Aml = 211,4435;
Cml = -22,8855

Bml =82,8350;
Dml =-64,3032

m(l – 3,2) = 4,04 => Am( l - 3,2) = -17,7029; Bm( l - 3,2) = -19,9638;
Cm( l - 3,2)=-11,1110;

Dm( l - 3,2)=-1,1359;

m(l – 6,4) =2,02 => Am (l- 6,4) = -1,6656;

Bm (l- 6,4)= 0,9235;


Cm (l- 6,4)=1,6584;
Thay giá trị các hàm Crlốp vào hệ(4) ta đợc hệ phơng trình sau:
130,88VA + 1678,31.103.0 = -2817,68
211,4435VA + 377,61.103.0 = 3581,83
Giải hệ trên đối với VA và 0 ta có
=>

VA = 23,37 kN
0 = -3,5.10-4 rad

7) Vẽ biểu đồ:

Thay giá trị của VA và 0 vào (1) ữ (3) ta đợc
Đoạn 1: 0 z 3,2
Y(1)= -10-4(35. Amz +5,53Bmz + 9,1.Dmz -35)
(1) = 10-4 ( -3,5.Amz + 57,26.Cmz + 88Dmz)
M(1) = 36.92.Bmz 57,5Cmz - 91,35.Dmz
Q(1)_ = -23,37.Amz 36,4.Bmz - 5,775.Cmz
Đoạn 2: 3,2 z 6,4
Y(2)= y(1) + 3,5.10-3Am(z- 3,2) - 107,8.10-4.Cm(z 3,2)
(2) = (1)- 8,8.10-3.Dm( z - 3,2) -68,3.10-4. Bm( z - 3,2)
M(2) = M(1) 44.Am( z - 3,2) + 57,5.Cm( z - 3,2)
Q(2) = Q(1) + 36,4.Bm( z - 3,2) - 111,2. Dm( z - 3,2)
Đoạn 3: 6,4 z 9,6
Y(3) = y(2) - 4,24.10-3 Am( z- 6,4) + 85,3.10-4.Dm( z- 6,4)

Dm (l- 6,4)=1,2658


(3) = (2) + 54.10-4Cm( z- 6,4) 10,7.10-3.Dm( z- 6,4)
M(3) = M(2) 34,8Bm( z- 6,4) - 70.Cm( z- 6,4)
Q(3) = Q(2) 22.Am( z- 6,4) - 44,3Bm( z- 6,4)

Để vẽ các biểu đồ cho z những giá trị khác nhau ( z= 0; 0,8; 1,6; ..;9,6) thì ta đợc giá trị y; ; M; Q tơng ứng nh bảng sau:
Z( m)
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8

5,6
6,4
7,2
8.0
8,8
9,6

104.y (m)
0
-4.45
-14.39
-42.60
-109.26
-205.07
-405.06
-629.72
-1037.51
-356.24
483.70
1708.87
3979.20

104 . ( rad)
4.85
12.47
40.45
95.95
176.86
209.31
145.86

-156.05
-858.60
-2060.5
780.81
-4829.45
-6824.71

M ( kNm)
0
-21.67
-53.83
-89.62
-106.14
-90.31
124.30
595.68
227.03
2313.43
3602.34
2267.12
1592.02

Q ( kN)
-18
-37.36
-54.15
-56.94
-16.98
121.79
363.41

707.89
-430.67
1044.68
245.97
-2231.25
-5644.95

Dựa vào bảng giá trị của các hàm y; ; M; Q ta vẽ đợc gần đúng các biểu đồ y ;
; M ; Q ; nh hình vẽ. Từ hình vẽ này ta thấy:
Ymax = 3978,20.10-4 m ;
Mmax = 3602,34 kNm;
Ta có :

maax = 6824,71.10-4 rad
Qmax = 5644,95 Kn

max =

Mmax
= 776,37 kN/cm2
Wx

max =

Q max .S x
= 537,03 kN/cm2
J x .d

P1

q2

P2

q1

M2

M1
z

o
B

a

a

VA = -18

a

-1037,51
-629,72

-356,24

-405,06

-205,07 -109,26

-42,60

-14,39
-4,45

0

12.47

4.85

483,70
4

10 y
m
1708,87

4

10 θ
rad
3979,20

145.86

-

-

85,86

209.31

176.86

95.95

40.45

15,6

-237.12 - 206,24
-

482,94

682,47
-90.31
124.30
227.03

-

106.14

-

89.62

53.83

-

-

21.67

-62.14

0

595.68

M
kNm

1592.02
2267.12

2313.43

1044.68
3602.34

707.89

363.40

245.97
-

-16.98

402.67
-

430.67

Q
kN

-5644.95
-2231.25

121.79
-56.94

-54.15

-37.36

-18


PHẦN UỐN NGANG PHẲNG
SƠ ĐỒA.

a=4m
qo=4KN/M
P2=11KN
M=8,8KN.M
1.Xác đònh phản lực tại các gối tựa.
∑ Z =0HA=0
HA=0
∑ Y =0VA+VD- q0a-P2=0 VA+VD-4.2,2-11=0  VA=4,92 KN
∑ M / A =0  VD.4,2-M-q0.2,2.2,1-P2.3,2=0
VD=14,88 KN
2.Xác đònh nội lực trong thanh:chia thanh thành 3 đọan AB,BC,CD.
a.Dùng mặt cắt 1-1 cắt tại điểm K1 nằm trong qua đọan AB, cách gốc A
một đọan Z1(0≤Z1≤1).
Xét cân bằng phần bên trái.
1 Qy
A
∑ Z =O NZ1=0
∑ Y =0 VA-Qy1=0 Qy1=4,92 KN
Mx
Z1
∑ M / K1 =0 M x1=VA.Z1 M x1=4,92. Z1
1
VA=4,92
Tại Z1=0 Mx1=0
Tại Z1=1Mx1=4,92 KN.M
b.Dùng mặt cắt 2-2 cắt tại điểm K2 nằm trong đọan BC, cách gốc A một
q0 2
đọan Z2(1≤Z1≤3,2).
Xét cân bằng phần bên trái.
Qy

∑ Z =ONZ2=0
B
A
∑ Y =0 VA.(Z2-1)+Qy2 =0
Mx
Z2
Tại Z2= 1,2  Qy2 =4,92
2
VA=4,92
Tại Z2 = 3,2 Qy2 ==-3,88

∑ M / K 2 =0MX2–VA.Z2 +

q(Z2 -1) 2
- M =0.
2

MX2=4,92. Z2-2.(Z2-1)2+8,8
Tại Z2=1 MX2 =13,72
Tại Z2 =3,2 MX2 =14,88
Tìm cực trò
M x' 2 =4,92-4(Z2-1)=0
Z2=2,23
 MX2 min=16,7458 KN.M


c. Dùng mặt cắt 3-3 cắt tại điểm K3 thuộc đọan CD, cách gốc A một đọan
Z3(3.2Xét cân bằng phần bên phải.
∑ Z =ONZ3=0

3
Y
∑ =0  VD- Qy3 =0  Qy3=14,88 KN
Mx
D
∑ M / K3 =0 MX3 – VD.(4,2 – Z3)=0
Qy
MX3=14,88,(4,2- Z3)
M
4,2-Z3
Tại Z3=3,2 MX3 =14,88 KN.M
3
VD=14,88
Tại Z3 =4,2  MX3 =0.

C

B

A

2,2m

1m

D
1m

VA=4,92

VD=14,88

4,92
4,92

C
A

D Qy

B
3,88

14,88

14,88

MX

4,92
13,72

14,88
16,75


3.Kiểm tra kết quả.
a.Biểu đồ Qy.
-Đọan AB không có lực phân bố nên biểu đồ Qy là hằng số,giá trò
Qy=4,92.

-Đọan BC ta có lực phân bố q làhằng số nên biểu đồ Qy là hàm bậc nhất .
-Tại C có lực tập trung P2 nên tại C biểu đồ Qy có bước nhảy =14,88+(3,88)=11= P2..
b.Biểu đồ MX .
-Đọan AB không có lực phân bố Qy là hằng sốbiểu đồ MX là hàm bậc
nhất.
-Đọan BC lực phân bố là hằng số nên biểu đồ MX là hàm bậc nhất.Tại B
có momen tập trung M nên tại B biểu đồ momen MX l có bước
nhảy=147,2-68,22=8,8=M.
-Tại E cách A một đọan AE=2,23,Qy=0 nên MXđạt giá trò cực trò=16,75

SƠ ĐỒ B

a=3m
b=1,8m
c=0,9m
q0=4KN/M
P2=33KN
M=79,2
1.Xác đònh phản lực liên kết.
∑ Z =0  HD=O
1

∑ Y =0 -P2 + q0(1,8-0,9) 2 +VD=0
1
2

VD=33-4.O,9 =31,2 KN

∑ M / D =0 P2.3+M0 –MD+q0.0,9.1,5. =0
1

MD=33.3+M0 -4.0,9.1,5. 2 =175,5 KN.M


2.Xác đònh nội lực trong thanh:chia thanh thành 3 đọan AB,BC,CD .
a.Dùng mặt cắt 1-1 cắt tại điểm K1 thuộc đọan AB, cách A một đọan
Z1(0∑ Z =0 Nx1=0
1
∑ Y =0 P2-QX1=0 QX1=P1=33
A
∑ M / K1 =0  P2Z1- Mx1=0
 MX1=P2.Z2
Z1
Tại Z1=0  MX1=0
1
Tại Z1=1,2  MX1=33.1,2=39,6
P2
b.Dùng mặt cắt 2-2 cắt tại điểm K2 thuộc đọan BC.cách gốc A một đọan
Z2(1,2< Z2<2,1),xét cân bằng bên phải.
∑ Z =0NX2=0

∑Y

(2,1−Z2 )2.4
=0VD- 2.0,9 - Qy2 =0q
(z)
(2,1−Z2 )2.4
Qy =V + 2.0,9
2

Qy' 2

Mx

2

V =31,2
C

D

Tại Z2=1,2 Qy2=33 KN
Tại Z2=2,1 Qy2=31,2 KN
Tìm cực trò:

Qy

Qy

2,1-Z2

2 Mx

D
MD=175,5

(2,1− Z2 ) .4
=- 0,9 =0

 Z2=2,1  Qy2=33

∑M / K

2

=0MX2-MD+M+VD(3-Z2)+
MX2=MD-M- VD(3-Z2)-

(2,1− Z2 )3 .4
2.0,9.3

=0

(2,1− Z2 )3 .4
2.0,9.3

Tại Z2=2,1 MX2=68,22 KN.M
Tại Z2=1,2 Mx2=39,6 KN.M
Tìm cực trò
M 'x 2 =VD+

(2,1− Z2 )2 .4
>0
2.0,9

với mọi Z2Mx2 không có cực trò .

c.Dùng mặt cắt 3-3 cắt tại điểm K3 trong đọan CD,cách gốc A một đọan
Z3(2,1< Z3<3) ,xét cân bằng phần bên phải.

3
∑ Z =0Nx3=0
V =31,2
M
x
∑ Y =0Qy3-VD=0
D
 Qy3=31,2 KN
Qy
MD=175,5
∑ M / K3 =0 Mx3+VD(3-Z3)-MD =0
3-Z3
3
Mx3=MD-VD.(3- Z3)


Taïi Z3=2,1 Mx3=175,5-31,2.(3-2,1)=147,42 KN.M
Taïi Z3=3 Mx3=175,5 KN.M

q0 = 4KN/m

31,2KN
M= 79,2KNm
C

B

A

0,9m

P2 = 33KN

D
175,5KNm

1,8m
3m

33

31,2

33

31,2
Qy

MX
39,6
68,22
147,42

175,5


3.Kiểm tra kết quả tính
a.Biểu đồ Qy.
-Trong đọan AB không có lực phân bố nên Qy là hằng số và giá trò Qy=31,2
-Tại A có lực tập trung P2 nên tại đây biểu đồ Qy có bước nhảy,bước nhảy

có giá trò =P2=33.
-Trong đọan BC lực phân bố là hàm bậc nhất nên biểu đồ Qy là hàm bậc
hai.
1-Trong đọan CD không có lực phân bố nên biểu đồ Qy là hằng số, Qy=33
b.Biểu đồ Mx.
-Trong đọan AB không có lực phân bo ánên Qy là hằng số  Biểu đồ Mx
là hàm bậc nhất.
-Trong đọan BC lực phân bố làhàm bậc nhất nên Qy là hàm bậc haiMx
là hàm bậc ba.Tại C có momen tập trung M nên tại C biểu đồ momen Mx
có bước nhảy MX=147,42-68,22=79,2=M
SƠ ĐỒ C
a =2m
q0=4KN/M
P1=17,6
M=35,2
1.Xác đònh phản lực trong thanh.
∑ Z =0 q.a-P1+HA=O
HA=P1-qa=17,6-4.2=9,6
∑ Y =0 VA=-VD =31,2 KN
1

∑ M / A  -q.a. 2

+P1.a+M+VC.2=0

 VC=-31,2 KN
2.Xác đònh nội lực trong thanh
a.Dùng mặt cắt 1-1 cắt tại điểm K1 cách A một đoạn một đọan Z1(0< Z1
<2),

Xét cân bằng phần bên trái.
∑ Z =0 NZ3-VC=0
NZ3=31,2
∑ Y =0 Qy3=-q.a
Tại Z1=0  Qy3=0 KN
Tại Z1=2  Qy3=-8 KN
1
∑ M / K1 =0 MX1=-q.Z.Z 2

Nz
1

Qy
1
MX

A
Tại Z1=0 MX1=0
Tại Z1=2  MX1=-8 KN.M
V A= 31,2
Tìm cực trò
M 'x1 =-q.Z=0 Z=0 MX1min=0
b.Dùng mặt cắt 2-2 cắt tại một điểm thuộc BC,cách A một đọan Z 2(0< Z2
<2),xét cân bằng bên trái.
∑ Z =0  NX2+q.a=0
 NX2=-8 KN
∑ Y =0  Qy2+ VC=0
 Qy2=31,2 KN
2 Qy

∑ M / K 2 =0VD. Z2+q.2+ Mx2=0
Nz
B
Mx2 =-31,2.Z2-4.2
MX
Tại Z2=0 Mx2=-8 KN.M
2
Tại Z2=2 Mx2=- 70,4 KN.M
A
V A= 31,2

c.Dùng mặt cắt 3-3 cắt tại điểm K3 cách A một đọan Z3(2bằng phần bên phải
3 MX
35,2
∑ Z =0  NZ3+P=0
 NZ3=-P=17,6
Nz
D
∑ Y =0 Qy3=0
∑ M / K3 =0  MX3+M+P1.2=0
 MX3=35,2+35,2=70,4
Qy 3

17,6


d.Dùng mặt cắt 4-4 cắt tại điểm K4 trong đọan DE,cách gốc A một đọan
Z4(0∑ Z =0Nx4=0

∑ Y =0 Qy4=P1=17,6 KN
N z MX
∑ M / K 4  MX4=-P1.Z4
Tại Z4=0 MX4=0
Qy
Tại Z4=2 MX4=35,2 KN.M

4

4

17,6

E
q=4KN/m

2m

B

M= 35,2KNm

2m

C

H C=9,6KN

D

V C=31,2KN
2m

2m

E

A

P1 = 17,6KN

V A =31,2KN

B
31,2

8

C

D

17,6

31,2

Qy
A

E

17,6


70,4
70,4

8

35,2
B

D

C

MX
A

E

31,2
B

C8
8

D
17,6

17,6

Nz
31,2

A

E

3.Kiểm tra cân bằng nút
Tách nút B kiểm tra
-Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc Nz=-8 hướng tư phải sang
trái( hướng vào mặt cắt) ,lực cắt Qy =-31,2 hướng lên ,momen=8 làm căng
thớ trên,chiều quay như hình vẽ.
-Tại mặt cắt trên thanh thẳng đứng có lực dọc Qy =-8 hướng từ trái qua
phải,momen=8 căng thớ trên chiều quay như hình vẽ,phản lực VA=31,2
hướng từ trên xuống
Ta có
8
∑ Z =-8+8=0
8
B
∑ Y =-31,2+31,2=0
∑ M / B =-8+8=0
Vậy nút B cân bằng

31,2

8
31,2

8


Tách nút D kiểm tra.
-Trên mặt cắt thanh ngang có lực dọc Nz =-17,6 hướng váo mặt
cắt(hướng từ phải qua trái) , momen =70,4 làm căng thớ trên,chiều quay
như trên hình vẽ
-Trên mặt cắt thanh thẳng đứng có lực P1=17,6 hướng từ trái qua
phải,momen =35,2 làm căng thớ trên có chiều như hình vẽ
Ta có
∑ Z =-17,6+17,6=0
35,2
70,4
∑ Y =0
∑ M / D =70,4-35,2=35,2=0
D
Vậy nút D cân bằng
17,6

17,6

35,2