PHÂN TÍCH DẦM TỰA ĐƠN CHỊU VẬT THỂ CHUYỂN ĐỘNG XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA GỐI TỰA_Đỗ Kiến Quốc, Phạm Đàm Sơn Tùng

PHÂN TÍCH DẦM TỰA ĐƠN CHỊU VẬT THỂ CHUYỂN ĐỘNG XÉT ĐẾN BIẾN
DẠNG ĐÀN HỒI CỦA GỐI TỰA
DYNAMIC ANALYSIS OF A SIMPLE BEAM SUBJECTED TO A MOVING LOAD CONSIDERING THE
ELASTIC SUPPORT
Đỗ Kiến Quốc, Phạm Đàm Sơn Tùng
TÓM TẮT
Bài báo phân tích dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động mô hình một khối lượng xét đến biến dạng đàn hồi của gối tựa.
Phương trình dao động của hệ thống bao gồm dầm và vật thể
chuyển động được thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn
và được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên
thuật toán của Newmark. Ma trận khối lượng, ma trận độ cứng
của toàn hệ thống và vectơ lực nút tương đương được tính toán
ở mỗi bước thời gian. Ảnh hưởng của vận tốc chuyển động, độ
võng của dầm, độ cứng của gối tựa… được khảo sát chi tiết.
Từ khóa: Phân tích động, Tải trọng di động, Gối tựa đàn
hồi.
ABSTRACT
This article analyses a simple beam subjected to an
oscillator moving along the beam considering of elastic
support. Equations of motion of system composed of the beam
structure itself and the moving oscillator are formulated by
using FEM and solved by means of the direct step-by-stepintegration method based on Newmark algorithm. The overall
mass, stiffness and equivalent nodal force vector are calculated
at each time interval. The influences of the moving velocity,
stiffness of spring in ocsillator, deflection of beam, elastic
support… are investigated.

giá ảnh hưởng của một thông số kết cấu và vật thể di động đến
phản ứng của toàn hệ là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn trong khoa
học và đặc biệt là trong ngành giao thông vận tải.
2. Cơ sở lý thuyết

2.1 Mô hình kết cấu
Xét mô hình vật thể di chuyển dọc theo chiều dài dầm L(m)
với vận tốc V(m/s) không đổi thể hiện ở Hình 1. Vật thể được
mô hình bởi hệ hai bậc tự do gồm khối lượng bản thân m nối
với bánh xe khối lượng m v , qua hệ giảm chấn lò xo với độ
cứng K 0 . Trong thực tế, khối lượng bánh xe m v không đáng kể
nhưng làm khối lượng tính toán rất nhiều nên trong bài báo này
bỏ qua m v . Ký hiệu y là chuyển vị tuyệt đối của khối lượng m
theo phương thẳng đứng, w 0 là chuyển vị theo phương thẳng
đứng của khối lượng m v . Giả thiết bề mặt dầm bằng phẳng và
luôn tiếp xúc với bánh xe m v trong quá trình di chuyển. Do đó,
chuyển vị thẳng đứng của bánh xe (w 0 ) luôn bằng độ võng của
dầm (w) tại điểm tiếp xúc. Vị trí tổng thể của vật thể khi di
chuyển trên dầm là x m (t). Dầm được mô hình là dầm EulerBernouli tiết diện đồng nhất không đổi. Để xét đến biến dạng
của gối tựa, dầm được tựa trên hai lò xo ở hai đầu dầm. Bỏ qua
tính chất cản của kết cấu.

Keywords: Dynamic Analysis, Moving Load, Elastic
Support.
PGS.TS. Đỗ Kiến Quốc
Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng, Trường Đại Học Bách Khoa – Đại
Học Quốc Gia Tp.HCM
Email:
Điện thoại: 0903683422
ThS. Phạm Đàm Sơn Tùng
Khu QLGTĐT số 1 – Sở GTVT TP.HCM
Email:
Điện thoại: 0938211535

Hình 1: Mô hình kết cấu

2.2 Mô hình phần tử hữu hạn
Dầm được chia thành n phần tử dầm có chiều dài l e và nối
với nhau tại các nút như trên hình 2. Vị trí của vật thể so với
đầu bên trái phần tử dầm thứ “s” là x(t)

1. Giới thiệu
Việc nghiên cứu dao động của kết cấu chịu tải trọng di
động xuất phát từ yêu cầu thực tiễn, thường gặp trong các lĩnh
vực như: xây dựng, giao thông vận tải, cơ khí… Thực tế chỉ ra
rằng, ảnh hưởng động do tính chất di chuyển của tải trọng đến
phản ứng của kết cấu là đáng kể, phát sinh những hiện tượng
không mong muốn như làm tăng các giá trị chuyển vị - nội lực,
nguy hiểm nhất là xuất hiện hiện tượng cộng hưởng. Bên cạnh
đó, hệ kết cấu còn được đặt trên hệ nền, móng cọc và làm việc
đồng thời với kết cấu khi chịu tải trọng di động. Hệ thống gối
tựa này đã được đề cập trong những nghiên cứu về phản ứng
động của dầm với những điều kiện biên khác nhau (giản đơn,
ngàm) [1] [2] [3]. Tuy nhiên, những nghiên cứu về ảnh hưởng
của sự đàn hồi gối tựa đến phản ứng động của dầm vẫn còn rất
ít.
Vì vậy, việc nghiên cứu phản ứng động của dầm dưới tác
động vật thể di động có xét đến biến dạng của gối tựa để đánh

Hình 2: Mô hình phần tử hữu hạn
Phương trình dao động của dầm có dạng như sau

 + Ku = N T P
Mu

(1)

với M, K là ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm
được thiết lập bằng cách “chồng chất” các ma trận phần tử [4],
P là ngoại lực tác dụng vào dầm, u và u
 là vectơ chuyển vị,
gia tốc của kết cấu dầm. Phương trình dao động của vật thể
chuyển động là

 + K 0 (y - w) = 0
my

(2)

Trang 1


Lực tương tác giữa vật thể và dầm được thể hiện bởi
 Khi vật thể chuyển động trên phần tử thứ “s”,
P = mg - my
tải trọng P được quy đổi về các tải trọng nút. Khi đó, vectơ
ngoại lực là
F(t) = {0 0 0 0 ... f1s (t) f 2s (t) f 3s (t) f4s (t) ... 0 0 0 0}

T

trong đó, f1s (t) , f 2s (t) , f 3s (t) , f 4s (t) là các thành phần lực tác
dụng lên hai nút của phần tử “s”. Vectơ hàm dạng N tại phần
tử thứ “s” là

N = {0 0 0 0 ... N1s N s2 N s3 N s4 ... 0 0 0 0}

với N = 1- 3ξ + 2ξ , N = le (ξ - 2ξ + ξ ) ,
2

3

s
2

2

N s3 = 3ξ 2 - 2ξ 3 , N s4 = le (-ξ 2 + ξ 3 ) và

3

x
ξ = . Khi đó,
le

phương trình (1) và (2) được viết gọn lại là
* + K *u* = F* (t)
M *u

lò xo với 03 loại độ cứng dùng để khảo sát là

K n 2 = 300

EI
EI
và K n 3 = 500 3 . Cùng với sơ đồ dầm tựa
3

L
L

Hình 4 và Hình 5 thể hiện ảnh hưởng của vận tốc đối với hệ
số động chuyển vị tại giữa nhịp (DAFcv) ở sơ đồ gối cứng và
sơ đồ gối đàn hồi (K n =K n1 ) khi vật thể chuyển động trên dầm.
Các kết quả cho thấy DAFcv ở sơ đồ gối đàn hồi lớn hơn 1.2
đến 1.3 lần so với DAFcv ở sơ đồ gối cứng. Kết quả được trình
bày ở Bảng 1.
1.8
V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

1.6

M mN T 
 K
mgN T  ,
0T  , *
*
,
M =
K
=
F
(t)
=






m 
0
 0 
-K 0 N K 0 

 
u
u 
 =   , u* =  
u
y

y 
*

Có thể thấy rằng các ma trận M*, K* ở (3) là các ma trận theo
thời gian vì chúng bao gồm thành phần không thay đổi của bản
thân kết cấu và thành phần phụ thuộc theo thời gian do vật thể
chuyển động trên dầm tạo ra. Sự thay đổi đặc tính của hệ chịu
tải trọng di động này thể hiện tính chất phi tuyến của kết cấu
[5].
Phương trình (3) là phương trình chủ đạo mô tả dao động
của hệ thống gồm kết cấu dầm và vật thể chuyển động trên nó
và được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên
thuật toán Newmark. Thuật toán giải như sau:

He so dong chuyen vi tai giua nhip

1.4

*

EI
,
L3

3.1 Khảo sát hệ số động chuyển vị tại giữa nhịp

(3)

trong đó:

K n1 = 100

trên gối cứng, bốn sơ đồ dầm được sử dụng để khảo sát.

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 4: Hệ số động chuyển vị tại giữa nhịp – sơ đồ gối cứng

2.5
V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

2

He so dong chuyen vi tai giua nhip

s
1

khối lượng trên một đơn vị chiều dài ρ = 1.5×104 kg/m. Dầm
chịu vật thể chuyển động có khối lượng m v = 30 tấn và độ
cứng của lò xo K 0 = 3×106 N/m. Hai đầu dầm được tựa trên hai

1.5

1

0.5

0

-0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 5: Hệ số động chuyển vị tại giữa nhịp – sơ đồ gối đàn hồi
với K n =K n1

Hình 3: Thuật toán lập trình
Một chương trình máy tính được lập trình bằng ngôn ngữ
Matlab được viết theo lưu đồ được dùng để khảo sát ví dụ số.
3. Kết quả số

Gối cứng (a)
Gối đàn hồi
(K n =K n1 ) (b)
(b/a)

Bảng 1: DAFcv lớn nhất
V=20
V=40

V=60
m/s
m/s
m/s
1.2060
1.3995
1.6206
1.6064
1.8834
2.0430
1.332

1.346

1.261

V=80
m/s
1.6668
1.9798
1.188

Hình 6 và Bảng 2 trình bày ảnh hưởng của hệ số K n đối với
DAFcv khi vật thể chuyển động trên dầm với V=60(m/s). Khi
K n càng lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến về sơ đồ gối cứng, DAFcv
giảm dần.

Bài báo khảo sát mô hình dầm giản đơn có chiều dài L =
20m, mặt cắt mặt ngang của dầm I = 0.048 m4. Vật liệu của
dầm có các đặc trưng sau: môđun đàn hồi E = 2×1011 N/m2,

Trang 2


2.5
Kn=100 EI/L3
3

Kn=300 EI/L

He so dong chuyen vi tai giua nhip

2

Gối cứng (a)
Gối đàn hồi
(K n =K n1 ) (b)
(b)/(a)

Kn=500 EI/L3
goi cung

1.5

1

0.5

0

-0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Bảng 3:DAFmomen lớn nhất
V=20
V=40
V=60
m/s

m/s
m/s
1.1382
1.3227
1.3522

V=80
m/s
1.3260

1.4183

1.6407

1.6114

1.4817

1.246

1.24

1.192

1.117

Hình 9 và Bảng 4 trình bày ảnh hưởng của hệ số K n đối với
DAFmomen khi vật thể chuyển động trên dầm với V=60(m/s).
Khi K n càng lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến về sơ đồ gối cứng,
DAFmomen giảm dần. Đồ thị DAFmomen của sơ đồ gối cứng

trơn hơn nhiều so với sơ đồ gối đàn hồi.
2

Hình 6: Hệ số động chuyển vị giữa nhịp với v=60(m/s)

Kn=100 EI/L3
Kn=300 EI/L3

Bảng 2: DAFcv lớn nhất với V=60(m/s)
K n1
K n2
K n3
Gối cứng
DAFcv

2.0424

1.8532

1.7101

1.6229

He so dong momen tai giua nhip

1.5

3.2 Khảo sát hệ số động momen tại giữa nhịp

0.5

-0.5

0

0.1

V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

1.2

1

0.4

0.2

0

0.2

K n1
1.6114

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.6

0.7

0.8

0.9

1

K n2
1.6115

Gối cứng
1.3522

K n3
1.5184

200
V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

150

Luc cat tai giua nhip (KN)

100

2

He so dong momen tai giua nhip

0.5
x/L

Bảng 4: DAFmomen lớn nhất khi V=60(m/s)

Hình 7:Hệ số động momen tại giữa nhịp – sơ đồ gối cứng

V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

1.5

0.4

Hình 10 và Hình 11 thể hiện ảnh hưởng của vận tốc đối với
lực cắt tại giữa nhịp ở sơ đồ gối cứng và sơ đồ gối đàn hồi
(K n =K n1 ) khi vật thể chuyển động trên dầm. Kết quả cho thấy
lực cắt tại giữa nhịp ở sơ đồ gối đàn hồi lớn hơn khoảng 2.5 lần
so với lực cắt ở sơ đồ gối cứng và tồn tại một vận tốc tới hạn
làm cho lực cắt này là nhỏ nhất. Kết quả được trình bày ở Bảng
5.

0.6

0.1

0.3

3.3 Khảo sát lực cắt tại giữa nhịp

0.8

0

0.2

Hình 9: Hệ số động momen tại giữa nhịp với V=60(m/s)

DAFmomen

1.4

He so dong momen tai giua nhip

1

0

Hình 7 và Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của vận tốc đối với hệ
số động momen tại giữa nhịp (DAFmomen) ở sơ đồ gối cứng
và sơ đồ gối đàn hồi (K n =K n1 ) khi vật thể chuyển động trên
dầm. Kết quả cho thấy DAFmomen ở sơ đồ gối đàn hồi lớn
hơn khoảng 1.2 lần so với DAFcv ở sơ đồ gối cứng. Kết quả
được trình bày ở Bảng 3.

-0.2

Kn=500 EI/L3
goi cung

50

0

-50

-100

1

-150

-200

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 10:Lực cắt tại giữa nhịp – sơ đồ gối cứng
0

-0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 8:Hệ số động momen tại giữa nhịp – sơ đồ gối đàn hồi
K n =K n1

Trang 3


khi vận tốc chuyển động của vật thể dưới 30(m/s). Khi K n càng
lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến về sơ đồ gối cứng, W max giảm dần.

500
V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

400

3.5 Khảo sát chuyển vị lớn nhất của dầm theo K n và K 0

200

-3

11

10.5

0
-100

10
Kn=100 EI/L3

-200
-300
-400
-500

0.3

0.2

0.1

0

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 11:Lực cắt tại giữa nhịp – sơ đồ gối đàn hồi K n =K n1

Gối cứng (a)
Gối đàn hồi
(K n =K n1 )
(b)
(b)/(a)

Bảng 5: Lực cắt lớn nhất
V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s
154.1410
169.8641
178.3091

V=80 m/s
164.2035

456.2151

414.6817

331.8422

419.4825

2.96

2.441

1.861

2.555

500
Kn=100 EI/L3

400

Kn=500 EI/L3
goi cung

Luc cat tai giua nhip (KN)

200
100
0
-100
-200
-300

0.1

0

0.2

0.3

0.4

0.5

x/L

0.6

0.7

0.8

1

0.9

Hình 12: Lực cắt tại giữa nhịp với V=60(m/s)
Bảng 6: Lực cắt lớn nhất khi V=60(m/s)
K n1
K n2
K n3
Gối cứng
Lực cắt 331.8422 406.4857 403.0738 178.3091
3.4 Khảo sát chuyển vị lớn nhất của dầm theo Kn và V
-3

11

9

8.5

8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1
Ko (N/m)

1.2

1.4

1.6

1.8

2
7

x 10

Hình 14: Chuyển vị lớn nhất của dầm theo K 0 và K n
Hình 14 cho thấy chuyển vị lớn nhất của dầm (W max ) theo
hệ số (K n ) và độ cứng của nhíp xe (K 0 ). Khi K n càng lớn, sơ đồ
gối đàn hồi tiến về sơ đồ gối cứng, (W max ) giảm dần. Với mỗi

K n chọn trước, tồn tại một giá trị tới hạn K 0cr làm cho W max đạt
giá trị nhỏ nhất.
4. Kết luận
Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu cơ bản về phản ứng
động của dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động – mô hình một
khối lượng xét đến biến dạng đàn hồi của gối tựa. Phương trình
dao động của toàn hệ thống cũng được thiết lập và giải bằng
phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên thuật toán Newmark
để tiến hành khảo sát một số ví dụ.

Tài liệu tham khảo

-400
-500

Kn=500 EI/L3
goi cung

Việc xét đến ảnh hưởng của biến đàn hồi của gối tựa đã làm
tăng phản ứng của dầm, momen và lực cắt trong dầm. Không
chỉ tăng về độ lớn mà còn tăng sự biến thiên của các giá trị này
khi chịu vật thể chuyển động. Độ cứng của nhíp xe (K 0 ) đóng
vai trò như một thiết bị giảm xóc hấp thu năng lượng từ phản
ứng của dầm.Tồn tại một giá trị tới hạn của hệ số nền (K ncr )
làm giá trị lực cắt tại giữa nhịp là lớn nhất.

Kn=300 EI/L3

300

Kn=300 EI/L3

9.5

7.5

Hình 12 và Bảng 6 trình bày ảnh hưởng của hệ số K n đối
với lực cắt ở giữa nhịp khi vật thể chuyển động trên dầm với
V=60(m/s). Khi K n càng lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến về sơ đồ
gối cứng, lực cắt này giảm dần. Lực cắt ở giữa nhịp của sơ đồ
gối đàn hồi biến thiên rất nhiều so với sơ đồ gối cứng. Tồn tại
một giá trị K ncr làm cho lực cắt này là lớn nhất.

x 10

goi cung
Kn=100 EI/L3

10

Kn=300 EI/L3
Kn=500 EI/L3

9

Chuyen vi max(m)

x 10

100

Chuyen vi max(m)

Luc cat tai giua nhip (KN)

300

8

[1] M.Abu Hilal and H.S. Zibdeh, "Vibration Analysis of
Beams with General Boundary Conditions Traversed by a
Moving Force," Sound and Vibration, vol. 229, no. 2, pp.
377-388, 2000.
[2] M.Abu-Hilal and M.Mohsen, "Vibrations of Beams with
General Boundary Conditions Due to a Moving Harmonic
Load," Sound and Vibration, vol. 232, no. 4, pp. 703-717,
2000.
[3] Zibdeh H.S., and Rackwitz R., "Moving Loads on Beams
With General Boundary Conditions," Sound Vibration, vol.
195, no. 1, pp. 85-102, 1996.
[4] Đỗ Kiến Quốc, Lương Văn Hải, Động lực học kết cấu.
HCM: NXB Đại học Quốc gia TPHCM, 2010.
[5] Đỗ Kiến Quốc, Nguyễn Trọng Phước, Các phương pháp số
trong động lực học kết cấu. HCM: NXB Đại học Quốc gia
TPHCM, 2010.

7

6

5

0

10

20

30

40

50
van toc (m/s)

60

70

80

90

100

Hình 13: Chuyển vị lớn nhất của dầm theo K n và V
Hình 13 cho thấy chuyển vị lớn nhất của dầm (W max ) theo
hệ số (K n ) và vận tốc chuyển động của vật thể. W max rất nhạy

Trang 4

Trang 5