PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG DÙNG HÀM CHUYỂN VỊ ĐA THỨC BẬC NĂM_Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh, Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG
DÙNG HÀM CHUYỂN VỊ ĐA THỨC BẬC NĂM
NONLINEAR ANALYSIS OF PLANAR STEEL FRAMES
USING FIFTH-ORDER POLYNOMIAL DISPLACEMENT FUNCTION
Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn
Thị Thùy Linh, Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường
TÓM TẮT
Bài báo này trình bày một phần tử dầm-cột có thể mô
phỏng tác động bậc hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép
phẳng chịu tải trọng tĩnh. Hàm chuyển vị của cấu kiện dầmcột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định
xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm thỏa các điều kiện tương
thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện. Từ
đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có xét đến hiệu
ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai.
Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự
chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết
khớp dẻo. Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu
khung thép phẳng được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình
MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo phương
pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư
nhỏ nhất và kết quả phân tích của nó được chứng minh là tin
cậy qua các ví dụ số.
Từ khóa: Khớp dẻo, hiệu ứng cung, phân tích phi tuyến,
khung thép, hàm đa thức bậc năm.
ABSTRACT
This paper presents a beam-column element capable of
modeling the second-order effects and the inelasticity of
planar steel frame structures under static loads. The
displacement function of a beam-column member subjected to
axial forces and bending moments at the ends is
approximately assumed to be a fifth-order polynomial

function satisfying the compatible and equilibrium conditions
at the mid-length and ends of the member. Then a stiffness
matrix with stability functions considering the bowing effect
is formulated in order to simulate the second-order effects
accurately. The end plasticity factors are used to model the
gradual plastification of two end element sections by plastichinge assumption. A structural nonlinear analysis program of
steel frame structures is developed by MATLAB
programming language based on the arc-length method
combined with minimum residual displacement method and
its analysis results are proved to be reliable through some
numerical examples.
Keywords: Plastic-hinge, bowing effect, nonlinear analysis,
steel frames, fifth-order polynomial function.
ThS. Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm
Khoa Xây dựng & Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Tp.HCM
NCS, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa –
Đại học Quốc gia Tp.HCM
KS. Lê Nguyễn Công Tín
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung
ThS. Nguyễn Thị Thùy Linh
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Công nghệ Tp.HCM
ThS. Nguyễn Tấn Hưng
Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học
Bách khoa – Đại học Đà Nẵng

PGS.TS. Ngô Hữu Cường
Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại
học Quốc gia Tp.HCM; Email:
Giới thiệu

Trong phân tích phi tuyến kết cấu, phương pháp dầm-cột
được xem là phương pháp đơn giản và hiệu quả trong việc mô
phỏng tác động phi tuyến mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần
thiết cho phân tích thiết kế thực hành như đã được nghiên cứu
và phát triển bởi Lui & Chen (1986) [1], Liew và cộng sự
(2000) [2], Kim & Choi (2001) [3], Ngo-Huu & Kim (2012)
[4], ... Tuy nhiên, việc sử dụng hàm ổn định chính xác từ lời
giải giải tích của cấu kiện dầm-cột gây khó khăn trong việc
khai triển công thức trong quá trình thiết lập ma trận độ cứng
phần tử. Năm 1994, Chan & Zhou [5] đã đề xuất hàm chuyển
vị xấp xỉ đa thức bậc năm cho cấu kiện dầm-cột và thiết lập
ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác động bậc hai bằng
phương pháp thế năng toàn phần dừng. Ưu điểm của việc sử
dụng hàm này là sự đơn giản trong việc thiết lập công thức mà
vẫn đảm bảo độ chính xác như hàm ổn định lượng giác truyền
thống.
Nghiên cứu này sử dụng dạng hàm chuyển vị đa thức bậc
năm của Chan & Zhou [5] để xây dựng ma trận độ cứng phần
tử có xem xét tác động phi tuyến hình học theo lý thuyết dầmcột. Hiệu ứng cung được kể đến để xem xét sự thay đổi chiều
dài phần tử do sự uốn cong của phần tử khi chịu lực. Phương
pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được sử dụng để mô phỏng ứng xử
phi tuyến vật liệu. Để giải hệ phương trình cân bằng phi tuyến,
phương pháp chiều dài cung (arc-length method) kết hợp với
phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất (minimum residual
displacement method) được lựa chọn để áp dụng do có tốc độ
hội tụ cao. Một chương trình máy tính được phát triển bằng
ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự động hóa việc phân tích
ứng xử phi tuyến của khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh.
Kết quả phân tích được so sánh với kết quả các nghiên cứu
trước đó chứng tỏ độ tin cậy của chương trình phát triển.

1.

2.

Cơ sở lý thuyết

2.1. Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa
thức bậc 5
Xét phần tử dầm-cột đàn hồi chịu lực dọc trục và mômen uốn ở hai đầu phần tử như trong Hình 1.
M1

θ1

∆(x)

M2
F

x

L

θ2

Hình 1. Phần tử dầm-cột điển hình.
Phương trình vi phân của phần tử dầm-cột:

 d 4∆ ( x) 
 d 2∆ ( x) 



=
EI 
+
F
0 ( F ≤ 0)
 dx 4 
 dx 2 





(1a)

Trang 1


 d 4∆ ( x) 
 d 2∆ ( x) 


=
(1b)
−
EI 
F
0 ( F > 0)
 dx 4 
 dx 2 





Áp dụng các điều kiện biên, ta được quan hệ giữa mômen và góc xoay:
s2  θ1 
 
s1  θ 2 

 M1  EI  s1
 =

 M 2  L  s2

 d 2∆ ( x) 

M 2 = EI 
 dx 2 

x=L

Từ các phương trình (6) đến (11) ta xác định được các hệ
số ai ( i = 0 ~ 5 ) , từ đây ta xác định được các hàm ổn định

s1 , s2 theo q = λ 2 như trong Bảng 2.

(2)

với s1 , s2 được gọi là các hàm ổn định. Kết quả lời giải

giải tích của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s2
được trình bày như trong Bảng 1.

Bảng 2. Lời giải của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định

s1 , s2 khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5.
Trường hợp F ≤ 0

Bảng 1. Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm

∆ ( x ) = a5 x + a4 x + a3 x
5

 λx 
 λx 
=
∆ ( x ) a sinh 
 + b cosh 

 L 
 L 
+cx + d

a2

λ sin λ − λ cos λ
s1 =
2 − 2 cos λ − λ sin λ

λ cosh λ − λ sinh λ

s1 =
2 − 2 cosh λ + λ sinh λ

2

1

1

2

2

1

2

2

s2 =

1

1

1

2

F

EI

a4 = −
a5 =

Để đơn giản hóa các phép biến đổi toán học, hàm chuyển
vị ∆ ( x ) được xấp xỉ bằng đa thức bậc 5:

∆ ( x ) = a5 x5 + a4 x 4 + a3 x3 + a2 x 2 + a1 x + a0

s1 =

s2 =

cho cả hai trường hợp F ≤ 0 và F > 0)

2

)

(

L ( q − 48 )( q − 80 )

)

(

4q ( 3q − 160 ) θ1 + ( 2q − 80 ) θ 2 



L3 ( q − 48 )( q − 80 )

a2 = −

a3 =

(80 − q )( 48 − q )

2 q 2 − 64q + 3840

(80 − q )( 48 − q )

)

)

( 6q

(13q

a4 = −
a5 =

4 3q 2 − 256q + 3840

(

)

− 832q + 3840 θ1 + 5q 2 − 192q + 3840 θ 2
L2 ( q − 48 )( q − 80 )

(

a1 = θ1

)

− 512q + 7680 θ1 + q 2 − 64q + 3840 θ 2

L4 ( q − 80 )

2

λ sinh λ − λ 2
2 − 2 cosh λ + λ sinh λ

2

4q (θ1 + θ 2 )

2

1

s2 =

(13q

2

2

λ 2 − λ sin λ
2 − 2 cos λ − λ sin λ

(với λ = L

a=

+ a2 x 2 + a1 x + a0
a0 = 0

( 6q
= −

a3 =

(1 − cosh λ + λ sinh λ )θ + ( cosh λ − 1)θ L
λ ( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )
sinh λ − λ cosh λ )θ + ( λ − sinh λ )θ
(
b=
L
λ ( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )
(1 − cosh λ )(θ + θ )
c=
( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )
( sinh λ − λ cosh λ )θ + ( λ − sinh λ )θ L

d= −
λ ( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )

1

∆ ( x ) = a5 x 5 + a4 x 4 + a3 x 3

+ a2 x + a1 x + a0

a1 = θ1

(1 − cos λ − λ sin λ )θ + ( cos λ − 1)θ L
λ ( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
sin λ − λ cos λ )θ + ( λ − sin λ )θ
(
b=
L
λ ( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
(1 − cos λ )(θ + θ )
c=
( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
( sin λ − λ cos λ )θ + ( λ − sin λ )θ L
d= −
λ ( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
a=

Trường hợp F > 0

3

a0 = 0

Trường hợp F > 0

 λx 
 λx 
=
∆ ( x ) a sin 
 + b cos 

 L 
 L 
+cx + d

4

2

ổn định s1 , s2 .
Trường hợp F ≤ 0

(11)

2

2

)

(

)

+ 512q + 7680 θ1 + q 2 + 64q + 3840 θ 2
L ( q + 48 )( q + 80 )

)

(

)

+ 832q + 3840 θ1 + 5q 2 + 192q + 3840 θ 2
L2 ( q + 48 )( q + 80 )

4q ( 3q + 160 ) θ1 + ( 2q + 80 ) θ 2 


L3 ( q + 48 )( q + 80 )

4q (θ1 + θ 2 )
L4 ( q + 80 )

s1 =

s2 =

(

4 3q 2 + 256q + 3840

(

(80 + q )( 48 + q )

2 q 2 + 64q + 3840

(80 + q )( 48 + q )

)

)

Kết quả các hàm ổn định đề xuất và hàm ổn định truyền
thống theo lời giải giải tích được trình bày như trong Hình 2
cho thấy hàm ổn định đề xuất có độ chính xác khá cao. Với
các hàm ổn định đề xuất, ta dễ dàng xác định được các đạo
hàm của các hàm ổn định s1′ , s2′ trong các công thức tính toán
nội lực nút phần tử ở phần sau.

(3)

Các hệ số ai ( i = 0 ~ 5 ) được xác định từ việc cho hàm
chuyển vị giả thiết ở trên thỏa các điều kiện tương thích và
điều kiện cân bằng. Các phương trình được trình bày như sau:

∆ ( x ) x =0 =
0

(4)

∆ ( x )x=L =
0

(5)

 d ∆ ( x) 
= θ1


 dx  x =0

(6)

 d ∆ ( x) 
= θ2


 dx  x = L

(7)

 d 2∆ ( x ) 

( M1 + M 2 ) x − M 

= F∆ ( x) +
EI 
1
 dx 2  L 

L

 x = L

x=

(8)

 d 3∆ ( x ) 

EI  =
 dx3  L

x=
2

Hình 2. So sánh các hàm ổn định.

2

2

  d ∆ ( x )  ( M1 + M 2 ) 
F 

+
L
  dx 
 L
x=

 d ∆ ( x) 

M1 = − EI 
 dx 2 

 x =0

(9)

2

2

(10)
Trang 2


2.2. Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử
Ta có:

2

=
F

F

L

(13)

theo các hàm ổn định s1 , s2 và q = λ 2 như sau:

s2
=
; b2
8q
8 ( s1 + s2 )

(14a)

( s1 + s2 )( s2 − 2 )
s2
F > 0: b1 =
(14b)
−
; b2 =
8q
8 ( s1 + s2 )
Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh được các quan hệ
sau:

s1′ =
−2 ( b1 + b2 ) ; s2′ =
−2 ( b1 − b2 ) khi F ≤ 0

(15a)

s1′ =

2 ( b1 + b2 ) ; s2′ =
2 ( b1 − b2 ) khi F > 0

(15b)

Gọi e 1 và e 2 tương ứng là hệ số chảy dẻo mô tả mức độ
chảy dẻo ở hai đầu mút phần tử ( 0 ≤ e1 , e2 ≤ 1) ; trong đó, e 1
và e 2 có giá trị bằng 1 nếu tiết diện vẫn còn hoàn toàn đàn hồi,
bằng 0 nếu tiết diện đã chảy dẻo hoàn toàn và có giá trị nằm
giữa 0 và 1 nếu tiết diện đang chảy dẻo. Theo Liew và cộng sự
[7], quan hệ mô-men và góc xoay được viết lại như sau:

s2 p  θ1 
 
s3 p  θ 2 

(16)

Trong đó, các giá trị s1 p , s2 p , s3 p được xác định theo các
hàm ổn đinh s1 , s2 và các hệ số e1 , e2 :




s2
s2
s1 p = e1  s1 − 2 (1 − e2 )  ; s2 p = e1e2 s2 ; s3 p = e2  s1 − 2 (1 − e1 ) 
s
s


1
1




(17)

Từ (13), (15a), (15b) lực dọc được hiệu chỉnh lại như
sau:
(18)

(Biểu thức lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “–“ khi F ≤ 0).
Với:



(1 − e2 ) ;


s2′ p = e1e2 s2′ ;

2s s s ′ − s 2 s ′
s3′ p =
e2  s1′ − 1 2 22 2 1
s1


(19)



(1 − e1 )


2.3. Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột
Sơ đồ lực và chuyển vị đầu mút của phần tử dầm-cột
được trình bày như trong Hình 3.

L

L

Hình 3. Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột.
Ta có quan hệ giữa các thông số hình học và các chuyển
vị đầu mút phần tử như sau:

=
δ

( s1 + s2 )( s2 − 2 )

δ  1
1

F = EA  ±  s1′ pθ12 + s2′ pθ1θ 2 + s3′ pθ 22  
2

L  2

(M1 + M2)

(M1 + M2)

Trong đó, b1 , b2 là các hàm hiệu ứng cung được xác định


2s s s ′ − s 2 s ′
s1′ p =
e1  s1′ − 1 2 22 2 1
s1


M2

θ2

2
2
δ
F= EA  + b1 (θ1 + θ 2 ) + b2 (θ1 − θ 2 ) 
L



 M1  EI  s1 p

 =
 M 2  L  s2 p

δ

θ1

F

2

Theo Oran [6], lực dọc được viết lại như sau:

F ≤ 0: b1
=

z 6 u6
z 4 u4

M1

(12)

EA
EA  d ∆ 
δ+
dx
L
2 L  dx 
0

∫

5

z 3 u3

∫

L

5

z 1 u1

L
L
2

EA  d δ
1  d∆ 
=
F
dx +
dx 



L  dx
2  dx 
0
0


∫

2

( u4 − u1 )
( u5 − u2 )

θ=
u3 −
1

θ=
u6 −
2

(20)
(21)

L

( u5 − u2 )

(22)
L
Nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương và trong hệ
tọa độ tổng thể:

( M1 + M 2 ) M F
{z } =

− F
1


L

−

( M1 + M 2 )
L

T


M 2  (23)


{Z } = T T  { z }

(24)

Trong đó, [T] là ma trận chuyển của phần tử dầm-cột
khung phẳng.

 cosα
 − sin α

 0
[T ] =  0


 0

 0

sin α
cosα
0
0
0
0

0
0
0
0
1
0
0 cosα
0 − sin α
0
0

0
0 
0

0
0

1 

0
0
0
sin α
cosα
0

(25)

Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ địa phương và tọa
độ tổng thể được xác định như sau:

∂ {z }
 kT  =
( j ,i )
( i , j ) k=
  ∂ {u} hay k=

 ∂zi 
 =

 ∂u j 



 ∂z j

 ∂ui

[ KT ] = [T ] T  kT  [T ]


 (26)

(27)

Khai triển (26) bằng phần mềm MAPLE, ta xác định
được ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử:

=
    
 kT   kG  +  kθ 
Trong đó:
 A
 I






EI

 kG  =
  L 








 sym.

0

(28)

0

( s1 p + 2s2 p + s3 p ) ( s1 p + s2 p )
L2

L
s1 p

−

A
I

0

0
A
I

0
−




s2 p + s3 p 


L


s2 p



0


s2 p + s3 p 

−

L

s3 p

0

( s1 p + 2s2 p + s3 p ) (
L2

−

( s1 p + s2 p )
L
0

( s1 p + 2s2 p + s3 p )
L2

)

(

(29)
Trang 3

)


(T1 + T2 )

0

(T1 + T2 )
L
T1
0

−





T2 (T1 + T2 ) 


LT1T2 


T2



−T2 (T1 + T2 ) 


LT22


(T1 + T2 )2
L

−T1 (T1 + T2 )

(T + T )
− 1 2
L
(T1 + T2 )2
L

(30)

(

(

)

)

T1 =
− s1′ pθ1 + s2′ pθ 2 ; T2 =
− s2′ pθ1 + s3′ pθ 2 khi F ≤ 0 (31a)

(

)

(

T
∂ {∆λi ∆u + ∆ui } {∆λi ∆u + ∆ui }

 =0
∂∆λi

−T2

L

)

T1 =
s1′ pθ1 + s2′ pθ 2 ; T2 =
s2′ pθ1 + s3′ pθ 2 khi F > 0

(31b)

Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đề xuất ở trên có xét
đến ảnh hưởng bậc hai và tác động phi tuyến vật liệu thông
qua các hàm ổn định s1 p , s2 p , s3 p đã được hiệu chỉnh theo các
hệ số chảy dẻo và các góc xoay ở hai đầu phần tử.
2.4. Phân tích phi tuyến vật liệu
Để kể đến ảnh hưởng của ứng suất dư trong mặt cắt tiết
diện dưới tác dụng của lực dọc, tác giả sử dụng khái niệm môđun tiếp tuyến E t được đưa ra bởi Hội đồng nghiên cứu cột
của Hoa Kỳ (CRC – Column Research Council):

=
∆λi

{∆u}Ti {∆u }
(i ≥ 2)
{∆u }T {∆u }

2

2

2

Ví dụ số
Một chương trình phân tích kết cấu được phát triển bằng
MATLAB để áp dụng phân tích phi đàn hồi bậc hai cho khung
thép phẳng chịu tải trọng tĩnh. Các kết quả phân tích được so
sánh và đánh giá với kết quả của các nghiên cứu trước đó qua
các ví dụ số sau.
3.1. Cột hai đầu khớp
Cột thép hai đầu khớp chịu lực nén đúng tâm tại đầu cột
với các thông số như trong Hình 4 được Ngo-Huu và Kim [4]
phân tích bằng phương pháp khớp thớ trong các trường hợp có
và không có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư ban đầu trong
cấu kiện. Ở ví dụ này, tác giả phân tích cột bằng 1 phần tử đề
xuất.
P

L

E = 200 GPa

σy = 250 MPa
ry = 51.2 mm

Hình 4. Cột hai đầu khớp.

2

dẻo được tính theo độ lớn của lực dọc và mô-men ở hai đầu
mút cấu kiện.

(37)

3.

 E 
 P
 t  1
  ≤ 0.5
 Py 

 E 
 
(32)

 P 
 Et 
P  P
4   1 −    > 0.5
  =
 Py   Py   Py 
 E 
 
  
Bên cạnh đó, để kể đến tác động đồng thời của lực dọc
và mô-men uốn, đường cường độ Orbison [8] được sử dụng:
 P  M 
 P  M 
 + 3.67   
= 1 (33)
α= 1.15   + 

 Py   M y 
 Py   M y 
  

  

Theo Liew và cộng sự [7], hệ số chảy dẻo e được xác
định theo công thức
=
e h=
(α ) 4α (1 − α ) , với α là thông số

(36)

Đơn giản biểu thức (36), ta được:

W8×31


(T1 + T2 )
−
−T1
 0
L


(T1 + T2 )2 T T + T

1( 1
2)


L

LT12
 kθ  = EA 
 






 sym.


Kết quả đường cường độ cột theo

λc = ( L / ry )

(σ

y

/π 2E

( P / Py )

và

) được trình bày như trong Hình 5 và

Bảng 3.

2.5. Thuật toán giải phi tuyến
Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp
chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ
nhất được Chan và Zhou [5] đề xuất để giải hệ phương trình
phi tuyến.
Phương trình cân bằng gia tăng được trình bày như sau:

λ∆u } [ KT ]
{∆u + ∆=

−1

{∆P + ∆λ∆P}

(34)

Trong đó: ∆P là véc-tơ lực không cân bằng, ∆u là gia
số chuyển vị, ∆P là véc-tơ song song với véc-tơ tải, ∆u là
véc-tơ chuyển vị kết hợp và ∆λ là hệ số điều chỉnh tải.
Ở bước lặp đầu tiên, lấy ∆λ1 theo công thức của phương
pháp chiều dài cung:

arc length
∆λ1 =
{∆u }T {∆u }

(35)

Ở bước thứ 2 trở đi, ∆λi (i ≥ 2) được xác định từ điều
kiện chuyển vị dư nhỏ nhất:

Hình 5. Đường cường độ cột hai đầu khớp chịu lực dọc trục
tại đầu mút.
3.2. Khung 2 tầng 1 nhịp
Khung 2 tầng 1 nhịp với các thông số như Hình 6 được
Chan và Chui [9] phân tích đàn hồi và phi đàn hồi và được mô
phỏng bằng một phần tử đề xuất cho một cấu kiện trong
nghiên cứu này.
Kết quả đường tải trọng – chuyển vị đỉnh ∆ trong phân
tích phi tuyến đàn hồi và phi đàn hồi của khung được thể hiện
ở Hình 7 và Hình 8. Đường tải trọng – chuyển vị của chương
trình đề xuất gần như trùng khớp với kết quả của Chan &
Trang 4


Chui. Giá trị tải giới hạn trong phân tích của khung được trình
bày ở Bảng 4 với sai số lớn nhất chỉ khoảng 2%.
Bảng 3. Kết quả tỷ số tải tới hạn (P/P y ) của cột hai đầu khớp.
(P/P y )
CRC

Tác giả

Sai số (%)

λc
Euler

Có
xét
ƯSD

Không
xét
ƯSD

Có
xét
ƯSD

Không
xét
ƯSD

Có
xét
ƯSD

Không
xét
ƯSD

Có
xét
ƯSD

1141.97

0.25

16

0.9844

0.9870

0.9870

0.9960

0.9858

--

0.14

2283.95

0.50

4

0.9375

0.9870

0.9360

0.9960

0.9396

--

0.22

3425.92

0.75

1.7778

0.8594

0.9870

0.8610

0.9960

0.8604

--

0.12

4567.84

1.00

1.0000

0.7500

0.9880

0.7600

0.9825

0.7493

1.75

0.09

6851.90

1.50

0.4444

0.4444

0.4450

0.4450

0.4371

0.4371

1.64

1.64

9135.78

2.00

0.2500

0.2500

0.2500

0.2500

0.2474

0.2474

1.04

1.04

11419.73

2.50

0.1600

0.1600

0.1600

0.1600

0.1587

0.1587

0.81

0.81

13703.67

3.00

0.1111

0.1111

0.1120

0.1120

0.1100

0.1100

0.99

0.99

15987.62

3.50

0.0816

0.0816

0.0820

0.0820

0.0817

0.0817

0.12

0.12

18271.56

4.00

0.0625

0.0625

0.0630

0.0630

0.0626

0.0626

0.16

0.16

20555.51

4.50

0.0494

0.0494

0.0500

0.0500

0.0498

0.0498

0.81

0.81

22839.45

5.00

0.0400

0.0400

0.0400

0.0400

0.0405

0.0405

1.25

1.25

Hình 8. Quan hệ tải trọng - chuyển vị đỉnh ∆ với phân tích phi

đàn hồi.
Bảng 4. Kết quả tải giới hạn của khung 2 tầng 1 nhịp.
Kết quả tải giới hạn

Phân tích
đàn hồi

Phân tích
phi đàn hồi

Chan & Chui
Tác giả
Sai số

2560
2558
0.08 %

480
470
2.08 %

∆
P

P

Hình 6. Khung 2 tầng 1 nhịp liên kết ngàm.

H

W16×40
P

2P
W16×40
P = 60 kN
H = 31 kN
9.15 m

W16×40
2P

2P

P

W16×40
2P

2P
W16×40
E = 200 GPa

σy = 250 MPa

P

3.66 m
3.66 m

P

W12×79

2P

3.66 m

2P

2P

W12×79

P

H

W16×40

W12×79

W12×79

W16×40

P

3.66 m

20'

2P

2P

W12×79

P

2P

W12×79

W12×79

12'
12'

σy = 36 ksi

W12×96

W12×96

E = 29000 ksi

W16×40

H

W14×48

0.02P

W12×79

P

W12×79

P

W12×96

W12×96

H

2P

W12×79

0.01P

W12×79

P

W14×48

W12×79

L (mm)

Ngo-Huu & Kim

9.15 m

Hình 9. Khung 4 tầng 2 nhịp.
Hình 10 cho thấy quan hệ hệ số tải trọng – chuyển vị
ngang ở đỉnh khung của tác giả rất sát với kết quả trước đó
của Kukreti và Zhou. Sai số giữa hệ số tải giới hạn λ u của
hai phương pháp là 0.38% (λ u (Kukreti & Zhou) = 1.831, λ u (Tác
giả) = 1.838).

Hình 7. Quan hệ tải trọng - chuyển vị đỉnh ∆ với phân tích đàn
hồi.
3.3. Khung 4 tầng 2 nhịp
Khung thép 4 tầng 2 nhịp với các thông số hình học như
Hình 9 được Kukreti và Zhou [11] phân tích bằng phương
pháp khớp dẻo hiệu chỉnh . Mô-đun đàn hồi E = 200 GPa, ứng
suất chảy dẻo σ y = 250 MPa, P = 60 kN và H = 31 kN. Ở ví
dụ này, khung được mô phỏng bằng một phần tử đề xuất.

Hình 10. Quan hệ hệ số tải trọng - chuyển vị ngang đỉnh bên
phải khung 4 tầng 2 nhịp.
Trang 5

3.4. Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp
Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp trình bày ở Hình 11 với tiết
diện các cấu kiện được trình bày như trong Bảng 5 được
Vogel [12] phân tích phi tuyến bằng cả hai phương pháp khớp
dẻo và phương pháp vùng dẻo. Bài toán này được chọn làm cơ
sở để kiểm chứng các phương pháp phân tích đơn giản khác.
Trong ví dụ này, do dầm chịu tải phân bố nên khớp dẻo có thể
hình thành ở các vị trí giữa dầm, tác giả khảo sát với 2 trường
hợp: chia dầm thành 2 phần tử, cột thành 1 phần tử đề xuất
(2B1C) và trường hợp chia dầm thành 4 phần tử, cột thành 1
phần tử đề xuất (4B1C).
q 1= 31.7 kN/m

ψ

IPE400

0

E = 205 GPa
fy = 235 MPa
ψ0 = 1/300

q2

q2

= 22.5m

HEB200
HEB240

q2

HEB240

IPE360

Kết luận
Hàm chuyển vị xấp xỉ dạng đa thức bậc năm đã được áp
dụng để thành lập ma trận độ cứng của phần tử dầm-cột có kể
đến tác động phi tuyến hình học và vật liệu theo lý thuyết
dầm-cột. Ưu điểm của hàm này là tính đơn giản cho việc khai
triển các công thức nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết
của lời giải để có thể áp dụng trong phân tích thiết kế thực
hành. Kết quả của các ví dụ số chứng tỏ phương pháp đề xuất
và chương trình được phát triển có thể dự đoán khá chính xác
ứng xử phi tuyến phi đàn hồi của cấu kiện và hệ kết cấu khung
phẳng chịu tải trọng tĩnh.
4.

HEB260

HEB160
HEB160
HEB220

H2

IPE330

Hình 12. Quan hệ hệ số tải trọng - chuyển vị ngang đỉnh bên
phải khung Vogel 6 tầng 2 nhịp.

q 2= 49.1 kN/m

q2

HEB260

H2

HEB220

H2

IPE300

HEB220

H2

IPE300

HEB220

H 2= 20.44 kN

IPE240

HEB200

H 1= 10.23 kN

ψ

ψ

0

0

6.0m

6.0m

Hình 11. Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp.
Bảng 5. Kích thước các cấu kiện khung Vogel 6 tầng 2 nhịp.
Tiết
diện

bf
(mm)

tf
(mm)

d
(mm)

tw
(mm)

HEB260
HEB240
HEB220
HEB200
HEB160
IPE400
IPE360
IPE330
IPE300
IPE240

260
240
220
200
160
180
170
160
150
120

17.5
17.0
16.0
15.0

13.0
13.5
12.7
11.5
10.7
9.8

260
240
220
200
160
400
360
330
300
240

10.0
10.0
9.5
9.0
8.0
8.6
8.0
7.5
7.1
6.2

Kết quả chuyển vị ngang tại đỉnh bên phải so sánh với

kết quả của Vogel sử dụng phương pháp vùng dẻo thể hiện ở
Hình 12. Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn
λ u của hai phương pháp là sát nhau với sai số 0.5% (λ u (Vogel) =
1.111, λ u (Tác giả) = 1.107). Với việc chia nhỏ dầm thành 4 phần
tử đề xuất, bài toán hội tụ về kết quả của phương pháp vùng
dẻo do Vogel phân tích.

Tài liệu tham khảo
1. Lui, E.M., Chen, W.F. (1986), Analysis and behaviour of
flexibly-jointed frames, Engineering Structures, 8(2),
107-18.
2. Liew, J.Y.R., Chen, W.F., Chen, H. (2000), Advanced
inelastic analysis of frame structures, Journal of
Constructional Steel Research, 55(1-3), 245-265.
3. Kim, S.E., Choi, S.H. (2001), Practical advanced
analysis for semi-rigid space frames, International
Journal of Solids and Structures, 38, 9111-31.
4. Ngo-Huu, C., Kim, S.E. (2012), Second-order plastichinge analysis of space semi-rigid steel frames, ThinWalled Structures, 60(11), 98-104.
5. Chan, S.L., Zhou, Z.H. (1994), Pointwise equilibrating
polynomial element for nonlinear analysis of frames,
Journal of Structural Engineering, 120(6), 1703-17.
6. Oran, C. (1973), Tangent stiffness in plane frames, J.
Struct. Div., 99(6), 973-985.
7. Liew, J.Y.R., White D.W., Chen W.F. (1993), Secondorder refined plastic-hinge analysis for frame design.
Part I, Journal of Structural Engineering, 119(11), 31963216.
8. Orbison, J.G., McGuire, W., Abel, J.F. (1982), Yield
surface applications in nonlinear steel frame analysis,
Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 33, 557-73.
9. Chan, S.L., Chui, P.P.T. (2000), Non-linear static and

cyclic analysis of steel frames with semi-rigid
connections, Elsevier.
10. Balling, R. (2012), Computer Structural Analysis,
Lecture notes, Brigham Young University, Utah.
11. Kukreti, A.R., Zhou, F.F. (2006), Eight-bolt endplate
connection and its influence on frame behavior,
Engineering Structures, 28, 1483-93.
12. Vogel, U. (1985), Calibrating frames, Stahlbau, 10, 295301.
Trang 6