PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Oxyz,
Câu 1.

Trong không gian với hệ toạ độ

là:
A.

C.

x − 3 y + 5 z +1
=
=
2
−3
−4
x−2 y +3 z +4
=
=
−3
5
1

phương trình chính tắc của đường thẳng

.

B.

.

D.

.

x+2 y −3 z −4
=
=
−3
5
1
x + 3 y − 5 z −1
=
=
2
−3
−4

ìï x =- 3 + 2t
ï
d : ïí y = 5 - 3t
ïï
ïî z = 1- 4t

.

Hướng dẫn giải
Đường thẳng
đi qua điểm
nhận r

làm một véc tơ chỉ phương
d
A ( −3;5;1) ,
u ( 2; −3; −4 )
nên có phương trình chính tắc:

x + 3 y − 5 z −1
=
=
2
−3
−4

Chọn đáp án : D
Câu 2.

Trong không gian với hệ toạ độ

A. r
.
u ( 1;1; 2 )

Oxyz,

đường thẳng

B. r
.
u ( 1; −2; 2 )

x = t
( d ) :  y = 1 − 2t
z = 2


có 1 vectơ chỉ phương là:

C. r
.
u ( 1; −2;0 )

D. r
.
u ( 0;1; 2 )

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án : C
Câu 3.

Trong không gian với hệ toạ độ

phẳng

( P) ,( Q)

. Phương trình của

Oxyz ,

đường thẳng

( P) ,( Q)

x = 0

( d ) :  y = 1 + 2t
z = 1


là giao tuyến của hai mặt

là:

1


A.

B.

( P ) : x = 0, ( Q ) : z = 1

C.

D.

( P ) : x = 0, ( Q ) : y = 3

( P ) : x = 0, ( Q ) : y − z − 2 = 0
( P ) : x = 0, ( Q ) : y − z = 0

Hướng dẫn giải
Dễ thấy đường thẳng
Tọa độ của hai điểm

d

đi qua hai điểm

A, B

A ( 0;1;1) , B ( 0;3;1)

thỏa mãn phương trình

tuyến của hai mặt phẳng có phương trình

x=0

x=0

và

z =1

.

và phương trình

z =1

nên

d

là giao

.

Chọn đáp án : A
Câu 4.

Trong không gian với hệ toạ độ

đường thẳng

 x = −1 + t

d :  y = 2 − 4t .
 z = 3 + 2t


Oxyz ,

Biết

cho hai mặt phẳng

( P ) //Ox, ( Q ) //Oy.

( P)

và

( Q)

cắt nhau theo giao tuyến là

Hãy chọn cặp mặt phẳng

( P)

,

( Q)

thoả mãn

điều kiện đó ?
A.
.
( P ) : y + 2 z − 8 = 0, ( Q ) : 2 x − z + 5 = 0
B.
C.
D.

( P ) : 2 x + z + 5 = 0, ( Q ) : y + 2 z − 8 = 0
( P ) : 2 x − y − 5 = 0, ( Q ) : y + 2 z − 8 = 0
( P ) : 2 x − z − 5 = 0, ( Q ) : y − 2 z + 8 = 0

Do

( Q)

( P)

.
.
.

Hướng dẫn giải
song song với
nên nhận véc tơ dạng uu
làm véc tơ pháp tuyến.
r
Ox
n p ( 0; a; b )

song song với

Oy

nên nhận véc tơ dạng uur
làm véc tơ pháp tuyến.
nQ ( a ';0; c ')

Trong 4 đáp án chỉ đáp án A thỏa mãn điều này.
2

Chọn đáp án : A.
Câu 5.

Trong không gian với hệ trục toạ độ

( Q ) : 3x + 2 y − 5 z − 4 = 0.
A.

 x = 2 + 2t

 y = −1 + 7t
 z = 4t


.

Cách 1: Xét hệ

Giao tuyến của

B.

 x = 2 − 2t

 y = −1 + 7t
 z = −4t


( P)

và

.

 x − 2 y + 3z − 4 = 0
(∗)

3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0

cho hai mặt phẳng

Oxyz,

( Q)

C.

( P ) : x − 2 y + 3z − 4 = 0

và

có phương trình tham số là:

 x = 2 + 2t

 y = 1 + 7t
 z = 4t


.

D.

 x = 2 + 2t

 y = 1 − 7t
 z = 4t


.

Hướng dẫn giải
Cho
thay vào
tìm được
x=0
(∗)
y = −8, z = −4
Đặt
Cho

z=0

thay vào

A(0; −8; −4)

(∗)

Đặt

tìm được

x = 2, y = −1

B (2; −1;0)

là một VTCP của
uuur
( P ) ∩( Q )
⇒ AB = ( 2;7; 4 )
Như vậy, PTTS của

Chọn đáp án : A
Cách 2: Xét hệ

( P ) ∩( Q )

là

 x = 2 + 2t

 y = −1 + 7t
 z = 4t


 x − 2 y + 3z − 4 = 0
(∗)

3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0

Cho

z=0

thay vào

( P ) : x − 2 y + 3z − 4 = 0

có VTPT r
nP = (1; −2;3)

( Q ) : 3x + 2 y − 5 z − 4 = 0

có VTPT r
nQ = (3; 2; −5)

(∗)

Đặt

tìm được

x = 2, y = −1

B (2; −1;0)

3

r r
⇒ nP , nQ  = ( 4;14;8 ) ⇒
Như vậy, PTTS của

( P ) ∩( Q )

là

chọn r
là một VTCP của giao tuyến
u = (2;7; 4)
( P ) ∩( Q )

 x = 2 + 2t

 y = −1 + 7t
 z = 4t


Chọn đáp án : A
Cách 3: (kỹ năng máy tính cầm tay)
Xem như phím A,B,C (trên máy) là

x, y , z

(trong phương trình), nhập cùng lúc 2 biểu thức

A − 2B + 3C − 4 : 3A + 2B − 5C − 4

Rút toạ độ điểm

( x0 ; y0 ; z0 )

từ trong các PTTS của các câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy.

KQ ứng với câu nào cho 2 đáp số cùng bằng 0 thì nhận (ở bài này tạm thời nhận A và B)
Tiếp tục cho
(ngoài nháp) vào mỗi PTTS được nhận để có bộ số
lại thay vào 2
t =1
( x; y; z )
biểu thức đã nhập trên màn hình
Lại tìm bộ số cho 2 đáp số cùng bằng 0 (ở bài này câu A đảm bảo điều đó nên đáp án là A)
Câu 6.

Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz ,

cho đường thẳng

đi qua điểm

d

M ( 1; −2;0 )

và có véctơ

chỉ phương r

Đường thẳng có phương trình tham số là:
d
u ( 0;0;1) .
A.

x = 1

 y = −2
z = t


.

B.

x = 1− t

 y = −2 + 2t
z = t


.

C.

x = t

 y = −2t
z = 1


.

D.

 x = 1 − 2t

 y = −2 − t
z = 0


.

Hướng dẫn giải

4


Học thuộc lòng công thức

và thay số vào nhé
 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


 x = 1 + 0t
x = 1



 y = −2 + 0t ⇔  y = −2
 z = 0 + 1t
z = t



Chọn đáp án : A
Câu 7.

Trong không gian với hệ toạ độ

B ( 1; 2; 4 )
A.

C.

Oxyz,

đoạn thẳng

AB

với hai đầu mút lần lượt là

A ( 2;3; −1)

và

có phương trình tham số là:

x = 1+ t

 y = 2 + t ( 1 ≤ t ≤ 2)
 z = 4 − 5t

x = 1+ t

 y = 2 + t ( 0 ≤ t ≤ 1)
 z = 4 + 5t


.

B.

.

D.

x = 2 + t

 y = 3 + t ( −1 ≤ t ≤ 0 )
 z = −1 − 5t

x = 2 − t

 y = 3 − t ( 2 ≤ t ≤ 4)
 z = −1 + 5t



.

.

Hướng dẫn giải
Phương pháp: Để tìm toạ độ các điểm đầu mút của một đoạn thẳng có phương trình tham số có
điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) của tham số vào phương trình tìm
a) Với phương án A, thay
nhưng

t=2

t=0

vào PTTS ta được toạ độ điểm là

thì ta lại được điểm

b) Với phương án B, thay
và

t =1

t = −1

( 3; 4; −6 )

ta được toạ độ điểm

ta được toạ độ điểm

A ( 2;3; −1)

x , y , z.

( 2;3; −1)

khác toạ độ điểm A và điểm B

B ( 1; 2; 4 )

.

Chọn đáp án : B
Lưu ý 1:

5


- Để viết phương trình tham số của đoạn thẳng

AB,

tìm giá trị

t A , tB

AB

ta viết phương trình tham số của đường thẳng

để từ PTTS đó ta tìm lại được toạ độ của điểm

- Kết quả PTTS có kèm điều kiện của

là đoạn tạo bởi

t

A, B

t A , tB

- Tuy nhiên phương pháp này chậm và rất khó để chọn phương án như cách cho đề bài này.
Lưu ý 2:
- Nếu HS nào dùng phương pháp thay toạ độ của mỗi điểm A và B vào PTTS của từng phương án
(A,B,C,D) để tìm giá trị

t

thì chỉ khi tìm được

t A , tB

là 2 đầu mút của đoạn điều kiện được cho

kèm theo PTTS, đó mới là phương án đúng.
Câu 8.

Trong không gian với hệ toạ độ

điểm
A.

C.

M ( 2; 0; −1)

(

r r r hãy viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua
O, i , j , k ,

)

đồng thời nhận véctơ r
r r
r làm véctơ chỉ phương ?
a = 2i - 4 j + 6k

x+2 y−4 z +6
=
=
1
−4
3
x + 2 y z −1
=

=
1
−2
3

.

B.

.

D.

x - 2 y z +1
= =
- 2
4
6
x − 2 y z +1
=
=
1
−2
3

.

.

Hướng dẫn giải

Lưu ý:

r
r
r
r
r
u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k

Do r
Chọn r
là một VTCP của
r r
r nên r
∆
u
=
1;
2;3
(
)
a = 2i - 4 j + 6k
a = ( 2; - 4;6 ) .
Ngoài ra,

M ( 2;0; −1) ∈∆

nên

∆

có phương trình :

x − 2 y − 0 z +1
=
=
1
−2
3

Chọn đáp án : D

6


Câu 9.

Trong không gian với hệ toạ độ

song song với trục
A.

 x = 1 − 2t

y = t
 z = 2t


Ox

Oxyz ,

phương trình của đường thẳng đi qua điểm

M ( −2;1; 2 )

và

là:

.

B.

 x = −2

 y = 1+ t
z = 2


.

C.

 x = −2 + t

y =1
z = 2


.

D.

 x = −2t

 y = 1+ t
 z = 2t


.

Hướng dẫn giải
Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị r
làm một VTCP
i = (1;0;0)
Đường thẳng
Ngoài ra

d

song song với trục hoành cũng phải nhận r
làm VTCP luôn.
i = (1;0;0)

M ( −2;1; 2 ) ∈ d

nên viết PTTS của

d

ta chọn được phương án C

Chọn đáp án : C
Câu 10.

Trong không gian với hệ toạ độ

M ( 1; 2; −1)
A.

C.

Oxyz ,

hãy viết phương trình của đường thẳng

và song song với hai mặt phẳng

 x = 1 − 12t

 y = 2 + 7t
 z = −1 + 3t


.

.

đi qua điểm

( P ) : x + y − z + 3 = 0, ( Q ) : 2 x − y + 5 z − 4 = 0
B.

x +1 y + 2 z −1
=
=
4
−7
−3

∆

D.

 x = 1 + 4t

 y = 2 − 7t
 z = −1 − 3t


?

.

x −1 y − 2 z +1
=
=
4
7

−3

.

Hướng dẫn giải

( P) : x + y − z + 3 = 0

có một VTPT r
nP = ( 1;1; −1)

có một VTPT r
nQ = ( 2; −1;5 )
( Q ) : 2 x − y + 5z − 4 = 0

7


Suy ra

r r
nP , nQ  = ( 4; −7; −3)

Ngoài ra,

là một VTCP của đường thẳng

nên PTTS của

M ( 1; 2; −1) ∈∆

∆

 x = 1 + 4t

∆ :  y = 2 − 7t
 z = −1 − 3t


Chọn đáp án : B
Câu 11.

Trong không gian với hệ toạ độ

góc với mặt phẳng
A.

C.

Oxyz ,

gọi

( α ) : 2 x − 3 y + 5z + 4 = 0

x+ 2 y z −3
=
=
1
−3

5
x−2 y z +3
=
=
2
−3
5

∆

là đường thẳng đi qua điểm

. Phương trình chính tắc của

.

B.

.

D.

x+2 y z−3
=
=
2
−3
5
x−2 y z+3
= =

2
3
5

∆

M ( 2;0; −3)

và vuông

là:

.

.

Hướng dẫn giải
có VTPT r
nα = ( 2; −3;5 )
( α ) : 2 x − 3 y + 5z + 4 = 0
Do

∆ ⊥ (α )

Ngoài ra,

nên

∆

nhận r làm một VTCP.
nα

M ( 2;0; −3) ∈ ∆

nên PTCT của

∆:

x−2 y z+3
=
=
2
−3
5

Chọn đáp án : C
Câu 12.

Trong không gian với hệ toạ độ

góc với hai đường thẳng

Oxyz,

gọi

 x = t1

d1 :  y = 1 − t1

 z = −1 + 3t
1


,

∆

là đường thẳng đi qua điểm

M ( 1; 2; −3)

và vuông

,
có phương trình là:
 x = 3 − t2 ∆

d 2 :  y = t2
z = t
2

8


A.

C.

x = 1+ t


y = 2 + t
 z = −3


.

B.

x +1 y + 2 z − 3
=
=
1
1
2

.

D.

x = 3

y =1
 z = −t


.

x −1 y − 2 z + 3
=

=
1
−1
2

.

Hướng dẫn giải

d1

có VTCP r
u1 = ( 1; −1;3)

d2

có VTCP r
u2 = ( −1;1;1)

Do

∆ ⊥ d1 , ∆ ⊥ d 2

nên

∆

có VTCP là r r
r
[ u1 , u2 ] = ( −4; −4;0 ) hay u∆ = ( 1;1;0 )

Đến đây quan sát 4 phương án ta đã chọn ra được A là phương án đúng
Tuy nhiên nếu muốn viết luôn phương trình của
ta sử dụng thêm
∆
M ( 1; 2; −3) ∈ ∆
Chọn đáp án : A
Câu 13.

Trong không gian với hệ toạ độ

với mặt phẳng

( P ) : x − y − z −1 = 0

(Δ) là:
A.
x +1 y +1 z − 2
=
=
2
5
−3
C.

Oxyz

x +1 y +1 z − 2
=
=

−2
5
3

, cho đường thẳng (Δ) đi qua điểm

và cắt đường thẳng

B.

D.

M ( 1;1; −2 )

x +1 y −1 z −1
=
=
( d) :
−2
1
3

, song song

, phương trình của

x −1 y −1 z + 2
=
=
2

5
−3
x+5 y+3 z
=
=
−2
1
−1

Hướng dẫn giải

9


Gọi

M1

là giao điểm của

VTCP của
Vì

∆

//

∆

(α )

∆

và

d ⇒ M 1 ( −1 − 2t ;1 + t ;1 + 3t )

. Suy ra uuuuur
là
MM 1 = ( −2 − 2t; t ;3 + 3t )

.
nên

uuuuur uur
−5 uuuuur  −1 −5 1 
MM 1.nα = 0 ⇔ −2 − 2t − t − 3 − 3t = 0 ⇔ t =
⇒ MM 1 =  ; ; ÷
6
 3 6 2

Suy ra uur
. Phương trình đường thẳng
là
.
∆
x
−
1
y

−
1
z
+
2
u∆ = ( 2;5; −3)
=
=
2
5
−3
Đáp án B.
Câu 14.

Trong không gian với hệ toạ độ

đường thẳng

A.

ìï x = 0
ïï
í y =1
ïï
ïïî z = 2 - t

x = t

( d1 ) :  y = 1 − t
 z = −1


B.

Oxyz

, cho đường thẳng (Δ) đi qua điểm

và cắt đường thẳng

x y −1 z
=
( d2 ) : =
2
1
1

C.

ìï x =- 4
ïï
í y =3
ïï
ïïî z = 1 + t

M ( 0;1;1)

, vuông góc với

. Phương trình của (Δ) là:

ìï x = 0
ïï
í y =1+ t
ïï
ïïî z = 1

D.

x = 0

y =1
z = 1− t


Hướng dẫn:
Gọi
là giao điểm của và
. Suy ra uuuuur
là VTCP của .
∆
∆
M1
d 2 ⇒ M 1 ( 2t ;1 + t ; t )
MM 1 = ( 2t ; t ; −1 + t )
Vì

∆ ⊥ d2

nên uuuuur uur
uuuuur

MM 1.ud1 = 0 ⇔ 2t − t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ MM 1 = ( 0;0; −1)

Phương trình đường thẳng

∆

là

x = 0

y =1
z = 1− t


.

Đáp án D.

10


Câu 15.

Trong không gian với hệ toạ độ

hai đường thẳng

x y −1 z
=
( d3 ) : =

1
−1 2
A.

C.

và

( d2 )

Oxyz

( d3 )

, cho (Δ) là đường thẳng song song với

, với

x y −1 z − 5
=
( d1 ) : =
1
1
3

. Phương trình đường thẳng

( ∆)
B.

x y −1 z
=
=
1
1
3

D.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
3
1
3

,

( d1 )

và cắt đồng thời

x −1 y − 2 z − 3
=
=
( d2 ) :
2
3
4

,

là:

x y +1 z
=
=
1
1
3
x y z −1
= =
1 1
3

Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng

Giao điểm

M

của

d2

và

Phương trình mặt phẳng

M ( 0;1; 0 )

:

M ( 0;1; 0 )

d3

: Thay ( I ) vào

(α)

song song

−5 x + 2 y + z + 2 = 0

Phương trình mặt phẳng

:

x = t

d3 ⇔  y = 1 + t ( I )
 z = 2t


(β)

ta được

chứa

x = 0

t = 0 ⇒  y = 1 ⇒ M ( 0;1;0 )
z = 0


.

d2

có VTPT uur
qua
ur uu
r
nα = u1 , u2  = ( −5; 2;1)

d3

có VTPT uur ur uu
qua
r
nβ = u1 , u3  = ( 5;1; −2 )

.

song song

5x + y − 2 z + 1 = 0

d1

d3

d1

chứa

.

11


Ta có

 −5 x + 2 y + z + 2 = 0
∆ = (α ) ∩( β ) ⇒ ∆ : 
5 x + y − 2 z + 1 = 0

hay

x y −1 z
∆: =
=
1
1
3

.

Đáp án A.
Câu 16.

Trong không gian với hệ toạ độ

 x = 2t
( ∆ 2 ) :  y = 1 − 2t
 z = −1 − 8t

A.

C.

B.

D.

( ∆1 ) ≡ ( ∆2 )

x −1 y −1 z − 2
=
=
( ∆1 ) :
1
−1
−4

và

( ∆1 ) ⊥ ( ∆2 )
( Δ1 )

và

( Δ2 )

chéo nhau

Hướng dẫn giải
. Đáp án A

nên
ur uu
r
r
 u1 , u2  = 0
( ∆1 ) / / ( ∆2 )


r uuuuuur
 ur uu
 u1 , u2  .M 1M 2 ≠ 0

Trong không gian với hệ toạ độ

thẳng

, cho hai đường thẳng

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

( ∆1 ) / / ( ∆2 )

Ta có

Câu 17.

Oxyz

:

( Δ) x = t

Oxyz

, cho hai mặt phẳng

( a ) : 3x + 2 y + z - 12 = 0

và đường

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?


 y = 6 − 3t
 z = 3t


A.

( ∆) ⊂ ( α )

B.

( ∆) ⊂ ( α )

C.

( ∆) / / ( α )

D.

( ∆)

cắt

(α )

Hướng dẫn giải
có VTCP r
qua
. Mặt phẳng
có VTPT r
.
∆
M ( 0;6;0 )
(α )
u = ( 1; −3;3)
n = ( 3; 2;1)

12


Ta có r r
mà
. Đáp án A.
r r
M ∈( α ) ⇒ ∆ ⊂ ( α )
u.n = 1.3 − 3.2 + 3.1 = 0 ⇒ u ⊥ n ⇒ ∆ / / ( α )
Câu 18.

Trong không gian với hệ toạ độ

Với giá trị nào của m thì
A.

d1
B.

m =0

và

Oxyz

, cho hai đường thẳng

 x = 1 + mt


d1 :  y = t
 z = −1 + 2t


và

x = 1− t

d 2 :  y = 2 + 2t
z = 3 − t


.

cắt nhau ?

d2

C.

m =1

m =- 1

D.

m=2

Hướng dẫn giải
có VTCP ur

qua
, có VTCP uu
qua
.
r
d1
M 1 ( 1;0; −1) d 2
M 2 ( 1; 2;3)
u1 = ( m;1; 2 )
u2 = ( −1; 2; −1)

d1

cắt

d2

khi

.
ur uu
r uuuuuur
 u1 , u2  .M 1M 2 = 0
m + 2) = 0


2.(−5) + 2(m − 2) + 4(2
r
⇔
⇔m=0

r
r
 ur uu
−
5;
m
−
2;
2
m
+
2
≠
0
(
)



u
,
u
≠
0
  1 2 


Đáp án A.
Câu 19.

Trong không gian với hệ toạ độ

thẳng

( d)

và mặt phẳng

( a)

Oxyz

, gọi

( D)

là đường thẳng đi qua giao điểm M của đường

, vuông góc với

( d)

đồng thời nằm trong

( a)

, trong đó

;
. Phương trình của

là:
ìï x = 2 - 11t
( a ) : 2 x + 5 y + z +17 = 0
( D)
ïï
( d ) : í y =- 5 + 27t
ïï
ïïî z = 4 +15t
A.

C.

x - 2 y +5 z - 4
=
=
- 48
41
- 109
x - 48 y + 41 z +109
=
=
2
- 5
4

B.

D.

x +2 y - 5 z +4

=
=
- 48
41
- 109
x + 48 y - 41 z +109
=
=
2
- 5
4
13


Tìm giao điểm M: Thay

ïìï x = 2 - 11t
ï
í y =- 5 + 27t
ïï
ïïî z = 4 +15t

Hướng dẫn giải
vào
ta được
(α)

x = 2

2(2 − 11t ) + 5(−5 + 27t ) + (4 + 15t ) + 17 = 0 ⇔ t = 0 ⇒  y = −5 ⇒ M (2; −5; 4)

z = 4

Ta có

.

.
uur uu
r

u
u
r
u
u
r
u
u
r
∆ ⊥ d ⇒ u ∆ ⊥ ud 
uur uur ⇒ u∆ = ud , nd  = ( −48; 41; −109 )
∆ ⊂ ( α ) ⇒ u∆ ⊥ nα 

Phương trình đường thẳng

D

là

x - 2 y +5 z - 4

=
=
- 48
41
- 109

.

Đáp án A.
Câu 20.

Trong không gian với hệ toạ độ

 x = −3 − 2t

( d1 ) :  y = t
 z = 10 + 3t

A.
C.

,

Oxyz

, cho hai đường thẳng

x +1 y z + 2
=
=

( d2 ) :
1
−1
3

6 x + 9 y + z +8 = 0
6x +9 y + 2z + 6 = 0

. Mặt phẳng

B.
D.

(α)

,

( d1 ) ( d 2 )

chứa

( d1 )

và

cắt nhau có phương trình

( d1 )

có phương trình là:

2 x + 3 y + z +8 = 0
6x - 9 y + z - 8 = 0

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng
cóVTPT r
qua
. Phương trình mặt phẳng
ur uu
r
M ( −3;0;10 ) , M ∈ d1
(α)
n = u1 , u2  = ( 6,9,1)

(α)

:

6( x + 3) + 9( y − 0) + ( z − 10) = 0 ⇔ 6 x + 9 y + z + 8 = 0

.

Đáp án A.
14


Câu 21.

Trong không gian với hệ toạ độ

x − 2 y −1 z − 5
=
=
( d1 ) :
3
−1
−1

là:
A.

,

B.

y - z +4 = 0

Oxyz

, cho hai đường thẳng

 x = −3 − 2t
( d 2 ) :  y = t
z = 4 + t


x + y - z +4 = 0

. Mặt phẳng

C.

,

( d1 ) ( d 2 )

(α)

chứa

song song có phương trình

( d1 )

D.

x - z +4 = 0

và

( d2 )

có phương trình

x- y +4 = 0

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng
cóVTPT r

qua
. Phương trình mặt phẳng
ur uu
r
M ( 2;1;5 ) , M ∈ d1
(α)
n = u1 , u2  = ( 0, −1,1)

(α)

:

( đề này

Câu 22.

−( y − 1) + ( z − 5) = 0 ⇔ y − z + 4 = 0
,

( d1 ) ( d2 )

không song song )

Trong không gian với hệ toạ độ

trình:

( d2 )
A.
C.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
( d1 ) :
1
2
3

,

Oxyz

, cho hai đường thẳng

x = 1+ t
( d 2 ) :  y = −t
z = 1− t


. Mặt phẳng

( d1 )
(α)

và

( d2 )

chéo nhau có phương

song song và cách đều

( d1 )

và

có phương trình là:

x + 4 y - 3 z +1 = 0
x + 4 y - 3z + 2 = 0

( d1 )

. Chọn đáp án A.

có VTCP là r

u1 = ( 1;2;3)

B.
D.

x + 4 y - 3 z +10 = 0
2 x - y - 3 z +1 = 0

Hướng dẫn giải
, qua điểm
.

M 1 ( 1;2;3)

15


có VTCP là r

( d2 )

u1 = ( 1; −1; −1)

Mặt phẳng

(α )

, qua

M 2 ( 1;0;1)

.

có VTPT là r

nên có dạng
.
r r
x + 3y − 4z + D = 0
n = [ u1 , u2 ] = ( 1;4; −3)

Ta có

D

d ( M1, ( α ) ) = d ( M 2 , ( α ) ) ⇔

26

=

−2 + D
26

⇔ D =1

Đáp án A.
Câu 23.

Trong không gian với hệ toạ độ

trình

( d2 )
A.

x = 1
( d1 ) :  y = 10 + 2t
z = t


. Phương trình của

Gọi

, cho hai đường thẳng

 x = 3t
( d 2 ) :  y = 3 − 2t
 z = −2


. Gọi

( D)

( d1 )

và

( d2 )

chéo nhau có phương

là đường thẳng vuông góc chung của

( d1 )

và

là:

( D)
B.

ìï
ïï
ïï x = 2t
ïï
ïí y = 177 + 3t
ïï
98
ïï
ïï z =- 6t - 17
ïïî
49

( d1 )

,

Oxyz

ìï
7
ïï x = - 46t
ïï
3
ï y =- 147t
í
ïï
ïï z = 246t

ïï
ïî

có VTCP là r

u1 = ( 0;2;1)

M ( 1;10 + 2t1; t1 ) ∈ ( d1 )

,

,

( d2 )

C.

D.

 x = 1 + 2t

 y = 2 + 3t
 z = 2 − 3t


Hướng dẫn giải
có VTCP là r

u1 = ( 3; −2;0 )

N ( 3t2 ;3 − 2t2 ; −2 ) ∈ ( d 2 )

 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t
 z = 6 − 4t


.

.

Suy ra uuuu
r

MN = ( 3t2 − 1; −2t2 − 7; −t1 − 2 )

16


Ta có:

164

uuuu
rr
t
=
−
1

 MN .u1 = 0

5t + 4t2 = −16
49
⇔ 1
⇔
rr
 uuuu
4t1 + 13t2 = −11 t = 9
 MN .u2 = 0
 2 49

Do đó:

,

uuu
r
11
 162 164 
 27 129
 u
MN
=
−
( 2;3; −6 )
M 1;
;
,
N

;
;
−
2
÷ 
÷
49
49
49
49
49





Từ đó suy ra phương trình của

MN

. Chọn A.

Cách làm trắc nghiệm:
có VTCP là r
r r

( ∆)

Câu 24.

u = [ u1 , u2 ] = ( 2;3; −6 )

Trong không gian với hệ toạ độ

x = 2

( d1 ) :  y = −t
z = 1+ t


A.

C.

và

Oxyz


 x = 4t

7
( d2 ) :  y = + t
4

 11
 z = 4 + t

, gọi

( D)

là đường vuông góc chung của hai đường thẳng:

. Phương trình của

B.

ïìï x = 1- t
ï
í y = 2 + 2t
ïï
ïïî z = 3 + 2t

D.

ìï x = t
ïï
í y =- 8 + 5t
ïï
ïïî z = 1 + t

( d1 )

. Chọn A.

có VTCP là r

u1 = ( 0; −1;1)

,

( d2 )

( D)

là:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
2
3

x +1 y + 2 z + 3
=
=
−1
2
2

Hướng dẫn giải
có VTCP là r

u1 = ( 4;1;1)

.

17

Gọi

M ( 2; −t1 ;1 + t1 ) ∈ ( d1 )

Suy ra

Ta có:

,

7
11


N  4t2 ; + t2 ; + t2 ÷∈ ( d 2 )
4
4



uuuu
r 
7
7
MN =  4t2 − 2; t2 + t1 + ; t2 − t1 + ÷
4
4


.

.

uuuu
r
t = 0
 MN .ur1 = 0
1
⇔
rr
 uuuu
1
t
=
 MN .u2 = 0
2

4

Do đó:

, uuuu
r
M ( 2;0;1) , N ( 1;2;3) MN = ( −1;2;2 ) = − ( 1; −2; −2 )

Từ đó suy ra phương trình của

MN

. Chọn A.

Cách làm trắc nghiệm:
có VTCP là r
r r

( ∆)

u = [ u1 , u2 ] = ( −2;4;4 ) = −2 ( 1; −2; −2 )

Để loại A hoặc D, ta cần xét thêm nó có cắt với

( d1 )

. Chọn A hoặc D.

hay không bằng cách giải hệ. Kết quả

chọn A
Câu 25.

Trong

không

gian

với

( α ) : 2 x − 4 y + 3z + 19 = 0
A.

( - 1; 2; - 3)

hệ

toạ

độ

Oxyz

,

cho

điểm

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên

B.

( 1; - 2;3)

C.

( - 1; - 2; - 2)

M ( 1; - 2;0)

(α)

và

mặt

phẳng

. Tọa độ H là:

D.

( 1; 2;3)

Hướng dẫn giải
Phương trình

 x = 1 + 2t

MH :  y = −2 − 4t ⇒ H ( 1 + 2t ; −2 − 4t ;3t )
 z = 3t


.

18


Từ

H ∈ ( α ) ⇔ 2 ( 1 + 2t ) − 4 ( −2 − 4t ) + 3.3t + 19 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H ( −1;2; −3)

Chọn A.
Câu 26.

Trong không gian với hệ toạ độ

( α ) : 2x − 2 y + z − 3 = 0
A.

, cho đường thẳng

. Tọa độ giao điểm của
B.

( - 2; - 1;5)

Oxyz

( D)
C.

( 2; - 1;5)

và

(α)

( D)

và mặt phẳng

(α)

có phương trình

là:
D.

( 2; - 1; - 5)

( 2;1;5)

Hướng dẫn giải
Tọa độ điểm

H

là nghiệm của hệ:

 x +1 y −1
 1 = 2
 x = −2

 y −1 x − 3

=
⇔  y = −1


−2
 2
z = 5

2 x − 2 y + z − 3 = 0



Chọn A.
Câu 27.

Trong không gian với hệ toạ độ

M ( 2; - 1;5)
A.

Oxyz

, cho đường thẳng

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên

H ( 4;0; 2)

B.

C.

H ( 2;0;1)

( D)

x- 4 y z- 2
= =
( D) :
1
1
1

và điểm

. Tọa độ của H là:
D.

H ( 4;1; 2)

H ( - 4;0; 2)

Hướng dẫn giải
Gọi

H ( 4 + t ; t ;2 + t ) ∈ ( ∆ )

. Ta có: uuuu
r

MH = ( t + 2; t + 1; t − 3)

.

. Suy ra
.
uuuu
rr
H
4;0;2
(
)
MH .u∆ = 0 ⇔ t = 0
Chọn A.

19


Câu 28.

Trong không gian với hệ toạ độ

( α ) : 3x − y − 2 z + 19 = 0
là:
A.

B.

æ 13
ö
ç
; 2; 2÷
÷
ç

÷
ç
è 3
ø

Thế tọa độ

A, B

Gọi

H
A'

M

, cho hai điểm

là điểm thuộc

(α)
C.

( 13; 2; 2)

A ( - 7; 4; 4)

sao cho

,

B ( - 6; 2;3)

MA + MB

æ
ö
13
ç
; 2; 2÷
÷
ç
÷
ç
è2
ø

và mặt phẳng

nhỏ nhất. Tọa độ của

D.

(α )

(α )

A, B

nằm

.

là hình chiếu của
đối xứng với

M

æ 13
ö
ç
; 2; 2÷
÷
ç
÷
ç
è 4
ø

Hướng dẫn giải
vào phương trình mặt phẳng
, thấy có giá trị ngược nhau. Suy ra

cùng phía đối với
Gọi

. Gọi

Oxyz

A

A

qua

lên

(α)

(α )

, suy ra

, suy ra

H ( −4;3;2 )

A ' ( −1;2;0 )

.

.

" M Î ( a ) , MA + MB = MA '+ MB ³ A ' C
Þ Min MA + MB = BC khi M = A ' B Ç ( α)
Từ đó tìm được

 13


M  − ; 2; 2 ÷
 3


Cách làm trắc nghiệm:
Tính
với điểm

MA + MB

Câu 29.

M

. Chọn A.

cho trong đáp án. Kết quả câu A có tổng nhỏ nhất. Chọn A.

Trong không gian với hệ toạ độ

( α ) : 3x − 8 y + 7 z − 1 = 0

. Gọi

.

C

Oxyz

, cho hai điểm

là điểm thuộc

(α)

A ( 0;0; - 3) , B ( 2;0; - 1)

sao cho tam giác

ABC

và mặt phẳng

đều. Tọa độ của

C

là:

20


A.

C.

C ( 2; - 2; - 3)

hay

hay

C ( 2; - 2;3)

B.

æ 2 2 1ö
Cç
- ;- ;- ÷
÷
ç
÷
ç
è 3 3 3ø

D.

æ2 2 1 ö
Cç
; ;- ÷
÷
ç
÷
ç
è3 3 3 ø

C ( 2; 2; - 3)

C ( 2; 2;3)

hay

hay

æ 2 2 2ö
Cç
- ;- ;- ÷
÷
ç
÷
ç
è 3 3 3ø

æ2 2 1 ö
Cç
; ; ÷
÷
ç
÷
ç
è3 3 3 ø

Hướng dẫn giải
Gọi

C ( a; b; c )

, suy ra

2

a = − 3
3a − 8b + c − 1 = 0
a = 2 
2
 2


2
2
a + b + c + c + 1 = 0 ⇔ b = −2 ∨ b = −
3
 a 2 + b 2 + c 2 − 4a + 8 = 0
c = −3 


1

c
=
−

3


Chọn A.
Câu 30.

Trong không gian với hệ toạ độ

mặt phẳng
A.

Oxy

sao

.
æ7
ö
Mç
- ; - 1;0÷
÷
ç
÷
ç
è 2
ø

MA − MB
B.

Oxyz

, cho hai điểm

A ( 1; 2;3) , B ( 4; 4;5)

có giá trị lớn nhất. Tọa độ của

.
æ7
ö
Mç
- ;1;0÷
÷
ç
÷
ç
è 2
ø

C.

M

. Gọi

M

là điểm thuộc

là:

.
æ
ö
7
Mç

;1;0÷
÷
ç
÷
ç
è2
ø

D.

.
æ7 ÷
ö
Mç
1; ;0÷
ç
ç
è 2 ÷
ø

Hướng dẫn giải
Phương trình
Hai điểm
Ta có:

A

(Oxy ) : z = 0

và

B

nằm về cùng một phía đối với

(Oxy ) ( do z A .z B > 0)

" M Î (Oxy ), MA - MB £ AB

Þ Max MA - MB = AB khi M = AB Ç (Oxy )
Phương trình đường

AB :

x- 1 y- 2 z- 3
=
=
3
2
2

21


Vậy điểm

M

cần tìm:

Chọn A.
Lưu ý:có thể tính

æ7
ö
Mç
- ; - 1;0÷
÷
ç
÷
ç
è 2
ø

/ MA − MB /

với điểm

M

cho trong đáp án. Kết quả câu A có hiệu nhỏ nhất.

Chọn A.
Câu 31.

Trong không gian với hệ toạ độ

Gọi
A.

C.

( D)

Oxyz

, cho điểm

là đường thẳng qua M và vuông góc với

x - 2 y - 3 z +1
=
=
6
5
- 32
x − 2 y + 3 z +1
=
=
6
−5
32

.

M ( 2;3; - 1)

( d)
B.

.

D.

và đường thẳng

đồng thời cắt

( d)

x y z- 3
( d) : = =
2 4
1

. Phương trình của

x + 2 y + 3 z −1
=
=
6
5
32
x − 2 y − 3 z +1
=
=
6
5
32

( D)

.

là:

.

.

Hướng dẫn giải
Gọi

N = D Ç d Þ N ( 2t ; 4t ;3 + t )

Véctơ chỉ phương của

r
d : u = (2; 4;1)

uuur
MN = (2t - 2; 4t - 3; t + 4)

uuur r
4
D ^ d Û MN .u = 0 Û t =
7
Khi đó

uuur æ 6 5 32 ö

1
MN = ç
- ;- ; ÷
=- ( 6;5; - 32)
÷
ç
÷
ç
è 7 7 7ø
7

Vậy phương trình

D:

x - 2 y - 3 z +1
=
=
6
5
- 32

Chọn A.

22


Câu 32.

Trong không gian với hệ toạ độ

x +1 y - 1 z + 2
=
=
( d) :
1
- 1
2
là:
A.

M ( 1; - 1; 2)

.

. Gọi

B.

Oxyz

, cho hai điểm

là điểm thuộc

M

M ( 2; - 2; 4)

.

( d)

C.

A ( 1;1;0) , B ( 3; - 1; 4)

sao cho

MA + MB

M ( - 1;1; - 2)

.

và đường thẳng

nhỏ nhất. Tọa độ của

D.

M ( - 2; 2; - 4)

M

.

Hướng dẫn giải
Véctơ chỉ phương của

r
d : u = (1; - 1; 2)

và
uuu
r
r
AÏ d
AB = ( 2; - 2; 4) = 2u

Þ AB // d
Gọi

H

C

là hình chiếu vuông góc của

là điểm đối xứng với

Tìm được

A

qua

A

lên đường thẳng

d

d

H (0;0;0), C (1; - 1; 0)

" M Î d , MA + MB = MC + MB ³ BC
Þ Min MA + MB = BC khi M = BC Ç d
Phương trình

Vậy điểm

M

ïìï x =- 1 + t
ï
BC : í y =- 1
ïï
ïïî z = t
cần tìm:

M (1; - 1; 2)

Cách 2:
M Î d Û M ( - 1 + t ;1- t ; - 2 + 2t )
2

2

MA + MB = 6 ( 1- t ) + 2 + 6 ( t - 3) + 2 ³

( - 2 6 ) +( 2 2 )
2

2

=4 2

23


Min MA + MB = 4 2 khi

1- t
=1 Û t = 2
t- 3

Chọn A.
Lưu ý: sử dụng cách 2 cho trắc nghiệm sẽ nhanh hơn hoặc tính
đáp án (điểm

Câu 33.

M

phải thuộc

d

A. 60o.

. Góc giữa

Oxyz

( d)

B. 30o.

r
d : u = (2;1;1)

Véctơ pháp tuyến của

r
(a ) : n = (3; 4;5)

j

là góc giữa

d

và

và

, cho đường thẳng

(α)

M

cho trong

ìï x = 1 + 2t
ïï
( d ) : í y =1 + t
ïï
ïïî z =- 1 + t

và mặt phẳng

là:

C. 45o.
Hướng dẫn giải

Véctơ chỉ phương của

Gọi

với điểm

). Kết quả câu A có tổng nhỏ nhất. Chọn A.

Trong không gian với hệ toạ độ

( α ) : 3x + 4 y + 5 z + 8 = 0

MA + MB

D. 90o.

(a )

Ta có:
r r
3
sin j = cos ( u , n ) =
2
Do đó:

j = 60o

Chọn A.
Câu 34.

Trong không gian với hệ toạ độ

( β ) : 2 y + z +1 = 0
A. 45o.

Oxyz

, số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng

( α ) : 3y − z − 9 = 0

và

là:
B. 30o.

C. 60o.
Hướng dẫn giải

D. 90o.

24


Véctơ pháp tuyến của
Véctơ pháp tuyến của

Góc

j

Ta có:

là góc giữa

ur

( b) : n ' = (0; 2;1)

(a )

và

( b)

r ur
2
cos j = cos n; n ' =
2

(

Do đó:

r
(a ) : n = (0;3; - 1)

)

j = 45o

Chọn A.
Câu 35.

Trong không gian với hệ toạ độ

 x = 8 − 2t
( d 2 ) :  y = t
 z = 2t


Oxyz

, số đo của góc tạo bởi hai đường thẳng

 x = −1 + t
( d1 ) :  y = 2
z = 2 + t


và

là:

A. 90o.

B. 60o.

C. 30o.
Hướng dẫn giải

Véctơ chỉ phương của

ur
d1 : u1 = (1;0;1)

Véctơ chỉ phương của

uu
r
d 2 : u2 = (- 2;1; 2)

D. 45o.

Ta có: ur uu
r
u1.u2 = 0 Þ d1 ^ d 2
Vậy số đo của góc tạo bởi

d1

và

d2

là:

90o

Chọn A.

25