Cực trị hàm nhiều biến

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2014.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

1/1


Cực trị tự do

Định nghĩa cực trị tự do

Định nghĩa
Hàm hai biến f (x, y ) đạt cực đại tại điểm
(x0, y0) nếu như f (x, y ) f (x0, y0), với mọi
(x, y ) nằm trong lân cận của (x0, y0). Giá trị
f (x0, y0) được gọi là giá trị cực đại.
Hàm hai biến f (x, y ) đạt cực tiểu tại điểm
(x0, y0) nếu như f (x, y ) f (x0, y0), với mọi
(x, y ) nằm trong lân cận của (x0, y0). Giá trị
f (x0, y0) được gọi là giá trị cực tiểu.
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

2/1


Cực trị tự do

Định nghĩa cực trị tự do

Chú ý.

1

2

Nếu f (x, y ) f (x0, y0), với mọi (x, y ) ∈ Df
thì f đạt GTLN tại (x0, y0).
Nếu f (x, y ) f (x0, y0), với mọi (x, y ) ∈ Df
thì f đạt GTNN tại (x0, y0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

3/1


Cực trị tự do

Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự do

Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự do

Định lý
Nếu hàm số z = f (x, y ) có cực trị tại điểm
(x0, y0) và đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại
tại điểm (x0, y0) thì
fx (x0, y0) = 0
fy (x0, y0) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

4/1


Cực trị tự do

Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự do

Chứng minh.

Cho (x0, y0) là điểm cực đại. Đặt g (x) = f (x, y0).
Nếu f có cực đại tại điểm (x0, y0) thì
g (x) = f (x, y0)

f (x0, y0),

với mọi x thuộc lân cận của x0. Theo định lý
Fermat đối với hàm một biến g (x), ta có
g (x0) = 0 ⇒ g (x0) = fx (x0, y0) = 0.
Tương tự đối với h(y ) = f (x0, y ) ta cũng được
fy (x0, y0) = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

5/1


Cực trị tự do

Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự do

Ý nghĩa hình học của cực trị

Chú ý. Nếu fx (x0, y0) = 0 và fy (x0, y0) = 0 thì
phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong
z = f (x, y ) tại điểm (x0, y0) là
z = f (x0, y0) = z0.
Từ đây chúng ta suy ra ý nghĩa hình học của cực
trị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong
z = f (x, y ) tại điểm cực trị là mặt phẳng nằm
ngang z = z0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

6/1


Cực trị tự do

Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y ) có cực trị

Định lý
Cho hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng liên tục đến
cấp hai trong lân cận của điểm dừng P(x0 , y0 ). Số
A = fxx (x0 , y0 ), B = fxy (x0 , y0 ), C = fyy (x0 , y0 ),
A B
∆=
= AC − B 2 . Theo tiêu chuẩn Sylvester:
B C
1

Nếu

∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực tiểu
A>0

2

Nếu

∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực đại
A<0

3

Nếu ∆ < 0 thì điểm P(x0 , y0 ) KHÔNG là điểm cực
trị

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

7/1


Cực trị tự do

1

2

3

Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y ) có cực trị

∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực tiểu vì
A>0
d 2 f (x0 , y0 ) = Adx 2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
phương xác định dương.
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực đại vì
Nếu
A<0
d 2 f (x0 , y0 ) = Adx 2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
phương xác định âm.
Nếu

Nếu ∆ < 0 thì điểm P(x0 , y0 ) KHÔNG là điểm cực
trị vì d 2 f (x0 , y0 ) = Adx 2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng
toàn phương không xác định dấu.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

8/1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Cho hàm số f (x, y ) xác định trên miền xác định
D(f ). Các bước tìm cực trị tự do của hàm này
như sau:
Tìm điểm dừng
1

fx = 0
⇒ Pi (xi , yi ), i = 1, 2, . . .
fy = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

9/1

Cực trị tự do

1

Phương pháp tìm cực trị tự do

∂ 2f
Tại điểm Pi (xi , yi ) đặt A = 2 (xi , yi ),
∂x
∂ 2f
∂ 2f
B=
(xi , yi ), C = 2 (xi , yi ),
∂x∂y
∂y
2
∆ = AC − B
Nếu ∆ > 0, A > 0 thì hàm đạt cực tiểu tại (xi , yi ).
Nếu ∆ > 0, A < 0 thì hàm đạt cực đại tại (xi , yi ).
Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (xi , yi ).
Nếu ∆ = 0 thì ta phải xét bằng định nghĩa
∆f = f (x, y ) − f (xi , yi )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

10 / 1

Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Ví dụ
Tìm cực trị tự do của hàm số
f (x, y ) = x 3 + 2y 3 − 3x 2 − 6y
Bước 1. Tìm điểm dừng
fx = 3x 2 − 6x = 0
fy = 6y 2 − 6 = 0
⇒ Có 4 điểm dừng
P1(0, −1), P2(0, 1), P3(2, −1), P4(2, 1).
Bước 2. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2
fxx = 6x − 6, fxy = 0, fyy = 12y .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

11 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Bước 3. Khảo sát tại từng điểm dừng

P1(0, −1), A = fxx (0, −1) = −6,
B = fxy (0, −1) = 0, C = fyy (0, −1) = −12,
∆ = AC − B 2 = (−6).(−12) − (0)2 > 0.
A<0
⇒ P1 điểm CĐ, fCĐ = f (0, −1) = 4.
∆>0
P2(0, 1), A = fxx (0, 1) = −6,
B = fxy (0, 1) = 0, C = fyy (0, 1) = 12,
∆ = AC − B 2 = (−6).(12) − (0)2 < 0.
⇒ P2 không là điểm cực trị.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

12 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

P3(2, −1), A = fxx (2, −1) = 6,
B = fxy (2, −1) = 0, C = fyy (2, −1) = −12,
∆ = AC − B 2 = (6).(−12) − (0)2 < 0.
⇒ P3 không là điểm cực trị.
P4(2, 1), A = fxx (2, 1) = 6, B = fxy (2, 1) = 0,
C = fyy (2, 1) = 12,

∆ = AC − B 2 = (6).(12) − (0)2 > 0.
⇒

A>0
⇒ P4 điểm cực tiểu,
∆>0
fCT = f (2, 1) = −8.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

13 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Hình: Cực trị tự do của hàm số f (x, y ) = x 3 + 2y 3 − 3x 2 − 6y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

14 / 1

Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Ví dụ
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh
bằng 12m2. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình
hộp này.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

15 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Gọi x, y , z(x, y , z > 0) lần lượt là chiều dài, chiều
rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật. Khi đó
thể tích của hình hộp là V = xyz, và diện tích
xung quanh của hình hộp chữ nhật là
2xy + 2yz + 2zx = 12 ⇒ z =

6 − xy

x +y

Vậy
6 − xy
6xy − x 2y 2
V = xy .
=
x +y
x +y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

16 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Bước 1. Tìm điểm dừng

y 2(6 − 2xy − x 2)


=0
 Vx =
(x + y )2

x 2(6 − 2xy − y 2)


=0
 Vy =
(x + y )2
√
6 − 2xy − x 2 = 0
⇔
⇔x =y = 2
6 − 2xy − y 2 = 0
√ √
⇒ Có 1 điểm dừng P1( 2, 2).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

17 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

Bước 2. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2
2y 2(y 2 + 6)
Vxx = −
,

(x + y )3
Vxy

2xy (x 2 + 3xy + y 2 − 6)
=−
,
(x + y )3
Vyy

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

2x 2(y 2 + 6)
.
=−
(x + y )3

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

18 / 1


Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị tự do

√ √
Bước 3.√Khảo
sát

tại
điểm
dừng
P
(
2, 2),
1
√
√
A = fxx ( 2, 2) = − √2,
√ √
2
B = fxy ( 2, 2) = − ,
√ √
√2
C = fyy ( 2, 2) = − 2,
√
√
√
2
∆ = AC −B 2 = − 2 . − 2 − −
2

2

> 0.

√ √
A<0
⇒ P1 là điểm cực đại, fCĐ = f ( 2, 2).

∆>0
√
√
√
√
Vậy Vmax = 2 2 khi x = 2, y = 2, z = 2.
⇒

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

19 / 1


Cực trị có điều kiện

Đặt vấn đề

Trong những bài toán ứng dụng, chúng ta thường
gặp bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến khi có
thêm điều kiện ràng buộc nào đó đối với
biến số.
Ví dụ
Hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất,
biết rằng hình chữ nhật đó có chu vi là 2p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

20 / 1


Cực trị có điều kiện

Đặt vấn đề

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của
hình chữ nhật. Bài toán:
S(x, y ) = xy → max
với điều kiện 2(x + y ) = 2p, x > 0, y > 0. Thay
y = p − x vào S ta được hàm một biến
S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p. Hàm số
p
S(x) đạt GTLN trong khoảng (0, p) khi x = .
2
Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với
chu vi cho trước là hình vuông.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

21 / 1

Cực trị có điều kiện

Định nghĩa cực trị có điều kiện

Hàm f (x, y ) đạt cực đại có điều kiện tại điểm
(x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0, nếu như
f (x, y ) f (x0, y0), với mọi (x, y ) thỏa
ϕ(x, y ) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0).
Giá trị f (x0, y0) là giá trị cực đại có điều kiện.
Hàm f (x, y ) đạt cực tiểu có điều kiện tại điểm
(x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0, nếu như
f (x, y ) f (x0, y0), với mọi (x, y ) thỏa
ϕ(x, y ) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0).
Giá trị f (x0, y0) là giá trị cực tiểu có điều kiện.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

22 / 1


Cực trị có điều kiện

Định nghĩa cực trị có điều kiện

Hàm f (x, y ) lúc này được gọi là hàm mục

tiêu.
Điều kiện ϕ(x, y ) = 0 được gọi là điều kiện
ràng buộc.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

23 / 1


Cực trị có điều kiện

Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện

Hình: Cực trị của z = f (x, y ) thỏa điều kiện ϕ(x, y ) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

24 / 1


Cực trị có điều kiện

Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện

Để tìm cực đại (hoặc cực tiểu) của hàm f (x, y )
thỏa điều kiện ϕ(x, y ) = 0 chúng ta tìm giá trị
lớn nhất (nhỏ nhất) của k sao cho đường đẳng
trị f (x, y ) = k cắt đường cong ϕ(x, y ) = 0.
Điều này xảy ra khi đường đẳng trị f (x, y ) = k
và đường cong ϕ(x, y ) = 0 có cùng tiếp tuyến,
vì nếu ngược lại giá trị k có thể tăng lên (hoặc
giảm xuống) nữa.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TP. HCM — 2014.

25 / 1