CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT CHỨA căn

GV Minh Nghiệp

Phone: 01665 954 459

CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PT CHỨA CĂN
Tôi viết tài liệu này với mục đích trang bị cho các em những kiến
thức,phương pháp cơ bản cũng như nâng cao để vận dụng chinh phục các bài
toán liên quan phương trình vô tỷ (phương trình chứa căn ).
Để trình bày ,giải quyết tốt các phương trình khó đòi hỏi ở các em trước hết cần
nắm thật vững kiến thức cơ bản .Sau đây là những dạng cơ bản của phương trình
mà các em cần nắm được .
Dạng 1 :

B  0
A B 
A  B

hoặc

A  0
A B 
A  B

Ví dụ 1 : Giải phƣơng trình : 2x 2  3x  1  2x  2
Lời giải
 x  1
2x  2  0
 x  1
2x  3x  1  2x  2   2
 2


1 (TM )

x

2x

3x

1

2x

2
2x

x

1

0



2
2

Qua ví dụ ta thấy tùy theo đề bài cho mà ta chọn biến đổi cho phù hợp , biểu
thức trong căn đơn giản thì ta sẽ chọn làm điều kiện.
Dạng 2 :

B  0
AB
2
A  B

Ví dụ 2 : Giải phƣơng trình : x2  4x  6  x  4
Lời giải
 x  4  0
x 2  4x  6  x  4   2
2
 x  4x  6   x  4 
 x  4
 x  4
5
 2

x
2
6
12x  10
 x  4x  6  x  8x  16

Tải đầy đủ tài liệu miễn phí tại địa chỉ

Page 1


GV Minh Nghiệp

Phone: 01665 954 459

*Chú ý : Nếu các em biến đổi như sau sẽ bị thừa

B  0

Bởi khi 

A  B

2

B  0

A  B  A  0
 A  B2


 A  0 cho nên việc thêm A  0 là không cần thiết làm việc xử

lý bài toán thêm phức tạp .
Tất nhiên đề thi không cho những bài tập quá đơn giản như vậy ,nhưng nếu các
em không nắm chắc kiến thức thì khi các em quy về những phương trình cơ bản
như trên các em vẫn bị mắc sai lầm .
Đó là 2 dạng cơ bản nhất của PT chứa căn các em phải nắm được .Sau đây
chúng ta đi vào các ví dụ phức tạp hơn .Khi đó đòi hỏi các em nắm được các
phương pháp cơ bản giải quyết .
Dưới đây tôi xin đưa ra các phương pháp chính nhất để giúp các em tư duy khi
gặp bất kể phương trình chứa căn nào .
1.Phương pháp nhân liên hợp (kết hợp Casio ) trở nên rất mạnh tuy nhiên để lại
vế sau liên hợp đôi khi việc đánh giá ,xử lý không hề đơn giản

2.Phương pháp bình phương hai vế (áp dụng cho 2 vế đều không âm ,nếu ta
chưa biết cụ thể âm hay dương có thể dùng phép biến đổi hệ quả sau đó thử lại
nghiệm)
3.Phương pháp đặt ẩn phụ (kỹ thuật này khá phong phú giúp ta đưa về ẩn phụ
mới đơn giản hơn ,dễ làm hơn có thể là ẩn phụ hoàn toàn ,không hoàn toàn … )
4.Phương pháp đưa về tổng bình phương.
5.Phương pháp hàm số (sau khi học đạo hàm chúng ta có thêm công cụ xử lý)
6.Phương pháp đánh giá kết hợp sử dụng bất đẳng thức .
Ngoài ra còn vài phương pháp khác nữa như đưa về biến đổi lượng giác, …
Tuy nhiên yêu cầu các em cần nắm vững 6 phương pháp trên để linh hoạt hơn
trong các bài toán và đưa ra nhiều cách giải hay.

Tải đầy đủ tài liệu miễn phí tại địa chỉ

Page 2


GV Minh Nghiệp

Phone: 01665 954 459

Sau đây là bài toán minh họa nhiều cách giải cho các em nắm rõ
Ví dụ 3 : Giải phƣơng trình : x  5  x  5
Lời giải
*Điều kiện x  0
Cách 1 : Bình phƣơng hai vế không âm
PT 



x5  x



2

 25  2 x  5  2 x 2  5x  25

0  x  10
 x 2  5x  10  x   2
x4
2
 x  5x  100  20x  x

Cách 2 : Nhân liên hợp
PT 



 

x 5 3 



x 2 0

x4
x4


0
x5 3
x 2
x  4

x4
1
1


 0(VN  x  0)
x 2
 x  5  3


Cách 3 : Đặt ẩn phụ
a  x  5  5 a  b  5
 a  b  0(VN )
Đặt 
 2 2
 a 2  b2  a  b  
a  b  5


b  x  0

a  b  1

a  b  5 a  3 
 x5  3



x4
x

2
a  b  1
b  2



Kết hợp ta có hệ 

Đôi khi các em còn có thể làm nhƣ sau :
x5  x 

5
1
x5  x

 x  5  x  5  x  5  3


x4
 x  5  x  1
 x  2

Tải đầy đủ tài liệu miễn phí tại địa chỉ

Page 3

GV Minh Nghiệp

Phone: 01665 954 459

Như vậy việc nắm rõ nhiều phương pháp giúp chúng ta linh hoạt hơn trong việc
xử lý các bài toán .Sau đây tôi xin trình bày chi tiết các phương pháp
1.Phƣơng pháp nhân liên hợp kết hợp Casio
Đây thực sự là phương pháp mạnh trong những năm trở lại đây bởi nhờ trợ giúp
máy tính Casio giúp chúng ta giải quyết khá nhiều bài toán phức tạp mà để làm
theo những phương pháp khác gặp không ít khó khăn .
Quay trở lại cùng phân tích ví dụ trên giúp ta hiểu rõ hơn .
Cách 2 : Nhân liên hợp
PT 



 

x 5 3 



x 2 0

x4
x4

0

x5 3
x 2
x  4

x4
1
1


 0(VN  x  0)
 x  5  3
x 2


Câu hỏi đặt ra với nhiều em mới tiếp cận là tại sao ta lại có thể tách ra đƣợc
nhƣ vậy .Đơn giản với chiếc máy tính Casio trong tay dò ra nghiệm x  4
 x5  45  3

Ta tìm nhân tử liên hợp x  4  


 x  42





 

x 5 3 



x 2 0

Đây chỉ là ví dụ đơn giản khi vế sau liên hợp chứng minh vô nghiệm quá dễ
Chúng ta cùng xét ví dụ phức tạp hơn
Ví dụ 4 : Giải phƣơng trình : 2x 2  5x 1  x  2  4  x
Lời giải
ĐK : 2  x  4
PT  2x 2  5x  3  ( x  2  1)  ( 4  x  1)
 (2x  1)(x  3) 

x 3
x 3

x  2 1
4  x 1

x  3

1
1
 2x  1 

(*)

x  2 1
4  x 1

Tải đầy đủ tài liệu miễn phí tại địa chỉ

Page 4


GV Minh Nghiệp

Phone: 01665 954 459

Vấn đề quan trọng lúc này là phải xử lý phương trình (*),thật sự nhiều em đã bó
tay không thể giải quyết trọn vẹn .
Từ đó kỹ thuật đánh giá vế sau liên hợp xuất hiện với tên gọi truy ngược dấu
liên hợp.Thế nào là truy ngược dấu ? Đơn giản là sau khi bấm Casio thấy PT(*)
vô nghiệm ta tách làm sao cho vế sau liên hợp luôn dương hoặc âm với x thuộc
TXĐ.Cụ thể tôi xin phân tích chi tiết như sau :
PT  2x 2  5x  1  x  2  4  x  0





 x  2  x  2  (1  4  x )  2x 2  6x  0
 x  2( x  2  1)  (1  4  x )  2x 2  6x  0
x  2(x  3)
x 3

 2x(x  3)  0
x  2 1
4  x 1
x  3

  x  2
1

 2x  0(VNx  [2; 4])
 x  2  1
4  x 1


Việc tách như vậy giúp chúng ta tránh dấu – trong vế sau liên hợp và giúp đánh
giá vế sau vô nghiệm đơn giản hơn rất nhiều
Ví dụ 5 : Giải phƣơng trình : (x  3) x  4  (x  9) x  11  x 2  9x  10
Lời giải
PT  4(x 2  9x  10)  4(x  3) x  4  4(x  9) x  11  0
 2(x 2  3x  40)  (x  3)(x  7  4 x  4)  (x  9) x  11( x  11  4)  0
(x  3) 2 (x  5) (x  9) x  11(x  5)
 2(x  5)(x  8) 

0
x 7  4 x  4
x  11  4
x  5
 
(x  3) 2
(x  9) x  11
2(x  8) 

 0(VNx  4)

x 7  4 x  4
x  11  4

Phần 2 của tài liệu chúng ta cùng nghiên cứu truy ngƣợc dấu cho PT sau
cùng các phƣơng pháp tiếp theo.
Ví dụ 6 : Giải phƣơng trình : 3 x  6  x 1  x 2 1
Liên hợp nghiệm xấu ,nhiều nữa …Cảm ơn các em đã dành thời gian đón
đọc và phần 2 tài liệu sẽ cập nhật sớm tới các em
Tải đầy đủ tài liệu miễn phí tại địa chỉ

Page 5


GV Minh Nghiệp

Tải đầy đủ tài liệu miễn phí tại địa chỉ

Phone: 01665 954 459

Page 6