DE VA DAP AN THI KHAO SAT MON TOAN LAN 2 NAM 20152016 TRUONG LG1_2

TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2
Mơn: TỐN 10
Năm học : 2015-2016
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = x 2 + x − 6 (1) có đồ thị (P).
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1).
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2 x + m cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B. Tìm tọa độ trung điểm
của A và B.

Câu 2 ( 2 điểm).
a) Giải phương trình:

9 − 5x = 3− x +

b) Giải bất phương trình:

6
.
3− x

x2 + 4x − 5 ≤ x + 3 .

Câu 3 ( 1,5 điểm)
a) Biết cos 2α = −

2

. Tính giá trị của biểu thức P = (1 + 3sin 2 α )(1− 4 cos 2 α ) .
3

b) Các góc trong tam giác ABC thỏa mãn: sin A =

cosB+ cosC
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
sin B + sin C

 x = −2 − 2t
Câu 4 ( 1,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 
và điểm M(3;1)
 y = 1 + 2t
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng ∆ .
b) Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ .
c) Tìm điềm A nằm trên ∆ sao cho điểm A cách điểm M một khoảng bằng 13 .

Câu 5 (1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của BC là
điểm I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2 y − 3 = 0 . Gọi D, E lần lượt là chân các đương cao
kẻ từ B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x − 2 = 0 và

điểm D có tung độ dương.

4 x 2 y + 2 xy 2 + 2 x − y 3 + 2 x − y = 5
Câu 6 (1 điểm). Giải hệ phương trình 
( x, y ∈ ℝ )

 x 2 + 2 xy = y 2 −1
Câu 7 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

3 9 4
Q = a+b+c + + + .
a 2b c

…………………………………………Hết………………………………………….
Họ và tên thí sinh:…………………………………...SBD………………………………………….



HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN 2 MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2015-2016

Câu

Hướng dẫn chấm

Điểm

Cho hàm số y = x 2 + x − 6 (1) có đồ thị (P).
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1).
- Chỉ đúng tập xác định và lập đúng bảng biến thiên

0.5đ

- Vẽ đúng đồ thị

0.5đ

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2 x + m cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B. Tìm
tọa độ trung điểm của A và B.

Xét pt hoành độ giao điểm: x 2 + x − 6 = 2 x + m ⇔ x 2 − x − (m + 6) = 0 (2)
- Pt (2) có 2 nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ −

1

25
(*)
4

 y1 = 2 x1 + m
- Gọi A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ⇒ 
và x1 , x2 là hai nghiệm của (2)

 y2 = 2 x2 + m

0.25đ
0.25đ
0.25đ


x + x2 1
 xI = 1
=

2
2
Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ 

y + y2 2 ( x1 + x2 ) + 2m 1 + 2m
=

=
 yI = 1
2
2
2

 1 1 + 2m 
hay I  ;

 2
2 

a) Giải phương trình:
- Đ/k: x ≤
2

0.25đ

9 − 5x = 3− x +

6
3− x
0.25đ

9
(*)
5

9 ≤ x
- Pt ⇒ (9 − 5 x)(3 − x) = 9 − x ⇔ 

 2
4 x − 6 x + 54 = 0
 x ≤ 9

9

x =

9

⇔  x =
⇔
2

2

 x = −3
 x = −3 


Đối chiếu với đ/k thì phương trình có nghiệm x = −3

b) Giải bất phương trình:

x2 + 4x − 5 ≤ x + 3

0.25đ

0.25đ

0.25đ




 x + 3 ≥ 0

Bpt ⇔  x 2 + 4 x − 5 ≥ 0

 x 2 + 4 x − 5 ≤ ( x + 3)2


0.5đ

 x ≥ −3

 x ≤ −5
⇔ 

 x ≥ 1
 x ≥ −7


0.25đ

⇔ x ≥ 1 . Vậy bpt có tập nghiệm T = [1; +∞)

a) Biết cos 2α = −

0.25đ

2
. Tính giá trị của biểu thức P = (1 + 3sin 2 α )(1− 4 cos 2 α )
3


1− cos 2α 
1 + cos 2α 
- Ta có P = 1 + 3.
1− 4.




2
2

0.5đ

5 3

=  − cos 2α(3 − 2 cos 2α )
 2 2


0.25đ

5 
=  + 1(3 + 3) = 21
 2 

- Vậy P = 21

0.25đ

b) Các góc trong tam giác ABC thỏa mãn: sin A =
3

cosB+ cosC
. Chứng minh tam
sin B + sin C

giác ABC vng.
- Vì sinA = 2sin

A
A
cos
2
2

B +C
B − C cos  π − A 
A
 sin
cos

cosB+ cosC

2 2
2

2 =
2
và
=
=


B
+
C
B
−
C
A
π
A
sin B + sin C 2sin
cos
sin  −  cos
 2 2 
2
2
2

0.25đ

2 cos

- Do đó sin A =

cosB+ cosC
A
⇔ 2 cos 2 = 1 ⇔ cos A = 0
sin B + sin C
2

⇔ A = 900 ⇔ ∆ABC vuông tại A
 x = −2 − 2t
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 
và điểm M(3;1)
 y = 1 + 2t

a)Viết pttq của đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng ∆ .

Ta thấy ∆ có vtcp u = (−1;1)

0.25đ
0.25đ
0.25đ



Vì d song song với ∆ ⇒ d có vtcp u = (−1;1) ⇒ d có vtpt n = (1;1)
Mà d đi qua M(3;1) ⇒ d :1( x − 3) + 1( y −1) = 0 hay d : x + y − 4 = 0

0.25đ
0.25đ

b)Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ .
∆ có pttq là: x + y + 1 = 0

4

Vì đường trịn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ,do đó bán kính của
(C) là

R = d ( I , ∆) =

0.25đ

1
2
2

2

Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( x −1) + ( y + 1) =

0.25đ

1
2

c)Tìm điềm A nằm trên ∆ sao cho điểm A cách điểm M một khoảng bằng 13 .
 t = −1

Theo đầu bài thì: A(−2 − 2t ;1 + 2t ) và AM = 13 ⇔ 8t + 20t + 12 = 0 ⇔ 
3
t = −
2


2

2

 1

Vậy có hai điểm A có tọa độ lần lượt là: (0;-1) và − ; −2
 2


0.25đ

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của
BC là điểm I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2 y − 3 = 0 . Gọi D, E lần
lượt là chân các đương cao kẻ từ B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC,
biết đường thẳng DE có phương trình x − 2 = 0 và điểm D có tung độ dương.

A

5

D
K
E
H

B

I

0.25đ

C

Gọi K là trung điểm của AH. Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K và tứ giác



BCDE nội tiếp đường tròn tâm I ⇒ IK ⊥ DE ⇒ IK : y −1 = 0
0.25đ

Khi đó K (1;1) ⇒ A(−1; 2)

a = 3
Gọi D (2; a ) . Ta có KA=KD ⇔ 5 = 1 + (a −1) ⇔ 
⇒ D (2;3)
 a = −1(l )

0.25đ

2

Pt AC: x − 3 y + 7 = 0

0.25đ

Pt BC: 2 x − y −11 = 0

⇒ C (8;5) , B (4; −3)

0.25đ

4 x 2 y + 2 xy 2 + 2 x − y 3 + 2 x − y = 5

Giải hệ phương trình 
( x, y ∈ ℝ )
 x 2 + 2 xy = y 2 −1

6


4 y ( x 2 + 2 xy ) + 2 x − y 3 = 5 − 2 x + y
⇔ 
 2
2
 x + 2 xy = y −1
4 2 x − y = 5 − 2 x + y (1)
⇔ 
 x 2 + 2 xy − y 2 + 1 = 0(2)

0.25đ

Đ/k: 2 x − y ≥ 0
Pt (1) ⇔ 2 x − y + 4 2 x − y − 5 = 0

0.25đ

Đặt t = 2 x − y , t ≥ 0 . Khi đó ta tìm được t = 1 ⇒ y = 2 x −1 thay vào (2) ta tìm được
x = 0; x = −2

0.25đ

Vậy hệ pt có nghiệm: (0;1); (−2; −5)

0.25đ

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất
3 9 4
của biểu thức Q = a + b + c + + + .
a 2b c
4
4
3
4
Ta có: a + ≥ 2 a. = 4 ⇒ a +  ≥ 3 . Dấu = xẩy ra ⇔ a = 2
a
a
4 
a
Tương tự

7

9
1
9
b + ≥ 6 ⇒ b +  ≥ 3 . Dấu = xẩy ra ⇔ b = 3

b
2

b
c+

⇒

16
1  16 
≥ 8 ⇒ c +  ≥ 2 . Dấu = xẩy ra ⇔ c = 4
c
4 
c

3a b c 3 9 4
+ + + + + ≥ 8 (1)
4 2 4 a 2b c

0.25đ



Mặt khác, do a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒

a b 3c
+ + ≥ 5 ( 2)
4 2 4

0.25đ
0.25đ

3 9 4

Từ (1) và (2) ⇒ Q = a + b + c + + + ≥ 13 . Dấu = xấy ra khi a = 2, b = 3, c = 4
a 2b c
Vậy max Q = 13 khi a = 2, b = 3, c = 4

…………………..HẾT…………………..

0.25đ