ứng dụng phép biến đổi Laplace ĐH BK

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2016.

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 1PHƯƠN
/ 21


NỘI DUNG

1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

3

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

4

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 2PHƯƠN
/ 21


Đặt vấn đề

ĐẶT VẤN ĐỀ

Phép biến đổi Laplace là một trong các
phép biến đổi tích phân mà mục tiêu là
biến các phép tính giải tích như đạo hàm,
tích phân thành phép tính đại số. Như vậy,
qua phép biến đổi Laplace ta có thể chuyển
phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng, phương trình tích phân thành
một phương trình đại số

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 3PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình vi phân

Nội dung

Xét phương trình vi phân với hàm phải tìm
là y(t) cùng với các điều kiện ban đầu. Lấy
phép biến đổi Laplace cả 2 vế của phương
trình đã cho.
Phương trình mới chứa hàm cần tìm là
L{y(t)} = Y (s) không phải là phương trình vi
phân. Giải phương trình này tìm Y (s), sau
đó dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm
lại hàm y(t).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 4PHƯƠN

/ 21


Giải phương trình vi phân

Nội dung

L{y(t)} = Y (s)

(1)

L{y (t)} = sY (s) − y(0)

(2)

L{y (t)} = s2Y (s) − sy(0) − y (0)

(3)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 5PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình vi phân

Nội dung

VÍ DỤ 2.1
Giải phương trình y (t) + 2y(t) = 1 với điều
kiện ban đầu y(0) = 4
Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của
phương trình, ta được
L{y (t) + 2y(t)} = L{1}
⇒ [sY (s) − y(0)] + 2Y (s) =
⇒ Y (s) =

1
s

+4

s+2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

=

1
s

4s + 1
1
7
= +

s(s + 2) 2s 2(s + 2)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 6PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình vi phân

Nội dung

Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại
nghiệm y(t)
1 7
y(t) = L−1 {Y (s)} = + e−2t
2 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 7PHƯƠN
/ 21

Giải phương trình vi phân

Nội dung

VÍ DỤ 2.2
Giải phương trình y (t) + 4y(t) = 9t với điều
kiện ban đầu y(0) = 0, y (0) = 7
Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của
phương trình, ta được
L{y (t) + 4y(t)} = L{9t}
⇒ [s2 Y (s) − sy(0) − y (0)] + 4Y (s) =

9
s2

9 + 7s2
9
19
⇒ Y (s) = 2 2
= 2+ 2
s (s + 4) 4s
4(s + 22 )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 8PHƯƠN
/ 21

Giải phương trình vi phân

Nội dung

Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại
nghiệm y(t)
19
9
y(t) = L−1 {Y (s)} = t + sin(2t)
4
8

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP.
TRÌNH
HCM VI
— PHÂN,
2016. HỆ 9PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình vi phân

Nội dung

GHW #6

BÀI TẬP 2.1
Giải phương trình vi phân sau bằng phép
biến đổi Laplace
y (t) + 4y(t) = 0, y(0) = 2, y (0) = 2
2s + 2
Đáp số. Y (s) = 2
⇒ y(t) = sin(2t) + 2 cos(2t)
s +4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ10PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình vi phân

Nội dung

GHW #6

BÀI TẬP 2.2
Giải phương trình vi phân sau bằng phép
biến đổi Laplace
y (t) − 3y (t) + 2y(t) = 4t + 12e−t ,
y(0) = 6, y (0) = −1

3 2
3
2
2
Đáp số. Y (s) = + 2 +
+
−
s s
s+1 s−1 s−2
−t
⇒ y(t) = 3 + 2t + 2e + 3et − 2e2t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ11PHƯƠN
/ 21


Giải hệ phương trình vi phân

VÍ DỤ 3.1
Giải hệ phương trình vi phân
x (t) − 2x(t) + 3y(t) = 0
y (t) + 2x(t) − y(t) = 0

với điều kiện ban đầu x(0) = 8, y(0) = 3
Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của

phương trình, ta được
L{x (t) − 2x(t) + 3y(t)} = L{0}
L{y (t) + 2x(t) − y(t)} = L{0}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ12PHƯƠN
/ 21


Giải hệ phương trình vi phân

⇒

(sX (s) − x(0)) − 2X (s) + 3Y (s) = 0
(sY (s) − y(0)) + 2X (s) − Y (s) = 0


8s − 17
5
3

 X (s) =
=
+
s2 − 3s − 4 s + 1 s − 4
⇒

3s − 22
5
2

 Y (s) =
=
−
s2 − 3s − 4 s + 1 s − 4
⇒

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x(t) = 5e−t + 3e4t
y(t) = 5e−t − 2e4t

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ13PHƯƠN
/ 21


Giải hệ phương trình vi phân

GHW #6

BÀI TẬP 3.1
Giải hệ phương trình vi phân
x (t) − 2y(t) = 1

y (t) + 2x(t) = t

với điều kiện ban đầu x(0) = 0, y(0) = 0
1
1
t sin 2t
+
⇒
x(t)
=
+
,
2s2 2(s2 + 4)
2
4
1
s
1 cos 2t
Y (s) = − + 2
⇒ y(t) = − +
4s 4(s + 4)
4
4

Đáp số. X (s) =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH

HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ14PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

Nếu L{u(x, t)} = U(x, s) thì
L

∂u
= sU(x, s) − u(x, 0)
∂t

(4)

∂2 u
L
= s2 U(x, s) − su(x, 0) − ut (x, 0)
2
∂t

(5)

∂u
dU(x, s)
∂n u

dn U(x, s)
L
=
,L
=
∂x
dx
∂xn
dxn

(6)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ15PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

VÍ DỤ 4.1
Giải bài toán sau

2


 utt = c uxx + f (t), 0 < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) = 0,
ut (x, 0) = 0,


u(0, t) = 0, ux (x, t) → 0, x → ∞

Cho L{u(x, t)} = U(x, s), L{f (t)} = F(s). Dùng
phép biến đổi Laplace 2 vế của phương
trình đã cho và sử dụng điều kiện đầu, ta có
s2
F(s)
Uxx − 2 U = − 2
c
c
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ16PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

Đây là phương trình vi phân cấp 2 nên
nghiệm của nó là
U(x, s) = Aesx/c + Be−sx/c + [F(s)/s2 ]

Sử dụng điều kiện biên ta được
U(0, s) = 0, lim Ux (x, s) = 0
x→∞

Từ đó A = 0 và U(0, s) = B + [F(s)/s2] = 0. Vậy
U(x, s) = [F(s)/s2 ][1 − e−sx/c ]
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ17PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

VÍ DỤ f (t) = f0 = const

U(x, s) = f0

1 1 −sx/c
− e

s3 s3

Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược, ta
được nghiệm

f0 2
x 2



t − t−
, khi t
2
c
u(x, t) =
f0 2



.t , khi t
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x/c,
x/c

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.

PHÂN, HỆ18PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

VÍ DỤ f (t) = cos ωt, ω = const

∞

F(s) =

e−st cos ωtdt =

0

⇒ U(x, s) =

s
s2 + ω2

1
1 − e−sx/c
2
2
s(s + ω

Dùng phép biến đổi Laplace ngược, ta được

L−1

1
1
2
2 ωt
=
(1
−
cos
ωt)
=
sin
s(s2 + ω2 )
ω2
ω2
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ19PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

Vậy

ω
ωt
2


− sin2
(t − x/c) , khi t
 2 sin2
ω
2
2
u(x, t) =
2

2 ωt

, khi t
.
sin

ω2
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x/c,

x/c

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ20PHƯƠN
/ 21


Giải phương trình đạo hàm riêng

Công thức

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TP.TRÌNH
HCM —
VI2016.
PHÂN, HỆ21PHƯƠN
/ 21