De thi hs gioi huyen son dong nam hoc 20122013

Phòng GD & ĐT sơn động
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp HUYệN Năm học 2011 - 2012
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I ( 5,5 điểm ):
x+2
1 4 x
1) Cho biểu thức: P =

.
x + 1 3
x x +1
a. Rút gọn P.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
1 23 + 513 3 23 513
2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 3
+
1ữ
ữ
3
4
4


2
3) Giải phơng trình: 2 x 3 + 5 2 x = 3 x 12 x + 14
Bài II( 2,5 điểm ):
1) Chứng minh rằng với n N thì n 2 + n + 1 không chia hết cho 9.
x 3 + 2 y 2 4 y + 3 = 0
2) Cho x, y, z thỏa mãn 2
x + x 2 y 2 2 y = 0

Bài III ( 3 điểm ):
1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17

Tính Q = x2 + y2.

4
4
2) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: x 2 + y 2 = 1 và x + y = 1 .
a
b
a+b
2006
2006
x
y
2
Chứng minh rằng: 1003 + 1003 =
a
b
(a + b)1003
Bài IV ( 4 điểm ):
x + ( m 1) y = 2
1) Cho hệ phơng trình
( m + 1) x y = m + 1
1
a) Giải hệ phơng trình khi m =
2
b) Xác định giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.
2) Cho x , y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2
x2

y2
z2
CMR:
+
+
1
y+z z+x x+ y
Bài V ( 5 điểm ):
1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đờng tròn. Hãy tìm dây cung ngắn nhất của (O) đi qua K.
2) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC và một điểm A trên nửa đờng tròn( A khác B và C). Hạ AH
vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đờng tròn đờng kính
HB và HC, chúng lần lợt cắt AB và AC tại E và F.
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn đờng kính HB và HC.
c. Gọi I và K lần lợt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K
thẳng hàng.
d. Đờng thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đờng tròn (O) tại M. Chứng minh rằng MC, AH,
EF đồng quy.

Câu Nội dung

Đáp án
Môn Toán 9

1

Điểm


I/1

x+2

1) Cho biểu thức: P =

x x +1



2,5

4 x
.
x + 1 3
1

a. Rút gọn P.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
* ĐKXĐ: x 0
a

HS rút gọn ra kq P =
KL:

I/2

0,75
4 x

0,75

3( x x + 1)

1,5

2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại
x=

1 3 23 + 513 3 23 513

+
1ữ
ữ
3
4
4



x=

1 3 23 + 513 3 23 513

+
1ữ
ữ
3
4
4

3x + 1 =

3

23 + 513 3 23 513
+
4
4

0,75
3

I/3

23 + 513
23 513
ữ
(3 x + 1)3 = 3
+3

ữ
4
4


23
27x3 + 27x2+9x+1= +3(3x+1)
2

27
27x3 + 27x2=
2
2x3+2x2+1=2
3) Giải phơng trình: 2 x 3 + 5 2 x = 3 x 2 12 x + 14

0,75

1,5

ĐK: 1,5 x 2,5
+ Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP 2
2 x 3 = 5 2 x
VT = 2

x=2
VP = 2
x = 2

0,75

Do đó: PT
II/1

II/2

KL.
1) Chứng minh rằng với n N thì n 2 + n + 1 không chia hết cho 9.
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để (n 2 + n + 1) 9

Đặt A = n 2 + n + 1 . Vì A9 4 A9 (1)
Ta có: 4 A = 4(n 2 + n + 1) = (2n + 1) 2 + 3
Vì A9 4 A3 (2n + 1) 2 3 2n + 13 (2n + 1) 2 9
(2)
4 A = (2n + 1) 2 + 3 không chia hết cho 9 4 A không chia hết cho 9
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai.
Vậy ng với n N thì n 2 + n + 1 không chia hết cho 9.
x 3 + 2 y 2 4 y + 3 = 0
x 2 + x 2 y 2 2 y = 0

2) Cho x, y, z thỏa mãn

2

0,75

Tính Q = x2 + y2.

1,5
0,75

0,75

1


III/1

1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17
+) 23x + 7y = 17 y =

+) có x,y là số nguyên

1

23 x + 17
2 x 4
2( x + 2)
= 3 x + 3 +
= 3 x + 3 +
7
7
7

3 x + 3 Z
2( x + 2)



Z
2( x + 2)
7
Z
3x + 3 +
7
2 ( x + 2 ) M7 x + 2M7 Do UCLN (2;7) = 1
Do đó: x+2 = 7t ( t là số nguyên) x = 7t-2

III/2

0,25

0,25

0,5

Khi đó: y = -23t+6
Thử lại ta đợc x = 7t-2 và y = -23t+6 là nghiệm nguyên của pt

2

4
4
2
2 2
Ta có: ( x 2 + y 2 ) 2 = 1 nên x + y = ( x + y )

a
b
a+b
4
2 2
b(a + b) x + a (a + b) y = ab( x + 2 x y + y 4 )
b 2 x 4 + a 2 y 4 2abx 2 y 2 = 0
(bx 2 ay 2 ) 2 = 0
4

a

4

2
2
2
2
x 2006 y 2006
Từ đó: x = y = x + y = 1 1003 = 1003 =

x 2006
a 1003

a
b
a+b
2006
y
2
+ 1003 =
b
(a + b)1003

a+b

a

b

1

(a + b)1003

0,25
0,25

KL:

0,25

b
IV/1

2,25

x + ( m 1) y = 2
( m + 1) x y = m + 1

1) Cho hệ phơng trình

a) Giải hệ phơng trình khi m =

1
2

b) Xác định giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x,y)
thỏa mãn x>y.
a
b

Thay m = 1/2 và giảI hệ PT

x + ( m 1) y = 2

x + ( m 1) ( ( m + 1) x m 1) = 2
m x = m + 1



y = ( m + 1) x m 1
( m + 1) x y = m + 1 y = ( m + 1) x m 1
2

2

+) Nếu m = 0 thì HPT vô nghiệm

IV/2


m2 + 1
x =
+) Nếu m khác 0 thì HPT có nghiệm duy nhất là:
m2
y = m +1

2
2
3
x>y m +2 1 > m + 1 m +2 1 m 1 > 0 m 2+ 1 > 0 m3 + 1 f 0 m < 1
m
m
m
Vậy, m 0; m<1 thì HPT có nghiệm duy nhất thỏa mãn x>y

2) Cho x , y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z=2

CMR:

2

2

2

x
y
z
+
+
1
y+z z+x x+ y

áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

3

0,75
0,5
0,25

0,5

0,25

1,75


x2
y+z
+
x
y+z
4
y2
x+z
+
y
z+x
4
z2
x+ y
+
z
x+ y
4

0,5

x2
y2
z2 x + y + z
+
+
x+ y+ z
ữ+
y+z z+x x+ y
2
x2
y2
z2 x + y + z
+
+
=1
ữ
y+z z+x x+ y
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=
3

V

KL

1) Cho (O:R) và điểm K nằm bên trong đờng tròn. Hãy tìm dây cung ngắn
nhất của (O) đi qua K.

0,5
0,5
0,25

1

A
C

H

K
D

O
B

Gọi AB là dây cung đi qua K và vuông góc với AB
CD là dây cung bất kì đi qua K và không trùng với AB.
Kẻ OH vuông góc với CD tại H.
Nếu H trùng với K thì OK AB; OK CD. Suy ra AB trùng với CD. Mâu
thuẫn
Vậy H không trùng với K.
DO OH CD nên OH < OK. CD > AB.
Vậy dây cung vuông góc với OK tại K là dây cung ngắn nhất đI qua K

0,25

2) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC và một điểm A trên nửa đờng tròn( A
khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ

BC chứa A dựng hai nửa đờng tròn đờng kính HB và HC, chúng lần lợt cắt AB và
AC tại E và F.
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn đờng
kính HB và HC.
c. Gọi I và K lần lợt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng
minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
d. Đờng thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đờng tròn (O) tại M.
Chứng minh rằng MC, AH, EF đồng quy.

4

4

0,25
0,5


N

K
A
F

M
I
E

B

P

H

O

C

Q

a,

Xét tam giác vuông ABH có HE AB
AB.AE = AH2
(1)
Xét tam giác vuông ACH có HF AC
AC.AF = AH2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.

b,

Gọi P,Q lần lợt là trung điểm của HB và HC
Ta có tam giác PEH cân tại P, suy ra góc HEP = góc PHE
Góc HCF = góc PHE (đồng vị) suy ra góc HEP = góc HCF
Mặt khác AEHF là hình chữ nhật nên ta có:
góc HEF = góc HAF. Từ đẳng thức trên ta suy ra:
góc HEP + gócHEF = góc HCF + HAF = 900
suy ra EF PE, do đó EF là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BH.
Chứng minh tơng tự ta có: EF là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CH.

c,

Góc IAH bằng 2 lần góc BAH
Góc KAH bằng 2 lần góc CAH
Suy ra góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800
Suy ra I, A và K thẳng hàng
Gọi N là giao điểm của BM và CA
Theo tính chất tiếp tuyến ta có MB = MA, vì tam giác BAN vuông tại A nên M là
trung điểm của BN. Mặt khác AH // BN suy ra CM đi qua trung điểm của AH.
Do tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên EF đi qua trung điểm của AH.
Suy ra CM, AH, EF đồng quy

d,

5