tóm tắt công thức toán THPT

BÍ KÍP ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN
Nếu

GV Đoàn Quốc Đông

thì phương trình có nghiệm:

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:



Nếu

thì phương trình có nghiệm:

II.Phương trình bậc hai:
1.Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai:



: Phương trình vơ nghiệm.



:



Phương

trình

5.Dấu của nghiệm số:
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
có

nghiệm

kép:



Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt



Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

;
2.Cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Nếu “b chẵn” (ví dụ
cơng thức nghiệm thu gọn.

) ta dùng

III.Dấu của đa thức:


1.Dấu của nhị thức bậc nhất:

: Phương trình vơ nghiệm.



:

Phương

trình

có

nghiệm

kép:

trái dấu a0



: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

“Phải cùng, trái trái”
2.Dấu của tam thức bậc hai:

;


Chú

ý:

với
là hai nghiệm

cùng dấu a

của phương trình bậc 2:

3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2
nghiệm

cùng dấu a

có 2

cùng dấu a 0

cùng dấu a

thì:

cùng dấu a

0

trái dấu a 0

 “Tổng bà, tích ca”
4.Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:
“Trong trái, ngồi cùng”

1


3.Dấu của đa thức bậc
3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với
hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép
không đổi dấu.
IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên



.

2.Bất phương trình:

Cho tam thức bậc hai:



V.Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối

1.Phương trình :





VII. LƯỢNG GIÁC
1.Định nghĩa giá trị lượng giác:

2.Bất phương trình:





2.Các công thức lượng giác cơ bản:



3.Các giá trị lượng giác đặc biệt:

VI.Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
1.Phương trình:

2




Hai cung đối nhau:



Hai cung phụ nhau:



Hai cung hơn kém

và

và

4.Công thức cộng:

5.Công thức nhân đôi:

Hệ quả:
6.Công thức hạ bậc:

:

và

:

và

Hệ quả:

7.Công thức nhân ba:

8.Công thức biến đổi tích thành tổng:



Hai cung hơn kém

9.Công thức biến đổi tổng thành tích:

“Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ”

11.Công thức tính
10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém
tan, cot.


Hai cung bù nhau:

theo

Nếu đặt

và
12.Một số công thức khác:


3

thì:

:


TH2: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện: mẫu


•




•




•
•

b) Cách chuyển hàm:



13.Phương trình lượng giác cơ bản

c) Cách loại dấu trừ:

Đặc biệt:

Ngoại lệ:
14. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Là phương trình
có dạng
Đặc biệt:

 Đặt:
Điều kiện
Không có điều kiện t.
Các công thức cần nhớ:

Lưu ý:
a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện nếu gặp
một trong hai trường hợp sau:
TH1: Phương trình có chứa hàm số tang hoặc cotang (trừ phương
trình bậc nhất và bậc hai theo 1 hàm số tang hoặc cotang)

•

Phương

trình

có

chứa

:

Điều



kiện


15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx và cosx : Là phương trình có

•

dạng
Phương

trình

có

chứa

:

Điều

Chia 2 vế của phương trình cho

•

Phương trình có chứa cả

và

.

kiện

: Điều

kiện

4

ta được:


Vì

nên tồn tại 1 cung

sao cho
Khi đó phương trình trở thành:



Điều

kiện

có

VIII.Công thức tính đạo hàm:

.

nghiệm:

 Công thức cần nhớ:
16.Phương trình thuần nhất bậc hai: là phương trình có dạng
(*)

TH1:

thế vào (*)

TH2:

. Chia 2 vế (*) cho

ta được

phương trình bậc 2 theo
Lưu ý: Phương trình

với
có thể đưa về dạng (*) bằng cách:

17. Phương trình đối xứng và phản xứng : là phương trình có dạng

 Đặt :



Điều

kiện

“anh bạn ăn cơm bằng chén”


Điều

IX.Các dạng toán về hàm số:
1.Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)

kiện

∗

5

Tập xác định:


∗

n
g
h
i
ệ
m

Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức

)

∗

Đạo hàm:



p
h
â
n

Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình
tìm nghiệm.



Đối với hàm phân thức

b
i
ệ
t

:

c
ó
(hoặc
n
g

h
i
ệ
m

)

∗

Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.

∗

Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với

hàm phân thức

∗

k
é
p

)

Vẽ đồ thị:
v
ô

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba

n
g
h
i
ệ
m

Số
n
g
h
i
ệ
m

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương

c
ủ
a
p
h
ư
ơ
n
g

c

ó
3
n
g
h
i
ệ
m

t
r
ì
n
h

p
h
â
n
c
ó

b
i
ệ
t

2

6



Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định



(Không có dấu
“=”)
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

c
ó
1

(Không có dấu
“=”)
3.Cực trị của hàm số:

n
g
h
i
ệ
m
d
u
y



Hàm số

đạt cực trị tại



Hàm số

đạt cực đại tại



Hàm số

đạt cực tiểu tại

n
h
ấ
t
Các dạng đồ thị của hàm số phân thức

a.Hàm bậc 3:



Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)
trình

có

2

phương

nghiệm

phân

biệt

2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng
xác định:


a.Hàm bậc 3:
Tập xác định

Hàm

vô

.

Đạo hàm


Hàm số không có cực trị

nghiệm

Phương trình
hoặc

có

nghiệm

kép

là 1 tam thức bậc 2.
số

đồng

biến

trên
b.Hàm bậc 4 trùng phương:



Hàm

số

nghịch

biến

trên

Ta có:

b.Hàm nhất biến:

Tập xác định

Đạo hàm

có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.

Hàm số có 3 cực trị
có 3 nghiệm phân biệt

7

Phương trình
Phương trình (2) có 2


nghiệm phân biệt.
nghiệm phân biệt khác 0


Lưu ý : Trục hoành có phương trình
7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.

.

Hàm số có 1 cực trị

Phương trình
Cho đồ thị

có 1 nghiệm

. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số

Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có
nghiệm của phương trình

nghiệm kép bằng 0
.
4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

.



Biến



(*).
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ



thị :
Bảng kết quả :

đổi

phương

trình

về

dạng

xác định trên 1 đoạn


Hàm số liên tục trên đoạn



Tính đạo hàm



Giải




Số

.

phương

trình

.

Tính
,
So sánh và kết luận.

Tìm

các

nghiệm

,

…

Cho hàm số

Tìm tập xác định.

Cho

hai

đồ

thị

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm



Phương trình hoành độ giao điểm của



là :
(*)
Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào

và

1 trong 2 hàm số
hoặc
được tung độ giao điểm.
6.Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số
điểm cho trước.
Cho

hai

đồ

thị

và

Phương trình hoành độ giao điểm của
là :



và



Tính đạo hàm



Thay

vào

tính



Thay

vào

tính



Phương trình tiếp tuyến:

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm

.


là:

và

.



có đồ thị là đường cong (C). Phương

trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm

 Tính đạo hàm
 Lập bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.
5.Tìm giao điểm của hai đường.


n
g
h
i
ệ
m

…
…
…
…
Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng
kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề
(Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm,
đúng 4 điểm …)
8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng



Số
gi
a
o
đi
ể
m

và

(*)
cắt nhau tại

điểm

phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có



Giải phương trình



Thay



Phương trình tiếp tuyến:

vào

tìm

.

tính

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

8

.

.




Giả sử tiếp điểm là



Giải phương trình



Thay

7)


Lưu ý:

tìm

vào

(đổi cơ số)

.

ta tìm được

8)

.

Phương trình tiếp tuyến:

9)



Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng



thì
Nếu

10)

Đặc

biệt:

.

tiếp

tuyến

vuông

góc

với

đường

thẳng

Các tính chất quan trọng:

thì



Nếu

thì

 Nếu
thì
XI.Phương trình và bất phương trình mũ:
1.Phương trình mũ:

.

X.Các công thức về lũy thừa và lôgarit:
1.Công thức lũy thừa:




2.Bất phương trình mũ:


nếu
nếu



nếu
nếu

Các tính chất quan trọng:


Nếu

 Nếu
2. Công thức lôgarit:



thì

nếu


nếu
XII.Phương trình và bất phương trình lôgarit:
1.Phương trình lôgarit:

thì

1)



2)



3)

Đặc

biệt:


2.Bất phương trình lôgarit:


nếu

4)

nếu

5)



(lôgarit của tích bằng

nếu

tổng các lôgarit)
nếu

6)

(lôgarit của thương bằng



hiệu các lôgarit)

9

nếu





Phương

pháp

đổi

biến

số

dạng

1:

nếu
Một số cách đổi biến thường gặp:

Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit:




Không có điều kiện.

Đặt




Điều kiện:



Đặt



Đặt

Điều kiện:

Đặt



Đặt



Đặt

Không có điều kiện



Đặt



Đặt

XIII.Công thức nguyên hàm-tích phân



Công thức nguyên hàm:
Nguyên hàm cơ

Nguyên hàm mở rộng

bản







Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa



Khi tính tích phân dạng

thì đặt

:

o

Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

o

Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt

.

o

Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt

.

Phương pháp đổi biến số dạng 2:


Hàm có chứa

thì đặt



Hàm có chứa

thì đặt



Hàm có chứa

hay

thì đặt

Tích phân từng phần:

Thứ thự ưu tiên:



Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:


10

Bậc của
thức tử cho mẫu.

Bậc của

: Chia đa




Bậc của

Bậc của

:

Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:



Phép



Phép nhân hai số phức:



Phép chia hai số phức:

trừ

Đặc biệt:



trục

hoành,

hai

đường

thẳng

.

Cho

).

phương

trình

bậc

hai

(
)

Công thức:
Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số



, hai đường thẳng

: Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

;

Công thức:



phức:

 Số phưc nghịch đảo của
là:
2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:

và


số

(nhân cả tử và mẫu cho

Tính diện tích hình phẳng
 Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
,

hai

Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị
hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng
quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay



:



: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:

Phương

trình

có

nghiệm

kép

thực

:

có thể tích là:

XIV.Số Phức
1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng

,
;

trong đó

là các số thực,
a: được gọi là phần thực
b: được gọi là phần ảo





Chú ý:

.



Tập hợp các số phức được ký hiệu là

Khi giải phương trình trùng phương
trên tập số phức

, ta đặt

(không cần

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.
điều kiện cho

Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau

)


và phần ảo bằng nhau.
“Thực bằng thực, ảo bằng ảo”



Môđun của số phức



Số phức liên hợp: của số phức



Phép cộng hai số phức:

:

TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong
hai phương án A hoặc B. Nếu có m cách thực hiện phương án A,
n cách thực hiện phương án B thì sẽ có m+n cách hoàn thành
công việc.
là
2. Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện qua hai hành động
liên tiếp A và B. Nếu có m cách thực hiện hành động A, n cách thực
hiện hành động B thì sẽ có

11

cách hoàn thành công việc.


Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp nếu
thỏa mãn 3 điều kiện sau:





xảy ra

Đề cho có chữ số 0.
-

Số cần tìm có các chữ số khác nhau.

Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) hoặc số chia hết cho
5.
II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Hoán vị: Từ n phần tử

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (
).
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán
vị của n phần tử đó.



Số hoán vị của n phần tử:
n!: đọc là “n giai thừa”

(hay





lấy k

thì ta nói A và B là 2 biến cố
xung khắc (không đồng thời xảy ra).

-

được gọi là biến cố đối của biến



(A

và

xung



: Số kết quả thuận lợi cho biến cố A.

: Số phần tử của không gian mẫu.
Tính chất của xác suất:
-

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (
).
Lấy ra k phần tử, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh
hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

Nếu

A

, với mọi biến cố A.
B
xung
khắc

và

(công thức cộng

-

, với mọi biến cố A.
HÌNH HỌC PHẲNG
I. Một số công thức thường dùng trong hình học phẳng:

hạng

tổng

quát:



a, b, c: độ dài 3 cạnh
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp



Định lí côsin:




Định lí sin:
Công
thức

tính

của một phép thử. Kí hiệu
(ô-mê-ga).
Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu.
-

Biến cố không
xảy ra.

là biến cố không bao giờ
2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Biến cố chắc chắn
Phép toán trên các biến cố:
-

, ký hiệu

hoặc

IV.Xác suất
 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm,
một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đó mà:
Kết quả của nó không đoán trước được.
Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra của phép thử đó.
 Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra



thì:

xác suất)

1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho

Số

và

Xác suất của biến cố:
Trong đó:
-

lấy k

III.Nhị thức Niu-tơn
 Công thức nhị thức Niu – tơn:



khắc

sắp thứ tự





A.

)

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (
).
Lấy ra k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó,
mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

3. Tổ hợp: Từ n

xảy ra

-

cố

2. Chỉnh hợp: Từ n

): Giao của các

biến cố A và B (
A và B đồng thời xảy ra).

sắp thứ tự



A xảy ra hoặc B

xảy ra).

là biến cố luôn xảy ra

: Hợp của các biến cố A và B (

12

độ

dài

trung

tuyến:





Tam giác đều:



Hình vuông:



Hình chữ nhật:



Hình



Hình






3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

bình

hành:

hoặc

thoi:

hoặc
hoặc

x tích 2 đường chéo



Hình thang:

 Hình tròn:
II.Các đường trong tam giác:
1.Đường trung tuyến_Trọng tâm
 Xuất phát từ đỉnh
 Qua trung điểm cạnh đối diện

A

4. Lưu ý:


Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
góc vuông có độ dài bằng ½ cạnh huyền




Hình vuông có độ dài đường chéo bằng cạnh x
Cạnh huyển của tam giác vuông cân có độ dài bằng
cạnh góc vuông x

G
B

C

M

* Tính chất:
 Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm và
điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

.

.


Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng
đường trung tuyến.
2.Đường cao_Trực tâm
 Xuất phát từ đỉnh
 Vuông góc cạnh đối diện



Đường cao của tam giác đều có độ dài bằng
.
5.Các công thức tính diện tích:
 Tam giác thường:

độ dài

A

J


đường cao)

(

H

: độ dài 3
B

* Tính chất:
 Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm
này được gọi là trực tâm của tam giác.
3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp
 Qua trung điểm một cạnh
 Vuông góc với cạnh đó






(r:

bán

kính

đường

tròn

nội

tiếp,

A
I

: nửa chu vi)

B





C

I

Tam giác vuông:

C

(Công thức Hê-rông)
* Tính chất:
 Ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm,
điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác và đó là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác.

x tích 2 cạnh góc vuông

13


4.Đường phân giác_Tâm đường tròn nội tiếp
 Xuất phát từ một đỉnh
 Chia góc ứng với đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau
* Tính chất:
 Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm,

điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và đó là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác.

3)

A

Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai
đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
a

J

α

B



M

b

C

Đường phân giác của tam chia cạnh đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ
với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy

β

A

E

D

B

C

II.

Quan hệ vuông góc:

1)
5.Đường trung bình
 Qua trung điểm hai cạnh

2)

N

B

phẳng



Đường thẳng d song song với mặt phẳng

với một đường thẳng

và
nằm trong

.

nếu
song song

Đường thẳng
thì

Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và
không có điểm chung.

không nằm trong

nếu

Tính chất:

Quan hệ song song:

2)

.

vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt

 Có độ dài bằng
cạnh đáy
III.Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
 Cạnh – Góc – Cạnh
 Góc – Cạnh – Góc
 Cạnh – Cạnh – Cạnh
Nếu là tam giác vuông:
 Cạnh huyền – Góc nhọn
 Cạnh huyền – Cạnh góc vuông
IV.Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
 2 góc bằng nhau
 1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ
 3 cạnh tỉ lệ
Nếu là tam giác vuông:
 1 góc nhọn bằng nhau
 2 cạnh tỉ lệ
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1)

vuông góc với nhau

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

C

* Tính chất:
 Song song với cạnh đáy

I.

và

nếu góc giữa chúng bằng

A
M

Hai đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng
sẽ vuông góc với mọi đường thẳng

nằm trong mặt phẳng


.

(Định lý 3 đường vuông góc) Cho đường thẳng
không vuông góc với mặt phẳng
nằm trong mặt phẳng

.

d

kiện cần và đủ để

d'

vuông góc với hình chiếu

14

. Khi đó, điều

vuông góc với

α

trên

và đường thẳng

.

là
của


2)

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng
trên

3)

là góc giữa d và hình chiếu d’ của d
.

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt này chứa một đường
thẳng vuông góc với mặt kia.

β
d

α

Cách tìm góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng
:

Tính chất:
 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ
vuông góc với mặt phẳng kia.



Tìm hình chiếu d’ của d trên



Khi đó góc giữa d và
Ta có thể trình bày như sau:
- Vì

.

bằng góc giữa d và d’:

nên hình chiếu của O trên

- Vì
H.

là O.

nên hình chiếu của A trên

là

Hình chiếu của AO trên là HO

3)


Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
nằm trong 2 mặt phẳng, cùng vuông góc với giao tuyến.
β

Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ
ba đó.

b
d
I

α
a

Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng



III.

và

Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b là
góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song
(hoặc trùng) với a và b.



IV.

15

mà cùng vuông góc với giao tuyến d.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng
góc giữa hai đường thẳng a và b.

và

Khoảng cách:

1)

:

Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng
và
Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng

Góc:

1)

và

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

bằng


Trong đó
là mặt phẳng chứa đường thẳng a và
song song
với đường thẳng b và M là điểm tùy ý trên đường thẳng b.

V.

Từ A kẻ
Phương pháp tìm đoạn AH:

-

Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ
vuông góc với mặt phẳng
đường thẳng a.

-

Trong mặt phẳng

Hình chóp – khối chóp:
Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều
cao

chứa A và
Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:
 Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:

theo giao tuyến là

, kẻ






Lưu

ý:

Nếu

thì

VI.

Các khối hình chóp thường gặp:

1)

2)

Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần
có diện tích bằng nhau.
Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4
phần có diện tích bằng nhau.

Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các
cạnh bên đều bằng nhau.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:


Cách 1: Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.

Tính chất của hình chóp đều:
 Đường cao đi qua tâm của đáy.
 Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các
góc bằng nhau.

 Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
Chú ý:
 Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có
tâm là giao điểm của 2 đường chéo.
 Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao
điểm hai đường trung tuyến.
 Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a

2)


và b nếu
Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song
với nó chứa đường thẳng còn lại.

16

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:


Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:



và

cùng vuông góc với

Ta có:
Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba đó”

3)



Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao
của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.

Chú ý:
 Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếuVIII. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1
mặt phẳng:
đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”


Đường cao SH của
hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng.



Thường bài toán cho “
là tam giác đều là nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:
- Gọi H là trung điểm AB
-

Vì

đều

chính là đường cao của

Ta có:

Tương tự:

SH là đường cao của

Ta có:
VII.

Trong đó:
Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba
đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.
IX. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều
cao

Ta có:
dùng cho khối chóp tam giác)
Các trường hợp đặc biệt:

(Công thức này chỉ được



17

Tính chất của hình lăng trụ:
 Các cạnh bên song song và bằng nhau.
 Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.
 Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác
bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Đối với hình lăng trụ đứng:




2)
3)

Các cạnh bên cũng là đường cao.
Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy.
Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng
nhau.
Hình hộp:
 Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
 Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.
 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.



Thể tích hình hộp chữ nhật
(a, b, c: 3 kích
thước)
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng
nhau.
Thể tích hình lập phương

X.

XI.

XII.
1)

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:



Diện tích mặt cầu:



Thể tích khối cầu:

Diện



Thể tích khối trụ:
chiều cao)

2)

XIII.


Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình
tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ.
Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ.
 Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.
 Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.
 Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.
 Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi
là khối trụ.
Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ:
Diện tích xung quanh mặt trụ:
độ dài đường sinh,

phần

hình

trụ:

(

:

Mặt nón – Hình nón - Khối nón:
Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO

khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt
nón.

Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và
hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là
mặt đáy của hình nón.
 Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.
 Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được
gọi là chiều cao của hình nón.
 Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.
Diện tích mặt nón và thể tích khối nón:


Diện tích xung quanh mặt nón:



độ dài đường sinh,
Diện
tích





toàn



Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ:

1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi
đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.

2)

tích

(a: độ dài cạnh)

Mặt cầu – Khối cầu:
1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập
hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một
khoảng R không đổi.
Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối
cầu.

2)



(

:

: bán kính đáy )

18

toàn

Thể tích khối nón:
: chiều cao)

(

: bán kính đáy )
phần
hình

:
nón:

(

Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình
chóp thường gặp
Hình 1: Hình chóp S.ABC có
.
Cách đặc biệt

vuông tại B,


Hình 3: Hình chóp S.ABC có

là tam giác đều,

.

Gọi I là trung điểm của SC.

vuông tại A

(1)

Gọi J là trung điểm BC.
vuông tại B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

(2)

Qua O dựng đường thẳng

Từ (1) và (2)
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

là

vuông góc với mp(ABC)
trục

của

đường

tròn

ngoại

tiếp

.
Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Bán kính:
Hình 2: Hình chóp S.ABC có

vuông tại A,
Gọi

.
Ta có:

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:
Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.

Gọi O là trung điểm của BC
tiếp

O là tâm đường tròn ngoại

.

Qua O dựng đường thẳng
là

vuông góc với mp(ABC)
trục

của

đường

tròn

ngoại

tiếp

.
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Gọi

trục của đường tròn ngoại tiếp
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Ta có:

Gọi

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có:

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Bán kính:

19

SO là


Cách tính bán kính:
(Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)
(Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc
hình chữ nhật),
Cách đặc biệt

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ
đơn vị lần lượt là:

Gọi I là trung điểm của SC.
vuông tại A

II.Tọa độ của vectơ:

(1)

Đặc biệt:

vuông tại B

vuông tại D

III.Tọa độ của điểm:
y : tung độ, z : cao độ)
Đặc biệt:

(2)

(3)

Từ (1), (2) và (3)
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:
Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.



M ∈ (Oxy) ⇔



M ∈ (Oyz) ⇔



M ∈ (Oxz) ⇔



M ∈ Ox ⇔



M ∈ Oy ⇔



M ∈ Oz ⇔

Hình chiếu vuông góc của điểm

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo
SO là trục của đường
tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.
Gọi



Trục Ox là:



Trục Oy là:



Trục Oz là:



mp(Oxy) là:



mp(Oxz) là:



mp(Oyz) là:

(x : hoành độ,

lên:

Ta có:
IV.Các công thức về tọa độ: Nếu
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.



Bán kính:
Cách tính bán kính:



20

thì:





Định nghĩa: Cho hai vectơ

. Tích có hướng

“Hoành bằng hoành, tung bằng
tung, cao bằng cao”



của hai vectơ
sau:

⇔ tồn tại một số k sao

cùng phương

và

là 1 vectơ được xác định như

cho:



Quy tắc: 23-31-12
Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính
1.Máy 570VN PLUS



Tọa độ vectơ



ON

MODE

8

1

8

2

5

3

1: Nhập tọa độ Vectơ





Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
Toạ
độ
trọng
tâm
G
của

AC

MODE
1: Nhập tọa độ Vectơ

tam

giác

ABC:



AC

SHIFT
X

SHIFT

4

5

=

2.Máy 570ES PLUS



ON

V.Tích vô hướng của hai vectơ:



MODE



Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu

thì:
nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao”

AC

SHIFT

Độ


dài

vectơ:

5

2

Nếu

1: Nhập tọa độ Vectơ

“Hoành

Ứng dụng:


1

1: Nhập tọa độ Vectơ

2



8

AC

SHIFT

5

X

thì

SHIFT

4

3
5

=

3.Máy 570MS


Độ dài đoạn thẳng AB:



Góc giữa hai vectơ:



ON

SHIFT

5

1




AC

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

3: Nhập tọa độ Vectơ

SHIFT

5

2

VI.Tích có hướng của hai vectơ:



AC

SHIFT

5

1

3: Nhập tọa độ Vectơ

5

1

21

1

X
3

3
SHIFT

2

=




Tính chất của tích có hướng:



Nếu



Hai vectơ

thì

và

 Đặc biệt:
Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt
cùng phương với nhau
phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.

và

Dạng


Ba vectơ

,

và

1:

(α )

đi

qua

điểm

có

VTPT

đồng phẳng với
:

nhau ⇔
(



(α):
được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)
Dạng 2: (α) đi qua điểm
:

Ứng dụng của tích có hướng:



A, B, C thẳng hàng



A, B, C, D đồng phẳng
Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)
 Khi đó VTPT của (α) là



Diện tích hình bình hành ABCD:




Diện tích tam giác ABC:
Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′:

Dạng 3: (α) đi qua điểm
phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0:

có cặp VTCP

.
và song song với mặt

 Khi đó
Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

.

 Thể tích tứ diện ABCD:
VII.Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi
qua

và có VTPT

là:
 Khi đó VTPT của (α) là
Dạng 5: (α) là mặt phẳng trung trực của MN:







Nếu (α) có phương trình

thì (α)

có VTPT là
Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng
là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT
của mặt này là VTCP của mặt kia.
Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng
:

22

(α):
Dạng 6: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β),
(γ):


 Khi đó VTPT của (α) là
Dạng 7: (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H ((α) là tiếp diện của mặt
cầu (S) tại H):

Dạng 12: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d 2 (d1,
d2 chéo nhau):

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

–
Dạng 8: (α) song song với mặt phẳng
và tiếp xúc với mặt cầu (S):

Dạng 13: (α) chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

– Vì (

α) song song với

nên phương trình mp(α) có

- Trên d lấy 1 điểm A

dạng
– Vì (

Dạng 14: (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
Giải phương trình này ta tìm được

Dạng 9: (α) đi qua điểm
thẳng AB:

.

và vuông góc với đường

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α).

–
Dạng 15: (α) chứa 2 đường thẳng song song d1, d2:

 Khi đó VTPT của (α) là
Dạng 10: (α) đi qua điểm

thẳng

và vuông góc với đường

– Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2

–

Dạng 16: (α) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (β):

:

 Khi đó VTPT của (α) là
Dạng 11: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo
nhau (hoặc cắt nhau):

23

– Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).


–
VIII.Phương trình mặt cầu:



Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:



Dạng

2:

Phương

trình
với

điều

– Bán kính:

kiện IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm

là phương trình mặt cầu tâm I(a; b;

và có VTCP

thì d có

c) và bán kính R =



Điều kiện mặt cầu

tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:


Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu
(S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

Phương trình tham số là:



Phương trình chính là:
(nếu a,
b, c đều khác 0)
Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình
đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

(S):
Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

Dạng 1: d đi qua điểm

– Bán kính R = IM
Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

–

Tâm

I

là

trung

điểm

và có VTCP

:
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

của

đoạn

thẳng

AB:
Dạng 3: d đi qua điểm
thẳng ∆ cho trước:

và song song với đường

.

– Bán kính R = IA =
.
Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu
có dạng:

Dạng 4: d đi qua điểm
(P) cho trước:

và vuông góc với mặt phẳng

(S).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4
phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình
mặt cầu (S).
Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
:
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

24


–

Tìm toạ độ một điểm M ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình
d qua

và hình chiếu H của

trên đường

thẳng ∆
(với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho

Dạng 10: d đi qua điểm
d2:

và cắt hai đường thẳng d1,

)

–
Dạng 6: d đi qua điểm

thẳng d1, d2:

và vuông góc với hai đường

–

Gọi (P) =

, (Q) =

.

–

Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, VTCP của d là
.
Dạng 11: d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với
đường thằng ∆:

–

Gọi

(P)

là

mặt

phẳng

chứa

d1

song

song

∆:

–

Gọi

(Q)

là

mặt

phẳng

chứa

d2

song

song

∆:

Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

–
–

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).
Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P).
Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 9: d đi qua điểm
thẳng ∆:

, vuông góc và cắt đường

25

và

chéo nhau: