giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1

Bài giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1 08-09
Bài 1.
1
2
arctgx
ln x acrtgx = lim arctgx ln x = lim
L lim 1 + x
a) I = lim
x →0
x →0
x→0
x →0
1
1 1
− 2
ln x
ln x x
1
2 ln x
1
ln 2 x
x = lim 2 ln x
I = − lim
lim
L − lim
C1.
2
x → 0 1 + x x →0
x→0
x →0
1

1
1
− 2
x
x
x
1
2
I L lim x = lim ( −2 x ) = 0
x →0
1 x →0
− 2
x
1
1
2 ln x
2
ln 2 x
2
ln
x
x = lim
x = lim −2 x = 0
L − lim
L lim
C2. I = − lim
x →0 1
x →0
x →0 1
x →0

x →0 1 + x 2
1
1
+x
− 2 +1
−x
− 2 −1
x
x
x
x
b)
1
x − sin x
1 − cos x
sin x
 1
I = lim 
− ÷ = lim
L lim
L lim
=0
x →0 sin x
x  x→0 x sin x x →0 sin x + x cos x x→0 cos x + cos x − x sin x

Bài 2.
Vẽ hình.
Diện tích hình phẳng:
π
π

S = ∫ 4 ( cos x − sin x ) dx = ( sin x + cos x ) 4 = 2 − 1 .
0
0
Bài 3.
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
∞
∞
∞
1 − cos x
2sin 2 x
dx
dx
=
dx
<
2
∫0 1 + x 2
∫0 1 + x 2
∫0 1 + x 2
∞ π
dx
=
arctgx
= (hội tụ)
∫0 1 + x 2
0 2
Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy ra tích phân đã cho hội tụ.
Bài 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.
1
tg

∞
∞
1
1
n = 1 và
a) ∑ tg . Ta có lim
phân kì.
∑
n
→∞
1
n
n =1
n =1 n
n
∞
1
Theo tiêu chuẩn so sánh 2, ∑ tg phân kì.
n
n =1
∞

Mà:


∞

b)

2− n

∑ n ln n
n=2

un +1
2− n −1
n ln n 1 n
ln n
=
=
Xét
−n
un
2 n + 1 ln ( n + 1)
( n + 1) ln ( n + 1) 2
u
1 n
ln n
1
n
ln n
1
lim n +1 = lim
= lim
lim
= .
Suy ra
n →∞ u
n →∞ 2 n + 1 ln ( n + 1)
2 n→∞ n + 1 n→∞ ln ( n + 1) 2

n
Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi số đã cho hội tụ.
Bài 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.
2n
∞
x − 2)
(
a) ∑
2n
n =1
Đặt X = ( x − 2 ) , chuỗi đã cho trở thành
2

∞

Xn
∑
n =1 2n
Bán kính hội tụ

R=

1
=1
2n
lim
n →∞ 2 ( n + 1)

Suy ra, miền hội tụ là X < 1 ⇔ ( x − 2 ) < 1 ⇔ x − 2 < 1 ⇔ 1 < x < 3
Khi x = 1, chuỗi đã cho trở thành chuỗi số

2n
∞
( −1) = ∞ 1 : chuỗi phân kì.
∑
∑
2n
n =1
n =1 2n
Khi x = 3, chuỗi trở thành chuỗi số:
2n
∞
( 1) = ∞ 1 : chuỗi phân kì.
∑
∑
n =1 2n
n =1 2n
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 < x < 3
2
∞
xnnn
b) ∑
n2
n =1 ( 1 + n )
2

Bán kính hội tụ

R = lim n
n →∞

nn

2

( 1+ n)

n

2

= lim

n →∞

nn

( 1+ n)

n

= lim

n →∞

1
n

 1
1 + ÷
 n

=

1
e

1
1
Miền hội tụ − < x < .
e
e
1
Khi x = , chuỗi trở thành chuỗi số
e
2
∞
e− n nn
e −1n n
1
= 2 < 1 , hội tụ.
2 . Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, lim
∑
n
n
n →∞
n =1 ( 1 + n )
( 1+ n) e


Khi x = −

1
chuỗi trở thành chuỗi số
e

( −e ) n n
∑
n
n =1 ( 1 + n )
∞

−n

2

2

( −e ) n n
∑
n
n =1 ( 1 + n )
∞

. Xét chuỗi trị tuyệt đối

−n

1
1
Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa trên là − ≤ x ≤

e
e

2

2

∞

=∑
n =1

e− n nn

( 1+ n)

2

n2

hội tụ.