VỀ CẤU TRÚC NĂNG LỰC TOAN HỌC CỦA HOC SINH

1

VỀ CẤU TRÚC NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH
Trần Luận
Viện Khoa học giáo Giáo dục Việt Nam
I. Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài có tầm quan trọng đặc biệt. Vì thế, nhiều ý kiến
của các đồng chí lãnh đạo Đảng và Nhà nước cũng như trong các văn kiện của Đảng
và Chính phủ rất nhiều lần đề cập đến vấn đề này (bài viết cố GS Phạm Văn Hoàn
trong tạp chí thông tin Khoa học Giáo dục, số 15/1989).
Trong thư gửi cán bộ, công nhân viên, thầy cô giáo, sinh viên nhân dịp bắt đầu năm
học 1968 – 1969, Bác viết “Để đảm bảo cho một thời gian không xa, chúng ta phải
đạt được những đỉnh cao của Khoa học kỹ thuật, ngay từ bây giờ trong các nhà
trường phải phát hiện, bồi dưỡng những thầy dạy xuất sắc, những học sinh xuất sắc
cho từng nghành học, từng môn học” (xã luận Báo Nhân dân ngày 16.081968).
Khi bàn về cải cách giáo dục, đồng chí Trường Chinh đã nói “vấn đề phát triển
nănng khiếu học sinh rất quan trọng…học sinh cần phải có kiến thức phổ thông toàn
diện, nhưng đối với các em có năng khiếu cần có kế hoạch phát triển riêng…”
Nghị quyết 37 của Bộ Chính trị (Khóa IV) về chính sách khoa học và kỹ thuật có
dạo nêu: “…cần có những biện pháp để sớm phát hiện những mầm mống các tài
năng từ những trường phổ thông cơ sở, tiếp tục đào tạo những học sinh xuất sắc
nhanh chóng trở thành những cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi và trẻ tuổi”.
Tại trại nghiên cứu cải cách giáo dục tháng 4 năm 1996, đồng chí Phạm Văn Đồng
đã nói: “Phải chú trọng đào tạo nhân tài.phải chọn từ các em cấp 1, nhất là từ cấp
hai, những em có khả năng, năng khiếu đặc biệt, nhất là về Toán, Lý, Hóa, Nhạc,
Thể dục và phát hiện ngay, phát hiện sớm rồi mình đào tạo đặc biệt, trong 10 đến 15
năm nữa mình sẽ có những nhà Bác học giỏi. Không có cách nào khác đâu. Nếu




2

mình cứ để nó bình thường thì sẽ mai một đi uổng công lắm”.
II. Đây là vấn đề hầu hết các nước tiên tiến trên thế giới đều có sự quan tâm đặc
biệtcả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý hơn là cả việc
phát hiện và bồi dưỡng cho học sinh năng khiếu về toán. Tuy nhiên, cho đến nay
vẫn chưa có được định nghĩa thống nhất về năng lực chung cũng như năng lực Toán
học nói riêng. Vì vậy, ở đây chúng tôi lựa chọn trên các quan niệm sau đây:
(1) Năng lực là đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu
của một loại hoạt động nhất định là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả
tốt đẹp loại hoạt động đó.
Năng khiếu được hiểu là mầm mống của tài năng. Năng khiếu được phát hiện sớm
và bồi dưỡng có hệ thống sẽ phát triển và có thể đạt tới đỉnh cao của nó là tài năng.
Năng khiếu là tín hiệu của tài năng tương lai (theo Phạm Văn Hoàng – Nguyên
Cảnh Nam – Về vấn đề phát hiện, bồi dưỡng chính sách đối với năng khiếu, tài
năng – Thông tin Khoa học Giáo dục số 15 năm 1999).
(2) Khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai phương diện:
Như là năng lực sáng tạo (khoa học) – năng lực hoạt động khoa học toán mà hoạt
động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với
loài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội.
Như là năng lực học tập – năng lực nghiên cứu (học tập, lĩnh hội) toán học (trong
trường hợp này là giáo trình toán phổ thông), lãnh hội nhanh chóng có kết quả cao
các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và
sâu sắc trong những điều kiện như nhau (theo V.A.Krutexki trong “Tâm lý năng lực
toán học của học sinh”.
III. Các năng lực Toán học đã lôi cuốn sự chú ý rộng rãi của giới khoa học và các
nhà giáo dục từ đầu thế kỉ này. Nhà toán học Pháp A.Poăng ca rê là một trong
những người đầu tiên đề xướng việc nghiên cứu vấn đề này. Ông công nhận có tính

3

đặc thù của các năng lực sáng tạo toán học và đã chỉ ra những thành phần quan
trọng nhất của chúng là trực giác toán học. Từ đó, các nhà tâm lý học bắt đầu
nghiên cứu các năng lực toán học của học sinh, họ đưa ra ba dạng năng lực là: Năng
lực số học; năng lực đại số; năng lực hình học. Và đã có nhiều cuộc tranh luận về
viẹc tồn tại các năng lực toán học chung hay không.
Các kết luận từ các nghiên cứu thực nghiệm cũng cực kì mâu thuẫn: một số khẳng
định có tồn tại các năng lực toán học chung; một số khác phủ nhận điều đó khi xét
thấy các năng lực toán học riêng ở trên dường như không liên quan với nhau và
ngoài các năng lực toán học riêng đó, họ chỉ thấy các năng lực trí tuệ chung.
Cùng với các công trình nghiên cứu theo phương pháp phân tích nhân tố, các nhà
tâm lý học còn vận dụng phương pháp quan sát. Nhờ phương pháp này, vào đầu
những năm 20, các nhà toán học đã cố gắng nêu ra các thành phần của năng lực
toán học. Chúng tôi xin dẫn ra một số ví dụ:
A.Kâymerôn; (1) Năng lực phân tích các cấu trúc toán học và phối hợp lại các yếu
tố của chúng; (2) Năng lực so sánh và phân loại cá dữ kiện số và không gian; (3)
Năng lực vận dụng các nguyên tắc chung và sử dụng các con số trừu tượng; (4) Trí
tưởng tượng.
V.Commerel;(1) Tư duy logic rõ ràng; (2) Sức trừu tượng hóa; (3) Năng lực tổ
hợp; (4) Năng lực về các phép toán và biểu tượng không gian; (5) Tính phê phán
của tư duy; (6) Trí nhớ.
G.Tômác; (1) Năng lực trừu tượng hóa; (2) Năng lực suy luận logic; (3) Tri giác
đặc thù; (4) Có kỹ năng sử dụng các công thức; (5) Năng lực trực giác; (6) Trí
tưởng tượng toán học.
Nhưng được đực biệt chú ý là các công trình nghiên cứu về năng lực toán học của
nhà tâm lý học Mỹ vĩ đại E.Tooc dai, một phần lớn các công trình này đến nay vẫn
được quan tâm.

4

Trong cuốn “Tâm lý học đại số”, trước tiên E.Tooc dai đã đưa ra các năng lực tổng
quát: (1) Năng lực tiếp xúc với các kí hiệu; (2) Năng lực lựa chọn và tiếp xúc với
các kí hiệu; (3) Năng lực khái quát hóa và hệ thống hóa; (4) Năng lực lựa chọn các
dữ kiện và các yếu tố cơ bản một cách hợp lý; (5) Năng lực quy các thói quen và ý
đồ thành hệ thống.
Sau đó ông mới đưa ra các năng lực đại số trực tiếp: (1) Năng lực hiểu và thiết lập
công thức; (2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành dạng các công
thức; (3) Năng lực biến đổi các công thức; (4) Năng lực thiết lập các phương trình
biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; (5) Năng lực giải các phương trình; (6)
Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất; (7) Năng lực biểu diễn
bằng đồ thị, sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng,…
V.Haker và T. Sighen đã nêu ra bốn thành phần phức hợp cơ bản gọi là “nhân” của
năng lực toán học: (1) Thành phần không gian; (2) Thành phần logic; (3) Thành
phần số; (4) Thành phần kí hiệu.
Vào giữa những năm 30, G.Hem ly đã đưa ra 3 thao tác với tư cách là các yếu tố cơ
bản của tư duy toán học: (1) Phân loại – phân tư liệu thành các nhóm với cùng tính
chất; (2) Phân bậc – bên trong các nhóm tách ra thành một thứ tự trội đặc trưng
cho nội dung của chúng; (3) Tương ứng – làm rõ tương ứng của các quan hệ giữa
các phần tử của các nhóm khác nhau.
Theo tác giả, tính hiệu quả của việc thực hiện các thao tác đó trên các đối tượng số
học, đại số và hình học sẽ xác định năng lực toán học.
A.Blăcoel cho rằng: Ngoài thành phần cơ bản của tư duy toán học, tức là với năng
lực tư duy lựa chọn, năng lực suy diễn trong các lĩnh vực số và kí hiệu, năng lực tư
duy trừu tượng còn nhấn mạnh đến năng lực sử dụng các đối tượng không gian,
năng lực diễn đạt bằng lời cũng như năng lực lưu trữ trong trí nhớ các dữ kiện trong

nghĩa chính xác và chặt chẽ của chúng.




5

E.Misen cho rằng: Tư duy toán học được đặc trưng bởi các quá trình sau: (1) Phân
loại; (2) Hiểu và sử dụng được các kí hiệu; (3) Suy diễn; (4) Sử dụng được các tư
tưởng và các khái niệm trong dạng trừu tượng không cần dựa vào các cứ liệu cụ
thể.
Trong những năm 50, M.Hemsơ lại quay về với các hệ thống thao tác tư duy của
G.Hemly và nhờ đó đã thiết lập được rằng: sự yếu kém của trẻ em trong phát triển
toán học được bọc lộ thông thường trong tất cả 3 phân môn số học, đại số và hình
học. Tác giả xem đó như là một chứng cứ cho sự tồn tại của một nhân tố toán học
có tính chất nhóm.
Cũng đi tới cùng một kết luận như thế còn có D.Ly. Ông đa áp dụng các thao tác
của G.Hemly vào các dạng toán sau ( theo ý của tác giả là đặc trưng cho cả 3 phân
môn toán): tính phần trăm, giải phương trình bậc hai, chứng minh nhóm cá định lý
về đường tròn. Nhờ có những bộ Test đó, người ta nghiên cứu năng lực của 100 học
sinh ở các độ tuổi khác nhau. Các kết quả thử nghiệm bằng Test đã được nghiên cứu
bằng phương pháp phân tích nhân tố.
Năm 1950, ở Mỹ đã tổ chức một hội nghị về chuyên đề: “Các cách thức phát hiện
và giáo dục học sinh có tiềm năng trong khoa học”. Riêng các tiềm năng trong
Toán học được các nhà tâm lý học xác định bằng các bộ Test theo các thành phần
sau: trí tuệ chung, năng lực suy luận trừu tượng, năng lực biểu tượng không gian,
năng lực đọc và hiểu các bài khóa khoa học, năng lực minh họa các quan hệ, … Các
giáo viên đã đưa vào các tiềm năng đó: (1) Trí nhớ phi thường; (2) Tính ham hiểu
biết về mặt trí tuệ; (3) Năng lực tư duy trừu tượng; (4) Năng lực áp dụng kiến thức
vào các tình huống mới; (5) Năng lực nhanh chóng “nhìn thấy” kết quả khi giải bài

tập.
Tâm lý học Ghecstan, mặc dù đã đánh đồng tư duy với sự phát triển của tình
huống có vấn đề bên ngoài hoạt động của chủ thể tư duy và bỏ qua kinh nghiệm đã
có của con người, vẫn có nhiều kết quả lý thú trong việc nghiên cứu quá trình suy




6

luận sáng tạo khi giải toán. Chẳng hạn, K.Duncơ đã kết luận rằng: Lời giải sẽ xuất
hiện từ việc xem xét các dữ kiện của bài toán dưới góc độ của điều cần tìm, từ một
cấu trúc lại tình huống, và tính dễ dàng tương đối của việc thực hiện cấu trúc lại sẽ
đặc trưng cho tài năng của cá nhân. Con người bao quát càng nhiều khía cạnh dưới
cùng một quan điểm và các khía cạnh đó càng khác nhau thì anh ta càng có năng
lực. Để giải quyết được các bài toán đòi hỏi phải có các năng lực như tầm rộng lớn
và tính linh hoạt của tư duy, năng lực trừu tượng hóa từ những cái cụ thể. N.Mayơ
cũng nhấn mạnh đến tầm quan trọng của tính linh hoạt của tư duy được thể hiện khi
kết hợp lại các dữ kiện của bài toán phù hợp với khuynh hướng của quá trình tư duy
khi giải nó. Các cách giải quen thuộc, theo tác giả, sẽ kìm hãm việc tìm ra lời giải
đúng đắn.
Nhà tâm lý học hiện đại G. Piagiê rất coi trọng các thao tác tư duy. Ông đã phân
ra các giai đoạn trong sự phát triển trí tuệ, bao gồm: giai đoạn các thao tác cụ thể
gắn liền với các dữ kiện cụ thể ít hình thức hóa và giai đoạn các thao tác hình thức
hóa và khái quát hóa khi các cấu trúc thao tác đã được hình thành. Ông đã gắn cấu
trúc thao tác này với ba cấu trúc toán học cơ bản [cấu trúc đại số; cấu trúc thứ tự;
cấu trúc tôp]. Ông đã phát hiện ra được tất cả các kiểu cấu trúc này trong sự phát
triển của các thao tác hình học và số học trong ý thức của đứa trẻ và trong đặc điểm
của các thao tác logic. Từ đó, ông đưa ra kết luận về sự cần thiết phải tổng hợp các
cấu trúc toán học và cấu trúc thao tác của tư duy trong quá trình dạy toán.

Nhà tâm lý học Thụy Điển Y.Vecdelin đưa ra một định nghĩa rọng về năng lực
toán học, trong đó bao gồm các khía cạnh tái tạo và sáng tạo, hiểu và vận dụng,
nhưng ông tập trung chú ý nhất vào khía cạnh quan trọng là sáng tạo trong quá
trình giải toán. Theo ông, phương pháp dạy học có thể dựa vào đặc điểm của các
năng lực toán học. Y.Vecdelin xây dựng được 5 bộ Test và mỗi bộ đều có giá trị
lớn theo một trong các nhân tố sau: nhân tốtổng quát; nhân tố tính toán; nhân tố
ngôn ngữ; nhân tố hình ảnh và nhân tố suy luận cũng như một nhóm các Test riêng
về toán (nhóm các bài toán). Công trình nghiên cứu cơ bản của ông, đã có sử dụng




7

36 Test cho 217 học sinh trong độ tuổi 14 – 15, đã chỉ ra rằng: các Test toán học
không có ý nghĩa đối với ba nhân tố tính toán, ngôn ngữ và hình ảnh. Ông đề nghị,
tiếp tục nghiên cứu ý nghĩa của nhân tố này đối với năng lực toán học và tác giải
cũng chỉ mới rút ra một kết luận là năng lực toán học được xác định bởi nhân tố cơ
bản – nhân tố suy luận toán học tổng quát, và ông thấy rằng mọi Test toán đều có ý
nghĩa lớn đối với nhân tố này. Ngoài ra, khi nhận thấy có một mối quan hệ cực kì
mật thiết giữa R – nhân tố suy luận toán học tổng quát với G – nhân tố trí tuệ chung
trong quá trình nghiên cứu, ông đã kết luận rằng nhân tố R nằm trong cơ sở của
năng lực trí tuệ chung và nhân tố R có một nền năng lực trí tuệ chung.
Nhà Tâm lý học Liên Xô A.Côvaliốp và V.N.Miaxiexep, khi nghiên cứu các năng
lực toán học đã đưa ra các đặc điểm sau đây của tư duy toán học: (1) Có thiên
hướng về các thao tác với các con số, về giải toán và mức cao hơn nữa là có thiên
hướng và hứng thú đến các vấn đề toán học; (2) Lĩnh hội nhanh chóng các quy tắc
đếm và số học; (3) Biểu lộ đặc biệt mạnh sự phát triển tư duy trừu tượng, năng lực
phối hợp và phân tích – tổng hợptrong lĩnh vực về sử dụng các biểu tượng về dấu
và số; (4) Tính độc lập và độc đáo phát triển trong khi giải quyết các vấn đề toán

học và sự tăng cường tư duy sáng tạo; (5) Tính tích cực về mặt ý chí và sức làm
việc cao trong lao động toán học; (6) Chuyển thiên hướng và nhu cầu thành say mê
khi việc nghiên cứu toán học trở thành sứ mệnh: sự hoạt động có hiệu quả về số
lượng và chất lượng cho phép phát hiện các chỉ số ngày càng trội hơn các bạn cùng
lứa.
Nhà Toán học Xô viết Ta Khin Chin, đưa ra ý kiến khá hay khi chỉ ra các nét sau
đây của tư duy toán học: (1) Tính chủ đạo của sơ đồ logic của suy luận; (2) Tính cơ
động (khát vọng tìm kiếm con đường đạt mục đích ngắn nhất); (3) Tính phân chia
rành mạch tiến trình suy luận; (4) Tính chính xác ( mỗi biểu tượng toán học có một
ý nghĩa hoàn toàn xác định).
Viện sĩ A.N.Cônmôgôrôp trong tác phẩm: “ Về nghề nghiệp của các nhà toán học”




8

đã chỉ ra rằng năng lực ghi nhớ một cách máy móc một số lượng các sự kiện công
thức, cộng và nhân nhẫm hàng dãy các số có nhiều chữ số không quan hệ gì đến
năng lực toán học. Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra: (1) Năng
lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay
để giải các phương trình không phù hợp với các quy tắc thông thường, hoặc như
các nhà toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angorit”; (2) Trí tưởng
tượng hình học hoặc “trực giác hình học”; (3) Nghệ thuật suy luận logic, được
phân nhỏ hợp lý, tuần tự: có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần
thiết cho các nhà toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và các kỹ năng
vận dụng nó một cách đúng đắn; (4) Ông còn nhấn mạnh: Các khía cạnh khác nhau
của năng lực toán học thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và năng lực
này thường được bộc lộ rất sớm đòi hỏi phải luyện tập liên tục. chúng tôi nghĩ rằng
điều này có ý nghĩa rất lớn.

Viện sĩ B.V. Ghownhedenco ttrong một loạt bài báo đăng trong tạp chí “ toán học
trong nhà trường” các năm 1962 – 1965 đã đưa các tính chất sau của tư duy toán
học: (1) Năng lực nhìn thấy tính không ra ràng của suy luận: thấy được sự thiếu
vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh; (2) Có thói quen lý giải logic một cách
đầy đủ; (3) Chia rõ một cách rõ ràng tiến trình suy luận; (4) Sự cô đọng; (5) Sự
chính xác của kí hiệu.
Viện sĩ A.T.Maccuxêvich trong khi nhấn mạnh đến đòi hỏi quen thuộc nhất đối với
chúng ta về năng lực biểu tượng không gian và số lượng đã chỉ ra các phẩm chất sau
đây của trí tuệ và tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy toán: (1)Có kỹ
năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ
năng trừu tượng hóa); (2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho
trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học,
đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bổ không gian(kỹ
năng sơ đồ hóa); (3)Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiêu chí đã cho(tư duy
suy diễn); (4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng




9

phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ là
các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng; (5)Kỹ năng vận dụng các kết quả
rút ra được từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả
đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi điều kiện
đến độ tin cậy của các kết quả; (6)Khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt ra
những vấn đề mởi dạng khái quát.
X.L. Sưvacbuôc sau khi khái quát hóa ý kiến của các nhà toán học đã nghiên cứu
các yếu tố sau đây trong sự phát triển toán học: (1) Các biểu tượng không gian; (2)
Tư duy trừu tượng; (3) Chuyển thành sơ đồ toán học; (4) Tư duy suy diễn; (5) Phân

tích, xem xét các trường hợp riêng; (6) Áp dụng các kết luận; (7) Tính phê phán; (8)
Ngôn ngữ toán học; (9) Kiên trì khi giải toán
IV. Công trình nghiên cứu tâm lý năng lực Toán học của V.A.KRUTECXKI
[Quyển_ Tâm lý năng lực toán học của học sinh; năm 1967; GS Phạm Văn Hoàn
và các công sự trích dịch sang Tiếng Việt năm 1973]
Quyển sách gồm 18 chương. Trong chương “Giả thuyết các thành phần của năng
lực học toán với tư cách là cơ sở của nghiên cứu thực nghiệm”, tác giả nêu ra các
thành phần sau đây: (1) Năng lực hình thức hóa tư liệu toán học, năng lực tách hình
thức ra khỏi nội dung, năng lực trừu tượng hóa từ các quan hệ số lượng cụ thể và
các hình dạng không gian và sử dụng các cấu trúc hình thức, các cấu trúc của các
quan hệ và các liên hệ; (2) Năng lực khái quát hóa tư liệu toán học, tách cái chính
và bỏ qua những cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên
ngoài; (3) Năng lực sử dụng hệ thống dấu và số; (4) Năng lực suy luận logic, được
phân nhỏ hợp lí, tuần tự, (A.N. Cônmôgôrôp), có liên qua đến nhu cầu phải chứng
minh, biện chứng (luận), kết luận; (5) Năng lực rút gọn quá trình suy luận, tư duy
bằng các cấu trúc thu gọn; (6) Năng lực tư duy thuận nghịch (năng lực chuyển hóa
từ quá trình thuận sang đảo của tư duy); (7) Tính linh hoạt của tư duy, năng lực
chuyển hóa từ thao tác trí tuệ này sang thao tác trí tuệ khác, thoát được sự ràng




10

buộc vào các khuôn mẫu, công thức (đặc điểm này của tư duy có tầm quan trọng
trong công việc sáng tạo của các nhà toán học); (8) Trí nhớ toán học(trí nhớ các
khái quát hóa, các các cấu trúc hình thức, các sơ đồ logic); (9) Năng lực của biểu
tượng không gian.
Tác giả khẳng định rằng: Các năng lực này ông rút ra từ các đặc trưng cơ bản của tư
duy toán học và đã cố gắng loại bỏ những phạm trù có tính chất khái quát nhất

(chẳng hạn năng lực tư duy trừu tượng), “cố gắng biểu diễn chúng bằng những cái
đã được khai triển thành những phạm trù rõ ràng và xác định hơn”. Tuy nhiên,
chính điều đó theo ý chúng tôi, ông đã đạt được, vì năng lực liệt kê ở trên cũng
mang tính khái quát. Loại bỏ tư duy năng lực trừu tượng, có lẻ là không hợp lý lắm.
Năng lực này, như chúng tôi đã kể đến ở trên, hầu như đều có mặt trong các phương
án cấu trúc năng lực toán học. Nhấn mạnh đến kỹ năng trừu tượng hóa. A.I. Mác-cixê-vích đã nói: “Chúng tôi nhấn mạnh đến điều đó, đó chính vì phương pháp cơ
bản của toán học – đó chính là trừu tượng hóa”[A.I.Mác-cu-xê-vích; Về nhiệm vụ
trước mắt của việc giảng dạy toán ở trường phổ thông; tạp chí toán họctrong nhà
trường, số 2 năm 1962]. Cùng với ý kiến trên, chúng tôi nghĩ rằng, sự phản ánh rõ
nét các thao tác tư duy tương ứng với các phương pháp toán học phải nhất thiết có
trong mọi sơ đồ cấu trúc năng lực toán học. Tất nhiên không có một khoa học nào
thiếu được sự trừu tượng hóa để trên cơ sở đó xây dựng các khái niệm làm cơ sở
cho khoa học đó. Nhưng trong toán học, sự trừu tượng hóa – đó là phương pháp cơ
bản và đạt đến mức mới cao nhất về chất.
Tổng kết các công trình nghiên cứu, V.A. Krutecxki đã đi đến sơ đồ tổng quát sau
đây về cấu trúc năng lực toán học của học sinh: (1) Thu nhận thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực cấu trúc hình thức của
bài toán; (2) Chế biến thông tin toán học: (a) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực
các quan hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu. Năng
lực tư duy bằng các kí hiệu toán học, (b)Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các
đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán, (c) Năng lực rút gọn các quá trình




11

suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các
cấu trúc rút gọn, (d)Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học,
(e)Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của tiến trình tư duy

thuận sang tiến trìh của tư duy đảo[trong suy luận toán học]; (3) Lưu trữ thông tin
toán học: Trí nhớ toán học[trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học; đặc điểm về
loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc đường lối
giải toán]; (4) Thành phần tổng hợp khái quát:Khuynh hướng toán học của trí
tuệ.
Tác giả nói rằng, ông xây dựng sơ đồ này phù hợp với các giai đoạn cơ bản của việc
giải bài tập. Tuy nhiên, theo ý chúng tôi nguyên tắc này ở đây không được đảm bảo
hoàn toàn, mà từ “giai đoạn” của sơ đồ chỉ có giai đoạn 2 là chính được tách ra
thành các phần. Chúng tôi cho rằng nguyên tắc xây dựng sơ đồ cấu trúc năng lực
toán học như vậy có vẻ nhân tạo. Vì rõ ràng là cấu trúc của các năng lực này là
không tương ứng với cấu trúc chung của quá trình giải các bài tập toán. Thực ra,
ngay cả nguyên tắc xây dựng sơ đồ trên (nghiên cứu năng lực toán học của học sinh
trên cơ sở giải toán) cũng chưa có cơ sở vững chắc.
Về sự liên quan của việc giải toán với năng lực toán học B.V. Gờ-nhe-đen-cô đã
nói: “Ý nghĩa của các Olimpic toán là rất lớn. Nhưng chúng chỉ có vai trò hạn chế
trong sự phát triển hứng thú toán học của học sinh. Chúng phát triển chủ yếu thiên
về việc giải toán không chuẩn mực. Các năng lực toán học có thể bộc lộ không
chỉ trong việc đó, mà nhiều nhà toán học bằng các phát minh to lớn của mình đã có
đóng góp to lớn cho khoa học nhưng có thể trong thời trẻ không giành được một
giải thưởng nào trong kì thi. Họ có những năng lực đặc thù khác: Trong hoàn
cảnh yên tĩnh, không vội vã, họ đã khai phá ra con đường giải quyết các vấn đề
lớn đặt ra trước khoa học. Sự không thành đạt trong các kì thi Olimpic hoàn toàn
không có nghĩa là thiếu tài năng toán học,..”(B.V.Gờ-nhe-đen-cô; Ở trình độ của
thế kỉ XIX; Báo giáo viên, ngày 21/06/1962). Thực tế, ở nước ta cũng thấy được




12

điều đó.
Ở đây, B.V.Gờ-nhe-đen-cô đã nhân tiện nêu đặc điểm của một trong các nét khái
quát quan trọng của các năng lực toán học không thấy có trong sơ đồ trên. Thực
vậy, V.A. Krutecski khi liệt kê các thành phần không bắt buộc của năng lực toán
học tron đó thành phần đầu tiên là: “Sự nhanh chóng của công việc tư duy chỉ là
đặc trưng tạm thời. Tốc độ làm việc của cá nhân không có ý nghĩa quyết định. Nhà
toán học có thể suy nghĩ không vội vàng, thậm chí chậm chạp, nhưng cặn kẽ và
sâu sắc”. Ở đây, ông khẳng định đúng nhưng chưa đủ. Sự nhanh chóng không chỉ
là không bắt buộc mà còn không đặc trưng cho tư duy sáng tạo. Vì vậy, năng lực
trên [sự suy nghĩ cặn kẽ và sâu sắc] là thành phần bắt buộc trong sơ đồ khái quát
của năng lực toán học.
Còn một số mâu thuẫn nữa đối với tính không bắt buộc của sự nhanh chóng trong
tốc độ của tư duy toán học thể hiện ở chỗ 3 trong 6 thành phần của mắt xích cơ bản
trong sơ đồ khái quát của cấu trúc lại nói chính về sự nhanh chóng hoặc thu gọn của
quá trình tư duy, nghĩa là về thực chất là nói về nhịp độ tăng của việc thực hiện các
thao tác. Còn tính linh hoạt hoặc tính dễ dàng thoải mái được nhắc đến trong các
thành phần của năng lực để làm cho người ta ấn tượng rằng cái chính trong các
năng lực toán học là nhanh chóng chuyển từ cái này sang cái khác không bị vướng
mắc gì đối với việc nghiên cứu, mặc dù trên thực tế lại hoàn toàn ngược lại: Việc
buộc phải chuyển sang cách thức tìm kiếm mới chỉ sau khi cách thức cũ được gợi ý
bởi kinh nghiệm và trực giác đã được thử nghiệm một cách có cơ sở.
Khi bắt đầu quá trình tư duy và mỗi lần chuyển hướng tương tự thường phải đánh
giá tình huống với mục đích lựa chọn một cách thực tìm tòi hợp lý hơn. Trong các
tình huống toán học hoàn toàn mới, mà kinh nghiệm đã không có đủ để giải quyết,
lúc này vai trò chính lại là trực giác toán học, sự nhạy bén của tư duy, năng lực dự
đoán phương hướng tìm kiếm có thể đưa đến mục đích. Mặc dù, trực giác của toán
học cho đến nay vẫn còn ít được nghiên cứu (cũng như bản chất, cơ chế của quá

13

trình tư duy nói chung) nhưng sự tồn tại của nó được khẳng định bởi các nhà toán
học vĩ đại có kinh nghiệm sáng tạo khoa học to lớn của bản thân, cũng như các nhà
sư phạm toán có nhiều kinh nghiệm và đã có thời gian theo dõi tư duy của các em
học sinh có năng lực về toán. Trực giác toán học không chỉ là nhân tố phức hợp
quan trọng nhất trong năng lực sáng tạo khoa học, và vì vậy nó cần phải có
trong thành phần sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học.
Về thành phần năng lực tư duy logic được trình bày trong giả thuyết[4 thành phần]
có lẽ tốt hơn trong sơ đồ khái quát (thành phần 2.a) trong trường hợp đầu diễn đạt
nội dung rõ ràng hơn: “Năng lực suy luận logic được phân nhỏ hợp lý, tuần tự, có
liên quan đến nhu cầu phải chứng minh, luận chứng, kết luận”; trường hợp thứ hai,
năng lực đó trở thành nội dung xác định: “Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các
quan hệ số lượng và không gian, hệ thống kí hiệu dấu và số. Năng lực tư duy bằng
các kí hiệu toán học”. Ở đây, tác giả chỉ muốn đề cập đến khái niệm tư duy logic
một cách đơn giản, mặc dù khái niệm này, các nhà tâm lý học đã giải thích theo
nhiều cách khác nhau, thậm chí rất rộng. Tuy ở đây, tác giả đã cố gắng giới hạn khái
niệm này và chỉ vận dụng vào toán học. Tuy nhiên vẫn chưa rõ được “Tư duy logic
trong lĩnh vực các quan hệ không gian và số lượng, hệ thống kí hiệu dấu và số” là
cái gì? Hoặc đó là khái niệm tư duy logic chung được vận dụng vào toán học,
nhưng khi đó liệu có mâu thuẫn với ý của tác giả chỉ đưa vào sơ đồ khái quát
những năng lực chính của toán học? Hoặc đó là khái niệm tư duy logic đặc thù –
nhưng khi đó chúng ta khó có cơ sở để nói về sự tồn tại của nó nếu chưa chỉ ra được
bản chất đặc thù toán học của nó mà tác giả chưa đề cập đến.
Trong sơ đồ tổng quát cũng chưa làm rõ bản chất của “Năng lực tri giác hình thức
hóa tài liệu toán học”. Ở đây, chúng tôi muốn nhấn mạnh hình thức hóa này có ý
nghĩa tích cực đối với tư duy trong lĩnh vực toán học, nhưng sự hình thức hóa đó
nhất thiết phải có nội dung toán học. Trong trường hợp ngược lại, sẽ không có hiệu
quả, thậm chí có hại về mặt sư phạm, vì nó dễ dẫn đến chủ nghĩa hình thức của kiến

thức, đến việc ghi nhơ một cách máy móc hoặc học thuộc lòng một cách thiếu suy




14

nghĩ, đến việc lĩnh hội một cách hời hợt tài liệu toán học và các điều kiện của bài
toán mà sự hình thức hóa như thế không giúp ích gì cho việc giải bài toán. Chúng
tôi xin đưa ra ý kiến của Rơnê Tôm, nhà Toán học người Pháp – đã từng đạt giải
Fild – ông nói: “toán học hiện đại có tồn tại hay không?”; trong tạp chí “Toán học
trong nhà trường”, số 1 năm 1973: Trên thực tế, ý nghĩa của toán học không bao
giờ là một ý nghĩa hình thức” . Theo tôi, có thể khẳng định một cách rõ ràng nhất
là: Các quá trình hình thức hóa duy nhất trong toán học – đó là tính toán số và tính
đại số. Nhưng liệu có thể nhập toán học vào các phép tính toán không “và”không
thể nghĩ rằng ý nghĩa của các cấu trúc toán học chuẩn mực là bao trùm toàn bộ toán
học; ngược lại: các cấu trúc này chỉ là bề mặt của các khía cạnh của nó.
Rơnê Tôm phản đối ý đồ của một số nhà Toán học hiện đại muốn thay đổi hình học
Euclide bằng: “Các vấn đề tổng quát của cấu trúc tập hợp và logic, nghĩa là bằng
các tư liệu ngheo nàn nhất trống rỗng nhất, đáng thất vọng nhất đối với mọi trực
giác bất chợt vừa mới nảy sinh”.
Trong sơ đồ khái quát còn có thành phần trí nhớ toán học đảm bảo cho việc lưu trữ
thông tin toán học đã được khái quát hóa. Nhưng ở đây, có điều chưa rõ ràng là ở
mức độ nào và vì sao việc lưu giữ thông tin toán học trong não lại là năng lực
toán học chứ không phải là năng lực trí tuệ chung. Ngoài ra, ở đây còn bỏ qua một
khía cạnh cơ bản khác là năng lực sử dụng nhanh chóng, dễ dàng và đầy đủ thông
tin toán học được lưu trữ trong trí nhớ.
Khi đối chiếu với giả thiết về các thành phần và cơ sở tổng quát các năng lực toán
học của V.A. Krutecxki, chúng tôi đều thấy rằng trong mỗi cái đều có 9 thành phần,
trong đó chỉ có một thành phần – năng lực các biểu tượng không gian là được thay

bằng khuynh hướng toán học của trí tuệ. Còn các yếu tố của các thành phần khác,
một số được phối hợp lại, hoặc có thay đổi bộ phận trong cách diễn đạt và trình tự
sắp xếp. Năng lực các biểu tượng không gian, cũng như năng lực biểu diễn trực
quan các qua hệ và phụ thuộc toán học tác giả đã chuyển sang thành phần không bắt




15

buộc của cấu trúc năng lực toán học. Nhưng ở đây, ông cũng đã nói trước là sự có
mặt hay không của chúng trong cấu trúc [chính xác hơn là mức độ phát triển của
chúng] sẽ xác định loại hình và thiên hướng toán học của trí tuệ chứ không phải xác
định mức độ của tài năng toán học.
Khi nhấn mạnh đến việc A.Poăng Carê, G.Adama và những người khác đã nói về
kiểu các kiểu hình học và giải tích của trí tuệ, tác giả đã khẳng định rằng liên hệ với
các thuật ngữ này ở họ trước hết là các cách thức trực giác và logic của sáng tạo
trong toán học như vậy. Các thành phần logic và trực giác đều có vai trò quan
trọng, chúng tác động qua lại, bổ sung và cần thiết cho nhau chứ không thể thay
thế lẫn nhau được. Ngoài ra, tác giả hình như đặt tương ứng tư duy logic và giải
tích, trực giác và hình học – trực giác được hiểu theo nghĩa rất hẹp, coi như trực
giác hình học. Nhưng trên thực tế, như chúng ta đã biết, trực giác có thể mang tính
logic. Ở đây, trực giác toán học cần được coi như một năng lực phức hợp đoán
định trước các kết quả và cách thức dẫn đến mục đích của tư duy sáng tạo trong
lĩnh vực toán học. Tư duy logic không tham gia trực tiếp vào hành động trực giác
(vai trò của nó chưa nhận thức được), nhưng nhất thiết sau đó nó phải được lôi cuốn
vào để kiểm tra tính đúng đắn của dự đoán trực giác.
Ngoài các kiểu hình học và giải tích của trí tuệ, V.A.Krutecxki còn đưa ra hai biến
thể của kiểu điều hòa là trừu tượng và hình ảnh. Từ bảng sơ đồ đặc trưng của các
kiểu toán học[Các thiên tướng của trí tuệ; trang 349; bảng dịch trang 138], tác giả

đã thiết lập được rằng: thành phần ngôn ngữ - logic ở những người có kiểu giải tích
trí tuệ rất mạnh, với kiểu hình học – trên trung bình và với trí tuệ điều hòa – mạnh,
còn các biểu tượng không gian tương ứng là yếu, rất mạnh và mạnh. Các biến dạng
của kiểu điều hòa được phân biệt bởi việc sử dụng các điểm tựa trực quan khi giải
toán: điều hòa trừu tượng – “có thể, nhưng điều hòa đó không giúp gì”, điều hòa
hình ảnh – “có thể và điều đó có giúp đỡ”. Kiểu giải tích tác giả còn gọi là thiên
tướng toán học – trừu tượng; kiểu hình học – thiên tướng toán học – hình ảnh của
trí tuệ. Từ các đặc trưng này không suy ra được kiểu hình học tương ứng với năng




16

lực cần thiết để học tốt chương trình hình học phổ thông, còn kiểu giải tích – để học
đại số. Vì chúng ta đều biết rằng số lượng các khái niệm trừu tượng trong phân môn
hình học phổ thông không ít hơn trong đại số, và mức độ trừu tượng của chúng cũng
không thấp hơn của đại số. Còn thành phần ngôn ngữ - logic trong hình học cũng
nhiều hơn trong đại số (số lượng các định lí được chứng minh nhiều hơn).
Do đó, chúng ta thấy được một điều không tự nhiên lắm là: khi nghiên cứu các năng
lực toán học của học sinh, tác giả đã khẳng định rằng năng lực luôn là năng lực về
một hoạt động xác định; trong khi đó, lúc nhóm các năng lực tác giả lại không tính
đến các đặc trưng cơ bản của phân môn toán học đã xác định tính chất hoạt động
của học sinh. Ở đây, chúng ta lại tìm thấy được một hệ quả nữa của sự phân định
không rõ ràng đặc thù của các năng lực sáng tạo toán học của học sinh. Trước đây,
E.Tooc – dai đã nghiên cứu các năng lực đại số và số học. Và hiện nay trong các
công trình nghiên cứu trên thế giới, chúng ta vẫn còn gặp sự phân chia năng lực
toán học của học sinh thành hai kiểu hình học và đại số (giải tích). Như vậy, ngay
giai đoạn đầu của việc phân chia là hoàn toàn hợp lý. Hai năng lực phức hợp này
bao gồm một loạt các thành phần chung và đặc thù. Kiểu năng lực hình học đặc thù

trước hết bao gồm năng lực các biểu tượng không gian và trí tưởng tượng không
gian mà đôi khi ta còn gọi là trực giác không gian. Trong khi đó, trong các công
trình nghiên cứu toán học hiện đại, năng lực này không có được sự ứng dụng trực
tiếp. Điều đó dễ tạo ra khả năng coi nó là thành phần không bắt buộc của năng lực
toán học. Tất nhiên, tác giả cũng không phủ nhận năng lực này, nhưng rõ ràng là
ông đã không tính đến trọng lượng của nó trong các năng lực học toán, trong khi đó
nó có ý nghĩa cực kì quan trọng trong giáo dục phổ thông.
Chúng ta không thể xem các năng lực toán học của học sinh có tính chất nghề hẹp
như thế, chỉ xuất phát từ những quan điểm của các nhu cầu phát triển của chính
toán học, vì điều đó chỉ liên quan đến hoạt động tương lại của một bộ phận rất nhỏ
số học sinh phổ thông. Cũng không thể tính đến các năng lực toán học cần thiết cho
mọi người, trong đó trực giác không gian là một trong các năng lực quan trọng




17

nhất. Mặc dù đối với việc phát triển các năng lực sáng tạo toán học, năng lực này
không có ý nghĩa trực tiếp nhưng nó có tầm quan trọng trong việc rèn luyện tư duy
sáng tạo toán học thông qua việc giải các bài tập hình học nhiều dạng khác
nhau. Như Rơnê Tôm đã gọi giáo trình hình học Euclide truyền thống ở phổ thông
là một kho tàn vô tận các bài luyện tập và là mảnh đất lý tưởng cho việc dạy tìm tòi,
nó là một phương tiện cơ bản cho việc phát triển các năng lực biểu tượng và tưởng
tượng không gian. A.N. Cônmôgôrôp trong “Về nghề nghiệp của nhà toán học”
cũng đã nói: “Vì thế độc giả không phải ngạc nhiên trước khẳng định rằng trí tưởng
tượng hình học hay thường gọi là trực giác hình học có một vai trò to lớn trong
công tác nghiên cứu hầu như trong mọi lĩnh vực toán học thậm chí cả ở nhưng lĩnh
vực trừu tượng nhất”.
V.A. Krutecxki cho rằng, tất cả các thành phần của cấu trúc khái quát của ông đều

là năng lực toán học đặc thù chứ không phải năng năng lực trí tuệ chung tạo khả
năng bộc lộ tốt trong toán học. Ông muốn chỉ ra điều đó trên các ví dụ về năng lực
khái quát hóa các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán và đã dẫn ra 5 lý lẽ
[trang 389-397, sách dịch trang 171-175]. Trong đó, ông đưa vào ý kiến của các nhà
toán học tài năng có thể không giỏi trong các lĩnh vực khác và ngược lại có người
có tài nói chung, có thể không có tài về toán. Ông đã đưa ra ví dụ như trong trường
học, D.L.Menđêleep học rất tốt về môn toán và môn vật lý nhưng lại học kém về
các môn ngôn ngữ, còn A.X. Puskin thì ngược lại. Nhưng theo chúng tôi vẫn còn có
những ví dụ và sự kiện không kém phần thuyết phục hơn. Chẳng hạn, L.Niu Tơn và
A.Anhxtanh là những thiên tài trong lĩnh vực các khoa học toán học trong thời thơ
ấu lại không bộc lộ các năng lực toán học thực sự, triển vọng. Nếu xem xét các tư
liệu do tích lũy được về đặc trưng và cấu trúc của năng lực toán học cũng có thể
dẫn đến kết luận như vậy. Tính phân tán và mâu thuẫn lớn không cho phép chúng ta
rút ra được kết luận chính chắn. Điều đó có thể do nhiều nguyên nhân, chúng tôi xin
nêu ra một số nguyên nhân cơ bản sau:
(1) Mặc dù có những nét chung trong các năng lực học toán và năng lực sáng tạo




18

toán học, nhưng các nhóm này vẫn khác nhau và có tính độc lập tương đối, vì thế
việc nghiên cứu chúng trước hết có lẽ nên tính đến điều kiện này. Đôi khi người ta
vẫn nói rằng không có ranh giới giữa hoạt động nghiên cứu của các nhà bác học và
việc học tập của học sinh, tuy nhiên điều đó không có cơ sở hiện thực. Theo ý riêng
chúng tôi, sự trùng hợp các đặc trưng của hai dạng hoạt động này vẫn không có
ngay cả trong trường hợp nhà trường chuyển sang việc dạy học theo phương pháp
nghiên cứu. Do năng lực được bộ lộ và nhận biết trong hoạt động nên đặc trưng
khác nhau của hoạt động học tập và hoạt động khoa học hiển nhiên sẽ xác định sự

khác nhau của đặc trưng của hai nhóm toán học này.
(2) Mỗi một nhóm năng lực toán học mang tính độc lập và toàn vẹn. Mà các năng
lực được hình thành trong quá trình hoạt động và được xác định về cơ bản theo kết
quả hoạt động, nhưng đối với hoạt động dù đó là hoạt động trí tuệ chỉ riêng các
phẩm chất trí tuệ sẽ không đủ. Ở đây, các nhân tố của các phân nhóm xúc cảm và ý
chí có vai trò quan trọng. Các phân nhóm này cùng với các phân nhóm trí tuệ cần
phải được đưa vào mỗi nhóm năng lực toán học. A.N.Cônmôgôrôp đã viết rằng:
“Không có công việc nào thiếu sự say mê công việc của mình, thiếu sự làm việc có
hệ thống”[Vào nghề nghiệp của nhà toán học].
Nhiều nhà tâm lý học và Toán học cũng như đã chỉ ra những nhân tố là bộc lộ và
phát triển năng lực như thiên hướng và hứng thú, yêu lao động và có khả năng làm
việc, ý chí và tính mục đích. Sự có mặt các phẩm chất này của nhân cách của lĩnh
vực hoạt động với lĩnh vực bộc lộ các mầm mống trí tuệ tốt mới là năng lực thực sự
biểu lộ ra bên ngoài và mới có ý nghĩa xã hội hiện thực. Trong trường hợp ngược
lại, các mầm mống bẩm sinh của năng lực chỉ dừng lại ở tiềm năng ít được phát
triển và khi đó chúng ta không thể nói gì về năng lực tương ứng.
Khi nghiên cứu tâm lí của năng lực học toán của học sinh, thông thường người ta ít
tính đến các khía cạnh cơ bản của đặc trưng sư phạm. Điều đó dễ dẫn đến việc
hiểu và giải thích các kết quả một cách không hoàn toàn chính xác, và dễ làm sai




19

lệch bức tranh các năng lực sáng tạo toán học.
V. Từ những phân tích trên, chúng tôi xin đề xuất sơ đồ cấu trúc năng lực toán học
của học sinh. Với tư cách là một giả thuyết ban đầu cho việc nghiên cứu tiếp tục vấn
đề này và với tư cách là cơ sở tạm thời cho việc nghiên cứu các giai đoạn sau(Trong
sơ đồ, năng lực toán học được hiểu theo nghĩa hẹp, chỉ nói riêng về nhân tố trí tuệ).

Trong cấu trúc này gồm hai nhóm: năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc
thù:
+ Nhóm các năng lực trí tuệ chung: (1) Năng lực hệ thống hóa và trừu tượng hóa
toán học[A.L.Máccuxêvich]; (2) Năng lực sử dụng các sơ đồ, hệ thống tín hiệu và
những cái trừu tượng; (3) Năng lực suy luận logic được phân nhỏ hợp lý, tuần tự,
có liên quan đến nhu cầu phải chứng minh, luận cứ, luận chứng, kết luận[A.N.
Cônmôgôrốp]; (4) Năng lực khái quát hóa toán học và tri giác khái quát tình
huống; (5) Năng lực phân tích triệt để cấu trúc toán học, tái phối hợp các yếu tố
của nó; (6) Tính linh hoạt của quá trình tư duy; (7) Năng lực hệ thống hóa chặt chẽ
thông tin toán học; (8) Năng lực ghi nhớ logic và sử dụng nhanh chóng, dễ dàng
các thông tin đã được ghi nhớ; (9) Năng lực diễn đạt một cách chính xác ý nghĩa
toán học. Tất cả các năng lực này được vận dung không chỉ đối với các đối tượng
toán học.
+ Nhóm năng lực toán học đặc thù: (1) Năng lực tưởng tượng không gian; (2)
Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc trừu tượng; (3) Tính sâu
sắc và cặn kẽ các quá trình tư duy trong hoạt động toán học[B.V.Gờnhdencô]; (4)
Năng lực trực giác toán học.
VI. THAY THẾ CHO KẾT LUẬN, CHÚNG TÔI XIN NÊU RA MỘT SỐ SUY
NGHĨ SAU.
Sơ đồ cấu trúc năng lực toán học nêu trên chỉ mới dừng lại ở nghĩa hẹp của năn lực,
tức là chỉ mới đề cập đến nhân tố trí tuệ của năng lực. Trên thực tế, năng lực cần




20

được hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm các nhóm thành phần trí tuệ, xúc cảm,
ý chí và thể chất. Điều này có thể minh họa bằng sơ đồ sau:
Các thành phần của năng lực

Các thành phần

Các thành phần

Các

thành

của trí tuệ.

của xúc cảm

phần của ý chí

Các thành phần của
thể chất

Năng lực học tập toán cũng như năng lực học tập khác không phải được hình thành
chỉ từ các thành phần của trí tuệ. Các năng này chỉ có thể bộc lộ và phát triển trong
quá trình học tập chăm chỉ, hệ thống. Điều đó lại không thể thiếu được các cảm xúc
trí tuệ kích thích việc học tập và nỗ lực ý chí. Hiển nhiên các thành phần thể chất
cũng không thể coi thường, tuy ở đây vai trò của chúng không quyết định (Lưu ý
rằng sơ đồ trên, thứ tự sắp xếp các phân nhóm thành phần của năng lực là có chủ
định của chúng tôi, thứ tự này sẽ thay đổi phụ thuộc vào môn học và lĩnh vực hoạt
động). Chúng tôi nghĩ rằng cách hiểu này sẽ có ý nghĩa thực tế hơn trong quá trình
phát triển và bồi dưỡng nhân tài. Tuy vấn đề nghiên cứu có mở rộng nhưng có lẽ
không phức tạp hơn nhiều lắm.
Trong nhóm các năng lực học tập các bộ môn ở phổ thông chỉ mới được tiến hành
nghiên cứu ở vài môn học. Điều đó không cho phép giải quyết vấn đề về sự tồn tại

các năng lực học tập các chuyên nghành khác cũng như không tạo khả năng cho nhà
trường sớm phát hiện và bồi dưỡng nhân tài trong các lĩnh vực chuyên môn khác.
Mặt khác, thực tế cho ta thấy rằng năng lực học tập của học sinh thông thường
không bộc lộ chuyên biệt ở từng môn mà là ở từng nhóm bộ môn. Liên quan đến
vấn đề này, chúng tôi rất tán thành với quan niệm và cách tiếp cận của Giáo sư Bùi
Hiền về vấn đề năng khiếu ngoại ngữ: “Năng khiếu ngoại ngữ cũng như ngôn ngữ
nói chung là …”[Bùi Hiền; Cách phát hiện năng khiếu ngoại ngữ, Thông tin Khoa




21

học Giáo dục, số 15 năm 1989]. Vì thế theo ý chúng tôi, cần tiến hành nghiên cứu
tất cả các bộ môn và tìm ra năng lực đặc thù của từng bộ môn. Nếu làm được điều
đó thì ý nghĩa thực tiễn và hiệu quả đào tạo sẽ lớn hơn nhiều, vì như chúng tôi đã
phân tích ở phần trên, chỉ một bộ phận nhỏ học sinh là tiếp tục hoạt động trong lĩnh
vực toán học mà thôi.
Trong phạm vi của báo cáo này, rất tiếc là chúng tôi chưa có điều kiện đi sâu vào
vấn đề phân chia các kiểu năng lực toán./.
Đóng góp PDF bởi Bùi Thiện Chiến