Tính toán vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử hai chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN: CÔNG NGHỆ NANO
Đề tài: Tính toán vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử
hai chiều
Giảng viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Việt Hưng
Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 2

Hà Nội, 11/2015


Mục Lục


Lời Nói Đầu
Nền khoa học công nghệ trên thế giới đang phát triển một cách nhanh chóng nhất là các
nước đang phát triển như Mỹ, Nhật Bản... Sự phát triển của khoa học công nghệ đã đem
lại những diện mạo mới cho cuộc sống con người và công nghệ điện tử viễn thông. Hiện
nay trên thế giới đang hình thành một ngành khoa học và công nghệ mới, có nhiều triển
vọng và dự đoán sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học công nghệ, kĩ
thuật cũng như đời sống kinh tế xã hội của thế kỉ XXI - đó chính là công nghệ nano. Với
công nghệ nano cho phép chúng ta có thêm những ý tưởng mới trong nhiều lĩnh vực của
đời sống xã hội. Trong công nghệ nano việc nghiên cứu về tinh thể quang tử và vùng cấn
quang của tính thể quang tử là việc vô cùng quan trọng. Chính vì lí do đó trong bản báo
cáo này chúng em xin trình bày nội dung nghiên cứu về đề tài: "Tính toán vùng cấm
quang tử của tinh thể quang tử hai chiều".
Đề tài gồm những nội dung sau:
Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều.
Chương II: Tính chất của các mode TE và TM.

Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng
(Plane wave expansion method) sử dụng để tính toán vùng cấm quang tử.
Chương IV: Mô phỏng lí thuyết trên phần mềm optiFDTD.
Chương V: Kết luận.

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 3


Phân công công việc trong nhóm
Họ tên
Nguyễn Văn Vương

Lớp
DTTT04-K56

MSSV
20112487

Mai Văn Quân
Nguyễn Ngọc Vũ
Trần Ngọc Thành
Nguyễn Mạnh Cường
Nguyễn Mạnh Hưng
Phạm Văn Tùng
Bùi Văn Tuấn
Đoàn Văn Sứ
Nguyễn Thành Đô

DTTT04-K56
DTTT04-K56
DTTT04-K56
DTTT04-K56
DTTT08-K56
DTTT04-K56
DTTT01-K56
DTTT04-K56
DTTT03-K56

20111989
20112481
20112200
20112550
20111546
20112150
20112409
20112092
20111404

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 4

Công việc
Mô phỏng và làm
báo cáo
Chương I
Chương II
Chương III

Chương I
Chương II
Chương III
Chương I
Chương II
Chương III


Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc
điện môi hai chiều
Hệ phương trình Maxwell là một tập các phương trình vi phân cơ sở cho điện động lực
học cổ điển, quang học cổ điển và lý thuyết mạch điện - những lĩnh vực đặt nền móng
cho các công nghệ hiện đại. Hệ phương trình Maxwell mô tả mối quan hệ tác động qua
lại lẫn nhau giữa điện trường và từ trường.
Hệ phương trình Maxwell được tổng hợp từ định luật Gauss cho điện trường và từ
trường, định luật Ampere và định luật Faraday:
(1.1)
(1.2)

(1.3)
(1.4)

Các đại lượng được bôi đậm đều là những đại lượng vector, các đại lượng in nghiêng là
các đại lượng vô hướng.
Bảng 1.1 Bảng khái niệm các đại lượng trong các phương trình:
Kí hiệu
E
H
D
B

J

Ý nghĩa
Cường độ điện trường
Cường độ từ trường
Độ điện dịch
Vector cảm ứng từ
Mật độ điện tích
Mật độ dòng điện
Toán tử , tính suất tiêu tán

Đơn vị trong hệ SI
Volt / mét
Ampere / mét
coulomb / mét vuông
tesla,
weber / mét vuông
coulomb / mét khối
Ampere / mét vuông
Trên mét

Toán tử , tính độ xoáy cuộn Trên mét
của trường vector

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 5


Trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều, các toán tử trên có thể được biểu diễn như sau: Nếu

gọi A là một trường vector, trong không gian 3 chiều trường vector này có thể được biểu
diễn dưới dạng với lần lượt là các vector đơn vị của hệ trục tọa độ tham chiếu
(1.5)
(1.6)
Giả sử trong một môi trường chỉ bao gồm các tấm điện môi đồng nhất thay đổi theo vị
trí phụ thuộc vào vector vị trí r (r là vector nối vị trí trục tọa độ tham chiếu với điểm
đang xét). Vì trong môi trường này không có nguồn nên ta có thể thay vào hệ phương
trình Maxwell.

Hình 1.1.Vùng chứa các điện môi đồng nhất hỗn hợp, không có dòng và hạt mang
điện
Ở đây ta giả sử 3 điều sau:
•

Vật liệu trên là vĩ mô và đồng nhất, vì vậy và liên hệ với nhau qua nhân với một

hàm điện môi vô hướng (còn được gọi là hằng số điện môi tương đối).
• Bỏ qua phụ thuộc của hằng số điện môi tương đối vào tần số (bỏ qua tán sắc vật
•

liệu) , vì vậy .
Ta chỉ tập trung vào các vật liệu trong suốt, vì vậy luôn là số dương thực.
Vậy ta có mối quan hệ giữa B và H, D và E như sau:

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 6


(1.7)

(1.8)
(với Henry/met)
Tuy nhiên, trong các vật liệu điện môi đề cập sắp tới, có thể được coi như xấp xỉ bằng
1. Khi đó chiết suất (Định luật Snell). Với các giả thiết trên, hệ phương trình Maxwell
trở thành:
(1.9)
(1.11)
(1.10)
Nhìn chung, cả E và H đều là các hàm phức tạp của cả không gian và thời gian. Tuy
nhiên, vì hệ phương trình Maxwell có tính chất tuyến tính do bản thân các toán tử

,

cũng có tính chất tuyến tính:
(1.13)
(1.14)
Nghĩa là nếu và thỏa mãn hệ phương trình Maxwell thì tổng của chúng cũng vậy, và ta
có thể dựa vào nguyên lý xếp chồng để xây dựng nên trường phức tạp bằng cách xây
dựng các trường đơn giản.
Dựa trên tính chất này ta có thể biểu diễn E và H bằng cách khai triển trường thành
một tập các mode điều hòa (harmonic modes – thường được gọi đơn giản là các mode).
Các nghiệm của phương trình, hay nói cách khác là các mode có thể được viết dưới dạng
sau, với H(r) là một cấu trúc không gian (còn được gọi là "mode profile"). Phần thực của
mode chính là trường vật lý tương ứng:
(1.15)
(1.16)
Thay giả thiết này vào 2 công thức của hệ phương trình Maxwell ta có:
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 7

(1.17)
(1.18)
Để có được hai đẳng thức trên, ta cần có điều kiện là trường phải được tạo nên từ các
sóng ngang. Nếu chúng ta có một sóng phẳng (sóng có mặt đồng pha là các mặt phẳng)
với k là một vector sóng (vector mô tả sóng) nào đó thì:
(1.19)
tức là .
2 công thức liên quan đến trong hệ phương trình Maxwell với các điều kiện điều hòa
đã nêu ở trên sẽ dẫn đến:
(1.20)
Thế phương trình trên vào phương trình dưới, thay vận tốc ánh sáng trong chân
không là ta có:

(1.21)
Phương trình trên được gọi là phương trình Master, cùng với phương trình (1.20), nó
cho ta biết mọi thứ cần thiết về H(r). Với mỗi cấu trúc biết trước, chúng ta sẽ giải
phương trình Master, tìm ra các mode thỏa mãn điều kiện sóng ngang và các tần số
tương ứng của chúng. Sau đó sử dụng công thức thứ 2 của (1.20) để suy ra E(r):
(1.22)
Cách làm này cũng đảm bảo tính ngang của , hay nói cách khác là đảm bảo vì , ngoài
ra chúng ta cũng có thể tìm H từ E thông qua công thức thứ nhất của (1.20)
(1.23)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 8

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 9


Chương II: Tính chất của các mode TE và TM
Ta có phương trình cách một sóng đi vào ống dẫn sóng (chất điện môi):
E(x,y,z) = (x,y)
H(x,y,z) = (x,y)
Theo định luật của Ampere và Faraday cho vùng sóng tự do:
x H = jE
x E = -jH
Biến đổi theo 3 chiều x,y,z ta có các phương trình:
+ = -j

(2.1)

+ =j

(2.2)

- = -j

(2.3)

+ =j

(2.4)

+ = -j

(2.5)

- =j

(2.6)

Chúng ta có thể kết hợp (2.1) với (2.5) và (2.2) với (2.4) để ra được phương trình cho
và để được như phương trình (2.7) và (2.9). Chúng ta cũng có thể biến đổi phương trình
(2.3) và (2.6) để có phương trình của và như phương trình (2.8) và (2.10).
= +

(2.7)

= -

(2.8)

= -

(2.9)

= +

(2.10)

Trong đó = + khi = .
Các thành phần ngang , , , , được mô tả trong các điều kiện của thành phần dọc và . Và
từ đó chúng ta có 3 trường hợp sau:
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 10


• Mode điện ngang TE(Transverse Electric): khi = 0 và 0.
• Mode từ ngang TM (Transverse Magnetic): khi 0 và 0.
• Mode điện từ ngang TEM(Transverse Electromagnetic): khi = 0
2.1. Mode TM

Điện trường theo chiều dọc của các chế độ TM trong hình chữ nhật ống dẫn sóng phải
thỏa mãn phương trình sóng:
+ =0

(2.11)

trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là:
+ + + =0

(2.12)

Các chức năng điện trường có thể được xác định bằng cách sử dụng kỹ thuật phân tách
các biến bằng cách giả sử một giải pháp của các hình thức:
= X(x) Y(y)

(2.13)

Chèn các giải pháp giả định vào các phương trình vi phân cho
Y(y) + X(x) + ()X(x)Y(y) = 0
Y(y) + X(x) + X(x)Y(y) = 0
+ + =0

(2.14)

Kết quả là điện trường theo chiều dọc cho một ống dẫn sóng hình chữ nhật TM mode
(x,y,z) = (Asin)(Csin) (2.15)
Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là:
(0,y,z) = (a,y,z) = 0
(x,0,z) = (x,b,z) = 0

(2.16)

Áp dụng các điều kiện trên có
(0,y,z) = 0 B = 0
(a,y,z) = 0 a = m (m= 1,2,3..) =
(x,0,z) = 0 D = 0
(x,b,z) = 0 b = n (n =1,2,3..) =
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

(2.17)
Page 11


Với A và C được coi như là hằng số. Các TM mode rời rạc là vô hạn phụ thuộc vào các
giá trị của m và n. Một TM mode được kí hiệu là TM mn mode.
(x,y,z) = sinsin

(2.18)

(m= 1,2,3,...)
(n= 1,2,3,...)

Các thành phần trường ngang của TM mn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt
điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình :
(x,y,z) = = ()cossin
(x,y,z) = = ()sincos
(x,y,z) = = ()sincos
(x,y,z) = = ()cossin

(2.19)

Với
= =
= =
= =
Mode TE
Từ trường theo chiều dọc của TE mode trong ống dẫn sóng hình chữ nhật phải thỏa
mãn phương trình sóng giống như điện trường theo chiều dọc của các TM mode :
+ =0
(2.20)
trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là
+ + + = 0 (2.21)
Biến đổi tương tự các thành như TM mode ta có phương trình các thành phần
(x,0,z) = 0 C = 0
2.2.

(x,b,z) = 0 b = n (m= 0,1,2,..) =
(0,y,z) = 0 A = 0
(a,y,z) = 0 a = m (n = 0,1,2,..) =

(2.22)

Kết hợp các hằng số B và D vào H 0 , có kết quả từ trường theo chiều dọc của mode
(x,y,z) = coscos (2.23)
(m= 0,1,2,...)

(m)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 12


(n= 0,1,2,...)
Các thành phần của TE mode
(x,y,z) = = ()cossin
(x,y,z) = = ()sincos
(x,y,z) = = ()sincos
(x,y,z) = = ()cossin

(2.24)

Như ta thấy khi m=n=0 thì tất cả các thành phần từ trường trừ đều bằng 0. Do đó m và
n có thể lấy giá trị bất kì 0,1,2,3 nhưng không được đồng thời bằng 0. Như vậy trong ống
dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện ngang khác nhau. Phân bố
trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng, đồng thời m xác định số nửa sóng trong
khoảng (0,a) còn n là số nửa sóng trong khoảng (0,b).

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 13

Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai
triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để
tính toán vùng cấm quang tử
3.1. Giới thiệu về tinh thể quang tử

Thế giới ngày nay có nhu cầu ngày càng tăng về các máy tính và thông tin liên lạc, nên
chúng ta ngày càng chú ý hơn tới các linh kiện quang mà độ rộng phổ và tốc độ làm việc
của nó có thể đóng góp cho rất nhiều ứng dụng to lớn khác nhau. Ta biết rằng sự thay đổi
cấu trúc sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất. Đây chính là quan điểm đã dẫn Yablomovitch
tới giả thiết rằng chúng ta có thể thực hiện với photon những gì mà ta đã làm với điện tử.
Các tinh thể quang tử cũng được biết đến như là các cấu trúc micro hoặc là các cấu trúc
có vùng cấm quang, là các vật liệu với cấu trúc tuần hoàn về các hằng số điện môi khác
nhau. Các tinh thể quang tử là 1D, 2D, 3D tùy theo sự tuần hoàn về hằng số điện môi,
theo không gian 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều. Các tinh thể quang tử 3D thì tương tự với
các tinh thể chất rắn. Ý tưởng tổng quát là các tinh thể photonic có thể làm những việc
với photon như là các tinh thể bán dẫn có thể làm với các điện tử, có nghĩa là chúng có
thể tạo ra tình trạng mà ở đó các photon ở một dãy năng lượng nào đó thì không thể đi
qua tinh thể được và chúng bị phản xạ khi chạm vào tinh thể hoặc là không được phép
truyền qua tất cả các hướng ở bên trong nó. Điều sau này rất quan trọng, vì ví dụ ánh
sáng có thể được phát ra từ một nguồn sáng, được phát xạ lại bởi tinh thể, hiển nhiên là
được tái hấp thụ, rồi lại tái phát xạ.

Hình 3.1. Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D
3.2. Tinh thể photonic band gap (PBG)

Một tinh thể PBG là một cấu trúc có thể điều khiển chùm ánh sáng giống như điều
khiển dòng điện trong các chất bán dẫn. Một chất bán dẫn không thể hỗ trợ các điện tử có
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 14


năng lượng nằm trong vùng cấm điện tử. Tương tự như vậy, một tinh thể quang tử không
thể hỗ trợ các photon nằm trong khe hở lượng tử ánh sáng. Bằng cách ngăn chặn hoặc
cho phép ánh sáng truyền qua một tinh thể, xử lí ánh sáng có thể được thực hiện. Điều
này sẽ tạo ra cuộc cách mạng hóa lượng tử ánh sáng, cách mạng hóa các bóng bán dẫn
điện tử.
Tinh thể quang tử thường bao gồm vật liệu điện môi, đó là một vật liệu đóng vai trò là
vật liệu cách điện hoặc trong đó có một trường điện từ có thể được lan truyền với tổn hao
thấp. Các lỗ trong thứ tự của các bước sóng liên quan được khoan vào điện môi trong một
cấu trúc mạng tinh thể tương tự nhau và được lặp đi lặp lại. Nếu được xây dựng đủ chính
xác kết quả các tinh thể sẽ như một PBG, một loạt các tần số mà trong đó một bước sóng
riêng của ánh sáng sẽ bị chặn.
Sự hình thành PBG có thể được coi là sự tương tác hiệp lực giữa hai cơ chế cộng hưởng
tán xạ khác nhau. Đầu tiên là cộng hưởng Bragg vĩ mô từ một mảng tuần hoàn của tán xạ.
Điều này dẫn đến khoảng cách dừng điện tử khi sóng lan truyền theo hướng điều chế
định kì theo một số nguyên lần nửa bước sóng. Thứ hai là một tán xạ cộng hưởng vi mô
từ một tế bào đơn vị duy nhất của vật liệu. Sự hình thành PBG được tăng cường bằng
cách chọn những vật liệu có các thông số sao cho cả hai cộng hưởng vĩ mô và vi mô xảy
ra tại cùng một tần số.
3.3. Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử

Sợi tinh thể quang tử (PCFs) là sợi có cấu trúc tuần hoàn được làm bằng các ống nhỏ.
Những lỗ trống được chứa đầy không khí và nó có hình dạng giống mạng lục giác.Ánh
sáng có thể truyền dọc theo sợi bên trong những lỗ khuyết của cấu trúc tinh thể. Một lỗ
khuyết được tạo ra là do có sự dịch chuyển của một hay nhiều tâm của ống nhỏ. Sợi tinh
thể quang tử là một loại mới của sợi quang học.
Nếu lỗ khuyết của cấu trúc thực sự do dịch chuyển tâm của các ống nhỏ thì sự truyền
dẫn sóng điện từ trong sợi tinh thể quang tử có thể được chú ý tới như sự biến đổi của

tổng những phản xạ nội. Sự biến đổi là do hệ thống của những ống nhỏ chứa không khí
làm dò rỉ những mode cao hơn vì vậy chỉ có một mode cơ bản được truyền đi. Đây là
mode có đường kính nhỏ nhất gần kích thước của lỗ khuyết, hằng số mạng của cấu trúc
tuần hoàn.
Trong mạng của những sợi nhỏ chứa không khí, tâm của nó được thay bằng một thanh.
Nếu tâm của lỗ khuyết được chèn bằng tâm của sợi nhỏ chứa không khí, mà có đường
kính khác so với những sợi nhỏ khác. Khi đó chúng ta có được dải vùng cấm quang tử

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 15


(PBG). Sự định hướng ánh sáng được xem như cách dẫn electron trong vật lí chất rắn với
cấu trúc giải năng lượng.
Những lõi không khí phân bố không tuần hoàn có thể có cấu trúc như một tinh thể
quang tử hai chiều có hằng số mạng tương đương với bước sóng ánh sáng. Trong cấu trúc
tinh thể quang tử hai chiều tồn tại dải vùng cấm có thể ngăn cản ánh sáng truyền trong
một dải tần số xác định nào đó. Nếu cấu trúc tuần hoàn bị lỗi với một lỗ khuyết một vung
đặc biệt với những đặc điểm quang học khác nhau được tạo ra từ tinh thể quang tử. Vùng
lỗ khuyết có thể tạo ta nhưng mode với tần số nằm trong dải vùng cấm quang tử nó có thể
ngăn cản những sóng này xuyên sâu vào trong tinh thể quang tử. Khi dải vùng cấm được
sử dụng để giam hãm ánh sáng trong lõi, đòi hỏi miền lỗ khuyết phải có chiết suất lớn
hơn miền xung quanh.
3.4. Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)

Thông thường sử dụng phương pháp cho modeling của sợi quang học không thể thành
công trong PCF modeling. Những sợi này có hệ số phản xạ cao và có cấu trúc tuần hoàn
với hằng số mạng cỡ bước sóng ánh sáng. Bởi vậy những phương pháp sử dụng modeling
trong tinh thể quang tử tương tự trong sóng điện từ.

Phương pháp khai triển sóng phẳng (PWE) cho ta một cách tiếp cận rất hiệu quả và gần
với mô hình PCFs. Phương pháp này cho ta phép giải phương trình vector sóng đầy ddue
cho trường từ. Trong mô hình này trường tuần hoàn cũng như vị trí phụ thuộc vào hằng
số điện môi sử dụng khai triển Fourier của các hàm tuần hoàn được xác định bởi vector
mạng tương hỗ.
Ta đã có phương trình Master :
(3.1)
Coi tinh thể là vô tận theo trục z sử dụng định lí Bloch ta được:
(3.2)
Sử dụng biến đổi Fourier , hằng số điện môi:
(3.3)
Phương trình Master có thể viết lại dưới dạng đại số:

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 16


Phương pháp PWE cho phép tính được độ tán sắc tương đối và dải vùng cấm của quang
tử trong những cấu trúc điện môi tuần hoàn. Nó có thể được ứng dụng với bất kì loại cấu
trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thường. Điều này cho phép xác định cấu
trúc dải cua quang tử trong cơ chế dẫn của PBG, cũng như những mode trong chiết xuất
của cơ chế dẫn sóng. Đây là phương pháp tương đối nhanh, chính xác, tuy nhiên nó có
một số nhược điểm như không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có
tính chất hoạt hóa(hấp thụ và khuếch đại). Ngoài ra, nó không mang lại bất kì thông tin
về tổn thất do tán xạ, truyền tải và ánh xạ của ánh sáng tới trong PCF.

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 17

Chương IV: Mô phỏng bằng phần mềm optiFDTD
Hình 4.1. Các dạng của mạng thiết kế

a) Layout

b) 2D

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 18


c) 3D layout model
Hình 4.2. Crystal lattice Properties

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 19


Hình 4.3. PWE Parameters

Hình 4.4. TE – PWE Band Solver Simulator

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 20

Hình 4.5. TM – PWE Band Solver Simulator

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 21


Chương V: Kết luận
Việc nghiên cứu tính toán cấu trúc vùng cấm của tinh thể quang tử hai chiều là phần
quan trọng trong quá trình nghiên cứu về tinh thể quang tử. Nó góp phần quan trọng
trong việc đưa tinh thể quang tử vào ứng dụng trong thực tế.
Trong quá trình thực hiện nghiên cứu đề tài chúng em xin gửi lời cảm ơn đến thầy TS.
Nguyễn Việt Hưng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng em hoàn thành đề tài này.

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 22


Tài liệu tham khảo
•
•
•

Documentation của phần mềm OptiFDTD
M.S.Wartak, Computational Photonic, Cabridge University Press
D.Joannopoulos, S.Jonson, Photonic Crystals- Molding the flow of light, Princeton
University Press

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

Page 23