Luận văn RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN THỊ HƯƠNG

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số : 60. 14. 10

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG


2
NGHỆ AN, 2013

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS.
Nguyễn Chiến Thắng đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để tác giả
hoàn thành Luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành
Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Vinh, đã nhiệt
tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa
Toán, Đại học Vinh; Ban giám hiệu cùng các thầy cô Trường THPT Trần Phú
đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được và
biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả


3

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt
SGK

:

Viết đầy đủ
Sách giáo khoa

HHKG

:

Hình học không gian

THPT

:

Trung học phổ thông

HS

:

Học sinh

GV

:

Giáo viên

[1]

:

Tài liệu 1


4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
I.

Lý do chọn đề tài

1. Xuất phát từ mục tiêu giáo dục THPT, Luật Giáo dục năm 2005 đã xác
định “các phẩm chất và năng lực phát triển cho HS nhằm trước hết đáp ứng được
yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã hội mới của
đất nước, giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá để đến năm 2020 đưa nước ta
trở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàn cầu hoá, mở rộng giao lưu
hội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triển của nền kinh tế tri thức, đồng
thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi cá nhân”.
Điều 24 của Luật Giáo dục năm 2005 cũng đã yêu cầu về đổi mới nội
dung, phương pháp giáo dục THPT là “nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của HS, phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
2. Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và các
phẩm chất trí tuệ. Do tính chất trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể
giúp ích rất nhiều cho việc rèn luyện cho học sinh tư duy trừu tượng. Do tính
chính xác cao, suy luận lôgic chặt chẽ, là “môn thể thao của trí tuệ” nên Toán


5
học có nhiều thuận lợi trong việc rèn luyện cho học sinh tư duy chính xác, tư duy
hợp với lôgic. Việc tìm kiếm phép chứng minh một định lý, tìm lời giải của một
bài toán có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính khoa học trong
suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát,
thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng quy nạp, tương tự, chứng minh…và qua đó
có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo.
3. Suy luận là một hình thức của tư duy, cho nên trong quá trình dạy học
toán, giáo viên cần quan tâm vận dụng các quy tắc, quy luật suy luận để giúp cho
học sinh rèn luyện được khả năng chứng minh trong quá trình giải toán, qua đó
rèn luyện khả năng tư duy. Mặc dù chương trình, sách giáo khoa thực hiện giảm

tải, trong đó hạn chế các chứng minh định lí, giáo viên nên dành cho học sinh cơ
hội được chứng minh một định lí, một bài toán khi cần thiết. Hiện nay đã có
nhiều công trình khoa học trong và ngoài nước nghiên cứu về suy luận như:
“Toán học và những suy luận có lý” của G. Polya; luận án Tiến sĩ của Trần
Luận: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya xây dựng nội dung và phương
pháp trên cơ sở hệ thống các bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng
tạo của học sinh chuyên Toán cấp II”; luận án Tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận:
“Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán
học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học Đại số”… và một
số luận văn thạc sĩ giáo dục học liên quan đến suy luận khác.
4. Hình học không gian là một chủ đề hay và khó ở trường phổ thông và thời
lượng dành cho chủ đề này là tương đối lớn. Mặc dù thời lượng lớn như vậy, các
em cũng gặp nhiều khó khăn và mắc sai lầm khi học chủ đề này. Khó khăn đó có
một phần nguyên nhân là tính trừu tượng cao của các khái niệm và quan hệ hình
học không gian. Vì các hình hình học không gian (3- chiều) được biểu diễn trong
mặt phẳng (2- chiều) nên điểm tựa trực quan cho các chứng minh bài toán không


6
gian không còn đóng vai trò quan trọng như trong hình học phẳng, thay vào đó là
trí tưởng tượng không gian và suy luận lôgic chặt chẽ. Đến nay, tuy đã có nhiều
tài liệu viết về chủ đề này, nhưng chưa có một tài liệu nào thực sự nghiên cứu
sâu sắc và đầy đủ về rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh khi dạy học
chủ đề này.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài : “Rèn luyện năng lực suy luận
chứng minh cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hình học không gian lớp
11 ”.
II.

Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về suy luận chứng minh trong dạy học Toán và từ đó đề xuất một số
biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện khả năng suy luận chứng minh cho học
sinh và vận dụng vào dạy học chủ đề Hình học không gian ở lớp 11.
III.

Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về khoa học giáo dục học
môn Toán về một hình thức tư duy đó là suy luận chứng minh, nghiên cứu quá
trình dạy học về chủ đề Hình học không gian lớp 11.
IV.

Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên quan tâm nghiên cứu đặc điểm của Hình học không gian ở
trường phổ thông và vận dụng đúng mức các kết quả của khoa học giáo dục học
môn Toán về suy luận chứng minh vào dạy học chủ đề này thì sẽ góp phần rèn
luyện cho học sinh năng lực suy luận chứng minh bởi vì hình học không gian đòi
hỏi ở học sinh khả năng tư duy và suy luận nhiều hơn trực quan.
V.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về hình thức tư duy suy luận chứng minh;


7
- Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề hình học không gian;
- Xây dựng các biện pháp đề xuất nhằm nâng cao khả năng suy luận chứng

minh vào giải toán hình học không gian.
VI.

Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, Luận án Tiến sỹ,
Luận văn liên quan đến đề tài nghiên cứu.
+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Hình học 11. Mục đích yêu cầu
dạy học hình học không gian ở trường phổ thông.
- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khó khăn
của học sinh trong việc áp dụng suy luận chứng minh vào giải toán HHKG.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
+ Quan sát kiểm tra hoạt động của HS.
+ So sánh lớp thực nghiệm với lớp đối chứng, kết hợp trao đổi ý kiến với
các GV giảng dạy.
VII. Cấu trúc của Luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, luận văn
gồm những nội dung chính sau đây:
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẾ NĂNG LỰC SUY LUẬN
CHỨNG MINH.
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN
CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN.


8
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.

9
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.

Năng lực Toán học

1.1.1. Khái niệm về năng lực và năng lực Toán học
1.1.1.1. Khái niệm về năng lực
Theo quan điểm của nhà tâm lý học Nga V. A. Cruchetxki thì: Năng lực được
hiểu như là: “Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng
những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công
hoạt động đó" ([25], tr. 15).
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,
cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt
động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Vì thế người ta đánh
giá trình độ năng lực của mỗi người thông qua kết quả của hoạt động đó.
Ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:
• Năng lực là tổng hòa các kĩ năng, kĩ xảo.
• Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt
động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ
của những thành tựu đạt được của xã hội loài người.
• Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những
thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của
con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết
những yêu cầu đặt ra. Năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnh hội tri thức, kỹ
năng, kỹ xảo trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi và
dễ dàng hơn.

1.1.1.2. Năng lực Toán học


10
Theo V. A. Cruchetxki: “Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm
lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm trí tuệ) đáp ứng được những yêu cầu
nhiệm vụ học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là
những nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo
Toán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng,
sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học”. Dựa trên kết
luận nghiên cứu của V. A. Cruchetxki, Trần Luận ( [3], tr. 87) đã quan niệm về
năng lực Toán học của học sinh như sau:
a) Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được
yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành
có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó.
b) Năng lực Toán học được hiểu dưới hai khía cạnh sau:
- Là năng lực sáng tạo – năng lực hoạt động khoa học Toán học mà hoạt động
này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loài
người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội.
- Là năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng được yêu cầu của
hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng trong lĩnh
vực Toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như
nhau.
Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý của học sinh nhằm đáp
ứng những yêu cầu của các hoạt động Toán học thông qua tính linh hoạt, sáng
tạo để có thể giải quyết các vấn đề đặt ra của tri thức Toán học mà chúng đang
hướng tới. Khi nói đến học sinh có năng lực Toán học, đó là những học sinh có
đủ khả năng tiếp thu và vận dụng được các kiến thức toán mà mình thu nhận
được để từ đó có thể giải quyết cũng như phát triển kiến thức đó. Mỗi học sinh
có năng lực Toán học khác nhau; biểu hiện trong lớp có người học giỏi, khá kể

cả học sinh học yếu kém. Về vấn đề này nhà Toán học Xô- viết nổi tiếng, Viện sĩ


11
A. N. Kolmogorov, cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ
để cho các em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trường trung học với sự
hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.
1.1.2. Cấu trúc năng lực Toán học của học sinh
Một trong những công trình nghiên cứu về tâm lý năng lực Toán học của học
sinh quy mô nhất là: “Tâm lý năng lực Toán học của học sinh” năm 1967 của V.
A. Cruchetxki. Trong chương: “Giả thuyết các thành phần của năng lực toán
học với tư cách là cơ sở của nghiên cứu thực nghiệm”, tác giả nêu ra các thành
phần sau đây:
1) Năng lực hình thức hóa tư liệu Toán học, năng lực tách hình thức ra khỏi
nội dung, năng lực trừu tượng hóa từ các quan hệ số lượng cụ thể và các hình
dạng không gian và sử dụng cấu trúc hình thức, các cấu trúc của các quan hệ và
các liên hệ;
2) Năng lực khái quát hóa tư liệu Toán học, tách những cái chính và bỏ qua
những cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên ngoài;
3) Năng lực sử dụng hệ thống dấu và số;
4) Năng lực suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự (A. N.
Kolmogorov), có liên quan với nhu cầu chứng minh, biện chứng, kết luận;
5) Năng lực rút gọn quá trình suy luận, tư duy bằng các cấu trúc thu gọn;
6) Năng lực tư duy thuận nghịch (năng lực chuyển từ quá trình thuận sang đảo
của tư duy);
7) Tính linh hoạt của tư duy, năng lực chuyển từ thao tác trí tuệ này sang thao
tác trí tuệ khác, thoát được sự ràng buộc vào các khuôn mẫu, công thức;
8) Trí nhớ Toán học;
9) Năng lực của biểu tượng không gian.

12
Trên cơ sở nghiên cứu về các thành phần của năng lực Toán học của học sinh,
trong tổng kết công trình nghiên cứu của mình, ông đã đi đến sơ đồ tổng quát về
cấu trúc năng lực Toán học của học sinh như sau:
1. Thu nhận thông tin Toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán
học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;
2. Chế biến thông tin Toán học:
a) Năng lực tư duy lôgic trong các quan hệ số lượng và hình dạng không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu Toán học;
b) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học và
các phép toán;
c)

Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toán

tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;
d) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động Toán học;
e) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của tiến trình tư
duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận Toán học).
3. Lưu trữ thông tin Toán học: Trí nhớ Toán (trí nhớ khái quát về các quan
hệ Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải
toán; nguyên tắc và đường lối giải toán).
4. Thành phần tổng hợp khái quát: Khuynh hướng Toán học của trí tuệ.
Còn theo Viện sĩ A. N. Kolmogorov cho rằng trong thành phần của năng
lực Toán học có:
(1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
con đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc như các nhà
Toán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angoritmic”;
(2) Trí tưởng tượng hình học hay là “năng lực trực giác”;

13
(3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng
đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp Toán học.
Chúng ta có thể nhận thấy các sơ đồ nói trên của các tác giả gần giống như các
kỹ năng giải toán của học sinh. Sự liên quan của việc giải toán với năng lực Toán
học, B. V. Gơ-nhe-đen-cô đã khẳng định: “Ý nghĩa của các Olympic Toán là rất
lớn. Nhưng chúng chỉ có vai trò hạn chế trong sự phát triển hứng thú Toán học
của học sinh. Chúng phát triển chủ yếu là thiên về việc giải các bài toán không
chuẩn mực. Các năng lực Toán học có thể bộc lộ không chỉ trong việc đó, mà
nhiều nhà Toán học bằng các phát minh của mình mà họ đã có đóng góp to lớn
cho khoa học nhưng có thể trong thời trẻ không dành được giải thưởng nào
trong kỳ thi. Họ có những năng lực đặc thù khác: Trong hoàn cảnh yên tĩnh,
không vội vã, họ đã khai phá được những con đường giải quyết các vấn đề lớn
đặt ra trước khoa học. Sự không thành đạt trong các kỳ thi Olympic hoàn toàn
không có nghĩa là thiếu tài năng Toán học…” Chúng ta không phủ nhận những
học sinh giỏi toán trong các kỳ thi học sinh giỏi là những học sinh có năng lực
Toán học đặc biệt. Các em đã được phát hiện và bồi dưỡng một cách tích cực
nhằm phát huy hết năng lực vốn có. Nhưng đó chỉ rất ít trong số hàng triệu học
sinh của nước ta. Vấn đề đặt ra cho giáo dục nước nhà là làm sao để có nhiều và
nhiều hơn nữa những học sinh như vậy. Dạy học như thế nào, để phần lớn học
sinh có thể hoàn thiện những năng lực Toán học như đã nêu ở trên, để từ đó mỗi
học sinh có thể độc lập giải toán cũng như giải quyết một công việc học tập
khác? Đó đang là vấn đề mà các nhà sư phạm, các nhà giáo dục phải đi tìm câu
trả lời. Việc nghiên cứu các thành phần cấu trúc năng lực Toán học của học sinh,
từ đó tìm ra những phương pháp góp phần phát triển tư duy cho học sinh sẽ phần
nào giải đáp được câu hỏi trên.
1.2.

Suy luận


14
1.2.1. Khái niệm suy luận
Theo Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra phán đoán mới từ một hay nhiều phán
đoán đã có. Phán đoán đã có được gọi là tiền đề, phán đoán mới được gọi là kết
luận của suy luận” ([5], tr. 56).
Cùng trên quan điểm về suy luận, các tác giả Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn
Vĩnh cho rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một
hoặc nhiều mệnh đề đã có trước. Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy
luận. Mệnh đề mới rút ra được gọi là hệ quả hay là kết luận ” ([6], tr. 140).
Còn theo Phạm Văn Hoàn và các cộng sự thì: “Suy luận là nhận thức hiện
thực một cách gián tiếp. Đó là một quá trình tư duy, xuất phát từ một hay nhiều
điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới” ([10], tr. 85).
Một quan niệm tương tự mà theo Nguyễn Hữu Lương gọi là “hoạt động suy
nghĩ”. Theo ông: “Để suy nghĩ, trước hết chúng ta phải huy động các ảnh liên
quan đến vấn đề đặt ra đã và đang tồn tại trong đầu chúng ta, gợi lại (tái hiện) để
nhận ra đâu là giả thiết, đâu là kết luận, nghĩa là ta đã biết trước những gì và phải
tìm ra cái gì, hay chứng minh cái gì. Ta hình dung ra giữa hai “địa điểm” giả
thiết và kết luận còn có những chướng ngại như những con sông chưa thể vượt
qua được. Suy nghĩ tức là phải tìm ra chiếc cầu, những con đường có thể vượt
qua những chướng ngại này để nối liền hai địa điểm đó” ([13], tr. 91).
Như vậy, suy luận là một hình thức tư duy của con người mà khi gặp một tình
huống buộc chúng ta phải suy nghĩ, phải tìm cách để giải quyết nó. Trong dạy
học Toán, suy luận không được thể hiện một cách tường minh, nó được thể hiện
dưới dạng ẩn tàng và thường xuyên được sử dụng như một phương thức kiểm
chứng năng lực Toán học của học sinh.
 Cấu trúc của suy luận: Mỗi suy luận gồm có ba thành phần:

15
- Tiền đề: là những phán đoán xuất phát, tức là những tri thức đã biết, đã
xác định tính chân thực của nó, để từ đó tìm ra được những phán đoán mới,
những tri thức mới mà tính chân thực của nó phụ thuộc vào tính chân thực của
các tri thức xuất phát.
- Lập luận: là các quy luật lôgic cơ bản kết hợp với các hình thức lôgic của
phán đoán và các quy tắc lôgic xác định, cho phép người ta rút ra được những
kết luận nhất định từ những tiền đề.
- Kết luận: là những phán đoán mới được rút ra từ những tiền đề bằng các
phép lập luận.
 Phân loại:
Suy luận gồm có hai loại: suy luận suy diễn và suy luận có lí.
- Suy luận diễn dịch (Suy diễn): Là suy luận tuân theo những quy tắc lôgic
nhất định để bảo đảm rằng nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng đúng. Trong
các hoạt động giải toán nhất là hoạt động chứng minh, suy luận diễn dịch thường
xuyên được sử dụng như là một công cụ hữu ích trong các bài toán. Suy luận
diễn dịch là suy luận có cơ sở, đáng tin cậy và không thể chối cãi.
- Suy luận có lí: Cho đến nay cũng chưa có một định nghĩa thống nhất về suy
luận có lí. Suy luận có lí có thể tạm hiểu là những suy luận mà giữa tiền đề và
kết luận đang có một sự khập khiểng, chưa có độ tin cậy hay những phán đoán ta
rút ra từ suy luận có lí cần được chứng minh, thực nghiệm, kiểm chứng tính đúng
đắn của nó. Theo G. Polya: “Suy luận có lí là suy luận còn bấp bênh, phải tranh
cãi và có điều kiện…. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có
liên hệ với các suy luận có lí, là suy luận duy nhất mà ta quan tâm trong công
việc hàng ngày” ([17], tr. 4).
Khác với suy diễn, suy luận có lí không tuân theo một quy tắc tổng quát nào
để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xác định. Cũng theo G. Polya

16
thì hai loại suy luận nói trên không hề mâu thuẫn với nhau, mà trái lại bổ sung
cho nhau. “Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh,
được xem như chứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhưng Toán
học gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải
dự đoán một định lý Toán học trước khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán ý
của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các
kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, bạn phải thử đi thử lại. Kết
quả sáng tạo của nhà Toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưng
người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí và dự đoán”([17], tr. 5). Hai
loại suy luận không những không mâu thuẫn với nhau mà có mối quan hệ mật
thiết trong dạy học môn Toán.
1.2.2. Các quy luật suy luận
Trong quá trình lập luận tức là từ tiền đề đến kết luận của phép suy luận cần
đảm bảo một số quy luật suy luận như: quy luật đồng nhất, quy luật không mâu
thuẫn, quy luật bài trung, quy luật phản đảo, quy luật phủ định của phủ định, quy
luật có lí do đầy đủ…. Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu một số quy luật thường gặp
trong quá trình suy luận.
1.2.2.1. Quy luật đồng nhất
Trong quá trình lập luận, tư tưởng nào cũng phải được diễn đạt một cách
chính xác, phải có nội dung xác định và vững chắc tức là mọi tư tưởng đưa ra
phải đồng nhất với chính nó. Ví dụ như hình vuông là hình vuông, hình bình
hành là hình bình hành chứ không đồng nhất hình vuông với hình bình hành. Tuy
nhiên, điều này chỉ đúng trong mặt tĩnh của không gian. Nhưng khi chúng ta xét
đến mặt động nghĩa là chúng ta đang xét nó trong không gian afin thì hai khái
niệm trên lại đồng nhất với nhau. Do đó, trong quá trình dạy học thì khi đưa ra


17
một phán đoán nào thì cũng phải xét nó trong một “môi trường” xác định để

tránh những hiểu lầm hoặc không chính xác trong tư duy.
1.2.2.2. Quy luật không mâu thuẫn
Hai phán đoán khẳng định và phủ định về cùng một đối tượng thì không thể
đồng thời là đúng đắn.
Quy luật không mâu thuẫn được biểu thị: “A không thể là không A” hay được
biểu diễn dạng công thức A ∨ A . Ví dụ như đường thẳng không thể là đường
không thẳng. Cũng giống như trong quy luật đồng nhất, luật không mâu thuẫn
cũng chỉ đúng hoàn toàn khi đối tượng chúng ta đang xét phải cùng nằm trong
một “quan hệ” nhất định.
Chẳng hạn, Newtơn - người phát minh ra phép tính vi phân đã nói rằng: “Tôi
coi những phần đường cong rất nhỏ là những đường thẳng”. Rõ ràng khẳng định
trên vi phạm cả luật đồng nhất cũng như luật không mâu thuẫn. Nhưng nó lại
phản ánh chân thực hơn hiện thực, nó giúp ta hiểu sâu về một dạng vận động của
vật chất. Tất nhiên điều trên chỉ được con người hiểu và vận dụng nó trong điều
kiện có “vốn” Toán học nhất định. Không thể ép học sinh nhỏ tuổi tưởng tượng
điều trên và vận dụng nó thông qua các phép toán như vi tích phân được. Tư
tưởng trên đã được các nhà sư phạm nghiên cứu để tạo ra những sản phẩm phù
hợp với trình độ phát triển của loài người. Người thầy cũng nên tập dượt cho học
sinh những thói quen sử dụng quy luật trên trong suy luận cũng như nghiên cứu.

1.2.2.3. Quy luật bài trung
Nội dung của quy luật bài trung là hai phán đoán mâu thuẫn với nhau không
thể cùng giá trị cùng đúng hoặc cùng sai được.


18
Quy luật bài trung được thể hiện qua công thức A ∨ A
Quy luật này cũng chỉ đúng trong trạng thái tĩnh và tách rời khỏi những mối
liên hệ với các sự vật khác. Nhưng nếu xem xét trong trạng thái động và trong
mối quan hệ với sự vật khác thì nó không còn đúng nữa. Ví dụ như ta xét hai

đường tròn có bán kính khác nhau (C 1) và (C2). Rõ ràng nếu ta chỉ xét trong quan
hệ mêtric thì (C1) “không là” (C2) (chứ không thể vừa là (C 2) vừa không là (C 2)).
Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ xét trong quan hệ đồng dạng thì (C 1) là (C2) (chứ
không thể vừa (C2) vừa không thể là (C2)). Nếu chú ý đến cả quan hệ đồng dạng
và mêtric thì (C1) vừa là (C2) vừa không là (C2).
Luật bài trung có ý nghĩa vô cùng to lớn. Nó giúp ta lựa chọn tư tưởng, tình
cảm, hành động trong quá trình hoạt động. Nó chỉ rõ con đường suy nghĩ chính
xác, thoát khỏi trạng thái mâu thuẫn hỗn loạn của tư tưởng. Nó đưa ra chỗ dựa
vững chắc, quả quyết để tư tưởng tìm ra kết quả chính xác.
Quy luật bài trung cũng là cơ sở của một trong những phương pháp chứng minh
trong Toán học, đó là phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
1.2.2.4. Quy luật phản đảo
Công thức của quy luật phản đảo là ( A ⇒ B) ⇔ ( B ⇒ A) .
Trong Toán học, việc giải một số bài toán thuận rất khó chẳng hạn như chứng
minh các định lý hình học bằng sử dụng hệ tiên đề thì phép suy luận đảo lại
thường xuyên được sử dụng. Trong chương trình Toán phổ thông ở đầu cấp, học
sinh đã được trang bị phương pháp chứng minh này. Tất nhiên, cơ sở của phép
chứng minh này vẫn là quy luật phản đảo trong phép suy luận.
1.2.2.5. Quy luật có lý do đầy đủ
Một phán đoán được xem là đúng đắn hay là chứng minh được nếu nó có đầy
đủ luận cứ. Nghĩa là, bất kỳ một phán đoán nào đã được chứng minh hay kiểm


19
nghiệm đều là cơ sở cho việc chứng minh các phán đoán khác. Mỗi phán đoán
muốn trở thành cơ sở của những phán đoán khác đều phải được chứng minh với
đầy đủ luận cứ.
Theo Phạm Văn Hoàn và các đồng nghiệp: “Quy luật có lý do đầy đủ đòi hỏi
rằng mọi tư tưởng phải có căn cứ lôgic và chỉ với điều kiện ấy nó mới có được lí
lẽ đúng đắn” ([10], tr. 72).

Như vậy, trong quá trình suy luận mà không tuân theo quy luật có lí do đầy đủ
thì không thể đi đến kết luận chính xác trong phán đoán của mình. Do đó trước
khi đưa ra một kết luận nào thì cũng phải suy xét hết tất cả các lý do có căn cứ và
bằng các phép lập luận lôgic. Điều này là cần thiết trong quá trình tập luyện cho
học sinh suy luận để loại trừ các khả năng học sinh cho rằng “thừa hay thiếu giả
thiết”.
Trên đây là năm quy luật thường được vận dụng vào trong quá trình suy
luận, việc vận dụng linh hoạt và sáng tạo các quy luật nói trên vào quá trình dạy
học là hết sức quan trọng bởi nó sẽ đảm bảo được tính chính xác của khoa học
Toán học nói chung cũng như các suy luận trong đời thường nói riêng.
1.2.3. Các quy tắc suy luận
1.2.3.1. Suy luận diễn dịch
a) Suy diễn trực tiếp
Suy diễn trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một tiền đề do
đó phép suy diễn này người ta còn gọi là phép suy diễn từ một tiền đề. Trong
lôgic học thì phép suy diễn trực tiếp bao gồm: phép chuyển hóa, phép đảo ngược,
phép đối lập vị ngữ và suy luận theo “hình vuông lôgic”. Trong Toán học thì
phép suy luận trực tiếp chủ yếu là những mệnh đề đơn giản, hay chỉ là các phép
suy ra từ mệnh đề này sang mệnh đề khác.


20
Xét hai mệnh đề phức hợp A và B. Nếu ta phát biểu mệnh đề (A ⇒ B) (Từ A
suy ra B hay nếu có A thì có B). Người ta viết suy luận này dưới dạng: A/B.
Trong trường hợp (A ⇒ B) là hằng đúng thì ta có một phép suy diễn và ta gọi B
là kết luận của A.
Trong thực tế dạy học, phép suy luận trực tiếp như trên được sử dụng rất
nhiều. Điều quan trọng là giáo viên cho học sinh tiếp cận bài toán như thế nào,
nghệ thuật đặt câu hỏi ra làm sao để học sinh có thể rèn được kỹ năng suy diễn
trực tiếp, cũng từ đó rèn cho học sinh cả quá trình suy luận. Mặt khác, chúng ta

rèn luyện cho học sinh phép suy luận trực tiếp là đang tập dượt cho học sinh
phép suy diễn từ nhiều tiền đề.
Sau đây, ta sẽ đi xét một số quy tắc suy diễn từ một tiền đề trong Toán học:
 Nếu A=B (A và B luôn cùng giá trị chân lí) thì A ⇒ B và B ⇒ A luôn
đúng. Và ta có hai quy tắc suy diễn: A/B và B/A.
Ta xét định lý ba đường vuông góc sau: “Hai đường thẳng a và b trong
không gian vuông góc với nhau khi và chỉ khi đường thẳng a vuông góc với hình
chiếu vuông góc b’ của b xuống một mặt phẳng (α) chứa a”. Nghĩa là chúng ta
có hai cách suy diễn là : “Nếu hai đường thẳng a và b trong không gian mà a
vuông góc với b thì đường thẳng a vuông góc với hình chiếu vuông góc b’ của b
xuống một mặt phẳng (α) chứa a ” và “Nếu đường thẳng a vuông góc với hình
chiếu vuông góc b’ của b xuống một mặt phẳng (α) chứa a thì a vuông góc với
b”.
 Quy tắc phản đảo: Công thức của quy luật này là ( A ⇒ B ) = ( B ⇒ A ).
Đây cũng là một quy tắc suy luận thường được sử dụng trong quá trình suy luận.
Nó có tác dụng rèn luyện kỹ năng lật ngược vấn đề, tính linh động trong tư duy
cũng như phương pháp chứng minh phản chứng.


21
Ví dụ 1: Cho d1,d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d 1 lấy hai điểm
phân biệt A và B; trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D. Chứng minh rằng AC và
BD chéo nhau.
Ở ví dụ này học sinh có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử AC và BD không chéo nhau thì ta sẽ suy ra được d 1 và d2 cùng nằm trong
một mặt phẳng ( Trái với giả thiết d1 và d2 chéo nhau).
b) Suy diễn từ nhiều tiền đề
i. Quy tắc modus ponens
Quy tắc suy luận modus ponens thường được sử dụng trong chứng minh một
mệnh đề Toán học bằng cách đi từ các mệnh đề đúng đã biết, suy diễn tới mệnh

đề cần chứng minh.
Quy tắc này còn được gọi là quy tắc “Tam đoạn luận khẳng định”.
Công

thức

của

quy

tắc

là

A ⇒B, A
B
.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng

uur2 uuur2 uur2 uuur2
minh rằng SA + SC = SB + SD
Để chứng minh bài toán ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng các đẳng thức
về vectơ đã biết:

Hình 1


22

uur uuur uuur
SA = SO + OA

Từ đó áp dụng công thức tích vô hướng ta có:
uur2
uuur uuur 2 uuur2 uuur2
uuuruuur
SA = SO + OA = SO + OA + 2.SO.OA

(

)

uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2
uuuruuur
SC = SO + OC = SO + OC + 2.SO.OC

(

)

uur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
uuur uuur uuur
⇒ SA + SC = 2SO + OA + OC + 2.SO.(OA + OC )
uuur uuur
uur2 uuur2
uuur2 uuur2 uuur2
OA
+
OC

=
0
SA
+
SC
=
2
SO
+ OA + OC .
Mà
nên

uur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
Tương tự ta có: SB + SD = 2SO + OB + OD .
uur2 uuur2 uur2 uuur2
Từ đó suy ra: SA + SC = SB + SD

.

Đối với bài toán trên ta hướng học sinh đi từ các đẳng thức vectơ đã biết để
suy ra điều phải chứng minh.
ii. Quy tắc modus tollens
Quy tắc modus tollens còn gọi là quy tắc tam đoạn luận phủ định. Đây là
cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng.
Sơ đồ của quy tắc này là

A ⇒ B, B
.
A

23

Ví dụ 3: Cho n điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Chứng
minh rằng không có ba điểm nào trong chúng đồng phẳng.
Kết luận của bài toán trên làm cho học sinh khó định hướng trong việc
tìm lời giải. Ta lấy bất kỳ 4 điểm A, B, C, D từ n điểm đã cho. Giả sử A, B, C là
3 điểm thẳng hàng. Khi đó, gọi d là đường thẳng đi qua A, B và C. Khi đó bằng
các suy diễn từ các tính chất đã biết ta suy ra được điều mâu thuẫn với giả thiết
(A, B, C, D đồng phẳng).
iii. Quy tắc lựa chọn
Quy tắc này có ý nghĩa tập cho học sinh khả năng suy luận để loại trừ những
trường hợp không xảy ra, từ đó có bước giải quyết bài toán gọn hơn.
Sơ đồ của quy tắc là A ∨ B, A
B

.

iv. Quy tắc bắc cầu của phép kéo theo
Sơ đồ của quy tắc là

A ⇒ B, B ⇒ C
.
A⇒ C

Quy tắc bắc cầu của phép kéo theo là một chuỗi các phép suy diễn từ một tiền
đề để đi đến kết luận. Điều quan trọng là biết định hướng và lựa chọn những tiền
đề trung gian để con đường đi đến kết luận là ngắn nhất. Do đó, cần luyện tập
cho học sinh phép suy diễn nào là ngắn gọn nhất, tránh tình trạng đi lòng vòng
không cần thiết.

A

Ví dụ 4: Cho tứ diện đều cạnh a. Gọi M là
trung điểm của AB, N là trung điểm cạnh CD.

M

Hãy tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng BN
và CM.

D
B

N

H
C


24
Đây là bài toán tương đối khó vì vận dụng quy trình giải thông thường sẽ
gặp rất

Hình 2

nhiều khó khăn. Nhờ hoạt động phân tích và tổng hợp
ta có thể giải bài toán bằng một cách khác như sau:
Phân tích từ giả thiết bài toán ta thấy các yếu tố cho trong bài toán chứa
đựng các bất biến của phép chiếu vuông góc như: trung điểm của đoạn thẳng,

khoảng cách, tỉ số của hai đoạn cùng phương, góc vuông. Hoạt động phân tích
này được tiến hành trên cơ sở tổng hợp như vậy bài toán có thể được giải bằng
cách sử dụng phép chiếu vuông góc.
Hoạt động này được tiến hành như sau: Sử dụng phép chiếu lên mặt phẳng
(P) vuông góc với BN tại N.
Vì ABCD là tứ diện đều, nên từ giả thiết BN ⊥ CD và CD ⊂ (P). Gọi H là
chân đường cao kẻ từ A đến mặt phẳng (BCD), (H ∈ BN). Khi đó ảnh của A, B,
M, C, D, H qua phép chiếu vuông góc nói trên là A 1, N, M1, C, D, N. Từ giả thiết
suy ra A1C = A1D, A1N ⊥ CD, M1A1 = M1N và ta có NA1 = HA = a

2
,
3

d(MC, NB) = d(N, CM1). Dẫn đến bài toán trong phẳng là:
Bài toán phẳng: “Cho tam giác cân A1CD tại A1, có CD = a, A1N = a

2
.
3

Gọi M, N1 lần lượt là trung điểm của CD và A1N. Tính khoảng cách từ N đến
CM1”.
Từ đây, ta dễ dàng tính được d(MC, NB) = a

10
.
10

Như vậy ta đã thực hiện phép kéo theo như sau: Từ giả thiết bài toán ⇒ bài toán

10
phẳng. Từ bài toán phẳng ⇒ d(MC, NB) = a
.
10


25
1.2.3.2. Suy luận quy nạp
Theo G. Polya: “Suy luận quy nạp là trường hợp riêng của suy luận có lí” ([5],
tr. 9). Do đó, khi nghiên cứu về suy luận có lí, người ta thường quan tâm đến suy
luận quy nạp là chủ yếu.
Theo Phạm Văn Hoàn thì có bốn hình thức của suy luận quy nạp. Đó là:
- Quy nạp hoàn toàn;
- Quy nạp Toán học;
- Quy nạp không hoàn toàn;
- Phép tương tự.
a) Quy nạp hoàn toàn
Quy nạp hoàn toàn là quy nạp trong đó ta rút ra kết luận nói rằng thuộc tính
A có ở tất cả các phần tử của tập hợp đang xét, trên cơ sở biết rằng thuộc tính A
có ở mỗi phần tử của tập hợp đó.
Quy nạp hoàn toàn tuân theo sơ đồ

A( x1 ) ∧ A( x2 ) ∧ A( x3 ) ∧ ... ∧ A( xn )
,
A( x)

trong đó x lấy giá trị từ x1 đến xn .
Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rãi để chứng minh các định lý và giải
toán. Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được chứng
minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra. Để thực hiện được quy

nạp hoàn toàn cần:
+ Biết chính xác số đối tượng và từng đối tượng để tránh bỏ sót hay trùng lặp.
+ Số đối tượng không lớn.
+ Dấu hiệu của đối tượng có thể xem xét được.
Mặc dù, quy nạp hoàn toàn là một hình thức quy nạp nhưng xét tính đúng đắn
của suy luận thì ta có thể xem quy nạp hoàn toàn là suy luận chứng minh ([18],
tr. 142).