skkn cải tiến phương pháp dạy chuyên đề tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Sở Khoa học và Công nghệ Tỉnh Ninh Bình
Chúng tôi ghi tên dưới đây:

Số
TT

Họ và tên

Ngày tháng
năm sinh

1.

Bùi Thị Lợi

07/8/1978

2.

Vũ Thị Diệp 15/10/1979

Nơi công tác

Trường THPT
Yên Khánh A
Trường THPT
Yên Khánh A

Chức
danh

Tổ
phó

Trình độ
chuyên
môn

Tỷ lệ
(%)
đóng
góp vào
việc tạo
ra sáng
kiến

Đại học

Tác giả

Đại học

Đồng
tác giả

Là tác giả và đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: "Cải tiến
phương pháp dạy chuyên đề tính khoảng cách trong hình học không gian lớp

11"
- Chủ đầu tư sáng kiến: Bùi Thị Lợi và Vũ Thị Diệp
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể dùng làm tài liệu cho giáo
viên dạy khối 11, 12 trong cả nước; làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11,
12 trong cả nước chuẩn bị kiến thức cho học sinh bước vào các kì thi: thi Tốt
nghiệp, thi Học sinh giỏi, thi Đại học và Cao đẳng.
- Mô tả bản chất của sáng kiến:

I) Nội dung của sáng kiến
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 là một
dạng toán mới và khó đối với học sinh phổ thông và là bài toán thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, Đại học, Cao đẳng và các đề thi Học sinh
giỏi. Bài toán tính khoảng cách là một bài toán tổng hợp nhiều kiến thức của
hình học không gian, nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức hình học
không gian từ quan hệ song song đến quan hệ vuông góc thì mới có thể làm
1


được. Có thể nói nếu các em không biết tính khoảng cách thì không thể tính thể
tích khối đa diện và như vậy sẽ mất đi 1 điểm khi làm các đề thi đại học môn
Toán, 5 điểm trong các đề thi học sinh giỏi.
A. Giải pháp cũ thường làm.
Trước đây khi dạy học sinh tính khoảng cách trong hình học không gian
lớp 11, chúng tôi thường dạy như sau:
1) Cung cấp lí thuyết
2) Hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải bài toán cơ bản: Tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
3) Cho bài tập áp dụng
Vì thế mà chúng tôi thấy rằng phương pháp đó có những hạn chế là:
1. Học sinh lúng túng, không biết vận dụng lí thuyết vào làm bài tập

2. Học sinh được rèn luyện kĩ năng ít
3. Học sinh không biết qui lạ về quen
4. Học sinh không biết xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập đã cho.
5. Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12.
B. Giải pháp mới cải tiến.
Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi đã cải tiến phương pháp dạy
chuyên đề tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 thông qua các
giải pháp như sau:
1) Cung cấp lí thuyết về bài khoảng cách và các kiến thức liên quan.
2) Chia thành nhiều dạng bài tập. Ứng với mỗi dạng bài tập, chúng tôi
hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp giải và cho bài tập áp dụng.
3) Hướng dẫn học sinh tạo ra bài tập mới bằng cách hoán đổi giả thiết và
kết luận hoặc dùng các kiến thức về hình học không gian để ẩn đi một số dữ kiện.
4) Cung cấp ứng dụng: Dùng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
5) Cung cấp hệ thống bài tập tự luyện, không theo dạng, để học sinh phải
tự tìm được phương pháp giải.
Ưu điểm của giải pháp mới:
2


1. Học sinh được củng cố kiến thức cũ.
2. Ứng với mỗi dạng bài tập, học sinh tích luỹ được một phương pháp tính
khoảng cách và như vậy đứng trước một bài toán học sinh có thể sẽ có nhiều
hướng giải quyết. Rèn luyện cho học sinh tư duy tổng hợp.
3. Cách tạo ra bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen. Học sinh
không còn bỡ ngỡ khi giải các bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12, bài
toán hình học không gian trong đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học, đề thi tốt
nghiệp. Học sinh còn cảm thấy hứng thú vì mình có thể tự ra được bài tập. Khi
các em tự ra được các đề toán các em sẽ nắm vấn đề của bài toán tốt hơn và

nhanh chóng đưa ra được lời giải.
4. Qua ứng dụng của lý thuyết khoảng cách, giúp học sinh tư duy sâu hơn,
có cái nhìn rộng hơn giữa kiến thức cũ và mới, tạo ra sự liên kết hai chiều xuôi
và ngược, thấy rõ ứng dụng của lý thuyết khoảng cách trong bài toán tính góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ngoài ra, đây là tiền đề tốt để các em học sinh
học nối tiếp chương trình hình học 12
5. Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để
lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài. Rèn luyện cho học sinh
kĩ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo.
6. Học sinh có một nền tảng vững chắc về Hình học không gian là điều
kiện thuận lợi để học sinh có thể học tốt chuyên đề Hình giải tích trong không gian.

C. Phương pháp tiến hành
Giải pháp 1: Cung cấp lý thuyết về bài khoảng cách và các kiến thức
liên quan
Giải pháp 2: Chia thành nhiều dạng bài tập. Ứng với mỗi dạng bài
tập, chúng tôi hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp giải và cho bài
tập áp dụng.
Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng
phương pháp trực tiếp hoặc gián tiếp.
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
3


(Xem thêm phần phụ lục)
Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh tạo ra bài tập mới bằng cách hoán
đổi giả thiết và kết luận hoặc dùng các kiến thức về hình học không gian để
ẩn đi một số dữ kiện.
(Xem thêm phần phụ lục)
Giải pháp 4: Cung cấp ứng dụng: Dùng khoảng cách để tính góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng.
(Xem thêm phần phụ lục)
Giải pháp 5: Cung cấp hệ thống bài tập tự luyện, không theo dạng, để
học sinh phải tự tìm được phương pháp giải
(Xem thêm phần phụ lục)

II) Khả năng áp dụng của sáng kiến
- Sáng kiến có thể áp dụng trong giảng dạy môn Toán cấp THPT trong
Tỉnh và Toàn quốc.
- Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh
- Làm tài liệu tham khảo về phương pháp cho các môn học khác
- Sáng kiến đã được áp dụng trong giảng dạy môn Toán lớp 11 ở trường
THPT Yên Khánh A.

III) Lợi ích thu được từ sáng kiến:
1) Lợi ích xã hội:
Trong các năm 2007-2008; 2008 - 2009; 2010 - 2100 khi chưa áp dụng
phương pháp trên vào giảng dạy, qua kiểm tra chúng tôi thu được kết quả:
Năm học

Lớp

2007-2008
2008-2009
2010-2011

11A5
11A
11A

Giỏi
4%
10%
8%

Khá
32%
40%
40%

Kết quả
Trung bình
52%
45%
42%

Yếu
12%
5%
10%

Sau khi áp dụng phương pháp cải tiến trên vào ôn thi đại học cho lớp
12A, giảng dạy cho học sinh lớp 11B năm học 2011 - 2012 và giảng dạy cho
4


học sinh lớp 11A các năm học 2012 – 2013; 2013 - 2014, lớp 12A và 12P trong
năm học 2013- 2014, qua kiểm tra tôi thu được kết quả:
Năm học

Lớp

2011-2012 12A
11B
2012-2013 11A
11A
2013-2014
12A
12P

Giỏi
34%
36%
35%
40%
41%
35%

Khá
45%
44%
47%
40%
42%
40%

Kết quả
Trung bình
21%
20%

18%
20%
17%
25%

Yếu
0%
0%
0%
0%
0%
0%

Đặc biệt khi áp dụng phương pháp mới cải tiến như vậy, trong lĩnh vực
giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi đã thu được kết quả:
Năm học
2011- 2012
2012-2013
2013-2014

HSG Văn hoá
1 nhất, 1nhì, 1ba

HSG Giải Toán trên MTCT
Cấp Tỉnh: 1nhất, 1 nhì, 1 ba

3 nhì, 1ba
1 nhì, 2 ba, 1 khuyến

Cấp Quốc Gia: 2 khuyến khích

Cấp Tỉnh: 2 ba
Cấp Tỉnh: 2 nhất, 1 nhì

khích

Cấp Quốc Gia: 1 nhất, 1 khuyến khích

Trong các kì thi Đại hoc, Cao đẳng, các lớp chúng tôi dạy đều đỗ Đại
học tương đối cao. Xét riêng trong năm học 2013-2014, trường THPT Yên
Khánh A có tới 22 em học sinh đạt điểm tổng ba môn thi đại học từ 24 điểm
trở lên, trong đó lớp chúng tôi giảng dạy có tới 19 em chiếm tỉ lệ 86,4%. Kết
quả này, góp phần không nhỏ trong những thành tích chung của nhà trường,
giúp trường THPT Yên Khánh A luôn là một trong những trường có điểm
bình quân thi Đại học cao của khối các trường THPT trong toàn tỉnh.
2) Lợi ích về kinh tế:
- Sáng kiến của chúng tôi không trực tiếp tạo ra của cải vật chất nhưng lại
có ý nghĩa kinh tế cao bởi nó góp phần đào tạo ra nguồn nhân lực phục vụ lao
động sản xuất.
- Tiết kiệm được chi phí mua tài liệu cho học sinh và giáo viên.
5


- Tiết kiệm thời gian tìm tài liệu của giáo viên và học sinh.
Danh sách những người đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu
STT

Họ và tên

Nơi công tác

Chức danh

Trình độ
chuyên môn

1

Bùi Thị Ngọc Lan

2

Trần Ngọc Uyên

3

Phạm Thị Ngọc Lan

4

Tô Thị Hường

5

Đoàn Thị Thuý

Trường THPT
Yên Khánh A
Trường THPT

Tổ trưởng

Cao học
Đại học

Yên Khánh A
Trường THPT

Đại học

Yên Khánh A
Trường THPT

Đại học

Yên Khánh A
Trường THPT

Đại học
Yên Khánh A
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng

sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
Yên Khánh, ngày 20 tháng 9 năm 2014
Người nộp đơn

Bùi Thị Lợi
PHỤ LỤC
Giải pháp 2: Chia thành nhiều dạng bài tập. Ứng với mỗi dạng bài
tập, chúng tôi hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp giải và cho bài
tập áp dụng.

Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng
phương pháp trực tiếp hoặc gián tiếp.
Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
(Bài toán chủ đạo)
6


1.1. Phương pháp 1: Tính trực tiếp

 Bước 1:
Dựng H là
hình chiếu
của M trên
mặt phẳng
(P):
+ Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với (P)
+ Tìm giao tuyến của (P) và (Q) là d
+ Trong mặt phẳng (Q), dựng MH vuông góc với d tại H
+ Suy ra MH vuông góc với (P) tại H.
Vậy H là hình chiếu của M trên (P)
 Bước 2: Tính MH
 Bước 3: Kết luận: d(M;(P)) = MH

 Trong cách này mấu chốt để giải quyết bài toán là phải dựng được
mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). Như vậy để dựng được mặt
phẳng (Q), ta làm như sau:

 Dựng một đường thẳng a đi qua M và vuông góc với đường thẳng ∆
nằm trong (Q).

 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng a, dựng đường thẳng b vuông
góc với đường thẳng ∆ .

 Khi đó (P) = (a; b)
 Cần chú ý:
1) Nếu đã có sẵn đường thẳng d vuông góc với (P) thì để dựng H là hình
chiếu của M trên (P), ta chỉ cần dựng đường thẳng ∆ đi qua M và song song với
d, giao điểm của ∆ với (P) là hình chiếu của M trên (P).
7


2) Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh trên
mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
3) Nếu hình chóp có các mặt bên tạo với với đáy các góc bằng nhau và
hình chiếu của đỉnh hình chóp trên mặt đáy thuộc miền trong đa giác đáy thì
hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
1.2. Phương pháp 2: Tính gián tiếp
(Áp dụng trong trường hợp việc dựng hình chiếu của M trên (P) gặp khó
khăn), thì ta dựa vào một số chú ý sau:
 Tìm một điểm N có thể tính được khoảng cách đến (P) một cách dễ dàng.
Tính d(N;(P)).
 Xét vị trí tương đối của MN và (P)

+) Nếu MN//(P) thì d(M;(P)) = d(N;(P))
d ( M ; ( P ))

IM

+) Nếu MN ∩ (P) = I thì d ( N ; ( P)) = IN ;
Tính tỉ số

IM
để suy ra khoảng cách từ M đến (P)
IN

8


 Đối với phương pháp này mấu chốt vấn đề là ta phải tìm ra được điểm
N có thể dựng được hình chiếu của điểm N trên mặt phẳng (P) một cách dễ
dàng. Vì vậy, ta cần chú ý:
+) Chọn điểm N nằm trên mặt phẳng vuông góc với (P), (hoặc qua N có
thể dễ dàng dựng được mặt phẳng vuông góc với (P)), đồng thời vị trí tương đối
của MN với (P) dễ xác định.
+) Có thể phải áp dụng công thức tỉ số khoảng cách trên nhiều lần chứ
không phải chỉ một lần.
1.3. Phương pháp 3: Chuyển bài toán tính khoảng cách tính d(M;(P))
về bài toán tính đường cao của một tứ diện đều hoặc đường cao của hình
chóp đều hoặc đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của một tứ diện vuông.
(P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
 TH1: MABC là tứ diện vuông tại M thì d(M;(P)) = h, với h được xác
định bởi
1
1
1
1
=
+
+
2

2
2
h
MA
MB
MC 2

 TH2: MABC là tứ diện đều cạnh a thì khoảng cách từ một đỉnh xuống
mặt đối diện bằng nhau và bằng

a 6
.
3

 TH3: NABC là tứ diện vuông tại N (hoặc tứ diện đều). Tính d(N;(P)).
Dựa vào vị trí tương đối của MN với (P) để suy ra d(M;(P)).
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài toán : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b
2.1. Phương pháp 1: Áp dụng trong trường hợp: a ⊥ b
Muốn tính khoảng cách giữa a, b ta dựng
AB là đoạn vuông góc chung của a và b theo
cách sau:
 Bước 1: Dựng mặt phẳng (P):
( P ) ⊃ b

( P ) ⊥ a; a ∩ ( P ) = A

9

 Bước 2: Trong mặt phẳng (P):
dựng AB ⊥ b; B ∈ b
 AB ⊥ a; A ∈ a
 AB ⊥ b; B ∈ a

 Bước 3: Ta có 

⇒ AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b
⇒ d(a;b) = AB. Tính AB và kết luận

2.2. Phương pháp 2: Áp dụng trong trường hợp a, b không vuông góc
với nhau.
 Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
(Bài toán dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
trong TH này là không đơn giản nên ta chỉ áp dụng khi bài toán yêu cầu xác
định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.)
Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a
và b (trường hợp a và b không vuông góc) là:
 Phương pháp 1 dựng đoạn vuông góc
chung của a và b:
 Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng a và song song với b.
 Bước 2: Lấy điểm M trên đường
(Thường chọn M sao cho việc xác định H là đơn giản)
 Bước 3: Trong mặt phẳng (P), dựng đường thẳng qua H, song song với
b, cắt a tại A.
 Bước 4: Qua A, dựng đường thẳng song song với MH, cắt b tại B.
 Bước 5: Chứng minh AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
 Bước 6: Tính AB và kết luận.
 Phương pháp 2 dựng đoạn vuông góc

chung của a và b
 Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) vuông góc
với a tại O.
10


 Bước 2: Dựng đường thẳng b' là hình chiếu của đường thẳng (b trên
(P).
 Bước 3: Dựng H là hình chiếu của O trên (P)
 Bước 4: Qua H, dựng đường thẳng song song với a; cắt b tại B.
 Bước 5: Qua B, dựng đường thẳng song song với OH; cắt a tại A.
 Bước 6: Chứng minh AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
 Bước 7: Tính AB và kết luận
 Bước 5: Qua B, dựng đường thẳng song song với OH; cắt a tại A.
 Bước 6: Chứng minh AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
 Bước 7: Tính AB và kết luận
 Cách 2: (Thường dùng)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách chuyển
về bài toán tính khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng song song
hoặc khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song dựa vào nhận xét:
 Nhận xét 1:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường
thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
 Nhận xét 2:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh tạo ra bài tập mới bằng cách hoán
đổi giả thiết và kết luận hoặc dùng các kiến thức về hình học không gian để

ẩn đi một số dữ kiện.
Bài toán :

11


Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a 3 , góc BAD bằng
600, SA = SB = SD =

a 5
2

1) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD).
2) Tính khoảng cách giữa AD và SC
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
Sau khi giải xong bài toán này, dựa trên kết quả bài toán :
1) Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
2) Khoảng cách giữa AD và SC bằng

a
2

3 5a
10

3) Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 450
Từ kết quả của bài toán trên, bằng cách phát vấn học sinh tôi có thể
hướng dẫn học sinh xây dựng được một số bài toán từ bài toán trên.
Lấy kết quả hhoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng

a
thay cho
2

dữ kiện cạnh hình thoi ABCD, ta có:
 Bài toán 1:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, góc BAD bằng 60 0, SA =
SB = SD =

a
a 5
, khoảng cách từ S đến (ABCD) bằng
2
2

1) Tính diện tích hình thoi ABCD
2) Tính khoảng cách giữa AD và SC
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
Bằng cách sử dụng kết quả góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và
(ABCD)bằng 450 thaycho dữ kiệncạnh hình thoi ABCD, ta có:
 Bài toán 2:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, góc BAD bằng 60 0, SA =
SB = SD =

5a
, góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 450
2

12

1) Tính diện tích hình thoi ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng
(ABCD)
2) Tính khoảng cách giữa AD và SC
Bằng cách sử dụng Khoảng cách giữa AD và SC bằng

3 5a
thay cho dữ
10

kiện cạnh của hình thoi ABCD, ta có:
 Bài toán 3:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, góc BAD bằng 60 0, SA =
SB = SD =

a 5
3 5a
, khoảng cách giữa AD và SC bằng
.
2
10

1) Tính diện tích hình thoi ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng
(ABCD)
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
Bằng cách sử dụng tính chất của hình chóp đều để ẩn đi dữ kiện SA = SB
·
= SD và BAD
= 60 0 , ta có:

 Bài toán 4:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a 3 , S.ABD là hình
chóp đều; SA =

a 5
2

1) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD).
2) Tính khoảng cách giữa AD và SC
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
Bằng cách sử dụng tính chất "Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc
với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó"
và kết quả góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45 0 để ẩn đi dữ kiện
SA = SB = SD =

a 5
, ta có:
2

Bài toán 5:

13


Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng a 3 , góc BAD
bằng 600; gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (SBM) và (SAC) cùng vuông
góc với đáy; góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 450
1) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)
2) Tính khoảng cách giữa AD và SC
Trên cơ sở này, chúng tôi yêu cầu mỗi học sinh dựa trên các bài toán dã

làm ở trên để tạo ra các bài toán khác, cách làm này giúp học sinh tự củng cố
lại kiến thức cũ và rèn luyện cho học sinh tư duy qui lạ về quen. Để tạo hứng
thú học tập, chúng tôi sẽ khuyến khích bằng điểm số đối với những bài tập hay.
Giải pháp 4: Cung cấp ứng dụng: Dùng khoảng cách để tính góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng.
 Phương pháp: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong
trường hợp d cắt (P) và d không vuông góc với (P)

 Bước 1: Tìm A
= d ∩ (P)
 Bước 2: Lấy điểm M thuộc d và tính MA, d(M;(P))
 Bước 3: Tính sin α =

d ( M ; ( P))
AM

Bài tập vận dụng:
Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh
đáy gấp hai lần cạnh bên, khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (A'BC) bằng

a 3
. Tính góc
4

giữa BC' và mặt phẳng (A'BC).

14

Phân tích: Để tính góc giữa BC' và mặt phẳng (A'BC) thì ta phải dựng
hình chiếu của C' trên mặt phẳng (A'BC) nhưng việc dựng hình chiếu của C' trên
mặt phẳng (A'BC) lại khó khăn. Vì vậy nếu áp dụng công thức tính góc trên thì
ta chỉ cần tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC), mà khoảng cách từ C'
đến mặt phẳng (A'BC) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC).
Lời giải:
Gọi O là giao diểm của AC' và A'C⇒ O là trung điểm của AC' và A'C
AC' ∩ (A'BC) = O ⇒ d(A;(A'BC)) = d(C';(A'BC))
BC' ∩ (A'BC) = B; Gọi (BC',(A'BC)) = α ⇒ sin α =

d (C ' ; ( A' BC ))
a 3
=
C' B
4C ' B

Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
AA' ⊥ BC; AM⊥BC ⇒ BC ⊥ (A'AM)⇒ (A'BC) ⊥ (A'AM);
(A'BC) ∩ (A'AM) = A'M
Trong mặt phẳng (A'AM): dựng AH ⊥ A'M; H∈ A'M
⇒ AH ⊥ ((A'BC)) ⇒ AH = d(A;(A'BC)) =

a 3
4

Gọi cạnh đáy của lăng trụ là x thì cạnh bên của lăng trụ là

x
.
2

∆ AA'M vuông tại A có AH là đường cao nên:
1
1
1
4
4
16
x 3 a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
=
⇒x=a
2
2
2
4
4
AH
AM
AA'
3x
x
3x
a2
5a 2
a 5
2
+a =

⇒ BC ' =
∆ BB'C' vuông tại B': BC' = BB' + B'C' =
4
4
2
2

⇒ sin α =

2

2

a 3
15
=
4C ' B 10

Vậy (BC',(A'BC)) = arcsin

15
10

 Từ kết quả của bài trên tôi xây dựng được một bài toán tương tự:
Bài toán:

15


Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' . Mặt phẳng (A'BC) cách điểm A một

khoảng bằng

a 3
15
và tạo với BC' một góc α biết sin α =
. Tính diện tích đáy
4
10

và khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình lăng trụ.
Giải pháp 5: Cung cấp hệ thống bài tập tự luyện, không theo dạng, để
học sinh phải tự tìm được phương pháp giải
Bài 1:
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và
đáy bằng 600, O là tâm hình vuông ABCD.
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)
2) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)
3) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC)
Bài 2:
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SC. Biết góc giữa BM và ND bằng 60 0. Tính khoảng cách từ
S đến mặt phẳng (ABCD).
Bài 3:
Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD
bằng 600, SO vuông góc với (ABCD), SO =

3a
. Tính khoảng cách từ A đến mặt
4

phẳng (SBC).
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có AB = AC = 3a; BC = 2a, các mặt bên của
hình chóp tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 60 0. Tính khoảng cách từ S
đến mặt phẳng (ABC).
Bài 5:
Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, H là hình
chiếu của S trên (ABC) thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB, SC tạo với đáy góc 600.
Tính khoảng cách giữa SA và BC.
Bài 6:
16


Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABC
bằng 600, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, H
là trung điểm của AB và SH = a.
1) Tính khoảng cách AB và SC.
2) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
Bài 7:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông có SA vuông góc với
đáy, SD tạo với đáy góc 600, khoảng cách giữa BD và SC bằng

a 15
5

1) Tính diện tích hình vuông ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng
ABCD.
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 8:
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy

góc 600. (P) là mặt phẳng trung trực của SC. Tính góc giữa AB và mặt phẳng
(P).
Bài 9 :
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của AA', AD, CC'. Gọi O là tâm mặt ABCD.
1) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MNP).
2) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (MNP).
Bài 10:
Cho hình hộp ABCD.A'B"C'D' có tất cả các cạnh bằng a, các góc A'AB,
BAD, A'AD bằng nhau và bằng 600.
1) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D')
2) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (AD'C)
Bài 11:
Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C"D' có đáy là hình chữ nhật. Hình chiếu
của A' trên mặt phẳng (ABCD) thuộc miền trong hình chữ nhật ABCD. Các mặt
17


phẳng (ABB'A') và (ADD'A') lần lượt tạo với đáy góc 45 0 và 600. Tính khoảng
cách giữa hai mặt đáy của hình lăng trụ.
Bài 12:
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền
BC bằng 2 2 a; ABB'A' là hình bình hành có góc AA'B' bằng 60 0, AA' =a, mặt
phẳng (ABB'A') vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C'.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC).
3) Tính cos α , với α là góc giữa hai đường thẳng AA' và mặt phẳng
(A'BC).

XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG THPT YÊN KHÁNH A

18