Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp 6 ở trường THCS

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong suốt chương trình học trong nhà trường, mỗi môn học đều góp phần
vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu cho học sinh. Trong đó
môn Toán giữ vai trò quan trọng, thời gian dành cho việc học Toán chiếm tỉ lệ
khá cao. Thực tế những năm gần đây, việc dạy học Toán đã có những bước cải
tiến về phương pháp, nội dung và hình thức dạy học.
Các dạng bài tập của môn Toán trong chương trình trung học cơ sở (THCS)
rất đa dạng và phong phú. Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 là
giải các bài toán về phần phân số. Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán
lớp 6 cấp huyện ở Lệ Thủy thì phân số là nội dung hay đề cập đến và thường là
những bài khó. Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập như
sách giáo khoa thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất phức tạp, đa dạng và
không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhau
một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng
hợp của học sinh còn hạn chế nên học sinh thường bế tắc trong việc tìm ra cách
giải cho loại toán này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài
toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.
Là một giáo viên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) Toán 6, để giúp
học sinh giải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về
phần phân số, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, góp
phần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài”. Tôi xin trình bày sáng kiến kinh
nghiệm “Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi
lớp 6 ở trường THCS”. Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học
sinh phương pháp nhận dạng các bài toán về phân số và hướng dẫn phương pháp
để có lời giải hợp lý.
1.2. Điểm mới của đề tài.
Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học phổ biến
nhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn.
1

Nội dung của đề tài được chia ra và hướng dẫn cụ thể từng phần, học sinh dễ
dàng tiếp cận gây nên sự hứng thú trong học tập cho học sinh, kích thích cho các
em sự ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán. Tạo một nền tảng vững
chắc cho các em tiếp cận kiến thức về tính toán sau này.
Thông qua mỗi dạng bài tập, giáo viên đưa ra bài giải chi tiết từ đó đưa ra
các phương pháp giải cụ thể giúp học sinh nắm chắc kiến thức để làm các bài tập
vận dụng.

1.3. Phạm vi áp dụng đề tài.
Nghiên cứu trong phạm vi các em đội tuyển học sinh giỏi hai năm học liền
kề: 2013-2014 và 2014-2015 của trường nơi tôi đang công tác.

2


2. PHÇN NéI DUNG
2.1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong năm học 2013-2014, sau khi đội tuyển HSG của trường tham gia kì
thi HSG lớp 6 môn Toán cấp huyện Lệ Thủy, tôi đã thống kê về kết quả chất lượng
làm bài của các học sinh (HS) phần phân số như sau:
Câu 2 phần

Số HS không

Số HS làm được

Số HS làm được

phân số

làm được

từ 0,5 ->1 điểm

từ 1 ->1,5 điểm

(1,5 điểm)

SL

%

SL

%

SL

%

Tống số HS: 8

3

37,5

4

50

1

12,5

Kêt quả chung xếp thứ: 13/28 ( trong đó có một giải ba, 2 giải khuyến
khích)
Qua bảng trên cho thấy, học sinh làm bài tập phần phân số đạt kết quả chưa
cao, phương pháp bồi dưỡng của giáo viên về phần phân số này chưa được tốt nên
ảnh hưởng đến chất lượng của đội tuyển HSG. Chính vì vậy bản thân tôi còn nhiều
trăn trở, suy nghĩ muốn tìm ra những phương pháp dạy học mới về chuyên đề này
để rèn kĩ năng cho học sinh nhằm góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS.
2.2. Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

3


Để thực hiện tốt các giải pháp thì hai yếu tố hầu như quyết định đó là giáo
viên và học sinh. Chính vì vậy giáo viên và học sinh cần phải thực hiện tốt các nội
dung sau:
2.2.1. Đối với giáo viên:
- Để giúp giáo viên giảng dạy được thành công trong phương pháp trên, vai
trò của người học là không nhỏ. Vì vậy giáo viên cần phải kích thích cho các em sự
ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán nói chung, đặc biệt là phần phân
số nói riêng, nhằm đem lại hiệu quả cao.
- Phải nắm thật vững phương pháp giải và từng em học sinh để chuẩn bị bài
giảng tốt.
- Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt,
chọn kiến thức, kĩ năng cơ bản nào hay ứng dụng nhất để giảng tốt, luyện tốt.

- Phải hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức đến đâu, luyện chắc đến đấy.
Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài tập.
- Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm
thế nào? Tại sao nghĩ như thế thì mới đạt kết quả.
2.2.2. Đối với học sinh:
- Các em phải luôn đóng vai trò chủ động trong việc tiếp thu kiến thức, chỗ
nào còn khó khăn vướng mắc học sinh cần mạnh dạn đặt câu hỏi ngay cho giáo
viên bồi dưỡng .
- Học sinh phải nắm thật chắc những kiến thức trong sách giáo khoa và các
kiến thức liên quan , để từ đó mới vận dụng tốt các phương pháp làm bài tập nâng
cao.
- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu qua sách tham khảo, qua báo Toán học
và Tuổi thơ ….hoặc tìm các bài tập có liên quan thông qua mạng Internet vì nội
dung các bài tập trên mạng hiện nay rất nhiều .
2.2.2.1. Các kiến thức cơ bản và liên quan
1. Phân số:

4


* Dạng của phân số

a
với a, b∈ Z, b ≠ 0.
b

a: là tử
b: là mẫu của phân số.
*a=

a
với a ∈ Z
1

2. Phân số bằng nhau:
a c
= nếu ad = bc với b ≠ 0, d ≠ 0.
b d

3. Tính chất cơ bản của phân số.
- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta
được phân số bằng phân số đã cho.
a
a.m
=
với m ∈ z, m ≠ 0, b ≠ 0.
b
b.m

- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của
chúng ta thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
a
a:n
=
với n ∈ ƯC (a, b), b ≠ 0.
b
b:n

* Chú ý:
- Mỗi phân số thì có vô số phân số bằng nó.

- Mọi phân số đều có thể viết dưới dạng phân số mà mẫu số là số dương.

4. Rút gọn phân số.
- Rút gọn một phân số là tìm một phân số đơn giản hơn nhưng vẫn bằng
phân số đã cho.
- Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung
(khác 1 và -1) của chúng.
- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa (tử và mẫu chỉ có
ước chung là 1 và -1).
5


* Muốn tìm phân số tối giản, ta chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho
ƯCLN của chúng.
5. Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu
chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng
mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Chú ý:
- Nếu trong các phân số đã cho có những phân số chưa tối giản thì nên rút
gọn các phân số đó trước khi quy đồng.
- Nếu các mẫu của các phân số là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung
là tích của các mẫu và thừa số phụ của mẫu là tích của các mẫu của các phân số
còn lại.
6. So sánh phân số
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn
hơn.

- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai
phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn
hơn thì lớn hơn.
* Nhận xét:
- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0
- Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương.
- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0.
- Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm.
7. Phép cộng phân số
- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu
6


a b a+b
+ =
m m
m

- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân
số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.
8. Phép trừ phân số
- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số
trừ.
a c a  c
− = + − 
b d b  d

- Phép trừ phân số là phép toán ngược của phép cộng phân số.
9. Phép nhân phân số
Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

a c a.c
⋅ =
b d b.d

2.2.2.2. Một số phương pháp giải bài tập phân số .
Dạng1: Tìm điều kiện để phân số tồn tại, điều kiện để phân số có giá trị là
số nguyên
Bài tập1:

Cho biểu thức A =

3
(n∈z)
n +1

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số.
b) Tìm phân số A biết : n = 0; n = 10 ; n = -3.
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để A là số nguyên.
Giải:
a) Biểu thức A có 3∈ Z, n ∈ Z nên n+1 ∈ Z.
Để A là phân số cần có điều kiện n+1 ≠ 0 hay n ≠-1.
3
1

b) Với n = 0 thì A = = 3
Với n = 10 thì A =

3
3
=

10 + 1 11

7


Với n= -3 thì A =

3
3
=
− 3 +1 − 2

c) Để A là số nguyên ta phải có n+1 là ước của 3.
Ư(3) = { − 3; − 1; 1; 3 } . Ta có bảng sau:

n+1
n

-3
-4

-1
-2

1
0

Vậy n∈ { − 4; − 2; 0; 2 }
Bài tập 2:

Cho phân số B =

3
2

10n
(n ∈ Z ) .
5n − 3

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
(Câu a: Đề kiểm tra chất lượng HSG môn Toán 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm
học 2013- 2014)
Giải:
Ta có: B =

10n
(10n − 6) + 6 2(5n − 3) + 6
6
=
=
= 2+
5n − 3
5n − 3
5n − 3
5n − 3

Để B là số nguyên thì phải có

6
là số nguyên, tức là 5n-3 phải là ước của 6.

5n − 3

Ư(6) = { − 6; −3; −2; − 1; 1; 2;3; 6} , ta có bảng sau:

5n-3
n

-6
-3/5

-3
0

-2
1/5

-1
2/5

1
4/5

2
1

3
6/5

6
9/5

Vì n ∈ Z nên n ∈ { 0; 1; }
Vậy n ∈ { 0; 1; }
Bài tập 3: Tìm số n ∈ Z để phân số

2n + 15
là số nguyên.
n +1

Giải:
Ta có

2n + 15 2(n + 1) + 13
13
= 2+
=
n +1
n +1
n +1

8


Để

2n + 15
13
là số nguyên thì phải có
là số nguyên.
n +1

n +1

Tức là n+1 phải là ước của 13
Ư(13) = { − 13; − 1; 1; 13} , ta có bảng sau:

n+1 -13 -1
1
n
-14 -2
0
Vậy n ∈ { − 14; − 2; 0; 12 }

13
12

* Phương pháp giải :
Phân số tồn tại khi tử và mẫu là các số nguyên và mẫu khác không.
Phân số có tử là một số nguyên, mẫu có chứa ẩn có giá trị là số nguyên khi
mẫu là ước của tử.
Phân số có tử và mẫu đều chứa ẩn thì biến đổi thành tổng của một số nguyên
với một phân số có tử là một số nguyên và mẫu có chứa ẩn.
* Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho phân số A =

n−9
;n ∈ Z
n2 + 5

a) Chứng tỏ rằng phân số A luôn tồn tại.
b) Tìm phân số A biết: n = -3 ; n = 0 ; n = 3.

3

Bài 2: Cho phân số B = (n − 2).(n + 1) ; n ∈ Z .
a) Viết tập hợp M các số nguyên n để phân số B tồn tại.
b) Tìm phân số B biết n = -13; n = 0; n = 13.
c) Với giá trị nào của n thì B là số nguyên.
Bài 3: Cho phân số C =

3n + 1
; n ∈ Z ; n ≠ 3.
n−3

Tìm n để C có giá trị nguyên.
Bài 4: Cho A=

n−2
. tìm các giá trị nguyên của n để :
n+3

a) A là một phân số
9


b) A là một số nguyên
(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2010-2011)
Bài 5: Cho phân số B =

4
với n ∈ Z.
n−3

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để phân số B tồn tại.
b) Tìm phân số B biết: n = 0; n = 10; n = -2.
c) Tìm giá trị của n để B là một số nguyên.

Dạng 2 : Phân số tối giản
Bài tập 1: Trong các phân số sau đây phân số nào là tối giản
− 5 30
;
;
36
42

18
;
− 43

7
15
;
.
− 118 132

Giải:
ƯCLN ( − 5 ; 36 ) = ƯCLN (5, 36)=1
ƯCLN(30, 42)=6
ƯCLN ( 18 ; − 43 ) = ƯCLN(18,43)=1
ƯCLN ( 7 ; − 118 ) = ƯCLN(7, 118)=1
ƯCLN (15;132) = 3
Vậy các phân số tối giản là:

− 5 18
7
;
;
.
36 − 43 − 118

Bài tập 2: Tìm phân số tối giản

a
biết.
b

a. Cộng tử với 4, mẫu với 10 thì giá trị của phân số không đổi.
b. Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu của phân số thì giá trị của phân số
tăng lên 2 lần.
Giải:
a. Ta có:

a a+4
a 2
=
hay ab + 10a = ab + 4b ⇒ 10a = 4b ⇒ =
b b + 10
b 5

10

b. Ta có:

a
a
a
=
phân số này giảm đi 2 lần so với phân số
b + b 2b
b

mà phân số

a+b a+b
a
=
tăng gấp 2 lần so với phân số
b+b
2b
b

suy ra a+b = 4a hay b=3a vậy

a 1
=
b 3

Tuy nhiên vẫn có học sinh làm cách khác:
Theo bài ra ta có:

a+b

a
= 2.
b+b
b

=> (a+b)b = 2b . 2a
=> ab + b2 = 4ab
=> b2 = 3ab
=> b= 3a
Vậy

a 1
=
b 3

Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì những phân số có dạng
21n + 4
là phân số tối giản
14n + 3

Giải:
Vì n ∈ N , nên 21n +4 ∈ N* và 14n+3 ∈ N*.
Do vậy để chứng minh phân số

21n + 4
là phân số tối giản với mọi n ∈ N, ta phải
14n + 3

chứng minh 21n +4 và 14n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN ( 21n + 4, 14n + 3 ) = d (d ∈ N* ).

2( 21n + 4) d

Khi đó 
3(14n + 3) d
42n + 8 d
42n + 9 d

Hay 

=> 42n + 9 - 42n -8 d =>1 d
Vậy d =1

11


Như vậy phân số

21n + 4
là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
14n + 3

Bài tập 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

n + 13
là phân số tối giản.
n−2

Giải:
Ta có:

n + 13 n − 2 + 15
15
=
= 1+
(n ≠ 2)
n−2
n−2
n−2

Để phân số

n + 13
15
là phân số tối giản thì phân số
là phân số tối giản.
n−2
n−2

Muốn vậy 15 và n - 2 phải là 2 số nguyên tố cùng nhau. Vì 15 có 2 ước
khác 1, khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n - 2 không chia hết cho 3 và 5 tức là:
n - 2 ≠ 3k và n - 2 ≠ 5k. Hay n ≠ 3k +2 và n ≠ 5k + 2 (k∈N, k ≠ 0).
* Phương pháp giải:
Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của các
giá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là
1 thì đó là phân số tối giản.
Để chứng tỏ một phân số là tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử và mẫu
của nó bằng 1(trường hợp tử và mẫu là các số nguyên dương, nếu là số nguyên âm
thì ta xét số đối của nó ). Ngược lại, nếu muốn chứng minh phân số nào chưa tối
giản (hay có thể rút gọn được nữa) ta chứng minh ƯCLN của chúng khác 1.
* Bài tập vân dụng:

Bài 1: Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản
16
84
;
;
− 25 30

− 91
27
;
;
112 125

− 182
?
385

Bài 2: Tìm phân số tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng tích của tử số và mẫu số
của nó bằng120.
Bài 3: Tìm số tự nhiên không lớn hơn 10 để phân số

5
là phân số tối
n+7

giản.
Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, phân số sau là phân số tối giản
12

15n + 1
.
30n + 1

Bài 5: Cho phân số

n + 19
(n ∈ N )
n+6

a. Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên.
b. Tìm giá trị của n để phân số là tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số
A=

8n + 193
4n + 3

a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản.
c. Với 150 < n < 170 thì A rút gọn được.

Dạng 3 : Tổng các phân số viết theo quy luật
Bài tập 1: a) Tính

1 1 1 1 1 1
− ; − ; − .
2 3 3 4 4 5

b) Áp dụng tính: A=

1
1
1
+
+
2.3 3.4 4.5

Giải:
a)

1 1 3 −2
1
− =
=
2 3
2.3
2.3
1 1 4−3 1
− =
=
3 4 3.4 3.4
1 1 5−4
1
− =
=
4 5
4.5
4.5

b) A =

1
1
1
+
+
2.3 3.4 4.5

1 1 1 1 1 1
− + − + −
2 3 3 4 4 5
1 1 3
= − =
2 5 10
=

13


Bài tập 2:

Tính tổng B =

2
2
2
2
+
+

+ ... +
15 35 63
399

Giải:
2
2
2
2
+
+
+... +
3.5 5.7
7.9
19.21
1 1 1
1 1
1
1
− + − + − +... +
−
5 5 7
7 9
19
21
1
2
−
=
21

7

B =
1
3
1
=
3
=

Bài tập 3: Tính tổng C =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
25.27 27.29 29.31
73.75

Giải:
C =

1
1
1
1
+

+
+ ... +
25.27 27.29 29.31
73.75

=

1 2
2
2
2 
+
+
+... +


2  25.27
27.29
29.31
73.75 

=

1 1
1 
1
−

=
2  25 75  75

* Phương pháp giải:
Với những bài toán có tử và mẫu được viết theo quy luật: Tử không thay đổi
và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở
m

1

1

mẫu sau. Ta dùng công thức: b(b + m) = b − b + m để viết mỗi số hạng thành một
hiệu của hai phân số, số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau, còn lại số
bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng.
2m

Nếu mỗi số hạng có dạng phức tạp hơn như b(b + m)(b + 2m) thì ta dùng công
2m

1

1

thức: b(b + m)(b + 2m) = b(b + m) − (b + m)(b + 2m) để viết mỗi số hạng thành một hiệu
của hai phân số.
* Bài tập vận dụng:
14


1

1

1

1

Bài 1: Tính tổng A = 1.6 + 6.11 + 11.16 + ... (5n + 1)(5n + 6)
Bài 2: Tính tổng: B =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20

(Bài tập trong chuyên đề học sinh giỏi lớp 6 phòng GD&Đ Lệ Thủy)
Bài 3: Chứng minh rằng: A =

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
< 1;
2
2

3
4
100 2

(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 20102011)
Bài 4: Chứng minh rằng: C =

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 < 1; (n ∈ N ; n ≥ 2).
2
2
3
4
n

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ; n ≥ 2 ta có:
3
3
3
3
1
+
+
+ ... +
<
9.14 14.19 19.24
(5n − 1)(5n + 4) 15

Bài 6: Cho A =

4
4
4
16
16
+
+ ... +
chứng minh: < A <
15.19 19.23
399.403
81
80

Bài 7: Cho dãy số :

2
2
2
;
;
;...
4.11 11.18 18.25

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Cho A =

Bài 8:

1
1
1
1
2
8
+ 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh < A <
2
5
9
2
3
4
9

Dạng4 : Tìm số chưa biết trong đẳng thức
Bài tập 1: Tìm số nguyên x sao cho phân số

x
có giá trị bằng -4
19

Giải:
Phân số

x
x
có giá trị bằng - 4 nên

= - 4 => x = - 4.19.
19
19

Vậy x = -76
Bài tập 2: Tìm các số nguyên x, y, z biết :
z
6 − x 21
=
= y =
8
4
− 80

15


Trước khi giải bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh rút gọn phân số
về phân số tối giản là

6
8

3
.
4

Giải:
z
3

− x 21
z
6 − x 21
=
= y =
=> =
= y =
8
4
− 80
4
4
− 80

* vì
* vì

3
−x
⇒ − x = 3 ⇒ x = −3
=
4
4
21
3
= y => 3.y = 4.21
4

3.y = 84
y = 84:3

y = 28
* vì

3
z
=
=> 4.z = 3. (-80)
4
− 80

4.z = -240
z = (-240):4
z = -60
Vậy: x = -3; y =28; z =-60
* Phương pháp giải :
+

a c
=
nên a.d = b.c (định nghĩa hai phân số bằng nhau).
b d

suy ra: a =

b.c
b.c
a.d
a.d
; d=
; b=

; c=
.
d
a
c
b

+ Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã cho
thành hai phân số bằng chúng nhưng có tử ( hoặc mẫu ) như nhau. Khi đó, mẫu
( hoặc tử ) của chúng phải bằng nhau, từ đó tìm được số chưa biết.
* Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x cho biết

16


a.

5
x
=
;
12 72

b.

x + 3 −1
=
;
15

3

x

2

x+3

3

c. 3 = y

Bài 2: Tìm các số nguyên x, y biết 7 + y = và x+y = 20
7
Bài 3: Tìm các số nguyên x, y, z, u, t, biết :
Dạng 5: So sánh phân số
Bài tập 1: So sánh các phân số
a)

3
2
1
2
2
3
; b)
và
và ; c) và
−3
−3

−5
4
5
3

Giải:
a) Ta có:

1
−1
=
;
−3 3

vì -1>-2 nên
b)Ta có:

c)Ta có: =

vì

−1 − 2
1
2
〉
; do đó
〉
3
3
−3 −3

2
−2
=
−5
5

Vì -2<3 nên
2
3

2
−2
=
−3
3

−2 3
2 3
〈 ; do đó
〈
5 5
−5 5

8 3 9
; =
12 4 12

2 3
8 9

〈
nên < .
12 12
3 4

Bài tập 2: So sánh hai phân số

77
84
;
76
83.

Giải:
Ta có

77
1
= 1+ ;
76
76

84
1
= 1+
83
83

Vì

1 1
77 84
〉
〉
nên
76 83
76 83

17

12 8
y 40 16
u
= =
=
=
=
9 x 21 z
t 111


Bài tập 3: So sánh hai phân số

42 58
;
43 59

Giải:
Ta có

42
1
= 1− ;
42
43

58
1
= 1−
59
59
1

1

42 58
〈
vì 43 〉 59 nên
43 59

Bài tập 4: So sánh hai phân số

18 15
;
31 37

Giải:
Xét phân số trung gian

18

( phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất
37

và có mẫu là mẫu của phân số thứ hai).
Ta thấy:
suy ra:

18 18 18 15
> ;
>
.
31 37 37 37
18 15
>
31 37

Bài tập 5: So sánh hai phân số

− 387 − 592
;
386
591

Giải:
Ta có nhận xét

− 387
1
− 386
+

=
= −1 (1)
386 386
386
− 592
1
− 591
+
=
= −1 (2)
591 591 591
1
1
>
386 591

Từ (1); (2); (3) suy ra:

(3)

− 387 − 592
<
386
591

* Phương pháp giải:
- Sử dụng quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu và khác mẫu.
18

- Dùng số 1 làm trung gian:
+ Nếu

a
=1+ M;
b

a c
c
> .
= 1 + N , mà M>N thì
b
d
d

+ Nếu

a
=1− M;
b

a c
c
< .
= 1 − N , mà M>Nthì
b d
d

- Dùng một phân số làm trung gian
- Sử dụng phép cộng phân số thích hợp: trong một số trường hợp để so sánh

hai phân số, ta có thể cộng chúng với hai phân số thích hợp có cùng tử. So sánh
hai phân số này sẽ giúp ta so sánh được hai phân số đã cho.

* Bài tập vận dụng:
Bài 1: So sánh các phân số:
64 73
;
;
85 81
57 63
b)
;
;
67 73
2001.2002 −1
c)
;
2001.2002
219 215
d)
;
;
220 216
− 303 − 516
e)
;
302
515
a)

2002.2003 −1
;
2002.2003

Bài 2: Cho a, m, n ∈ N*. Hãy so sánh :

.

a
a+m
và
b
b+m

(Bài tập trong chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 huyện Lệ Thủy)
2.2.3. Kết quả nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện tôi đã thu được một số thành công
bước đầu:
2.2.3.1.Về phía giáo viên:
Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn, đặc biệt phù hợp với quá
trình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra. Bên cạnh đó hình thành ở
19


giáo viên phương pháp làm việc khoa học. Hơn thế đã phát huy được sự tích cực
chủ động của người học, hình thành ở học sinh những kĩ năng, kĩ xảo trong giải
toán.
2.2.3.2.Về phía học sinh:
Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập về phân số, tôi
thấy đã phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo, say mê môn học của học sinh,

giúp học sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với bộ môn Toán học.
Học sinh yêu thích bộ môn Toán hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm
hiểu các nội dung chuyên đề nâng cao khác trong chương trình bồi dưỡng môn
Toán lớp 6. Chính vì vậy kết quả làm bài của các em tốt hơn nên chất lượng của
đội tuyển HSG cũng có nhiều bước đột phá hơn.

2.2.3.3. Kết quả đạt được của đề tài cụ thể như sau:
Sau khi đội tuyển HSG của trường tham gia kì thi HSG lớp 6 môn Toán cấp
huyện Lệ Thủy năm học 2014-2015, trong đề ra cũng có một câu về phần phân số
( câu 2) và tôi đã khảo sát và thống kê về kết quả chất lượng làm bài của các học
sinh phần này như sau:
Câu 2 phần

SốHS không làm

Số HS làm được

Số HS làm được

phân số

được

từ 0,5 ->1 điểm

từ 1 ->1,5 điểm

(1,5 điểm)

SL

%

SL

%

SL

%

Tổng số HS:10

0

0

3

30

7

70

Kêt quả chung : Giải ba đồng đội ( trong đó có 2 giải nhì, 1 giải ba và 2 giải
khuyến khích)
Kết quả trên cho thấy chất lượng bồi dưỡng HSG đã có bước chuyển biến.
Tuy chưa cao nhưng tôi hi vọng khi đã có phương pháp tốt cho học sinh thì trong
năm học 2015-2016 này đội tuyển học sinh giỏi toán 6 trường chúng tôi sẽ gặt hái

được nhiều thành công hơn nữa.
20


3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài.
Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ của từng nhà trường
mà cụ thể là từng nhà quản lí, từng giáo viên giảng dạy. Năng khiếu của học sinh
nếu được phát hiện và bồi dưỡng sớm sẽ định hướng phát triển và dần định hình trở
thành những học sinh giỏi.
Qua những năm bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 6, tôi thấy rằng để giúp HS
hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập, chuẩn bị
bài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có “nghệ thuật giảng dạy” - phương pháp
giảng dạy hợp lý. Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về phân số cho HS
lớp 6 cần phải hướng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản,
cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến bài tập phức tạp hơn. Sau
mỗi bài giáo viên cần củng cố phương pháp giải quyết và có thể khai thác thành bài
toán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để HS tự mình vân dụng làm được những bài
tập khó hơn.
Việc bồi dưỡng chuyên đề về phân số sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và
kỹ năng giải quyết bài tập trong các kỳ thi HSG cấp huyện, góp phần nâng cao chất
lượng mũi nhọn trong nhà trường.

21


Nói tóm lại việc tìm hiểu và phát hiện học sinh giỏi là công việc quan trọng
của mỗi nhà trường, nhất là giai đoạn hiện nay. Việc bồi dưỡng nhân tài mang tính
chiến lược của ngành Giáo dục và Đào tạo nhằm tạo ra lớp người mới năng động,
sáng tạo, đáp ứng công cuộc đổi mới của nước nhà. Bậc trung học cơ sở là bậc học

có đầy đủ điều kiện thuận lợi cho phát hiện, tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, ươm
trồng những tài năng cho đất nước. Tuy nhiên, trong thời gian công tác này ở mỗi
trường lại có những cách làm khác nhau, chưa mang tính thống nhất, có nơi làm tốt
và có những nơi còn nhiều hạn chế. Song trách nhiệm của người giáo viên phải là
mục tiêu cao cả, phải ươm những tài năng để làm cho nó phát triển và trở thành
nguyên khí của quốc gia, là tài sản quý báu nhất của mỗi gia đình, cộng đồng và
toàn xã hội.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy, người dạy cần tạo cho học sinh
thói quen không chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích, khai thác
nó để có những kết quả mới. Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo
các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong
giải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng lực sáng tạo,
bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học.

3.2. Kiến nghị, đề xuất.
3.2.1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán.
- Cần tổ chức các hội thảo chuyên đề về bồi dưỡng HSG chuyên sâu cho
giáo viên trong tỉnh, huyện nhằm trao đổi kinh nghiệm, học hỏi lẫn nhau giúp ích
cho các hoạt động chuyên môn của ngành .
3.2.2. Với BGH nhà trường
Nhà trường cần làm tốt công tác tư tưởng với các thành viên tham gia, tạo
mọị điều kiện tốt nhất cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi như: về thời gian, về cơ sở

22


vật chất…..để hiệu quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi không ngừng được nâng
cao.

3.2.3. Với phụ huynh học sinh
Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con em. Thường xuyên kiểm
tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi với các biện pháp giúp học sinh
giải tốt các bài tập nâng cao phần phân số Toán 6 ở trường THCS.Vì điều kiện thời
gian có hạn và trình độ nâng lực còn hạn chế, đề tài của tôi chắc chắn còn nhiều
thiếu sót. Do vậy tôi mong được sự góp ý của các đồng nghiệp và các phụ trách
chuyên môn .
Tôi xin chân thành cảm ơn.

23


24