4 toan 8 HSG 2 da in

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a, x 4 + 4
b,
2. Cho

(

x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) − 24

a
b
c
+
+
= 1 . Chứng minh rằng:
b+c c+a a+b
a2
b2
c2
+
+
=0
b+c c+a a+b

Câu 2: (2 điểm)

3
2
1. Tìm a,b sao cho f ( x ) = ax + bx + 10x − 4 chia hết cho đa thức
g ( x ) = x2 + x − 2

2. Tìm số nguyên a sao cho a 4 + 4 là số nguyên tố
Câu 3.( 3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.(1,5 điểm)
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011

--------------------------HẾT--------------------------

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8


Câu

1

Đáp án

1a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52

0,25
0,25

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

0,25
0,25

2. Nhân cả 2 vế của:

2

Điểm
0,5
0,25
0,25

a
b
c
+

+
=1
b+c c+a a+b

với a + b + c
rút gọn ⇒ đpcm
2
1. Ta có : g ( x ) = x + x − 2= ( x − 1) ( x + 2 ) Vì

0,5
0,5

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + 10x − 4 chia hết cho đa thức

0,25

g ( x ) = x2 + x − 2

Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
→ ax 3 + bx 2 + 10x − 4= ( x+2 ) . ( x-1) .q ( x )

0,25

Với x=-2 → 2a-b+6=0 ( 2 )
Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4
4
2
2
2. Ta có : a + 4= ( a -2a+2 ) ( a +2a+2 )

0,25

Với x=1 → a+b+6=0 → b=-a-6 ( 1)

0,25
0,25

Vì a ∈ Z → a 2 -2a+2 ∈ Z ;a 2 +2a+2 ∈ Z
Có a 2 +2a+2= ( a+1) + 1 ≥ 1 ∀a
2

Và a 2 -2a+2= ( a-1) + 1 ≥ 1 ∀a
Vậy a 4 + 4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 - 2a+2=1
Nếu a 2 -2a+2=1 → a = 1 thử lại thấy thoả mãn

0,25

Nếu a 2 +2a+2=1 → a = −1 thử lại thấy thoả mãn

0,25

2

0,25

0,25


AE = FM = DF
⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm

b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC ⇒ đpcm

0,5

⇒ ME + MF = a không đổi
⇒ S AEMF = ME.MF lớn nhất

0,5
0,25

⇔ ME = MF (AEMF là h.v)

0,25

⇒ M là trung điểm của BD.

0,25

a. Chứng minh:

0,5
1

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

(a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

4

0,25

⇒ (a+ b) – ab = 1

0,25

⇒ (a – 1).(b – 1) = 0

0,25

⇒ a = 1 hoặc b = 1

0,25

Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)

0,25

Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

0,25

* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

-----------------HẾT------------------