T 10d 07 daicuongvephuongtrinh tom tat bai hoc

ĐẠI CƢƠNG VỀ PHƢƠNG TRÌNH
I. KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH

1. Phƣơng trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)
f(x), g(x) là biểu thức của x.
Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một
nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm
(tập nghiệm là ).

2. Điều kiện của phƣơng trình
Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình) là
điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) cùng có nghĩa.

Chú ý:
Khi phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi x, thì ta
có thể không ghi điều kiện của phương trình.
Tìm điều kiện của phương trình, đôi khi ta có thể biết được nghiệm của phương
trình hoặc biết được phương trình này vô nghiệm.
Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của hai đồ thị
hàm số y = f(x) và y = g(x). Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao
điểm của hai đồ thị nói trên.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các phương trình:
a)

x 1 

x

2x

b)

1
 x3
x 1
2

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình rồi suy ra tập nghiệm của
phương trình:
a) x 2  1  x  x  2  3

b) 3x  x  2  2  x  6


3. Phƣơng trình nhiều ẩn
2x 2  4xy  y 2  x  2y  3 là một phương trình hai ẩn (x và y).
x 2  3xy  y 2  xz  3 là một phương trình ba ẩn (x, y và z)
Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0 (x0, y0 là
số) thì ta gọi cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình.

4. Phƣơng trình chứa tham số
Trong một phương trình ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có chữ khác,
được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham
số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
II. PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG - PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1. Phƣơng trình tƣơng đƣơng

Cho hai phương trình f1(x) = g1(x)

(1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x)

(2) có tập nghiệm T2

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ta viết f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x)

(T1 = T2)

Để giải một phương trình ta thường dùng các phép biến đổi tương đương để biến
đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn.

2. Phép biến đổi tƣơng đƣơng
Định lí
Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và hàm số y = h(x) xác định trên D
(h(x) có thể là một hằng số).
Khi đó trên D, ta có:
a. f(x) = g(x)  f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
b. f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x)

(h(x) ≠ 0, x  D)

Lưu ý
Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hoặc trừ hai
vế với biểu thức đó
Quy đồng bỏ mẫu là thực hiện phép nhân hai vế phương trình cho một biểu thức

Ví dụ 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) 3x  x  2  x 2  3x  x 2  x  2
b) x  x  2  x2  x  2  x  x 2


c)
d)

2x  1
2

x 1
2x +1
2

x -1

 1  2x  1  x 2  1

= 1  2x +1 = x 2 - 1

Các phép biến đổi tương đương thường gặp
Nếu hai vế của phương trình cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta được một
phương trình tương đương
Chú ý: f(x) = g(x)  f 2 (x) = g2 (x) (sai)
Ghi nhớ
f(x)  0 (hoac g(x)  0)
f(x) = g(x)  
f(x) = g(x)


g(x)  0
f(x) = g(x)  
2

f( x) = g (x )

Ví dụ 4: Giải phương trình

x 1  x  3

3. Phƣơng trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x)

(1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x)

(2) có tập nghiệm T2

Nếu mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình (2) thì phương
trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) (tức là tập nghiệm
T2 chứa T1)
f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x)

(T1  T2 )

Chú ý
Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của

phương trình đã cho, tức là: f(x) = g(x)  f2(x) = g2(x)
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình
ban đầu, ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử
lại các nghiệm vừa tìm được (thường gặp khi bình phương hai vế, nhân hai vế của
phương trình với một đa thức,…)

Ví dụ 5: Giải phương trình

x 2 - 4 = 3x

Ví dụ 6: Giải phương trình

x2 + 5 = x +

1
x2 - 3

Ví dụ 7: Giải phương trình (x 2  3x  2) x  3  0