skkn phát huy tình tích cực chủ động của học sinh khi học môn toán bằng ví dụ thực tế và liên môn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CHỦ ĐỘNG
CỦA HỌC SINH KHI HỌC MÔN TOÁN
BẰNG CÁC VÍ DỤ THỰC TIỄN VÀ LIÊN MÔN

Giáo viên thực hiện: Trần Ngọc Lam
Tổ bộ môn: Toán

Buôn Đôn-Tháng 3 năm 2015


Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài. . . . . . . . .
1.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.
1.3. Đối tượng nghiên cứu. . . . . .
1.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu. .
1.5. Phương pháp nghiên cứu. . . .

1

.
.
.
.
.

4
4
4
4
5
5

Chương 2. MỘT SỐ VÍ DỤ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC
TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Cơ sở lý luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Dạy học hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5. Hàm số căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Một số ý tưởng thiết kế ví dụ dạy học các chủ đề khác . . . . .
2.4.1. Dạy học Tổ hợp-Xác suất-Thống kê . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Dạy học hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Thực trạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Thuận lợi - Khó Khăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Thành công - Hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Mặt mạnh - Mặt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
8

11
15
18
19
20
25
26
27
31
31
31
31

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Mục lục
2.6. Giải pháp và biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp . . . . . . . . . . .
2.6.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp .

2.6.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp . . . . . . . .
2.6.4. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên
cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trang 3

.
.
.
.

31
31
31
32

. 32
. 33
. 34


Chương 1
PHẦN MỞ ĐẦU

1.1.

Lý do chọn đề tài.

-Hiện nay, mục tiêu của nền giáo dục quốc dân là đào tạo một nguồn nhân
lực có trình độ cao để phục vụ đất nước. Do vậy các kiến thức của học sinh
được học ở nhà trường cần được gắn liền với các vấn đề của thực tiễn cuộc
sống. Do đó, Bộ Giáo dục không ngừng có các văn bản hướng dẫn cũng như
tổ chức cho các giáo viên cả nước tập huấn về dạy học tích hợp và liên môn để
tăng cường tính hiệu quả và tạo ra sự hấp dẫn trong việc tiếp thu kiến thức
cho học sinh. Với mục đích giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng cũng
như sự gần gũi của Toán học và cuộc sống xung quanh tôi viết sáng kiến kinh
nghiệm với đề tài "Phát huy tính tích cực, chủ động học tập cho học
sinh khi học môn Toán bằng các ví dụ thực tiễn và liên môn".
-Thực hiện cuộc vận động của Trường THPT Trần Đại Nghĩa về việc viết
các đề tài Sáng kiến kinh nghiệm để phục vụ cho việc nâng cao chất lượng
giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh.

1.2.

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.

- Hệ thống một số ví dụ ứng dụng của Toán học trong thực tiễn cũng như
các môn học khác.

1.3.

Đối tượng nghiên cứu.

- Lớp các bài toán có liên quan đến các môn học khác như Vật Lý, Hóa
Học, Sinh học,... và các bài toán xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn cuộc sống.


1.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.

- Sử dụng nội dung chương trình được giảng dạy đối tượng học sinh các
khối lớp phổ thông,

1.4.

Giới hạn phạm vi nghiên cứu.

- Sử dụng các kiến thức trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành.
- Sử dụng một số kiến thức tổng hợp tích hợp từ các môn học khác.
- Khi sử dụng đề tài trong giảng dạy cần xác định rõ nên áp dụng kiến
thức cho phù hợp.

1.5.

Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu chuẩn kiến thức và kỹ năng về chương trình Toán trung học
phổ thông do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành.
- Nghiên cứu các tư liệu, các bài viết có liên quan của các đồng nghiệp;
- Tổng hợp các kiến thức, các kĩ năng cơ bản thường dùng trong các bài
toán cơ bản thường gặp.
- Tổng hợp các kinh nghiệm có được trên cơ sở thực tế giảng dạy.

Trang 5


Chương 2
MỘT SỐ VÍ DỤ THỰC TIỄN KHI DẠY
HỌC TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1.

Cơ sở lý luận

- Hiện nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng
bộ phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá ở các trường phổ thông theo
định hướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29 NQ/TƯ về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Dạy học tích hợp,
liên môn xuất phát từ yêu cầu của mục tiêu dạy học phát triển năng lực học
sinh, đòi hỏi phải tăng cường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải
quyết những vấn đề thực tiễn.
- Khi giải quyết một vấn đề trong thực tiễn, bao gồm cả tự nhiên và xã hội,
đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức tổng hợp, liên quan đến nhiều môn
học. Vì vậy, các chủ đề liên môn, tích hợp có tính thực tiễn nên sinh động,
hấp dẫn đối với học sinh, có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học
tập cho học sinh. Học các chủ đề tích hợp, liên môn, học sinh được tăng cường
vận dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết các tình huống thực tiễn, ít phải
ghi nhớ kiến thức một cách máy móc.
- Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số cho đến hình học đều xuất
phát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các môn học khác. Người
giáo viên nếu chịu khó tìm tòi, sáng tạo các ví dụ thực tế lồng ghép vào bài
học hoặc tiết dạy tự chọn sẽ giúp cho học sinh hiểu được tầm quan trọng khi
học về các khái niệm Toán học từ đó giúp cho học sinh tích cực, chủ động và
hứng thú hơn đối với việc học tập.


2.2. Dạy học hàm số

2.2.

Dạy học hàm số

Hàm số là một khái niệm tương đối khó hình dung nếu chỉ đọc định nghĩa
một cách đơn thuần. Ở chương trình phổ thông, khái niệm hàm số được định
nghĩa một cách rất toán học vì vậy khi dạy học chúng ta cần đưa khái niệm
hàm số đến với các em một cách tự nhiên bằng các ví dụ về thực tiễn. Về
tổng quát hàm số là trường hợp riêng của một ánh xạ đi từ tập X vào tập Y .
Trong đó tương ứng với một phần tử x ∈ X là một và chỉ một phần tử y ∈ Y .
Do đó, trong cuộc sống cứ 2 đối tượng có liên hệ với nhau ta có thể thiết lập
một ánh xạ và từ đó minh họa cho khái niệm hàm số.

Ví dụ 2.1. Đối với mỗi con người thì chúng ta có mối quan hệ giữa chiều cao
và độ tuổi. Với một người bất kỳ thì ứng với một độ tuổi nào đó sẽ xác định
một chiều cao nhất định. Khi đó chiều cao là một hàm số của độ tuổi. Nhưng
ngược lại, độ tuổi lại không là hàm số của chiều cao. Vì ứng với mỗi chiều cao
nào đó có thể có nhiều độ tuổi khác nhau. Chẳng hạn, với chiều cao là 1m50
có thể ứng với độ tuổi 20 hoặc 21.
Ví dụ 2.2. Trong một tiệm giải khát, thực đơn (menu) bao gồm các thức
uống và giá cả tương ứng của nó. Khi đó giá cả là một hàm số của thức uống
hay thức uống là một hàm số của giá cả? Ta có thể nói giá cả là một hàm số
của thức uống vì với mỗi thức uống cụ thể thì có duy nhất một đơn giá ứng
với nó. Ngược lại ta không thể nói thức uống là hàm số của giá cả vì có thể
có hai thức uống có cùng một đơn giá.
Hàm số có nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Đặc biệt khi nghiên
cứu các vấn đề về kinh tế, xã hội thì các khái niệm về đồ thị, đạo hàm, tính
đơn điệu, tích phân... của hàm số sẽ cho thấy rõ tầm quan trọng khi nắm rõ
bản chất của nó.

Trang 7

2.2. Dạy học hàm số
2.2.1.

Hàm số bậc nhất

Ví dụ 2.3. (Kinh tế) Theo báo cáo của Công ty cổ phần sữa Việt Nam - Vinamilk
thì tổng doanh thu năm 2012 đạt 26,99 ngàn tỉ đồng và năm 2013 đạt 31,8 ngàn
tỉ đồng.
a) Lập một hàm số bậc nhất biểu thị tổng doanh thu (đơn vị ngàn tỉ đồng) của
công ty theo từng năm.
b) Dự đoán tổng doanh thu của công ty Vinamilk vào năm 2014.
c) Sử dụng mạng Internet để so sánh kết quả thực tế với dự đoán bằng lý thuyết.
Lời giải.
a) Giả sử hàm số có dạng y = at + b, t là năm tính doanh thu (đặt t = 2 ứng
với năm 2012), y là tổng doanh thu trong năm.
Ta có hệ
2a + b = 26, 99
a = 4, 81
⇔
3a + b = 31, 8
b = 17, 37
Ta có hàm số doanh thu của công ty là y = 4, 81t + 17, 37.

b) Dự đoán năm 2014 doanh thu của công ty Vinamilk là
y(4) = 4, 81.4 + 17, 37 = 36, 61(ngàn tỉ đồng).
c) Theo trang web www.kinhdoanh.net (hình 2.1), tổng doanh thu năm 2014
của công ty Vinamilk là 36 ngàn tỉ đồng. Như vậy, con số thực tế và con
tính trên lý thuyết chênh lệch không nhiều. Do đó người quản lí công ty
hoàn toàn có thể sử dụng công thức này để dự đoán tổng doanh thu công
ty trong các năm tiếp theo để xây dựng chiến lược hoạt động tốt hơn.

Hình 2.1

Trang 8


2.2. Dạy học hàm số

Ví dụ 2.4. (Nhân chủng học) Mối quan hệ giữa chiều dài (length) xương đùi
(femur) và chiều cao(height) của người lớn có thể được xấp xỉ bởi các phương trình
tuyến tính:
y = 0, 432x − 10, 44 (đối với nữ) và y = 0, 449x − 12.15 (đối với nam)
với y là chiều dài xương đùi (đơn vị inch) và x là chiều cao của người lớn (đơn vị
inch).
a) Một nhà nhân chủng học của nước Anh phát hiện ra một xương đùi thuộc của
một phụ nữ có chiều dài là 16 inch (đơn vị đo chiều dài của nước Anh). Ước
tính chiều cao của phụ nữ đó.
b) Từ xương chân của một nam giới trưởng thành của con người, một nhà nhân
chủng học ước tính rằng chiều cao của người đó là 69 inch. Sau khi lấy thông tin
từ trang web nơi mà các xương bàn chân được phát hiện, các nhà nhân chủng
học phát hiện ra một nam giới trưởng thành có xương đùi là dài 19 inch. Liệu
có khả năng là xương bàn chân và xương đùi của cùng một người không ?

Hình 2.2
Lời giải.
a) Với chiều dài xương đùi của người phụ nữ là 16 inch ta có chiều cao của
người phụ nữ đó là nghiệm phương trình:
16 = 0, 432x − 10, 44 ⇒ 0, 432x = 26, 44 ⇒ x ≈ 61 inch.
b) Với chiều cao ước tính của nhà nhân chủng học là 69 inch thì chiều dài
xương đùi là: y(69) = 0, 449.69 − 12.15 = 18, 831 ≈ 19.

Do đó có thể xương bàn chân và xương đùi là của cùng một người.

Trang 9


2.2. Dạy học hàm số
Ví dụ 2.5. Hiện nay, thành phố Hà Nội đưa ra cách tính chi phí tiền nước sinh
hoạt như sau: hàng tháng một hộ gia đình sẽ trả 5000 đồng/m3 cho 10m3 nước
đầu tiên, 5900 đồng/m3 cho 10m3 nước tiếp theo, 7300 đồng/m3 cho các m3 nước
tiếp theo.
a) Hãy biểu diễn chi phí tiền nước hàng tháng của một hộ gia đình bằng một hàm
số theo lượng nước mà họ sử dụng.
b) Tính chi phí mà hộ gia đình phải trả khi sử dụng 17 m3 nước trong một tháng.
c) Một gia đình muốn chỉ phải trả tối đa 150 ngàn đồng tiền nước mỗi tháng. Hỏi
gia đình đó cần sử dụng tối đa bao nhiêu m3 nước.
Lời giải.
a) Gọi x là số m3 mà hộ gia đình sử dụng trong tháng.
C(x) là số tiền mà họ phải trả tương ứng (đơn vị tính: ngàn đồng).
Nếu 0 ≤ x ≤ 10 thì C(x) = 5x.
Nếu 10 < x ≤ 20 thì C(x) = 5.10 + 5, 9(x − 10) = 5, 9x − 9.
Nếu x > 20 thì C(x) = 5.10 + 5, 9.10 + 7, 3(x − 20) = 7, 3x − 37.


nếu 0 ≤ x ≤ 10
5x
C(x) = 5, 9x − 9 nếu 10 < x ≤ 20


7, 3x − 37 nếu x > 20
b) Chi phí phải trả khi sử dụng 17 m3 nước trong một tháng:

C(17) = 5, 9.17 − 9 = 91, 3 ngàn đồng.
c) Dựa vào hàm số ta thấy
• Nếu gia đình sử dụng tối đa 20m3 nước thì số tiền phải trả là:
C(20) = 5, 9.20 − 9 = 109 ngàn đồng.
• Do đó gia đình muốn chỉ phải trả tối đa 150 ngàn đồng tiền nước mỗi
tháng thì
1870
7, 3x − 37 = 150 ⇔ x =
≈ 25, 6 m3 . Vậy gia đình đó nên dùng
73
tối đa 25,6 m3 nước mỗi tháng.

Trang 10


2.2. Dạy học hàm số
2.2.2.

Hàm số bậc hai

Ví dụ 2.6. (Quản lý khách sạn) Một khách sạn có 50 phòng. Người quản lí
tính rằng nếu mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì tất cả các
phòng đều được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có
thêm 2 phòng trống. Hỏi người quản lí phải quyết định giá phòng là bao nhiêu để
thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất.
Lời giải.
Gọi x(ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra.
Giá chênh lệch sau khi tăng x − 400.
x − 400
(x − 400) + 2

=
.
Số phòng cho thuê giảm nếu giá là x:
20
10
x
x − 400
= 90 − .
Số phòng cho thuê với giá x là 50 −
10
10
x
x2
Tổng doanh thu trong ngày là: f (x) = x 90 −
= − + 90x.
10
10
x
f (x) = − + 90.
5
f (x) = 0 ⇔ x = 450.
Bảng biến thiên
x
f (x)

400

+∞

450

+

0

−

20250

f (x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 450.
Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có
doanh
thu
cao
nhất
trong
ngày
là
2.025.000
đồng.
Ví dụ 2.7. (Du lịch) Công ty dụ lịch Ban Mê Tourirst dự định tổ chức một
tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150
người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá
và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi
công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất.
Lời giải.
Gọi x(triệu đồng) là giá tua.
Giá đã giảm so với ban đầu là 2 − x.
Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán x là:

Trang 11

(2 − x) 20
= 400 − 200x.
0, 1


2.2. Dạy học hàm số
Số người sẽ tham gia nếu bán giá x là: 150 + (400 − 200x) = 550 − 220x.
Tổng doanh thu là: f (x) = x (550 − 200x) = −200x2 + 550x.
f (x) = −400x + 550.
11
f (x) = 0 ⇔ x =
8
Bảng biến thiên
x
f (x)
f (x)

0
+

11
8
0

+∞
−

3025

8

11
= 1, 375.
8
Vậy công ty cần đặt giá tua 1.375.000 đồng thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là
378.125.000 đồng.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x =

Nhận xét 2.1. Khi giảng dạy cho đối tượng học sinh lớp 10 chưa được học
về đạo hàm, giáo viên vẫn hướng dẫn các em lập bảng biến thiên của hàm số
bậc hai trên một khoảng mà không cần xét đạo hàm của hàm số đó.
Ví dụ 2.8. Một nhà đầu tư bất động sản ước tính rằng nếu 60 biệt thự được xây
dựng trong một diện tích thì lợi nhuận trung bình sẽ là 47 500 đôla/biệt thự. Cứ
mỗi biệt thự được xây thêm vào trên cùng diện tích đó, thì lợi nhuận trung bình
sẽ giảm 500 đôla/biệt thự. Nhà đầu tư nên xây dựng bao nhiêu biệt thự để tổng
lợi nhuận lớn nhất ? (Nhớ rằng, câu trả lời phải là số nguyên).
Lời giải.
Gọi x là số biệt thự được xây thêm và P(x) là hàm tổng lợi nhuận tương ứng
(đvt: trăm đôla).
Tổng lợi nhuận = (Lợi nhuận/biệt thự) (số biệt thự)
Suy ra: P (x) = (475 − 5x)(x + 60) = −5x2 + 175x + 28500.
Mục tiêu của bài toán là tìm GTLN của hàm P (x) với x ∈ N.
P (x) = −10x + 75. P (x) = 0 ⇔ x = 17, 5.
Lập bảng biến thiên ta sẽ dễ dàng tìm được M ax P (x) = P (17, 5).
x∈(0;+∞)

Vì x ∈ N nên P (x) đạt GTLN x = 17 hoặc x = 18.
Trang 12

2.2. Dạy học hàm số
Ta có: P (17) = P (18) = 30030.
Vậy nhà đầu tư cần xây dựng 77 biệt thự hoặc 78 biệt thự thì tổng lợi nhuận
sẽ lớn nhất.
Nhận xét 2.2. Trong bài toán trên, mặc dù ẩn x xét trên tập số tự nhiên N,
nhưng để giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất một các trọn vẹn ta cần xét
trên một khoảng mà hàm số đã cho có thể liên tục. Do đó, chúng ta xét hàm
số P (x) trên khoảng (0; +∞) để hợp lí hóa việc tính toán.
Ví dụ 2.9. (Thống kê dân số)Bảng sau cho thấy tuổi thọ trung bình của tại
Hoa Kỳ từ năm 1920 đến năm 2000 (Nguồn: Hoa Kỳ Trung tâm Quốc gia về thống
kê y tế ) Một mô hình cho tuổi thọ trong giai đoạn này là
y = −0, 0025t2 + 0, 574t + 44, 25(20 ≤ t ≤ 100)
với y đại diện cho tuổi thọ và t năm sinh (t = 20 tương ứng với năm 1920).
a) Tính tuổi thọ trung bình của một người sinh năm 1945.
b) Một người có tuổi thọ là xấp xỉ 76 tuổi. Dự đoán năm sinh của người đó.
Lời giải.

Hình 2.3

a) Tuổi thọ trung bình của một người sinh năm 1945 là:
y(45) = −0, 0025.452 + 0, 574.45 + 44, 25 = 65.

Trang 13


2.2. Dạy học hàm số
b) Với tuổi thọ xấp xỉ 76, năm sinh người đó là nghiệm phương trình
−0, 0025t2 + 0, 574t + 44, 25 = 76
⇔ −0, 0025t2 + 0, 574t − 31, 75 = 0

t ≈ 93
⇔
t ≈ 137
Do 20 ≤ t ≤ 100 nên người đó có thể sinh năm 1993.

Ví dụ 2.10. (Sức khỏe) Trọng lượng trung bình y (tính theo đơn vị pound của
Anh) dành cho một nam giới trong độ tuổi từ 25 tuổi đến 59 tuổi có thể được xấp
xỉ bằng mô hình toán học
y = 0, 073x2 − 6, 99x + 289, 62 ≤ x ≤ 76
với x là chiều cao (tính theo đơn vị inch) tương ứng của người đó (Theo công ty
bảo hiểm Metropolitan Life)
a) Hãy lập một bảng giá trị về trọng lượng trung bình cho nam giới với các chiều
cao 62 , 64, 66, 68 , 70, 72 , 74 và 76 inch.
b) Một người đàn ông có cân nặng 148 pound. Dự đoán chiều cao của người đó.
Lời giải.
a) Bảng cân nặng tương ứng với chiều cao
Chiều cao
Cân nặng

62

64

66

68

70

72

74

76

136,2 140,6 145,6 151,2 157,4 164,2 171,5 179,4

b) Độ tuổi của người đàn ông nặng 148 pound là nghiệm của phương trình
0, 073x2 − 6, 99x + 289 = 148
⇔ 0, 073x2 − 6, 99x + 141 = 0
⇔ x1 ≈ 29, hoặc x2 ≈ 67
Vậy người đàn ông này cao khoảng 67 inch.

Trang 14


2.2. Dạy học hàm số
Ví dụ 2.11. (Thể thao) Một sân bóng đá hình chữ nhật có chiều dài là x, chiều
rộng y và chu vi là 360m.
a) Chứng minh rằng chiều rộng của sân bóng là y = 180 − x và biểu diễn diện tích
S của sân bóng đó theo chiều dài x.
b) Hãy tìm kích thước của sân bóng ứng với chu vi trên để nó đạt diện tích lớn
nhất.
Lời giải.
a) Hình chữ nhật có chu vi 360m nên 2(x + y) = 360 ⇒ x + y = 180 ⇒ y =
180 − x.
Diện tích của sân bóng là: S = x.y = x(180 − x).
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x và 180 − x ta có:
x + (180 − x) ≥ 2 x(180 − x)
⇒ 2 x(180 − x) ≤ 180

⇒ x(180 − x) ≤ 8100
Do đó diện tích sân bóng lớn nhất là:
Smax = 8100 khi x = 180 − x ⇔ x = 90 ⇒ y = 90.

2.2.3.

Hàm số phân thức hữu tỉ

Hàm số phân thức hữu tỉ có khá nhiều ứng dụng trong cuộc sống khi xử lí
các về các vấn đề liên quan tới: sức khỏe, môi trường, phát triển dân số, công
nghiệp...
Ví dụ 2.12. (Ô nhiễm môi trường) Chi phí C (đơn vị tính bằng triệu USD)
của việc loại bỏ p% các chất thải công nghiệp gây ô nhiễm môi trường được cho
bởi công thức
255p
, 0 ≤ p < 100.
C=
100 − p
a) Tìm chi phí cần cho việc loại bỏ 10%, 40% và 75% chất thải công nghiệp.
b) Theo mô hình này, liệu có thể loại bỏ 100% chất thải công nghiệp không? Vì
sao
Lời giải.

Trang 15


2.2. Dạy học hàm số
a) Chi phí để loại bỏ 10%, 40% và 75% chất thải công nghiệp là:
85
255.10

=
≈ 28, 3(triệu USD)
100 − 10
3
255.40
C(40) =
= 170(triệu USD)
100 − 40
255.75
C(75) =
= 765(triệu USD)
100 − 75

C(10) =

b) Theo mô hình này thì không thể loại bỏ hoàn toàn 100% chất thải công
nghiệp vì hàm số không xác định khi p = 100.
Ví dụ 2.13. (Chi phí sản xuất)Một công ty nhận sản xuất 400 000 huy
chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bộ lên mặt trăng. Công
ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/giờ. Chi phí lắp
đặt máy để sản xuất huy chương là 80 đôla/máy và tổng chi phí vận hành là
5.76 đô la/giờ. Biểu diễn chi phí sản xuất 400 000 huy chương bằng một hàm
theo số máy đã dùng. Hãy ước tính số máy mà công ty nên dùng để chi phí nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi x, (1 ≤ x ≤ 20) là số máy sử dụng và C(x) là hàm tổng chi phí
sản xuất tương ứng.
Chi phí lắp đặt các máy: 80x.
400000
Chi phí vận hành các máy:
.5, 76
200x

Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành.
400000
11520
.5, 76 = 80x +
200x
x
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số C(x) với x > 0.
C(x) = 80x +

11520
x2
x = 12
C (x) = 0 ⇔ x2 = 144 ⇔
x = −12
C (x) = 80 −

Bảng biến thiên Bảng biến thiên:
x

0
−

f (x)

+∞

12
0

+∞

+
+∞

f (x)
1920
Trang 16


2.2. Dạy học hàm số
Ta có: M in C (x) = C (12) = 1920.
(0;+∞)

Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ bé nhất.
Ví dụ 2.14. Một siêu thị 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gửi kho là 10 USD/cái
trong một năm. Để đặt hàng từ nhà sản xuất, chi phí cố định là 20 USD, cộng
thêm 9USD mỗi cái. Siêu thị nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi
lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi x là số tivi cần đặt hàng mỗi lần x ∈ [1; 2500].
x
Khi đó số lượng tivi trung bình gửi trong kho là . Do đó, chi phí lưu kho
2
x
mỗi năm là 10. = 5x. (1)
2
2500
Số lần đặt hàng mỗi năm là
.
x
2500

50000
Chi phí đặt hàng mỗi năm là: (20 + 9x)
=
+ 22500 (2)
x
x
Từ (1) và (2) suy ra chi phí cho siêu thị là
C(x) = 5x +

5000
+ 22500
x

50000
x2
C (x) = 0 ⇔ 5x2 = 50000 ⇔ x2 = 10000 ⇔ x = 100, x = −100
C (x) = 5 −

Bảng biến thiên
x
f (x)

1

100
−

0

2500

+

f (x)
23500
Ta có: M in C(x) = C(100) = 23500. Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là
x∈[1;2500]

2500
= 25.
100
Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì siêu thị nên
đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi.
Ví dụ 2.15. (Hóa Học) Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào dưới
đây thì tỉ lệ mol H2 O: mol CO2 giảm dần khi số cacbon tăng dần:
A.Ankan B. Anken C. Ankin D. Ankylbenzen
Trang 17


2.2. Dạy học hàm số
Lời giải. Công thức tổng quát của một hidrocacbon bất kỳ là Cn H2n+2−2k với
k là số liên kết π trong phân tử. Phương trình phản ứng cháy:
Cn H2n+2−2k + O2 → nCO2 + (n + 1 − k)H2 O
n+1−k
nH2 O
=
.
nCO2
n
n+1−k
k − 1)

Xét hàm số f (n) =
, n ∈ N ∗ . Ta có: f (n) =
.
n
n2
Theo giả thiết f (n) là hàm số nghịch biến nên
k − 1)
f (n) < 0 ⇔
⇔ k < 1 ⇔ k = 0.
n2
Vậy hidrocacbon đó phải no tức là Ankan. Chọn đáp án A.
Ta có:

2.2.4.

Hàm số mũ, hàm số lôgarit

Hàm mũ và logarit được sử dụng rộng rãi trong việc mô tả các
hiện tượng vật lý và kinh tế như tính lãi suất kép, tốc độ tăng
trưởng dân số, sự phân rã của chất phóng xạ. Ví dụ, một hàm số
lôgarit có thể được sử dụng để mô tả sự liên hệ giữa trọng lượng
của các loài động vật và tốc độ phi nước đại thấp nhất của nó.
Ví dụ 2.16. Người ta ước tính rằng nhu cầu về dầu tăng theo quy luật hàm số
mũ với tốc độ 10%/năm. Nếu hiện tại nhu cầu về dầu là 30 tỷ thùng/năm. Hỏi
nhu cầu về dầu sẽ là bao nhiêu trong 10 năm tới.
Lời giải. Nếu đại lượng Q(t) tăng theo hàm số mũ thì nó được xác định bởi
hàm số dạng Q(t) = Q0 ekt , trong đó Q0 và k là các hằng số dương. // Tốc độ
thay đổi của Q theo thời gian t là đạo hàm:
Q (t) = kQ0 ekt = kQ(t) ⇒

Q (t)
=k
Q(t)

Do đó tốc độ thay đổi Q (t) là tỷ lệ với Q(t) theo hằng số k.
Tốc độ thay đổi của Q tương ứng với t là
100

Q (t)
kQ(t)
= 100
= 100k
Q(t)
Q(t)

Từ giả thiết, suy ra k = 10 = 0, 1. Do đó Q = Q0 e0,1t .
Ta có: Q(0) = Q0 e0 = 30 ⇒ Q0 = 30. Suy ra Q(t) = 30e0,1t .
Vậy nhu cầu về dầu sẽ là bao nhiêu trong 10 năm tới:
Q(10) = 30e ≈ 81, 55 tỷ thùng.
Trang 18


2.2. Dạy học hàm số
Ví dụ 2.17. (Vật lý)Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ radium (226 Ra) là khoảng
1599 năm. Tức là cho một lượng radium thì một nữa số ban đầu sẽ vẫn còn sau
khi 1599 năm. Sau 1599 năm tiếp theo, một phần tư số ban đầu sẽ vẫn còn, và cứ
thế tiếp tục. Đặt y đại diện cho khối lượng tính bằng gam của một lượng radium.
t
1 1599
.

Giả sử số lượng còn lại sau t năm là y = 25
2
a) Khối lượng ban đầu của phóng xạ radium là bao nhiêu.
b) Tính khối lượng phóng xạ còn lại sau 2500 năm.
Lời giải.
0
1 1599
a) Khối lượng ban đầu của phóng xạ radium là: y(0) = 25
= 25(g)
2
b) Khối lượng phóng xạ còn lại sau 2500 năm là:
2500
1 1599
1
y = 25
≈ 25
2
2

2.2.5.

1,563

≈ 8, 46(g)

Hàm số căn thức

Ví dụ 2.18. (Đề thi PISA) Kết quả của sự nóng dần lên của trái đất là băng
tan trên các dòng sông bị đóng băng. Mười hai năm sau khi băng tan, những thực
vật nhỏ được gọi là Địa y bắt đầu phát triển trên đá. Mỗi nhóm Địa y phát triển

trên một khoảng đất hình tròn. Mối quan hệ giữa đường kính d, tính bằng mi-limét(mm) của hình tròn và tuổi t của Địa y có thể biểu diễn tương đối theo công
thức:
√
d = 7 t − 12, với t ≥ 12.
a) Hãy tính đường kính của một nhóm Địa y sau 16 năm kể từ khi băng tan.
b) Bạn An đo đường kính của một nhóm Địa y và thấy có số đo là 35mm. Với kết
quả này thì băng đã tan cách đó bao nhiêu năm.
Lời giải.
a) Với thời gian t = 16 (năm) thì đường kính của nhóm Địa y là:
√
d = 7 16 − 12 = 14(mm).

Trang 19


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân
b) Với đường kính của nhóm Địa y là d = 35mm, ta có:
√
35 =
7
t − 12
√
⇒ t − 12 = 5
⇔ t − 12 = 25
⇔ t = 37
Vậy băng đã tan cách đó 37 năm.

2.3.

Dạy học nguyên hàm-tích phân

Tích phân là một trong những phát minh vô cùng quan trọng của Toán
học và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tuy nhiên trong chương trình sách
giáo khoa lớp 12 hiện nay thì chưa có các ví dụ mô tả ứng dụng trực tiếp của
tích phân ngoài việc tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay
của những hàm số một cách cách gượng ép.
Câu hỏi là, việc tính diện tích hình phẳng hay thể tích khối tròn xoay đó có
những ứng dụng thực tiễn như thế nào. Để trả lời câu hỏi này chúng ta có một
số lý thuyết cơ sở được xây dựng hết sức tự nhiên như sau:
1) Ta đã biết, với một đại lượng biến thiên s(t) thì tốc độ thay đổi (vận tốc)
của nó theo thời gian chính là s (t). Ngược lại, khi biết tốc độ thay đổi s (t)
của một đại lượng s(t) thì có thể suy ra mô hình hàm số biểu thị cho đường
đi của đại lượng đó bằng cách lấy nguyên hàm của s (t). Tức là
s(t) =

s (t)dt.

Kết hợp thêm các điều kiện ban đầu thích hợp để tìm ra s(t) một cách
chính xác.
2) Khi biết tốc độ thay đổi s (t) của một đại lượng s(t). Sự chênh lệch giá
trị của đại lượng s(t) trong khoảng thời gian từ a đến b được xác định bởi
công thức:
b

s(b) − s(a) =

s (t)dt.
a

Trang 20

2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân
Đây là mấu chốt quan trọng để giải quyết các bài toán thực tiễn như khi
biết tốc độ tăng trưởng của một đại lượng, ta có thể tìm một hàm số biểu
thị số lượng của đại lượng đó qua từng thời kì. Nhiều vấn đề nghiên cứu liên
quan tới nội dung này có thể kể đến như: sự gia tăng dân số, nhu cầu tiêu
dùng một loại hàng hóa nào đó, sinh học, mô trường... Rất tiếc ở nước ta các
dữ liệu cho những việc nghiên cứu như trên chưa được cung cấp nhiều nên
tác giả không tìm được các số liệu như mong muốn. Do đó, trong phần này
tác giả xin được sử dụng số liệu được cung cấp của các cơ quan thuộc chính
phủ Mỹ để minh họa.
Ví dụ 2.19. Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn. Tốc
độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót B được mô hình bởi
B (t) = −

3000
,t ≥ 0
(1 + 0, 2t)2

với B là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước và t là số ngày tính từ khi hồ nước
được xử lý. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô
hình này xác định số lượng vi khuẩn sau 5 ngày. Liệu số lượng vi khuẩn có thể
vượt qua 2000 con/ml nước.
Lời giải.
B=

−3000
dt = −3000
(1 + 0, 2t)2

=

(1 + 0, 2)t−2 dt = 15000(1 + 0, 2t)−1 + C
15000
+C
1 + 0, 2t

B(0) = 10000 ⇒ 15000 + C = 10000 ⇒ C = −5000
Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là B(5) = 2500con/1ml.
Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua

2000

con/ml

nước.

Ví dụ 2.20. Tốc độ thay đổi của số lượng người V (tính bằng ngàn người) tham
gia công tác tình nguyện ở nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mô
hình bởi hàm số
V (t) = 119, 85t2 − 30et + 37, 261e−t
với t là năm (t = 0 ứng với năm 2000). Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện
trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao nhiêu.(Nguồn: Cục
thống kê lao động nước Mỹ).
Lời giải. Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ

Trang 21


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân

năm 2000 đến năm 2006 là:
6

119, 85t2 − 30et + 37, 261e−t dt

V = V (6) − V (0) =
0

=

119, 85 3
t − 30et − 37, 261e−t
3

6
0

= −3473, 756166 − (−67, 261) ≈ −3406
Ví dụ 2.21. Một quả bóng được ném lên với vận tốc là 20 m/s bắt đầu từ độ cao
24m . Xác định một hàm số mô tả chiều cao s của quả bóng theo thời gian t (tính
bằng giây).
Lời giải. Đặt t = 0 ứng với lúc quả bóng bắt đầu được ném lên. Theo giả thiết
chúng ta có s(0) = 24 và s (0) = 20.
Quả bóng rơi xuống do tác động của trọng lực. Gia tốc tại thời điểm t bất kỳ
là s (t) = −9, 8 m/s2 .
Vận tốc của quả bóng tại thời điểm t là:
s (t) =

−9, 8dt = −9, 8t + C1

s (0) = 20 ⇒ C1 = 20
Do đó ta có: s (t) = −9, 8t + 20.
s(t) =

(−9, 8t + 20) dt = −9, 8t2 + 20t + C2
s(0) = 24 ⇒ C2 = 24

Vậy độ cao của quả bóng được cho bởi hàm số
s(t) = −9, 8t2 + 20t + 24

Ví dụ 2.22. (Dân số) Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây
√
giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ 10 + 2 2x + 1 người trên một
tháng. Dân số của thành phố sẽ tăng bao nhiêu trong 4 tháng tới.
Lời giải. Gọi f (x) là dân số của thành phố sau x tháng.
√
Tốc độ thay đổi của dân số là f (x) = 10 + 2 2x + 1.
Suy ra
√
√
f (x) =
10 + 2 2x + 1 dx = 10x + 2
2x + 1dx
Trang 22


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân
3
1
1

(2x + 1) 2 d(2x + 1) = (2x + 1) 2 + C
3
3
2
Do đó f (x) = 10x + (2x + 1) 2 + C.
3
Số dân trong 4 tháng tới là:
√

1
2x + 1dx =
2

3
2
2
f (4) − f (0) = 10.4 + .(2.4 + 1) 2 + C − 0 + + C
3
3

≈ 57 người

Ví dụ 2.23. (Dân số)Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn (đơn vị tính: triệu người)của
nước Mỹ từ năm 1970 đến năm 2005 có thể được mô hình bởi hàm số f (t) =
1, 218t2 − 44, 72t + 709, 1 với t là năm(t = 0 ứng với năm 1970). Số lượng các cặp
đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 ngàn người.
a) Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ.
b) Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ vào
năm 2012. Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?
Lời giải.

a) Để tìm một mô hình cho số lượng các cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm
của f (t).
F (t) =

1, 218t2 − 44, 72t + 709, 1 dt

1, 218 3 44, 72 2
t −
t + 709, 1t + C
3
2
= 0, 406t3 − 22, 36t2 + 709, 1t + C

=

Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có
F (35) = 59513
⇔ 0, 406.353 − 22, 36.352 + 709, 1.35 + C = 59513
⇔ C = 44678, 25
Vậy một mô hình cần tìm là F (x) = 0, 406t3 − 22, 36t2 + 709, 1t + 44678, 25.

Trang 23


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân

Hình 2.4 Bảng thống kê số lượng cặp đôi kết hôn nước Mỹ năm 2012
b) Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là
F (42) = 65097, 138 triệu người

Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ (hình 2.4) thì vào năm
2012 tổng số các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ khoảng 61, 047 triệu người.
So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp nhất được.
Ví dụ 2.24. Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1 ounce
=28, 3495 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của
bào thai này được dự đoán sẽ tăng với tốc độ:
B (t) =

24361e−0,193t
, 8 ≤ t ≤ 38
(1 + 784e−0,193t )2

với B là cân nặng tính bằng ounce và t là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng
lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi.
Lời giải. Cân nặng của bào thai này là:
B=

24361e−0,193t
dt
(1 + 784e−0,193t )2

Đặt u = 1 + 784e−0,193t , ta có
B = 160, 998

160, 998
du
160, 998
=−
+C =−
+C

2
u
u
1 + 784e−0,193t
B(8) = 0, 04
160, 998
⇒−
+ C = 0, 04
1 + 784e−0,193.8
⇒ C = −0, 916
Trang 24


2.4. Một số ý tưởng thiết kế ví dụ dạy học các chủ đề khác
Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là
B(t) = −

160, 998
− 0, 916, 8 ≤ t ≤ 43.
1 + 784e−0,193t

Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:
B(t) = −

160, 998
− 0, 916 ≈ 22, 08(ounce)
1 + 784e−0,193t

Ví dụ 2.25. Trong nghiên cứu khoa học, người ta sử dụng thể tích của một quả
trứng để xác định kích thước của nó là một cách dự báo khá tốt về các thành phần

cấu tạo của trứng và đặc điểm của con non sau khi nở ra.
Một
√ quả trứng ngỗng được mô hình bởi quay đồ thị hàm số y =
1
7569 − 400x2 , −4, 35 ≤ x ≤ 4, 35 quanh trục Ox như hình 2.5. Sử dụng mô
30
hình này để tính thể tích quả trứng (x, y được đo theo đơn vị cm).
Lời giải. Thể tích của quả trứng được xác định bởi:

Hình 2.5
4,35

V =π
−4,35

1
30

√

2

7569 − 400x2 dx

π 4,35
=
(7569 − 400x2 ) dx ≈ 153cm3
900 −4,35

2.4.

Một số ý tưởng thiết kế ví dụ dạy học các chủ đề
khác

Do không có nhiều thời gian sưu tầm, thiết kế ví dụ nên tác giả mạnh dạn
đề xuất một số ví dụ gợi mở ý tưởng khi dạy học các chủ đề về toán tổ hợp,
Trang 25