Bài toán cực trị điện xoay chiều

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014

MỤC LỤC
1. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp ................................................... 4
1.1. Hiệu điện thế (U) ................................................................................................. 4
1.1.1. Giá trị R làm cho UR cực đại ......................................................................... 4
1.1.2. Giá trị R làm cho UL, UC, ULC, Ud cực đại ................................................... 4
1.1.3.a. URL không đổi khi R biến thiên .................................................................. 5
1.1.3.b. URC không đổi khi R biến thiên ................................................................. 5
1.1.3.c. UR không đổi khi R biến thiên ................................................................... 5
1.2. Công suất (P) ....................................................................................................... 6
1.2.1.a. Có hai giá trị R1  R2 cho cùng một giá trị công suất ................................ 6
1.2.1.b. Giá trị của R làm cho Pmạch cực đại............................................................ 7
1.2.1.c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R ............................. 7
1.2.2. Giá trị R làm cho PR cực đại ......................................................................... 9
1.2.3. Giá trị R làm cho Pd cực đại ......................................................................... 10
2. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.................................................... 10
2.1. Hiệu điện thế (U) ................................................................................................. 10
2.1.1. Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại ................................................................. 10
2.1.2.a. Giá trị ZL để UL cực đại .............................................................................. 10
2.1.2.b. Có hai giá trị L1  L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo
L1 và L2 ................................................................................................................... 12
2.1.3. Giá trị ZL để hiệu điện thế URL cực đại ......................................................... 13
2.2. Công suất (P) ....................................................................................................... 14
2.2.1. Có hai giá trị L1  L2 cho cùng giá trị công suất .......................................... 15
1


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
2.2.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ................................. 15
3. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp ................................................... 16

3.1. Hiệu điện thế (U) ................................................................................................. 16
3.1.1. Giá trị ZC để UR, UL, URL cực đại ................................................................. 16
3.1.2.a. Giá trị ZC để UC cực đại ............................................................................. 17
3.1.2.b. Có hai giá trị C1  C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính
theo C1 và C2 .......................................................................................................... 18
3.1.3. Giá trị ZC để hiệu điện thế URC cực đại ........................................................ 18
3.2. Công suất (P) ....................................................................................................... 18
3.2.1. Có hai giá trị C1  C2 cho cùng giá trị công suất .......................................... 19
3.2.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng ................................ 19
4. Sự thay đổi  trong mạch R-L-C mắc nối tiếp .................................................. 20
4.1. Hiệu điện thế (U) ................................................................................................. 20
4.1.1. Giá trị  làm cho UR cực đại ........................................................................ 20
4.1.2.a. Giá trị  làm cho UL cực đại ...................................................................... 20
4.1.2.b. Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng giá trị UL .................................................. 22
4.1.3.a. Giá trị  làm cho UC cực đại ...................................................................... 23
4.1.3.b. Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng giá trị UC ................................................. 24
4.2. Công suất (P) ....................................................................................................... 24
4.2.1. Giá trị  làm cho Pmax, PRmax, Pdmax .............................................................. 24
4.2.2. Có hai giá trị 1  2 cho cùng công suất và giá trị  làm cho Pmax tính
theo 1 và 2 ........................................................................................................... 25
4.2.3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ....................................................... 25

2


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
5. Một số bài toán khác .............................................................................................. 27
6. Cực trị trong máy điện .......................................................................................... 28

3

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU
(MẠCH CÓ R, L, C MẮC NỐI TIẾP)
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công
thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều
là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng
hạn..)
Bổ đề :
• Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó
Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai

, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Không nói đến r là r = 0

1. Mạch chỉ có R biến thiên
1.1. Hiệu điện thế (U)
1.1.1. Giá trị R làm cho UR cực đại
U R  IR=

U
R  (Z L  ZC )
2

2

R

U

 Z  ZC 
1 L

2

R2

=>UR cực đại khi R = ∞  Z = ∞ = R  UR=U
Mặt khác UR cực tiểu khi R = 0  UR = 0
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.

1.1.2. Giá trị R làm cho UL, UC, ULC, Ud cực đại

4


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
L, C, r = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực
đại.

Mặt khác:
L, C, r = const  muốn các giá trị này cực tiểu thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực
tiểu.

- L, C, r = const => Không có R1  R2 để Z1=Z2  Không có R1  R2 để I1=I2, UL1=UL2,
UC1=UC2, ULC1=ULC2
- Không có R1  R2 để URL1 = URL2 ; URC1 = URC2.

1.1.3.a. URL không đổi khi R biến thiên
Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự C , L(r=0) , R
U RL 

U R 2  Z L2
R  (Z L  ZC )
2

U
2

2Z L ZC  Z C2
1
R 2  Z L2

URL không phụ thuộc R  2ZL ZC  ZC2  0  ZC=2ZL và URL = U
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.

1.1.3.b. URC không đổi khi R biến thiên
Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự L(r=0), C, R
U RC 

U R 2  ZC2
R  (Z L  ZC )
2

U
2

2Z L ZC  Z L2
1
R 2  ZC2

URC không phụ thuộc R  2ZL ZC  Z2L  0  ZL = 2ZC và URC = U

1.1.3.c. UR không đổi khi R biến thiên
5


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
UR = const khi R biến thiên  ZL = ZC và UR = U
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.

1.2. Công suất (P)
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u  U 0 cos(t  u )
R

L,r

R là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi.

C

Gọi Rm == R + r

A

B

1.2.1.a. Có hai giá trị R1  R2 cho cùng một giá trị công suất
- Công suất tiêu thụ trên mạch là : P  Rm I 2  Rm

U2
Rm2  ( Z L  ZC )2

- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi
ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:

PRm2  RmU 2  P(Z L  ZC )2  0

Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên
có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète (Vi-et):
 R1m .R2 m  ( Z L  ZC ) 2
( R1  r )( R2  r )  ( Z L  Z C ) 2




U2
U2
R

R

R

R

2

r

 1m
 1
2m
2

P

P

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất
Tan1 

R R
Z L  ZC
R
  1m 2 m   2 m
R1m
R1m
R1m

Tan2 

R R
Z L  ZC
R
  1m 2 m   1m
R2 m
R2 m

R2 m

 Tan1Tan2  1  1  2 


2

Tan > 0 nếu ZL > ZC và Tan < 0 nếu ZL < ZC
6


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
Lưu ý: Công thức ở trên khác với trường hợp 2 điện áp tức thời vuông pha:
Tan1Tan2  1  1  2 


2

1.2.1.b. Giá trị của R làm cho Pmạch cực đại
-

Ta có: P  Rm I 2  Rm

-

Đặt A  Rm 

A  Rm 

U2


Rm2  ( Z L  ZC )2

U2
( Z  ZC )2
Rm  L
Rm

( Z L  ZC )2
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
Rm

( Z L  ZC )2
( Z  ZC )2
 2 Rm L
 2 Z L  ZC  const
Rm
Rm

-

Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy: Rm  Z L  ZC

-

Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Pmax 

U2

U2
U2


2 Z L  ZC 2 R1td .R2td 2 ( R1  R0 )( R2  R0 )

Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó là:

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi Z L  ZC  r thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất
toàn mạch cực đại là R = 0.

1.2.1.c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người
ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
-

Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

7


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
P  Rm I 2  Rm

U2
Rm2  ( Z L  Z C )2

Rm  R  r

Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P' ( R)  U 2

-

( Z L  ZC )2  Rm2
( Rm2  ( Z L  ZC ) 2 ) 2

Khi P' ( R)  0  (Z L  ZC )2  Rm2  0  Rm  Z L  ZC  R  Z L  ZC  r
Bảng biến thiên:

R

Z L  ZC  r

0

P’(R)

+

+

0
Pmax 

P(R)

-

U2

2 Z L  ZC

U2
Pr 2
r  (Z L  ZC )2

0

Đồ thị của P theo Rm:
P

Pmax

U2

2 Z L  ZC

Pmax

U2
Pr 2
r  (Z L  ZC )2

O

8
R=Z
L - ZC - R0

R

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
Nhận xét đồ thị :


Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của công suất.



Công suất đạt giá trị cực đại khi R  Z L  ZC  r  0



Trong trường hợp R  Z L  ZC  r  0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0 do đó ta thấy

rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0 (r tăng dần thì trục P của đồ thị dịch chuyển
dần theo chiều dương trục R).


Nếu r = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất

của toàn mạch cực đại là R  Z L  ZC
Kết luận:

Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không
hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.

Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R
nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.

1.2.2. Giá trị R làm cho PR cực đại
-

Công suất của biến trở R là PR  R I 2  R

-

Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :

A

-

( R  R0 )2  ( Z L  ZC )2
R 2  ( Z L  ZC ) 2
 R 0
 2 R0
R
R

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

A R

-

U2
U2


( R  R0 ) 2  ( Z L  Z C ) 2 ( R  R0 ) 2  ( Z L  Z C ) 2
R

r 2  (Z L  ZC )2
r 2  (Z L  ZC )2
 2r  2 R
 2r  2 r 2  ( Z L  ZC ) 2  2r  const
R
R

Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:

R  R02  (Z L  ZC )2

9


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
- Công suất cực đại của biến trở R là: PR max 

U2
2 r 2  ( Z L  Z C ) 2  2r

1.2.3. Giá trị R làm cho Pd cực đại
-

Ta có :

Pd  rI 2 ;U d  I Z L2  r 2
I

U
( R  r )  (Z L  ZC )2
2

- Vì r; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường
độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I max khi giá trị của
biến trở R = 0.

2. Mạch chỉ có L biến thiên
2.1. Hiệu điện thế (U)
2.1.1. Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại
C, R = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại.
I

U

Z

U
R 2   Z L  ZC 

2

 ZL = ZC  Zmin = R
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự..=

2.1.2.a. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
Cách 1:

10


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
Với

, đặt

Do hệ số

hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi:

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là:

Vậy U Lmax 

R 2  ZC2
R2
U
 ZC 
 ZC
R 2  Z L2 khi Z L 
ZC
ZC
R

Cách 2:
-

Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : U L  IZ L  Z L

U
R  (Z L  ZC )2
2

, trong đó R; ZC

và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến
số là ZL. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với
phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn
và rút ra nhiều kết luận hơn.
-

UL

Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta

U

UL
U
có :

sin(   ) sin 

-

Vì sin   cos  

UL 

-

UR

U RC

R
R  ZC2
2

 const , suy ra

U
U
sin(   ) 
sin(   )
sin 
cos 

O

UR



i


Do cos và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế

UC
11



URC


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
ULmax khi sin(   )  1     


2

-

2
Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: U RC
 U CU L , từ đó suy ra Z L ZC  R2  ZC2

-

Tóm lại:



Khi Z L 



R 2  ZC2
thì U L max  U
ZC

R 2  ZC2
R

Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một
0

góc 90 .

UL
U

0
L1

Lm

L2

L

2.1.1.b. Có hai giá trị L1  L2 cho cùng giá trị UL , giá trị L để ULmax
tính theo L1 và L2
-

Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

U L1  U L2  Z L1 I1  Z L2 I 2 

-

Z L1
R 2  ( Z L1  ZC )2



Z L2
R 2  ( Z L2  ZC )2

Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
12


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
Z L21



R 2  ZC2  Z L21  2Z L1 ZC

Z L22
R 2  ZC2  Z L22  2Z L2 Z C

Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì

-

Z L ZC  R2  ZC2 với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức trên:
Z L21
Z L ZC  Z L21  2Z L1 ZC

Z L22



Z L ZC  Z L22  2Z L2 ZC

Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:

-

(Z L21  Z L22 )Z L  2Z L1 Z L2 (Z L1  Z L2 )

-

Vì

ZL 



L1

2Z L1 Z L2
Z L1  Z L2

L2

 Lm 

nên

đơn

giàn

biểu

thức

trên

ta

thu

được:

2 L1 L2
1 1 1 1 
hay
    với giá Lm là giá trị là cho ULmax
L1  L2
Lm 2  L1 L2 

2.1.3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax
Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

-

U LR  I R  Z 
2

2
L

Đặt MT 

-

U R 2  Z L2
R  (Z L  ZC )
2

2



U
R  (Z L  ZC )2
R 2  Z L2
2

R 2  (Z L  ZC )2
, ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL để
R 2  Z L2

tìm giá trị của ZL sao cho MTmin khi đó giá trị của ULrmax . Đạo hàm của MT theo biến số ZL
ta thu được :
2( Z L  ZC )( R 2  Z L2 )  2Z L [ R 2  ( Z L  ZC ) 2 ]
MT ( Z L ) 
( R 2  Z L2 )2
'

-

Cho MT’(ZL) = 0 ta có : ZC Z L2  ZC2 Z L  ZC R2  0 . Nghiệm của phương trình bậc hai


Z  4 R 2  Z C2
 Z L1  C
0
2

này là:

2
2
 Z  ZC  4 R  ZC  0
 L2
2
13


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
Lập bảng biến thiên ta có:

-

ZL

ZL 

0

MT’(ZL)

ZC  4 R 2  ZC2

-

+

2

0

+

 4R2  Z 2  Z
C
C


2R


MT (ZL)






2

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất.
Ta thu được kết quả sau:
Khi Z L 

ZC  4 R 2  ZC2
2

thì U RLmax 

2UR
4 R 2  ZC2  ZC

2.2. Công suất (P)
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u  U 0 cos(t  u )
R

L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi

C

L

R và C không đổi.
A

B

vậy
b.

thì Imax và giá trị
Công

suất

tỏa

nhiệt

trên

mạch

14

.

Do

R

không

đổi

nên


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
Giá trị
Khi đó Zmin = R , Cosmax = 1

2.2.1. Có hai giá trị L1  L2 cho cùng giá trị công suất.
-

Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

U2
U2
P1  P2  R 2
R 2
R  ( Z L1  ZC )2
R  ( Z L2  ZC )2

-

Khai

triển

biểu

thức

trên

ta

thu

được

:

 Z L1  ZC  Z L2  ZC (loaïi )
( Z L1  ZC )2  ( Z L2  ZC )2  
n)
 Z L1  ZC  ( Z L2  ZC ) (nhaä

-

Suy ra : Z L 
0

Z L1  Z L2
2

 L0 

L1  L2
( L0 là giá trị để Pmax)

2

2.2.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL.
-

U2
Ta có công suất toàn mạch là: P  R 2
, với R, C là các hằng số, nên
R  (Z L  ZC )2

công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL
-

Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

P '( Z L )  2 RU 2

ZL
P’(ZL)
P(ZL)

Zc  Z L
 P '( Z L )  0 khi Z L  ZC
[ R  ( Z L  ZC )2 }]2
2

Bảng biến thiên
0
+

ZL = ZC
0

Pmax 

U2
PR 2
R  ZC 2

+
2

U
R

0

15


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014

Đồ thị của công suất theo ZL :

-

P

Pmax

U2

R

Pmax

U2
PR 2
R  ZC 2

O

-

ZL = ZC

ZL

Nhận xét đồ thị:



Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất



Công suất của mạch cực đại khi Z L  ZC 

Z L1  Z L2
2

, với Z L ; Z L là hai giá trị
1

2

của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ cho phép
định tính được sự tăng hay giảm của P theoZL. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi
của công suất theo giá trị của ZL trong một số bài toán.

3. Mạch chỉ có C biến thiên
3.1. Hiệu điện thế (U)
3.1.1. Giá trị ZC để UR, UL, URL cực đại
L, R = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại.

16


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
I

U

Z

U
R 2   Z L  ZC 

2

 ZL = ZC  Zmin = R

3.1.2.a. Giá trị ZC để UC cực đại
Chứng minh tương tự:
R 2  Z L2
R2
- Khi ZC 
 ZL 
 Z L thì :
ZL
ZL

 U Cmax

U R 2  Z L2
2
2
2
2
2
2
và UCm

ax  U  U R  U L ; U Cmax  U LU Cmax  U  0
R

 uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch.

UC

UCmax

U

0

ZCm

ZC

17


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014

UC

U

0

C1

Cm

C2

C

3.1.2.b. Có hai giá trị C1  C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax

tính theo C1 và C2
- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị C=Cm làm cho UCmax khi
C  C2
1 1 1
1
 (

)  Cm  1
ZC 2 ZC1 ZC2
2

3.1.3. Giá trị ZC để hiệu điện thế URC cực đại
- Khi ZC 

Z L  4 R 2  Z L2
2UR
thì U RCmax 
( Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau)
2
4 R 2  Z L2  Z L

3.2. Công suất (P)
R
A

L

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định

C

: u  U 0 cos(t  u )
B

R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi
18


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
và C có giá trị thay đổi .
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở Z  R2  (Z L  ZC )2  R2  (ZC  Z L )2 do đó ta thấy rằng
bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc
khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
Pmax khi ZC = ZL

3.2.1 Có hai giá trị C1  C2 cho cùng giá trị công suất.
Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có

ZC0 

ZC1  ZC2
2



1 1 1
1 
   
C0 2  C1 C2 

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
Khi đó Zmin = R , Cosmax = 1, Imax
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.

3.2.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
-

Bảng biến thiên:

ZC

0

P’(ZC)

Z C = ZL
+

P(ZC)

+

0

Pmax

-

U2


R

U2
PR 2
R  ZL2

0

19


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
-

Đồ thị của công suất theo giá trị ZC

P

Pmax

U2

R

Pmax

U2
PR 2
R  ZL2

O

ZL = ZC

ZC

4. Mạch chỉ có  (hay f) biến thiên
Không dùng giản đồ mà sử dụng đại số.
Nhiều bài toán cho omega1,2 phải đưa về Zl0=Zc0=x rồi từ đó suy ra mối quan hệ giữa x
với Zl1ZL2ZC1ZC2 dựa trên mối quan hệ giữa các giá trị omega để giải dễ hơn
VD: Mạch có cùng công suất với
Thì =

4.1. Hiệu điện thế (U)
4.1.1. Giá trị  làm cho UR cực đại
UR cực đại  Imax  Zmin ZL = ZC    0 

1
LC

URmax = U

4.1.2.a. Giá trị  làm cho UL cực đại
1 

R  L 


Z
U

U
C 

Ta có : U L  I .Z L  .Z L 
, đặt A    
Z
( L) 2
Z
 ZL 
ZL
2

2

-

20

2


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
R2 
1 
 1  2
2 2
 L   LC 

2

-

Biến đổi biểu thức A ta thu được : A 

-

Ta tiếp tục đặt x 

-

R2 2 
x
Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được: A '( x) 
 1  
L C C

-

Cho A’(x) = 0 ta thu được x 

-

Vì x  0 

1

2L

 0 khi đó A 

R2
x

x  1  
L
 C

2

2 LC  R 2C 2
2L

2L
 R 2 khi đó ta thu bảng biến thiên:
C

x

2 LC  R 2C 2
2L

0

A’(x)

-

0

∞

+

A(x)
Amin
-

Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:

  L 

2
2U .L
và U Lmax 
2 2
2 LC  R C
R 4 LC  R 2C 2

Nhận xét : Khi x  0 

2L
1
 R 2 thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số a  2  0
C
C

nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A min trong miền xác định của x. Khi đó
 rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá trị  làm cho ULmax.

21

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
UC

U

0

C



Nếu điều kiện đề bài không thỏa mãn R2C<2L thì đồ thị có dạng:
UC

U

0

4.1.2.b. Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng giá trị UL
1 1
1 
  2 2

2  1 2 
1

2
C

22




Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
4.1.3.a. Giá trị  làm cho UC cực đại
-

Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị  làm cho

UCmax là:

-

Khi   C 

1 L R2


L C 2

2L
2U .L
1
R2
 R2
với
 2 thì U Cmax 
2

2
C
LC 2 L
R 4 LC  R C

UL

U

0

L



Nếu điều kiện đề bài không thỏa mãn R2C<2L thì đồ thị có dạng:
UL

U



0
23


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
4.1.3.b. Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng giá trị UC
L2 

1 2
1  22 

2

Lưu ý:
-

Khi  thay doi U Lmax  U Cmax 
2

2U .L
R 4 LC  R 2C 2

2

2

2

 U   C 
 U   C 

 
 
 1 ; 
 1
 U Lmax   L 
 U Cmax   L 
2

2

 U   fC 
f

- C  C nên 
   1
f L L
 U Lmax   f L 

2

2

 U   fC 
;
   1
 U Cmax   f L 

- L > 0 > C ; 02  LC
- Nếu L có r ≠ 0 thì R trong công thức là Rtd = R+r

4.2. Công suất (P)
4.2.1. Giá trị  làm cho Pmax , PRmax, Pdmax
-

Ta có P  RI 2  R

U2

1 

R2    L 
C 


giá trị cực đại khi:  L 

-

2

, từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt

1
 0    0 
C

1
U2
. Với Pmax 
R
LC

Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng

pha nhau.

-

Tương tự PRmax, Pdmax khi:   0 

1
LC

24


Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014
4.2.2. Có hai giá trị 1  2 cho cùng công suất và giá trị  làm cho Pmax
tính theo 1 và 2
-

Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:

P1  P2  R

U2
R 2  (1 L 

1 2
)
1C

R

U2
R 2  (2 L 

1 2

)
2C

-

1
1

1 L   C  2 L   C (1)

1
2
Biến đổi biểu thức trên ta thu được : 
 L  1  ( L  1 )(2)
2
 1
1C
2 C

-

Vì 1  2 nên nghiệm (1) bị loại

-

Khai triển nghiệm (2) ta thu được : 12 

-

Theo kết quả ta có : 02  12 

1
LC

1
với 0 là giá trị cộng hưởng điện.
LC

4.2.3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo 
-

Ta có P  RI  R

U2

2

1 

R  L 
C 


2

2

-

Việc khảo sát hàm số P theo biến số  bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó

khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận
xét sau:
1
  làm cho P = 0
C



Khi  = 0 thì ZC 



Khi   0 



Khi    thì Z L   L   làm cho P = 0.

1
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại
LC

25