Bài toán khảng cách hình học không gian

BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn gây không ít khó khăn cho học sinh đặc biệt là
các câu hỏi liên quan đến tính khoảng cách. Bài viết này xin giới thiệu một phương pháp giúp
các bạn học sinh giải quyết vướng mắc đó thông qua việc quy về một bài toán cơ bản.
- Để giải quyết các bài toán về khoảng cách, học sinh cần nắm vững kết quả sau:
* Bài toán cơ bản:
Cho hình chóp SABC có SA  ( ABC ) . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC 
Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC) bằng cách dựng đường cao từ A đến (SBC) như sau:
 AM  BC
Hạ 
 AH  ( SBC )  d[A;( SBC )]  AH
 AH  SM
1
1
1
AM . AS
Ta có:


 AH 
2
2
2
AH
AM
AS
AM 2  AS 2
S

H

C

A

M
B

*) Ngoài ra khi giải quyết các bài toán về khoảng cách các em học sinh cần nắm chắc tính chất
sau
- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm M thuộc a đến
mặt phẳng (P) luôn bằng nhau (1)


- Nếu AM  k BM thì d[A;( P )]  k d[B;( P )] trong đó (P) là mặt phẳng đi qua điểm M (2)

Phần một: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp: Quy về bài toán cơ bản và dùng các tính chất (1) , (2).
Ta xét các ví dụ sau:
ˆ  900 , BA=BC=a,
ˆ  BAD
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 , gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007)
1


Giải:
Ta có AC  a 2; SD  SA2  AD 2  a 6; SC  SA2  AC 2  2a . Ta cũng dễ dàng tính được

CD  a 2 . Ta có SD 2  SC 2  CD 2 nên tam giác SCD vuông tại C.

1
1
1
AB.AS
a.a 2
2


 AH 

a
2
2
2
AH
AB
AS
3
AB2  AS2
a 2  2a 2
2
a
2
SH
2
3
2
2
 SH  SA  AH 
a



SB a 3 3
3
S

H

A

K
E

D

B
C

Qua B kẻ BE song song với CD thì BE / /( SCD) và E là trung điểm của CD.
2
2
2 1
1
Ta có d[H;( SCD )]  d[B;( SCD )]  d[E;( SCD )]  . d[A;( SCD )]  d[A;( SCD )]
3
3
3 2
3
Có AC  CD , hạ
AC. AS

a
AK  SC  AK  ( SCD )  d[A;( SCD )]  AK 
 a  d[H;( SCD )] 
3
AC 2  AS 2
Ví dụ 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB  a; AD  2a; AA '  a . Gọi M là điểm
thuộc đoạn AD sao cho AM  3MD . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A ' BC )

2


B'

C'

A'

D'
F

H

C

B

A

E

O

M

D

Kí hiệu các điểm như hình vẽ:
3
3
3
Ta có MA  DA  d[M ;( AB 'C )]  d[D;( AB 'C )]  d[B;( AB ' C )]
4
4
4
 BE  AC
Hạ 
 BF  ( AB ' C )  d[B;( AB 'C )]  BF
 BF  B ' E
1
1
1
1
1
1
Ta có






2
2
2
2
2
BF
BE
BB '
BA
BC
BB '2
2a
a
Tính được BF 
suy ra d[M ;( AB 'C )] 
3
2
Phần 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b ta làm theo phương pháp sau.
- Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b thỏa mãn ( P ) / / a
- Ta có tính chất: d[a;b ]  d[a;( P )]  d[M a;( P )] như vậy bản chất bài toán khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau là tìm cách quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a, hai mặt
phẳng (SAC) và (SBC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua
SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích
khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN (TSĐH A 2011)
Giải:
ˆ  900  SBA
ˆ  600  SA  2a 3

- Ta có SA  ( ABC ); ABC
Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm AC
Từ đó tính được V  3a3
- Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN và
(d) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến (P).
Dựng AD vuông góc với (d) thì AB / /( SND ) , dựng AH vuông góc với SD thì

AH  (SND )  d AB / SN  d A/( SND )  AH 

SA. AD
SA2  AD 2



2a 39
13

3


S

H
D
N

C

A
M

B

Ví dụ 2) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB  a, AC  2a, AA '  a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Giải:
Ta có BC song song với mặt phẳng (AB’C’) chứa AB’ nên
d BC / AB '  d BC /( AB ' C ')  d B /( AB 'C ')  d A '/( AB ' C ') (vì A ' B, AB ' cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường)
Từ A’ hạ A’K vuông góc với B’C’, Hạ A’H vuông góc với AK thì
A ' K .A ' A
2a
A ' H  ( AB ' C ')  d A '/( AB 'C ')  A ' H 

3
A ' K 2  A ' A2
K

C'

A'

B'

H

B

C

A

(Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng khi tính khoảng cách, các
em học sinh cần chú ý điều này)

4


Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với
đáy góc tạo bởi SC và (SAB) là 300. Gọi E , F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF.
Giải:
S

F

R

A

B

H

I
D

K

E
C

CB  AB
ˆ  300  SB  BC.cot 30  a 3  SA  a 2
Vì 
 CB  (SAB )  CSB
CB

SA

a
Từ C dựng CI song song với DE ta có CI  DE  . Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF và song
2
song với DE.
1
Ta có d DE / CF  d DE /(CFI )  d D / (CFI )  d H / (CFI ) với H là chân đường cao hạ từ F lên AD
2
 HK  CI
HK .HF
Dựng 
 HR  ( FCI )  d H /(CFI )  HR 
HK 2  HF 2
 HR  FK
3
a. a
1
1
CD.HI
3a
2
Ta có HK .CI  CD.HI  HK 



2
2
2
CI
13
3 
a2   a 
2 
a 2 3a
.
2
13

a 2
3 31
 HR 

a
2
2
2
31
 a 2   3a 

 

 2   13 
Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính

khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên
đơn giản hơn rất nhiều
Cuối cùng là một số bài tập tự luyện cho học sinh:
AD
1) Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB  BC 
a,
2
SA vuông góc với (ABCD), góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) bằng 450.Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, BC, SD. Tính khoảng cách giữa
Ta có FH 

5


a) BD và CP
b) DN và CP
c) SC và DN
2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD= a 2 , SA=a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC, I là giao
điểm của BM và AC. Tính khoảng cách giữa
a) BM và SC
b) SI và ND
c) SN và AC
3) Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA=a, ABCD là hình vuông cạnh
bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
a) BN và SC
b) SN và MC
c) SN và AC
4) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA  a , Gọi M, N lần lượt là các
điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD sao cho AM  MB; DN  3 AN ,Biết SMC là tam giác cân tại S

và SM vuông góc với MN. Tính thể tích khối chóp SAMDN và khoảng cách giữa SA với CM
5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 5a , AC  4a
SO  2 2a và SO vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp
SMDB và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O biết AB  a; BC  a 3 , Tam
giác SAO cân tại S, mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD. Biết SD hợp với đáy ABCD một
góc 600.Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa SB và AC

NGUYỄN TRUNG KIÊN

6