phương pháp giải phương trình bậc 2

Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

Mục lục
Trang
A. M U
I. Đặt vấn đề........................................................................................................2
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết.................2
2. í nghĩa và tác dụng của giải pháp mới............................................................3
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.........................................................................3
II. Phơng pháp tiến hành ..4
1. Cơ sở lí luận và thực tiễn có tính định hớng cho việc nghiên cứu, tìm giải
pháp của đề tài...............................................................................................................4
2. Các biện pháp tiến hành và thời gian tạo ra giải pháp......................................5
B. NI DUNG
I. Mục tiêu .6
II. Mô tả giải pháp của đề tài...............................................................................6
1. Thuyết minh tính mới .6
2. Khả năng áp dụng..........................................................................................15
3. Lợi ích kinh tế xã hội ..15
C. KT LUN ..17
Tài liệu tham khảo.......................................................................................................19

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

1

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012

A. MỞ ĐẦU
I – Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:
Trong xu thế chung những năm gần đây, viêc đổi mới phương pháp dạy học là
vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhầm đào tạo những con người có năng lực hoạt động
trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học khơng chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà
ngay cả trong các giờ luyện tập. Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ
năng suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái qt các kiến thức đã học, sắp xếp
các kiến thức đã học một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học
vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo.
Trước tình hình phát triển của đất nước để tiến tới xây dựng nền cơng nghiệp
hóa,hiện đại hóa, bộ mơn Tốn đã góp phần khơng nhỏ trong việc nâng cao cuộc sống
con người và làm giàu cho đất nước. Nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập bộ
mơn Tốn trường THCS hiện nay là một vấn đề được nhiều người quan tâm nhất là
các cấp quản lý và những người trực tiếp đứng lớp. Việc nâng cao chất lượng đòi hỏi
các giáo viên phải khơng ngừng cải tiến phương pháp giảng dạy , phát huy tính tích
cực của học sinh , tạo cho học sinh sự thích thú khám phá , sáng tạo những cái hay ,
cái mới trong q trình học tập bộ mơn . Đồng thời qua đó càng rèn luyện tính kiên
trì , chịu khó để hồn thành cơng việc .
Hiện nay, với sự phân hố đối tượng trong học sinh về năng lực nổi lên rất rõ.
số học sinh khá giỏi đang dần dần chiếm một tỷ lệ tương đối, do đó nhu cầu được nâng
cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn. Căn cứ vào thực tế dạy học ta
thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở
chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn
bị chu đáo để bắt tay vào dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người
giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. Chính vì thế nội
dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây khơng ít khó khăn cho
người học và người dạy .
Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK Đại số 9 đã
đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như:

phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích, phương trình trùng phương,... Song
GV: Trương Thò Ngọc Phượng

2

Trường THCS Nguyễn Huệ


Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012

nhìn chung mức độ u cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp
với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chọn nếu dừng lại ở u cầu
trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng
kiến thức “Phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai”.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:
Xt ph¸t tõ tÇm quan träng cđa néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë ng¹i
cho häc sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh kh«ng ph¶i lµ ph¬ng
tr×nh bËc hai. Cïng víi sù tÝch l kinh nghiƯm cã ®ỵc cđa b¶n th©n qua nhiỊu n¨m
gi¶ng d¹y. KÕt hỵp víi nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®ỵc trong ch¬ng tr×nh §¹i
häc To¸n mµ ®Ỉc biƯt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cđa c¸c thÇy c« gi¸o, t«i xin ®Ị xt mét
sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai vµ c¸c bµi tËp minh häa
trong ch¬ng tr×nh to¸n THCS.
Qua ®Ị tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiĨu s©u h¬n vỊ vÊn ®Ị nµy, tù
ph©n lo¹i ®ỵc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p
gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thĨ dƠ dµng h¬n trong viƯc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®ỵc kh¶ n¨ng ph©n
tÝch, tỉng hỵp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶
n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp.
Trong ®Ị tµi nµy t«i chØ nªu ra mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh
bËc hai. §Ị tµi nµy cã thĨ ¸p dơng cho gi¸o viªn to¸n vµ nh÷ng häc sinh yªu thÝch m«n
to¸n tham kh¶o c¸ch gi¶i vµ c¸ch tr×nh bµy. Tuy vËy ,néi dung cđa ®Ị tµi vÉn cßn h¹n

chÕ do n¨ng lùc b¶n th©n. V× vËy t«i rÊt mong nhËn ®ỵc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cđa
c¸c thÇy c« gi¸o ®Ĩ ®Ị tµi nµy ®ỵc hoµn thiƯn h¬n.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài:
Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thơng qua các bài tốn liên quan đến
phương trình bậc hai đối với học sinh THCS.
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh lớp 9 trong giờ
luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn tập cuối năm
và ơn tập cho các kỳ thi ở trường, thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10.
II – Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm
giải pháp của đề tài:
Đối với mơn tốn lớp 9, phần “ phương trình bậc hai”, “phương trình quy về
phương trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thường xun
GV: Trương Thò Ngọc Phượng

3

Trường THCS Nguyễn Huệ


Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012

xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Do đó, theo tơi học sinh cần
nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn
thật đầy đủ về “phương trình quy về phương trình bậc hai”. Sau khi nghiên cứu khá
nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tơi thấy, các tác giả đã đưa ra các bài tốn
rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu
khác nhau, do đó gây khơng ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh.
Để thực hiện mục tiêu giảng dạy hiện nay đồng thời nâng cao chất lượng, hiệu
quả của việc dạy học theo hướng đổi mới phương pháp, tích cực hóa hoạt động học tập

của học sinh, khơi dậy và phát huy khả năng tự học, hình thành cho học sinh tích cực
và tư duy độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
kĩ năng áp dụng kiến thức vào thực tiễn, từ đó tác động đến tình cảm đem lại hứng thú
trong học tập. Do đó việc dạy bộ mơn Tốn ở THCS là vấn đề hết sức nặng nề, để giúp
học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề, đòi hỏi người thầy phải có phương pháp phù hợp để
truyền thụ, đồng thời linh hoạt áp dụng các phương pháp cho phù hợp đối với từng đối
tượng học sinh.
Từ thực tế quan sát, học sinh rất ngại phải tư duy suy nghĩ, ở lứa tuổi chưa xác
định được trong tương lai và hiện tại “học để làm gì” thì việc ép học là điều khơng thể.
Để bảo đảm tiến trình lên lớp, truyền tải đủ kiến thức cơ bản nhưng khơng q cứng
nhắc và ràng buộc q lớn. Phải làm như thế nào để học sinh cảm nhận và chấp nhận
kiến thức đó một cách dễ dàng, tránh sự học như “vẹt” ở học sinh. Nếu vấn đề khơng
được giải quyết, học sinh sẽ càng chán chường, học cũng như khơng, dẫn đến tình
trạng bỏ học, trốn tiết, trầm, sợ sệt và mặc cảm. Trong q trình dạy – học, sự tương
tác giữa thầy – trò đóng vai trò quan trọng rất lớn trong nền giáo dục hiện nay, cũng là
vấn đề cơ bản dẫn đến việc có hay khơng hứng thú với mơn học phức tạp này.
Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tơi mạnh dạn đưa ra một
hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc hai” với một mong
ước là làm tài liệu ơn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người
học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
“Một số phương pháp giải phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ
thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về
cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai như: Phương
trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vơ tỷ…
GV: Trương Thò Ngọc Phượng

4

Trường THCS Nguyễn Huệ

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012

Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh
hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng
tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:
Thơng qua các bài tốn cơ bản về những bài tốn liên quan đến phương trình
bậc hai, nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cho từng dạng phương trình để quy về
phương trình bậc hai. Từ đó, ứng dụng giải các bài tập, chú ý khắc phục một số sai lầm
hay gặp và đưa ra một số bài tập vận dụng.
Thời gian tạo ra giải pháp là bắt đầu học chương IV – Đại số 9 SGK của các
năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011, 2011 – 2012.

GV: Trương Thò Ngọc Phượng

5

Trường THCS Nguyễn Huệ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

B. NI DUNG
I Mc tiờu
- Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống (về toán học nói chung cũng nh về phần phơng trình quy về phơng trình
bậc hai trong chơng trình dạy toán lớp 9) theo phơng pháp tinh giảm dễ hiểu .
- Bài tập về phơng pháp quy về phơng trình bậc hai nhằm rèn luyện cho HS
những kĩ năng thực hành giải toán về phơng trình bậc hai. Rèn luyện cho HS các thao

tác t duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tợng hoá ,tơng tự...
- Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ
dàng các môn học khác ở trờng THCS . Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực
tế .
- Bài tập Phơng trình quy về phơng trình bậc hai còn góp phần rèn luyện cho
HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo.
- Nêu đợc các phơng pháp giải phơng trình bậc cao hoặc các phơng trình có
dạng khó bằng cách đa về phơng trình bậc hai đã biết cách giải .
- Các ví dụ minh hoạ
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình quy về phơng trình bậc
hai.
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập.
II Mụ t gii phỏp ca ti
1. Thuyt minh tớnh mi:
1.1 Nhng kin c bn gii phng trỡnh bc hai:
* Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax2 + bx + c =
0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a 0.
*Cách giải: đa dới dạng bản đồ t duy (kèm theo)
1.2. Phng phỏp gii mt s phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai:
1.2.1. Phơng trình bậc 4 :
Phơng trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )
Một phơng trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai
a) Phơng trình trùng phơng:
Phơng trình trùng phơng có dạng tổng quát : ax4 + bx 2 + c = 0 (1)
Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ( a 0 )
* Cách giải :
Khi giải phơng trình này ta dùng phơng pháp đổi biến
x 2 = t (t 0) (2)
Khi đó phơng trình (1) da đợc về dạng phơng trình bậc hai trung gian

at2 + bt + c = 0 (3)

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

6

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

Giải phơng trình (3) rồi thay giá trị của t tìm đợc ( với t 0) vào (2) ta đợc
phơng trình bậc hai với biến x giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của phơng trình
trùng phơng ban đầu
*Ví dụ : Giải phơng trình sau
4x 4 109 x2 + 225 =0 (1)
Giải
2
Đặt x = t (t 0) phơng trình (1) trở thành 4t2 109t + 225 = 0 (2)
Giải phơng trình (2) đợc nghiệm là t1 =

9
; t2 =25
4

Cả hai nghiệm của phơng trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0
9
9
3
x1,2 =

ta có x2 =
2
4
4
+ Với t2 = 25 ta có x2 = 25 x 3,4 = 5

+

Với t1 =

x1,2 =

Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm là :

3
, x 3,4 = 5
2

* Nhận xét :
- Khi nghiên cứu số nghiệm của phơng trình trùng phơng (1) ta thấy :
- Phơng trình vô nghiệm khi :
+ Hoặc phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm .
+Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm .
- Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm khi :
+ Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dơng .
+ Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm
và một nghiệm dơng .
- Phơng trình trùng phơng có 3 nghiệm khi phơng trình bậc hai có 2 nghiệm
trong đó có một nghiệm dơng và một nghiệm bằng 0.
- Phơng trình trùng phơng có 4 nghiệm khi phơng trình hai trung gian có hai

nghiệm dơng phân biệt .
b) Phơng trình hệ số đối xứng bậc 4
a x4 + bx 3+ cx2 + dx + e =0
(Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 )
* Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số
hạng cuối thì bằng nhau
* Ví dụ : Giải phơng trình sau
10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = 0 (1)
Ta nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt(1)
Do đó chia cả hai vế cho x2 ta đợc
10x2 - 27x 110 -

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

7

27 10
+
=0
x x2

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc ph


1

1

27 x + ữ 110 = 0 (2)
2 ữ
x
x

1
1
Đặt ẩn phụ (x + ) = t (3) => x2 + 2 = t2 -2 thay vào (2) ta có
x
x

2
ơng trình: 10 x +

10t2 - 27t 130 = 0 (4)
Giải (4) ta đợc
+ Với t1=-

t1=-

5
26
; t 2=
2
5

5
1

5
<=> (x + ) =2
x
2

<=> 2x2 +5x + 2 = 0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=
+Với t 2=

1
.
2

26
1
26
<=> (x+ ) =
5
x
5
1
5

<=> 5x2 - 26x + 5 = 0 có nghiệm là x3 =5 ; x4 = .
1
1
;2; ;5
5
2

Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=

* Nhận xét :
- Về phơng pháp giải gồm 4 bớc
+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x 2 rồi
nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng
trình (2)
+Đặt ẩn phụ :

1
x

(x+ ) =t

(3) => x2+

1 2
=t -2 thay vào (2)
x2

+Giải phơng trình đó ta đợc t .
+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
- Về nghiệm số của phơng trình: x0 là nghiệm của (1) thì

1
cũng là nghiệm của
x0

nó
(ví dụ trên : -2 là nghiệm và

1
1
là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5 và là
2
5

nghịch đảo của nhau)
c) Phơng trình dạng ax4 + bx3 + c2 kbx + k2a = 0 (ka 0) :
* Cách giải:
- Do x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (1) nên chia cả hai vế cho x2 ta
đợc

a (x2 +
- Đặt x

k2
k
) + b(x ) + c = 0 (2)
2
x
x

k
k2
k2
= t => x2 +( 2 ) 2k = t 2 => x 2 + 2 = t 2 + 2k
x
x
x

Khi đó ta có phơng trình:
GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

a(t2 + 2k) + bt + c = 0
8

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

- Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2 + bt + c + 2ak = 0 (3)
- Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
* Ví dụ
Giải phơng trình : x4 + 4 = 5x(x2 2) (1)
Nhận xét: Từ (1) <=> x4 5x3 + 10x + 4 = 0. (a = 1, b = - 5, c = 2, k = 2)
x=0 không phải là nghiệm của (1)
2
Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 ta đợc: x +

* Đặt t = ( x -

4
2
5(x ) = 0
2
x
x

2

4
) (3) => t2 +4 = ( x2 + 2 ) thay vào (2)
x
x

Phơng trình (1) trở thành: t2 - 5t + 4 = 0 có nghiệm là t1=1 ; t2=4
+Với t1=1 ta có: x2 x 2 = 0 <=> x1= - 1; x2= 2
+ Với t2=4 ta có: x2 4x - 2 = 0 có nghiệm là x3,4 = 2 6

{

}

Vậy tập nghiệm của phơng trình đã cho là S= 1; 2; 2 6 .
d) Phơng trình dạng :

(x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d ) = m
(Trong đó a+d=b+c)

*Cách giải :
Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó
Khi đó phơng trình có dạng:
[x2 +( a+d)x + ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =m
do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2)
( k có thể là ad hoặc bc )
2
ta có phơng trình At +Bt + C =0
(Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giải tìm đợc nghiệm x
* Ví dụ :

Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý, ta đợc phơng trình: (x2 +8x +7 )(x2 + 8x + 15) = - 15 (2)
*Đặt x2 +8x +7 = t (3) thay vào (2) ta đợc: t( t+ 8) = - 15
<=> t2 +8t +15 =0 có nghiệm t1=-3 ; t2=-5
Thay vào (3) ta đợc hai phơng trình
1/ x2 +8x +7 = -3 <=> x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = - 4 6
2/ x2 +8x +7 = -5 <=> x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3 =-2; x4 =-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S = 2;6;4 6
* Nhận xét :
-Đối với những phơng trình có dạng đặc biệt nh trên ,nếu ta khai triển vế trái ta
sẽ đợc phơng trình bậc 4 ( thờng là loại bậc 4 đầy đủ ) .Đối với HS ở THCS việc giải là
rất khó khăn . Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của phơng trình bằng nhau
rồi nhóm một cách hợp lí . Khi khai triển mỗi nhóm ,ta đổi biến của phơng trình và đa
về phơng trình bậc hai trung gian

{

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

9

}

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

- Ta thấy nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phơng trình ban đầu

cũng vô nghiệm . Nếu phơng trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và giải tiếp
phơng trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phơng trình này là nghiệm của phơng
trình ban đầu
e) Phơng trình dạng:
(x+a)4 +(x+b)4 = c
(1)
(Trong đó xlà ẩn số ;a, b, c là các hệ số )
*Cách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và
(x+b)
Đặt
Ta có

a+b
a+b
=> x = t
2
2
ab
x+a =t+
2
ab
x+b=t 2

t =x+

4

4

ab a b
Khi đó phơng trình (1) trở thành : t +
ữ +t
ữ =0
2
2






<=> 2t4 +12 (



ab 2 2
ab 4
) t + 2(
) c =0
2
2

Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải.
Chú ý đẳng thức: (x y)4 = x4 4x3y + 6x2y2 4xy3 + y4.
*Ví dụ
Giải phơng trình sau :
(x+3)4 +(x-1)4 =626
Đặt

t = x+

3 + (1)
= x + 1 => x = t 1
2

Ta có phơng trình : (t+2)4 + (t 2)4 = 626
<=> t4 + 24t2 - 297 =0 có nghiệm là
t1 =9 và t2 = - 33.
Từ đó tìm đợc
x1 = 8 và x2 = - 34 là nghiệm của phơng trình đã cho.
1.2.2.Phơng trình dạng :
a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn; a 0 ; f(x) là đa thức một biến )
*Cách giải:
- Tìm TXĐ của phơng trình
- đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng
at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải
+ nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng
trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trình (1)
* Ví dụ : Giải phơng trình
x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1)
TXĐ : x R
Biến đổi vế trái ta có VT = (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3
Vậy ta có phơng trình tơng đơng :
GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

10

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

(x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0
Đặt x2+ 3x =t (2)
Ta có PT :
t2 - 4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3
Với t1=1 ta có: x2+ 3x = 1<=> x2 +3x -1=0 có nghiệm là x1 , 2 =
Với t2=3 ta có: x2+ 3x = 3<=> x2+ 3x 3 =0 có nghiệm x3, 4 =

3 13
2

3 21
2

các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là x1 , 2 =

3 13
;
2

x3, 4 =

3 21
2

*Nhận xét :
-Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đa phơng trình a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 về dạng
phơng trình bậc hai đã biết cách giải
- Tuy nhiên có một số phơng trình phải qua một số phép biến đổi mới xuất hiện
dạng tổng quát ( ví dụ trên ) . Cũng nh một số loại phơng phơng trình khác mà tôi đã
giới thiệu ở trên . số nghiệm của phơng trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phơng
trình bậc hai trung gian
*Chú ý :
- Tất cả các phơng trình đã đề xuất ở trên thực chất chúng đều có dạng tổng
quát: a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (1)
(sau khi đã biến đổi )
- Phơng trình trùng phơng kể cả phơng trình bbậc hai đều là dạng đặc biệt của
phơng trình a x2n+ bx n +c = 0 Gọi là phơng trình tam thức
(trong đó x là ẩn ;a 0 ; n 1)
Và các phơng trình này cũng dạng đặc biệt của phơng trình (1) trên Với f(x)=xn
1.2.3. Phơng trình tam thức
Phơng trình tam thức dạng :
a x2n + bxn +c=0 (1)
(a, b, c là các số thực ;n nguyên dơng ;n 2 ; a 0 )
* Nếu a, b, c đồng thời khác không và n=2 thì phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng đã nghiên cứu ở trên
* Xét trờng hợp n>2
-Ta đặt xn =t
x n = t
- Để tìm nghiệm của (1) ta giải hệ sau : 2
at + bt + c = 0

* Ví dụ :
Giải phơng trình x6- 9x3+8=0 (1)
Cách 1: Đặt x3 = t ta có phơng trình
t2 -9t +8= 0 có nghiệm t1 =1 ; t2 =8

-Với t1 =1 <=> x3 =1 <=> x=1
-Với t2 =8 <=> x3= 8 <=> x=2
GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

11

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

Cách 2 : Đa về phơng trình tích
(1) (x6 x3) ( 8x3-8) =0
( x3 -1) (x3 -8) =0 <=> (x3 -1) =0 hoặc (x3 -8) =0
<=> x=1 hoặc x=2
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x=1 ; x=2
1.2.4 Phơng trình bậc ba có một nghiệm cho trớc x =
a x3 + bx2 + cx + d = 0
( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 )
* Cách giải :
- Bằng phép chia đa thức (hoặc dùng sơ đồ Horner) phân tích vế trái thành:
(x )(ax2 + b1x + c1) để đa phơng trình về dạng tích:
x =
(x )(ax2 + b1x + c1) = 0 2
ax + b1x + c1 = 0

Giải phơng trình bậc hai ax2 + b1x + c1 = 0 ta đợc các nghiệm khác ngoài
nghiệm x = của phơng trình bậc ba.
- Sơ đồ Horner:
Chia đa thức P(x) = a0xn + a1xn-1 + + an 1x + an cho x = ta có:

P(x) = (x )(b0xn-1 + b1xn-2 + + bn-1) + bn.
Sơ đồ xác định bi:
a0 a1 a2
an
bn
b0 b1 b2
Với b0 = a0 và bi = bi-1 + a1 (i = 1, 2, , n)
*Ví dụ : Giải phơng trình:
2x3 +7x2 +7x + 2=0
Giải
Ta có: 2 7 + 7 2 = 0 nên phơng trình có một nghiệm x = - 1. Thực hiện
phép chia đa thức vế trái cho x + 1 ta đợc thơng là 2x2 + 5x + 2.
Sơ đồ Horner:
2
7
7
2
Nghiệm 1 2
5
2
0
Dòng 1: các hệ số của đa thức
Dòng 2: các hệ số của thơng.
Số 2 đầu tiên đem xuống (a0 = b0);
Muốn có 5 lấy (-1) nhân 2 rồi cộng với 7 ở dòng 1 (b0 + a1 = b1);
Tiếp tục với 2 (b1 + a2 = b2).
Vậy phơng trình đã cho <=> (x+1) (2x2+5x +2) = 0
x = 1
x +1 = 0
2

x1 = 1 , x 2 = 2
2x
+
5x
+
2
=
0


2



1
2

Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S = 1; 2; .
*Nhận xét :
GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

12

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

Khi giải một phơng trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà

chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng
trình tích
- Chú ý : tính chất của phơng trình bậc ba : ax3 +bx2 +cx + d =0 ( a 0 )
+Nếu a+b+c +d =0 thì phơng trình có một nghiệm x=1
+Nếu a-b+c-d =0 thì phơng trình có một nghiệm x= -1
Khi đã nhận biết đợc một nghiệm của phơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái
thành nhân tử
- Phơng trình : a x3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có
nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do (định lí sự tồn tại
nghiệm nguyên của phơng trình nghiệm nguyên ).
1.2.5 Phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
* Cách giải:
Thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của phơng trình
Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức
Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc
Bớc 4: Trong các giá trị tìm đợc của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều
kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phơng trình đã
cho.
* Ví dụ1:
Giải và biện luận phơng trình theo a, b:

Gii:
Ta cú: (1)

iu kin:

a
b
+

= 2 (1)
x b x a
x a, x b :

2( x a )( x b) = a( x a ) + b( x b)
2 x 2 3(a + b) x + a 2 + b 2 + 2ab = 0
2 x 2 3(a + b) x + (a + b) 2 = 0
= ( a + b) 2

Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit l: x1 = a + b ; x 2 =

a+b
2

* x1 a b 0 ; x1 b a 0
* x 2 a a b; x 2 b a b
Vy vi a b;a 0, b 0 thỡ (1) cú hai nghim phõn bit
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:

4
1
4
1
2
2
+
=0
2x + 3x 8x 12 x 4 2x + 7x + 6 2x + 3
3

2

Phõn tớch mu thnh nhõn t ta cú:

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

13

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012



4
1
4
1


+
=0
(x 2)(x + 2)(2x + 3) (x 2)(x + 2) (x + 2)(2x + 3) 2x + 3

KX:

x 2, x 2, x

3

2

Mu thc chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Quy ng v kh mu ta cú: 4- (2x+3) - 4(x-2) + (x-2)(x+2) = 0
4 2x 3 4x + 8 + x 2 4 = 0
x 2 6x + 5 = 0

Gii phng trỡnh : x2-6x+5=0 ta c 2 nghim: x1=1, x2=5
i chiu vi XK ta thy x1 = 1 v x2 = 5 l 2 nghim ca pt
* Nhn xột:
+ Loi phng trỡnh cha n mu l loi thng gp trng ph thụng.
+ Khi gii loi ny cn lu ý: Cn so sỏnh cỏc giỏ tr tỡm c ca n vi TX
trc khi kt lun v nghim ca phng trỡnh.
1.2.6. Phng trỡnh cú cha cn thc:
* Cỏch gii:
p dng mt trong cỏc phng phỏp:
- t n ph, iu kin ca n ph.
- t iu kin ri bỡnh phng hai v khi hai v u dng.
x 5 = x 7

* Vớ d:

Gii phng trỡnh sau:

iu kin:

x7

Cỏch 1:

t t = x 5 0, suy ra x = t2 + 5
t = 1
t = 2

Ta cú: t = t2 + 5 7 <=> t2 t 2 = 0
Vi t = 2 ta cú

x 5 = 2 x 5 = 4 x = 9 (>7)

Vy tp nghim ca phng trỡnh l S = {9
Cỏch 2:
Vi iu kin x 7 c hai v cựng dng. Bỡnh phng hai v ta c:
x = 9
x = 6

X 5 = x2 14x + 49 <=> x2 15x + 54 = 0

* Chỳ ý: Sau khi ó tỡm c nghim, cn phi kim tra li iu kin chn
nghim thớch hp.
GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

14

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

1.2.7. Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i:
* Cỏch gii:

p dng mt trong cỏc phng phỏp sau:
- t n ph, iu kin ca n
- B du giỏ tr tuyt i bng nh ngha:
* Vớ d: Gii phng trỡnh:

.

x 2 + x 1 = 2x + 1

(1)

Cỏch 1: (t n ph)
t t = x 1 , t 0.
2

Khi ú: t 2 = x 1 = x 2 2x + 1 x 2 2x = t 2 1
t1 = 1
t 2 = 2

(1) tr thnh: t2 1 + t 1 = 0 <=> t2 + t 2 = 0
x 1 = 1
x = 2

.
x 1 = 1 x = 0

Vi t = 1 ta cú x 1 = 1

Vy tp nghim ca phng trỡnh l S = {0; 2}.
* Chỳ ý: Chn nghim thớch hp vi iu kin ó c t ra trong quy trỡnh

gii.
2. Kh nng ỏp dng:
Trong các buổi tổ chức học tự chọn và bồi dỡng học sinh giỏi lớp 9 tôi đã truyền
thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phơng pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số
học sinh nắm vững dợc kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phơng trình quy về
phơng trình bậc hai. Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phơng pháp giải đợc xây
dựng đơn giản và dễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy đã hình thành cho học sinh
niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Vì thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên
hệ thống kiến thức trên còn nhiều điểm cần xây dựng sâu hơn và bổ sung các dạng toán
phong phú hơn.
3. Li ớch kinh t - xó hi:
Qua vic ỏp dng ti ny vo ging dy, c bit trong vic bi dng hc
sinh khỏ gii, tụi thy kt qu thu c khỏ kh quan:
- a phn cỏc em cú hng thỳ hc tp, chm hc hn, vic b tit hn ch rừ rt
-

Hc sinh ó mnh dn hc hi t bn, t thy, cụ giỏo.

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

15

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

- a phn cỏc em thng xuyờn phỏt biu, tr li c cõu hi thc mc ca
giỏo viờn v kin thc ó hc i vi cỏc em.
S giao lu kin thc gia thy - trũ khụng cú vỏch tng ngn

cỏch.

- Nõng cao cht lng b mụn. Qua kho sỏt cht lng trong nm hc 2010 2011, kt qu ca hc sinh ó nõng cao rừ rt
Lp
9A1
9A4

s s
7
13

im di 5
SL
%
1
14,3%
2
15,3%

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

SL
4
6

16

im trờn 5
%

im 8-10
57,1%
2
46,2%
5

%
28,6%
38,5%

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012

C. KẾT LUẬN
Phát triển tư duy tốn học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh là một
việc làm khó. Để làm được điều này người giáo viên phải là người có kiến thức, có
phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương u học sinh và hơn nữa là cần phải kỳ
cơng với các bài giảng của mình.
Sau một thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết quả học tập của học sinh các
lớp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, qua trao đổi với các đồng nghiệp tơi thấy. Khi bồi
dưỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức về những phương trình quy về phương
trình bậc hai theo những nội dung của đề tài. các em đều có sự tiến bộ rõ rệt. Thể hiện,
các có cái nhìn tồn diện hơn về mảng kiến thức này, khơng còn lúng túng trong khi
giải các dạng phương trình đã học.
Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên dễ dàng
hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tơi đều đánh gái rất cao hệ thống kiến thức này và
coi đó là tài liệu chính cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 9.(Mảng kiến
thức về phương trình)

Trong q trình thực hiện đề tài và bản thân tơi đã rút ra một số bài học kinh
nghiệm và giải pháp thực hiện như sau:
- Để thực hiện tốt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải
có một trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững các thuật tốn, giải được các bài
tốn khó một cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích
thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh.
- Tốn học là một bộ mơn khó, các vấn đề của tốn là rất rộng. Chính vì vậy,
giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ơn tập cơ bản bao gồm
tất cả các chun đề. Với mỗi chun đề cần phải chọn lọc ra những bài tốn điển
hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một
cách sáng tạo vào giải các bài tốn khác cùng thể loại.
- Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xun bám sát đối tượng
học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng
thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong q trình ơn luyện,
GV: Trương Thò Ngọc Phượng

17

Trường THCS Nguyễn Huệ


Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012

học tập. Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học
sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những
khó khăn bước đầu khi học tập các chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên
đưa ra.
- Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho học sinh
những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi. Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi
những thất bại khi tham dự những cuộc thi lớn. Chính vì vậy, giáo viên cần ln có

những bài tốn khó, những u cầu cao để các em thấy được q trình học bồi dưỡng
học sinh giỏi là một q trình khơng thể diễn ra trong ngày một, ngày hai, mà là cả
một q trình lâu dài, thường xun, liên tục. Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh
sự tự ti, vì liên tục khơng giải được các bài tốn khó sẽ gây ra cho các em những sự
nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình.
* Kiến nghị, đề xuất
- Cần tăng cường thời gian bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi mơn Tốn nói ở
các lớp
- Tổ chức, xây dựng các chun đề một cách thường xun để giáo viên học tập
kinh nghiệm lẫn nhau từ đó có những phương pháp dạy học phù hợp
- Nhà trường nên mở các lớp dạy thêm để phụ đạo học sinh yếu kém và bồi
dưỡng học sinh khá giỏi.
Quy Nhơn, ngày 20 / 03 / 2012
Người viết

Trương Thị Ngọc Phượng

GV: Trương Thò Ngọc Phượng

18

Trường THCS Nguyễn Huệ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

Tài liệu tham khảo

1 Đại số 9

NXB Giáo Dục Ngô HữuDũng -Trần Kiều
Ngô HữuDũng - Trần Kiều
ĐàoNgọc Nam-Tôn Nhân

2 Bài tập đại số 9

NXB Giáo Dục Vũ Hữu Bình

3 Một số vấn đề phát triển đại số 9

NXB
Dục

4 Để học tốt đại số 9

NXB Giáo Dục Bùi Văn Tuyển

Giáo Hoàng Chúng

5 Bài tập nâng cao và một số chuyên NXB Giáo Dục Vũ Dơng Thuỵ đề toán 9
Nguyễn Ngọc Đạm
6 Toán nâng cao và các chuyên đề

NXB Giáo Dục Tôn Thân -Vũ Hữu Bình

đại số 9
7 Các dạng toán và phơng pháp giải NXB Giáo Dục Nguyễn Vũ Thanh - Bùi
toán 9
Văn Tuyển

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

19

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ


Một số phơng pháp giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012

NHN XẫT NH GA CA HI NG KHOA HC GIO DC
TRNG TRUNG HC C S NGUYN HU.
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng

20

Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ