SKKN hướng dãn học sinh yếu giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Mục lục
1. Lí do chọn đề tài

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3

2.1 Cơ sở lí luận

3

2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đƣờng cong phẳng

3

2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

4

2.2 Thực trạng của vấn đề

10

2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

11

2.3.1 Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ

11

2.3.2 Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho

15

thị
trƣớc
2.3.3 Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi

18

qua một điểm cho trƣớc
2.4. Hiệu quả của SKKN

22

2.4.1 Khảo sát thực tế:

22

2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:

22

3. Kết luận:

24

Phụ lục

26

Đề số 1
Đề số 2

30

Tài liệu tham khảo

35

-1-


1. Lí do chọn đề tài
Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chƣơng trình toán THPT. Một
bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến
thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác nhƣ: Viết
phƣơng trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ
đó kẻ đƣợc các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số …
Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những
nội dung quan trọng và thƣờng gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển
sinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhƣng rất nhiều học sinh còn mơ
hồ và lúng túng không biết giải bài toán này. Bài toán viết phƣơng trình tiếp
tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thƣờng mắc sai lầm giữa bài toán viết
phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một
điểm; một dạng nữa là viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số
góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại
càng khó. Học sinh không có phƣơng pháp làm bài tập viết phƣơng trình tiếp

tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ đƣợc biết sơ qua ở chƣơng trình lớp 11
lại đƣợc luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách
giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót
trƣờng hợp ví dụ nhƣ chƣa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…
Nhƣ ở trên cũng đã nói, trong chƣơng trình cũng nhƣ sách giáo khoa đại số
và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ đƣợc tiếp cận và hiểu biết bài toán viết
phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chƣa hiểu sâu về
lí thuyết; chƣa đƣợc rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết
sáng kiến kinh nghiệm về bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và đƣợc rèn kĩ năng
nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng

-2-


kiến kinh nghiệm: “GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VỚI MỘT ĐƢỜNG CONG”
2. Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lí luận:
2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đƣờng cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số
y = f(x) và M 0 (x 0 ; f (x 0 ))  (C ) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)
y

(C)
M

T

f(x)

f(x 0 ) M 0

O

x0

x

x

Đƣờng thẳng M 0 M là một cát tuyến của ( C).
Khi x  x 0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M 0 (x 0 ; f (x 0 )) và ngƣợc lại.
Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T thì M 0T đƣợc gọi là tiếp
tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 đƣợc gọi là tiếp điểm.
Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có
kM 

f ( xM )  f ( x0 )
xM  x0

*) Nhắc lại ý nghĩa hình học của đao hàm: “Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x0
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 ))”.

-3-


Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là
M 0 (x 0 ; f (x 0 )) có phƣơng trình là y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) ”

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy
*) Định lý 1:
Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm
M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) trong đó y0  f  x0 

*)Định lý 2:
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) và đƣờng thẳng d: y = kx + b. Đƣờng thẳng
 f ( x)  kx  b
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
 f '( x)  k

Khi đó nghiệm x của hệ phƣơng trình chính là hoành độ tiếp điểm
2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị
a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0  x0 ; y0   (C ) . Viết
phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0  x0 ; y0   (C )
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C)
Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C)
Giải
Ta có: y’=3x2-12x +9
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) l à:
y  3( x  2)  2 hay y  3x  8

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

x2
có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp
2x  3

tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục 0y
-4-


y'  

Giải:

1
(2 x  3) 2

1
 2
Giao điểm của đồ thị với 0y:  0;  , hệ số góc y '  0   
9
 3
1
2
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là y   x 
9
3

b. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm
có hoành độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 )
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2
Giải
Ta có: y’=4x3- 4x
Với: x = -2  y = 8 và y’(-2)= - 24

Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là:
y = -24( x + 2 ) + 8

hay

y = -24x - 40

Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 3  3x  5 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5
Giải :
y '  3x 2  3
x  0

Ta có y  5  x 3  3x  5  5  x 3  3x  0   x   3
x  3


+) Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5)
y’(0) = -3
Do đó phƣơng trình tiếp tuyến là y  5  3( x  0) hay y = -3x +5.
+) Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5) .
y' ( 3)  3( 3 ) 2  3  6

Do đó phƣơng trình tiếp tuyến là : y  5  6( x  3) hay y  6 x  6 3  5 .
-5-


+) Tƣơng tự phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5)
là : y  6 x  6 3  5 .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước

Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k 

. Viết phƣơng trình

tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Ví dụ 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

x 1
(C) có hệ số
x 1

góc bằng 2
x  0
= 2 => ( x2  2 x  1)  1  x 2  2 x  0  
 x  1
 x  2
Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), (2;3)
Hai phƣơng trình tiếp tuyến: y  3x  1 và
y  3( x  2)  3
 y  3x  9
x  3
Ví dụ 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với C  : y 
biết tiếp tuyến song
2x  1
y' 

2

2

song với d : y  7 x  1.
Giải:
Ta có

7

 2 x0  1

2

 7 

x  0
1  
 2 x0  1
 x  1

1

2

Có hai phƣơng trình tiếp tuyến y  7 x  3, y  7 x  3
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x 3  3x 2  2 có đồ thị (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng  : 3x  5 y  4  0
Giải:
3
. Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc
5
5
với đƣờng thẳng  nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là kd  

3

Cách 1 : Đƣờng thẳng  có hệ số góc k 

-6-


Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phƣơng trình
1

x1 

5
5
3
y '    3x 2  6 x    9 x 2  18 x  5  0  
3
3
x  5
 2 3
Thay lần lƣợt x1 , x2 vào phƣơng trình tiếp tuyến tổng quát, ta đƣợc các tiếp
5
61
5
31
tuyến là: y   x 
và y   x 
3
7
3

7
5
Cách 2 : Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng d : y   x  c (*)
3

d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm
5
61
 3

2
x

3
x

2


x

c
c


1


3
27



c  31
3x 2  6 x   5
2

3
27


Thay lần lƣợt c1; c2 vào phƣơng trình (*), ta đƣợc các tiếp tuyến là:
5
61
5
31
và y   x 
y x
3
7
3
7

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A  a; b  cho trƣớc. Viết
phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị
từ điểm A(

23

; 2)
9

Giải:
23 

Đƣờng thẳng d đi qua điểm A có phƣơng trình y  k  x    2 (*)
9 


Đƣờng thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

-7-


3
3
23
23


2
2
2
x 3x 2 k x 2
x 3x 2 (3x 6 x) x 2
9
9

3x 2 6 x k
3x 2 6 x k



x 2
k 0

1

x
5
3
k

3

x 3
k 9
2

3x 6 x k

Thay k ln lt vo (*), ta c cỏc phng trỡnh tip tuyn l:
5
61
v d3 : y 9 x 25
d1 : y 2, d 2 : y x

3
27
1
2

Vớ d 2: Cho hàm số y x 4 3x 2

3
2

3
(C ) . Viết pttt của (C) đi qua A(0; ).
2

Giải:
3
2

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0; ) có dạng: y kx

3
2

(d )

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
3
3
1 4
2

x 3x kx
2
2 có nghiệm.
2
2 x 3 6 x k

x 0

Suy ra 3x 4 6 x 2 0 x 2
x 2

3
+) Với x = 0 k 0 . Pttt là: y .
2
3
2
3
+) Với x= - 2 k 2 2 . Pttt là: y = 2 2 x .
2
3
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0; ) đến đến thị (C).
2
x
Vớ d 3: Cho hàm số y
(C). Gọi I là giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận của
x 1

+) Với x 2 k 2 2 . Pttt là: y 2 2 x .

đồ thị hàm số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.

Giải:
Ta có tiệm cận đứng x = -1.
-8-


Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là:
I(-1; 1).
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:
x
x 1 k ( x 1) 1
x
1
x
1


( x 1) 1

1 x x 2
1
2
x 1 ( x 1)
x 1 x 1


k
2
( x 1)

(vô nghiệm) => (điều phải chứng minh).
Vớ d 4: Cho hàm số y

x2 x 1
(C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ
x 1

đ-ợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Viết lại y d-ới dạng y x 2

1
(C).
x 1

Gọi B(0; b) Oy , Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:
1

1

x 2 x 1 kx b
x 2 x 1 kx b

(I)
1
1
x 1 1 kx k

k
2

( x 1)
x 1
3

2
1
b 3k
bk

x 1
x 1
2

b 3k
1
(1)
x 1
2
Do đó (I)
1 1
k (2)
( x 1) 2

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)
b 3 k
0

k b 3
2

2
2
k 2(b 1)k (b 3) 4 0 (*)
1 ( b 3 k ) 2 k

2

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi ph-ơng trình (*) có hai nghiệm khác b + 3
-9-


' 0
(b 1) 2 ((b 3) 2 4) 0
b 1





2
2
b 2
(b 3) 2(b 1)(b 3) (b 3) 4 0
4b 8 0

Vậy, các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ
đ-ợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

2.2 Thc trng ca vn :
Qua iu tra v thc tin ging dy cho thy a phn hc sinh khụng cm thy
khú khn trong vic kho sỏt hm s. Tuy nhiờn hc sinh gp phi khú khn khi
lm bi tp v tip tuyn ca th hm s, thng mc phi nhng khú khn
sau:
- Cha cú nhng phng phỏp gii c th cho tng dng bi
- Nhm gia hai khỏi nim tip tuyn i qua mt im v tip tuyn ti
mt im thuc th ca hm s
- Trong quỏ trỡnh gii hc sinh cũn mc phi sai lm khi tớnh toỏn, bin
itrong bc trung gian. Lp lun khụng cht ch; ỏnh trỏo bi
Vớ d: Cho hm s y x3 3x 2 2 cú th (C). Vit phng trỡnh tip tuyn
ca th (C) bit tip tuyn i qua im A(0;3)
Gii: +) Gi d l ng thng i qua im A(0;3), phng trỡnh ca d cú dng
y kx 3

+) d l tip tuyn ca th hm s khi v ch khi h phng trỡnh
x3 3x 2 2 kx 3 (1)
cú nghim x
2
3
x

6
x

k
(2)


Thay k (2) vo (1) ta c

x3 3x 2 2 (3x 2 6 x) x 3
( x 1)(2 x 2 x 1) 0 (*)
Bõy gi phng trỡnh (* ) hc sinh khụng chỳ ý: T phng trỡnh (*) ta cú
x 1 0
m li vit
2
2
x

x

1

0


x 1 0
x 1
2
2 x x 1 0

Vy phng trỡnh tip tuyn l: y 3x 3
- 10 -


Khi đó lời giải bị sai ngay từ bƣớc trung gian nên thiếu một phƣơng trình tiếp
tuyến.
Nhƣ vậy lời giải đúng là

x 1
 k  3
x 1  0


Từ phƣơng trình (*) ta có  2
1 
15
x 
k 
2 x  x  1  0

2

4
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến là: y  3x  3 và y 

15
x3
4

Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm A(0;3)
Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y  y0  f '( x0 )( x  x0 )
Theo đầu bài ta có x0  0, y0  3
y '( x0 )  f '( x0 ) = 0

Vậy phƣơng trình tiếp tuyến là: y  3
Hoặc có học sinh lại bỏ sót trƣờng hợp trong quá trình giải…
2.3 Giải quyết vấn đề

Việc đƣa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phƣơng
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phƣơng pháp giải bài tập toán đề
hƣớn dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó các em
không còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có đƣợc cách giải
chính xác khi đã xác định đƣợc yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm
số” ở dạng nào. Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập;
chỉ ra phƣơng pháp giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập.
2.3.1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị
a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0  x0 ; y0   (C ) . Viết
phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0  x0 ; y0   (C )
- 11 -


* Phương pháp giải:
+) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm (đã nêu ở trên) thì tiếp tuyến tại một
điểm M 0  x0 ; y0   (C ) có hệ số góc là f '( x0 )
+) Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm M 0  x0 ; y0  có
dạng: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) hay y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )
Nhận xét:
+) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác f '( x) , f '( x0 )
và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán
+) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến tại
điểm M (2;2)  (C )
Giải
Ta có: y’=3.x2-12x +9
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
y  3( x  2)  2 hay y  3x  8

Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 -

2
. Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến với
2x  1

đồ thị (C) tại A(0;3)
Giải
Ta có: y’= 1+

4
(2 x  1) 2

nên y’(0) = 5

Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) là:
y = 5(x-0) + 3

hay

y = 5x + 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 + 3x – x3 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp
tuyến tại điểm uốn của đồ thị.
Giải:

y '  3  3x 2 , y ''  6 x
- 12 -

và y ''  0  x  0
Toạ độ điểm uốn là (0;2) , y '(0)  3
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:
y  3( x  0)  2 hay y  3x  2

b. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm
có hoành độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 )
*. Phương pháp giải:
-Với: x =x

0

 y 0 =f(x 0 )

(Bài toán đƣa về dạng trên)

- Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ
x = x 0 có dạng:
y=f’(x 0 )( x-x 0 ) + y 0
Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung
độ: y= y 0 =f(x 0 )

 x 0 =?

( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một điểm )

Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  1
Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ -1.
Giải: Hoành độ tiếp điểm x  1, nên tung độ tiếp điểm y  1

y '  3x2  6 x  y '(1)  3
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:
y  3( x  1)  1

y  3x  2

hay

Ví dụ 2: Cho hàm số y 

3x  1
có đồ thị (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của
1 x

(C) tại điểm có tung độ –7.
Giải:
Tung độ tiếp điểm y  7 nên hoành độ tiếp điểm x  2
4
y' 
 y '(2)  4 .Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2;-7)
(1  x) 2
là: y  4( x  2)  7

hay

y  4 x  15
- 13 -


*) Bi toỏn m rng:

Vớ d 1: Cho hàm số: y x 3 3x 2 2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ
đ-ợc một và chỉ một tiếp tuyến đến (C).
Giải:
Gọi M 0 ( x0 ; x03 3x02 2) (C ) .
Ph-ơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M0 có dạng:
y k ( x x0 ) x03 3x02 2 (d)

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2
3
2

x 3x 2 k ( x x0 ) x0 3x0 2

2

3x 6 x k

x1 x0
Suy ra ( x x0 )(2 x 3x xx 0 x 3x0 ) 0
x 2 3 x0
2

2

2
0

Điểm M0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:

x1 x2 x0

3 x0
x0 1 .
2

Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M0( 1; 0) mà qua đó kẻ đ-ợc đúng một và
chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C).
Vớ d 2: Cho hàm số: y

4x 2
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),
x 1

trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Giải:
Ta có: x 3 y

4.3 2 5
.
3 1
2

6
3
y ' (3)
2
8
( x 1)
5

3
5
Pttt của (C) tại điểm (3; ) là: y ( x 3)
2
8
2
y'

Diện tích hình phẳng cần tính là:
3

S
0

3

3
5
6
3
3
6
( x 3) (4
) dx ( ( x 3)
)dx
8
2
x 1
8
2 x 1

0

- 14 -


=(

3
3
3
( x  3) 3 - x  6ln x  1)
16
0
2

= 12 ln 2 

99
16

(®vdt).

2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k 

. Viết phƣơng trình

tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
* Phương pháp giải:
i) Cách 1: Phƣơng pháp tìm tiếp điểm:

+) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ xi
 f '( xi )  k  x  xi là nghiệm của phƣơng trình f '( x )  k

+) Giải phƣơng trình f '( x )  k , suy ra nghiệm x  x0 , x1,...xn , n 



+) Phƣơng trình tiếp tuyến tại xi là: y  k ( x  xi )  f ( xi )
ii) Cách 2: Phƣơng pháp điều kiện kép
Xét đƣờng thẳng có hệ số góc k có phƣơng trình y  kx  m (m là ẩn) tiếp xúc
với đồ thị (C): y  f ( x) . Khi đó ta có phƣơng trình kx  m  f ( x) có nghiệm
kép. Áp dụng điều kiện để phƣơng trình có nghiệm kép, suy ra đƣợc m. Từ đó
suy ra phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm
Nhận xét: Vì điều kiện (C1 ) : y  f ( x) và (C2 ) : y  g ( x) tiếp xúc nhau là hệ điều
 f ( x)  g ( x)
có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phƣơng trình
 f '( x)  g '( x)

kiện 

f ( x)  g ( x) có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng đƣợc cho các dạng hàm số
y  f ( x) mà phƣơng trình tƣơng giao kx  m  f ( x) có thể biến đổi tƣơng đƣơng

về một phƣơng trình bậc 2 ( khi đó điều kiện để có nghiệm kép là  m  0 )
Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k nhƣ sau:
1
2

- Dạng trực tiếp: k  1, 2,...,  ,...,  2,  3,...

- 15 -


- Tip tuyn to vi chiu dng 0x gúc , 150 ;30 0 ;450 ;


2
; ..... khi
3 3

ú h s gúc k tan
- Tip tuyn song song vi ng thng y ax+b , khi ú h s gúc k = a
- Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
ka 1 k

y ax+b ,

khi ú

1
- Tip tuyn to vi ng thng y ax+b mt gúc khi ú
a

k a
tan .
1 ka

Vớ d 1:
Cho hàm số y x 3 3x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ
số góc của tiếp tuyến k = -3.

Giải:
Ta có: y' 3x 2 6 x
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x 2 6x 3 x 2 2x 1 0 x 1
Với x 1 y 2 . Pttt cần tìm là: y 3( x 1) 2 y 3x 1

Ví dụ 2:
Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 1(C). Biết tiếp tuyến
đó song song với đ-ờng thẳng y = 9x + 2009.
Giải:
Ta có y' 3x 2 6 x .
Do tiếp tuyến đó song song với đ-ờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ
số góc k = 9 3x 2 6 x 9 .
x 1
x 2 2x 3 0
.
x 3
+) Với x 1 y 3. Pttt của (C) tại x = - 1 là: y 9( x 1) 3 y 9x 6

+) Với x 3 y 1 . Pttt của (C) tại x = 3 là: y 9( x 3) 1 y 9x 26
Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đ-ờng thẳng y = 9x + 2009 là:
y = 9x + 6 và y = 9x - 26.
- 16 -


Vớ d 3: Cho hàm số y x 3 3x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) biết
tiếp tuyến đó vuông góc với đ-ờng thẳng y

1
x.
9

Giải:
Ta có y' 3x 2 3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ-ờng
thẳng y

1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9

Do đó y' k 3x 2 3 9 x 2 4 x 2.
+) Với x = 2 y 4 . Pttt

tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y 9( x 2) 4 y 9 x 14.

+) Với

x 2 y 0 .

Pttt tại điểm có hoành độ x =

- 2 là:

y 9( x 2) 0 y 9 x 18 .

Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đ-ờng thẳng y

1
x là:

9

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
*) Bi toỏn m rng:
Vớ d 1:
Cho hàm số y x 3 3x 2 9 x 3 (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến
của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k = y ' 3x 2 6 x 9
y' ' 6 x 6 y' ' 0 6 x 6 0 x 1

iểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12.
Bảng biến thiên của hàm số y' 3x 2 6 x 9
x
y



-



-1
0

+

y
-12
- 17 -


Từ bảng biến thiên suy ra k 12 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành
độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)
Vớ d 2:
Cho hàm số: y

mx 2 (m 1) x m 2 m
xm

(C ) . Tìm điểm x0 để với mọi m 0 , tiếp

tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đ-ờng thẳng cố định.
Tìm hệ số góc của đ-ờng thẳng đó.
Giải:
mx02 2m 2 x0 2m
mx 2 2m 2 x 2m
Ta có: y'
.
y ' ( x0 )
( x m) 2
( x0 m) 2

Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y(x0) = k ( hằng số) m 0

mx02 2m 2 x0 2m
k m
( x 0 m) 2

(2 x0 2 k )m 2 (2kx0 x02 )m kx02 0 m 0
2 x0 2 k 0 (1)

2kx0 x02 0 (2)
2
kx0 0 (3)

k 0

Ta có : (3)
x0 0
+) Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
x0 1
(vô nghiệm)
x0 0

+) Với k = 0

Vậy, x0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x0 song song với một đ-ờng
thẳng cố định.
2.3.3.Vit phng trỡnh tip tuyn ca th bit tip tuyn i qua mt im
cho trc
Bi toỏn: Cho hm s y =f(x) cú th (C) v im A xA ; y A cho trc. Vit
phng trỡnh tip tuyn ca th (C) qua A n th (C)

* Phng phỏp gii:
- 18 -


i) Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc
- Đƣờng thẳng d đi qua điểm A  xA ; y A  có phƣơng trình:
d : y  k ( x  xA )  y A

- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 f ( x)  k ( x  x A )  y A
 f ( x)  f '( x)( x  xA )  y A (1)
k


f
'(
x
)

k
f
'(
x
)

k



- Kết luận về tiếp tuyến d.

ii) Cách 2: Thực hiện theo các bƣớc
- Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) khi đó phƣơng trình tiếp tuyến có dạng
d: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0
- Điểm A xA ; y A   d , ta đƣợc yA  y '( x0 )( xA  x0 )  y0 (2)  x0
- Kết luận về tiếp tuyến d
Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phƣơng trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến
đồ thị (C)
Ví dụ 1:
Cho hàm số (C): y =

1 3 2
x -x .
3

Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
Giải
Ta có: y’= x2-2x
-Gọi đƣờng thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phƣơng trình có dạng:
y=k.(x- 3)+0
-Để đƣờng thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì:

1 3
 x  x 2  k ( x  3)
3

k  x 2  2x


-Thay (2) vào (1)ta có

có nghiệm

1 3 2
x  x  ( x 2  2 x)( x  3) →x=0 và x= 3
3
- 19 -


-Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phƣơng trình tiếp tuyến: y = 0
-Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phƣơng trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9
-Vậy có hai phƣơng trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là:
y=0
và y = 3x – 9
Ví dụ 2:
Cho hàm số (C): y =

x2
Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
2x  3

,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lƣợt tại A và B sao cho tam giác
AOB cân tại O
Giải
Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến của ( C)
*(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B
*OA=OB
Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0)
(d) cắt oy tại B nên B(0;b) .

điều kiện: a  0 và b  0

Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB  a  b
a = b

hoặc

a = -b

*Với a = b ta có phƣơng trình đƣờng thẳng (d) có dạng:

y
x

1
a
a

y = - x + a

Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ phƣơng trình:

 x2
 2 x  3   x  a (1)

1
1 
(2)
(2 x  3) 2


có nghiệm

- 20 -


Từ (2) ta có: x = -2 hoặc x = -1
-Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phƣơng trình tiếp tuyến (d) phƣơng
trình của d là
y = -x - 2
-Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = 0 (loại)
*Với a = -b ta có phƣơng trình đƣờng thẳng (d) có dạng:

x
y

1
a
a

y = x - a

 x2
 2x  3  x  a

Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: 
1
1

( 2 x  3) 2


có nghiệm

Từ (2) suy ra hệ vô nghiệm
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2
Cách 2:
Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc
450 hoặc 1350 và không đi qua gốc tọa độ O
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 ta có:
tan 45 0  y ' ( x 0 )  1 

1
 phƣơng trình vô nghiệm
(2 x 0  3) 2

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 135 0 ta có:
tan 135 0  y ' ( x0 )  1 

1
 (2 x0  3) 2  1  x 0 = -1 hoặc x 0 = -2
2
(2 x0  3)

Với x 0 = -1  y 0  1.Phƣơng trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì đi
qua gốc tọa độ O)
Với x 0 = -2 y 0  0 . Phƣơng trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2
Kết luận: Phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2
NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thƣờng thiếu điều kiện của a và b để A BO
là tam giác

- 21 -


-Với cách 2: đơn giản hơn xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp
tuyến của đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ O
2.4. Hiệu quả của SKKN
2.4.1 Khảo sát thực tế:
Trƣớc khi thực hiện SKKN , năm học 2013 - 2014 tôi đã khảo sát chất lƣợng
của học sinh lớp 11A1 ; 11A4 ; thông qua kiểm tra viết gồm 3 bài toán viết
phƣơng trình tiếp tuyến (Đề số 1 phụ lục trang 26 )
Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trƣớc
Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trƣớc
Kết quả nhƣ sau:
Không có học sinh đạt điểm khá, giỏi ở lớp 11A4 ; điểm trung bình chƣa đạt
40%, còn lại là yếu, kém. Cụ thể:
Lớp

TS

Giỏi

Khá

T bình

Yếu

SL

SL

SL

%

SL

%

11A1 35

3

8.6

5

14.3 20

11A4 32

0

0

0

0

Tổng 67

3

4.5

5

7.5

%

Kém
%

SL

%

51.1 7

20

0

0

12

37.5 16

50

4

12.5

32

47.8 23

34.3 4

5.9

Chất lƣợng bài làm của học sinh lớp 11A4 thấp, kĩ năng giải toán yếu.
2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:
Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 11A1; 11A4 của trƣờng THPT Số 2 Bảo Thắng
năm học 2013 – 2014 tôi đã khảo sát chất lƣợng của học sinh thông qua kiểm tra
viết gồm 4 bài: (Đề số 2 phụ lục trang 30)
Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trƣớc
Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trƣớc
- 22 -


Bài toán 4: Ứng dụng
Kết quả nhƣ sau:
Đã có học sinh đạt điểm khá, giỏi tuy còn ít. Điểm yếu, kém đã giảm.
. Cụ thể:

Lớp

TS

Giỏi

Khá
SL

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

0

0

Kém

SL

%

11A1 35

12

34.3 16

45.7 7

20

11A4 32

2

6.3

9.4

20

62.5 5

15.6 2

6.2

Tổng 67

14

20.9 19

28.4 27

40.3 5

7.5

2.9

3

%

T bình

2

Nhƣ vậy, chất lƣợng bài kiểm tra đã đƣợc tăng lên rõ rệt.
Một số học sinh khá, giỏi còn biết vận dụng vào các bài toán ở mức độ khó hơn.
Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến SKKN và có sự
tham góp của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy đã thu đƣợc một số
kết quả nhất định sau:

1. Học sinh yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt hơn phƣơng pháp viết phƣơng trình
tiếp tuyến
2. Học sinh trung bình trở lên nắm vững đƣợc phƣơng pháp, biết vận dụng
thành thạo và linh hoạt hơn
Chất lƣợng bài giải và kĩ năng giải toán tốt hơn so với những năm trƣớc đây.

- 23 -


3. Kết luận:
- Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phƣơng pháp giảng dạy là một
nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực
thụ. Bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lƣợng học tập của học
sinh nên tôi luôn cố gắng tìm tòi và ứng dụng đổi mới vào việc giảng dạy trên cơ
sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp .
- Loại toán viết phƣơng trình tiếp tuyến trong các tài liệu tham khảo thƣờng
đƣợc đề cập một cách sơ sài và nhỏ lẻ, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các
bài toán phƣơng trình tiếp tuyến một cách đơn giản để học sinh dễ hiểu . Qua ứng
dụng SKKN này giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy đối với bài toán viết
phƣơng trình tiếp tuyến học sinh đã thông hiểu hơn rất nhiều.
- Nhƣ vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việc
giảng dạy của tôi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt
hơn vào giải toán, nâng cao chất lƣợng học môn toán hơn trƣớc. Đối với bản thân
tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong việc
tự học và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình.
- Mặc dù SKKN tôi viết chỉ tập chung vào một vấn đề rất nhỏ trong chƣơng trình
toán lớp 12 nhƣng việc áp dụng nó vào giảng dạy có tác dụng rất tốt, thời gian tới
tôi sẽ phát triển thêm SKKN của mình áp dụng cho cả những đối tƣợng là học
sinh khá, giỏi với những bài toán nâng cao hơn..
- Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm đƣợc rút ra là khi

giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và
tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đƣa ra đƣợc phƣơng pháp giải đối với
từng loại toán có nhƣ vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môn toán.
*) Những ý kiến đề xuất
Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến có nhiều dạng mà đƣợc đề cập rất ít trong
chƣơng trình THPT, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán

- 24 -


này nhất là viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm, viết phƣơng trình tiếp
tuyến biết hệ số góc cho trƣớc.
Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phƣơng trình tiếp tuyến
đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều
tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:
1. Đối với tổ chuyên môn và chuyên môn nhà trƣờng cho phép tôi đƣợc áp
dụng SKKN với một số lớp tôi không đƣợc phân công giảng dạy bằng cách cho
học sinh đi học phụ đạo buổi chiều.
2. Tổ chuyên môn thƣờng xuyên đóng góp ý kiến cho SKKN của tôi trong
quá trình tôi thực hiện SKKN này.
Loại toán viết phƣơng trình tiếp tuyến còn có rất nhiều ứng dụng trong
nhiều bài toán kể cả hình học, nhƣng trong tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần
nhỏ. Trong quá trình thực hiện SKKN, tôi đã nhận đƣợc những góp ý quý báu
của các đồng nghiệp trong tổ toán trƣờng THPT Gia Phù, rất mong nhận thêm
những đóng góp quý báu khác từ các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.

- 25 -