CHUYÊN đề 2 PHƯƠNG TRÌNH

Bài giảng đại số 9

FB: />
CHUYÊN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH

PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

TIẾT 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:
Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a0, được gọi là phương
trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ:
5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8
-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi
dấu hạng tử đó.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi
dấu thành +2 ta được x = 2
2
2
+ x = 0, chuyển hạng tử từ vế trái sang vế phải và đổi
3
3
2
2
dấu thành - ta được x = 3

3

Ví dụ 2: Cho phương trình:

b) Quy tắc nhân với một số:
Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ 3: Cho phương trình:

1
x=3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x= 6
2

Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =

Nguyễn Văn Lực

2
3


Bài giảng đại số 9

FB: />
c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được
một phương trình mới tương đương phương trình đã cho.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3x – 6 = 0
Giải: 3x – 6 = 0  3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu)

(Chia hai vế cho 3)
 x=2
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Chỉ ra phương trình nào là phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 2 – x = 0;
b) 8x – 3 = 0;
c) 0x – 3 = 0
;
d) 3x – 2 = 3.
Giải phương trình: a) 3 -

Bài 2.

1
x =0
2

b) x + 8 = 0
c) -4x + 2 = 4
Giải:
a) 3 -

1
1
1
x = 0  - x = -3  (-2).(- ) x = (-2).(-3)  x = 6.
2
2
2

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6}
b) x + 8 = 0  x = -8
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-8}
2
4

c) -4x + 2 = 4  -4x = 4 - 2  -4x = 2  x =   x  

1
2

1
2

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {  }
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn:
a) 4x – 20 = 0
b) 5y = 0
c) 12 + 7x = 0
d) x2 - x = 0
e) 0x - 2 = 0
f) 2x – x + 10 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

1
x3 0
2

c) x + 2=3

b) 1 + x = 0
d) 3x + 2x - 5 = 0
Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 14: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Các bước chủ yếu để giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0:
- Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có).
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có).
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
- Thu gọn và giải phương trình nhận được.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x–2=4-x
Giải:
Ta có: x - 2 = 4 - x  x + x = 4 + 2  2x = 6  x = 3
Phương trình có tập nghiệm S = {3}
Ví dụ 2: Giải phương trình:

8 – (x – 6) = 12 - 3x
Giải:
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc:
8 – x + 6 = 12 – 3x
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hằng số sang vế kia
- x + 3x = 12 – 8 – 6
- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được:
2x = -2  x = -1
Phương trình có tập nghiệm : S = {-1}
Ví dụ 3: Giải phương trình:
5 x  2 7  3x

6
4

x

Giải:
- Qui đồng mẫu hai vế của phương trình:
x

5 x  2 7  3x

6
4

- Nhân hai vế của phương trình với mẫu chung để khử mẫu:
12x - 10x + 4 = 21 - 9x
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hạng tử tự do sang vế kia:
12x – 10x + 9x = 21 – 4

- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được:
11x = 17  x =

17
11

17
Phương trình có tập nghiệm S   
11 

Ví dụ 4: Giải phương trình:
x+ 2 x -3 = 0
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
Giải:
- Đặt nhân tử chung: x + 2 x -3 = 0  (1+ 2 ) x -3 = 0
- Hệ số a = 1+ 2 ; b = -3
- Ta có: (1+ 2 ) x -3 = 0  (1+ 2 ) x = 3  x=

3
1 2

Phương trình có tập nghiệm: S = 

3 


1  2 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình:
3x – 2 = 2x - 3
Giải:
3x – 2 = 2x – 3  3x – 2x = 2 – 3  x = -1
Phương trình có tập nghiệm S = {-1}
Bài 2. Giải phương trình:
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
Giải:
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
 -2t + 5t – t + 3t = 24 – 4 – 12  5t = 8  t =

Phương trình có tập nghiệm

8
5

8
5

S={ }

Bài 3. Giải phương trình:
(x - 1) – (2x -1) = 9 - x
Giải: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x
 x - 1 - 2x + 1 = 9 – x
 x – 2x + x = 9 – 1 + 1
 0x = 9 (Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình)

Vậy phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: S = 
Bài 4. Giải phương trình:
x-2=x–2
Giải: x - 2 = x – 2  x – x = - 2 + 2  0x = 0
Phương với mọi x  R
Bài 5. Giải phương trình:

x 2x 1 x

 x
4
3
6

Giải:
x 2x  1 x

 x
4
3
6
3x  8 x  4 2 x  12 x


12
12
 3x  8 x  4  2 x  12 x
 3x  8 x  2 x  12 x  4
 5x  4
x

Nguyễn Văn Lực

4
5


Bài giảng đại số 9

FB: />
4
Phương trình có tập nghiệm: S   
5 

x2 x2 x2


3
3
2
6
x2 x2 x2
1 1 1


3
 ( x  2)     3
3
2
6

3 2 6
2
=3
 (x – 2)
3
9
x – 2 =
2
13
 x=
2

Bài 6. Giải phương trình:
Giải:

Phương trình có tập nghiệm:

S= {

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình:
Bài 1. 8x-3 = 5x +12
Bài 2. 32 (x+1) = 48x
Bài 3.

x

3  2x 2x  2

3

4

Bài 4. 2x – 4 – (12 + 4x) - 1 = 3x
Bài 5.

x 3 3 x x 3


2
6
4
3

Nguyễn Văn Lực

13
}
2


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 15: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
* Tích hai số: a.b = 0  hoặc a = 0 hoặc b = 0
* Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0; Trong đó A(x), B(x) là đa thức
- Cách giải: A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Ví dụ: Giải phương trình:

(3x – 5)(x + 3) = 0
Ta có: (3x – 5)(x + 3) = 0  3x – 5 = 0 hoặc x + 3 = 0
* 3x – 5 = 0 3x = 5  x =

5
3

* x + 3 = 0  x = -3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x =
Tập nghiệm của phương trình là S = {

5
và x = -3
3

5
; -3}
3

* Các kiến thức trọng tâm liên quan đến giải phương trình tích
- Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Phân tích đa thức thành nhân tử
- Quy tắc biến đổi và cách giải phương trình
- Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) (2x + 10)(4x + 8) = 0
b) (2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0
2(2 x  1) 7 x  1 


= 0
7
4 


c) (3x – 1) 

d) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0
Giải:
a) Ta có: (2x + 10)(4x + 8) = 0
 2x + 10 = 0 hoặc 4x + 8 = 0
* 2x + 10 = 0  2x = -10  x = - 5
* 4x + 8 = 0  4x = -2  x = - 2
Tập nghiệm của phương trình là: S = {- 5; - 2}
b) Ta có:
(2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0
 2,5 + 5x = 0 hoặc 0,1x - 1,2 = 0
* 2,5 + 5x = 0  5x = - 2,5  x = - 0,5
* 0,1x - 1,2 = 0  0,1x = 1,2  x = 12
Tập nghiệm của phương trình là S = {- 0,5 ; 12}
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
c) Ta có:
2(2 x  1) 7 x  1 

 =0

7
4 

2(2 x  1) 7 x  1

=0
 3x – 1 = 0 hoặc
7
4
1
* 3x – 1 = 0  3x = 1  x =
3
2(2 x  1) 7 x  1
2( 2 x  1)
8( 2 x  1)
7(7 x  1)
7x 1

*
=0 
=
=

7
4
7
28
28
4
 8(2 x  1)  7(7 x  1)  16 x  8  49 x  7  16 x  49 x  7  8

5
 33x  15  x 
11
1 5
Tập nghiệm của phương trình là: S =  ; 
 3 11

(3x – 1) 

Bài 2. Giải phương trình sau:
(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
Giải : Ta có
(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
 (x – 1)(5x + 3) - (3x – 8)(x – 1) = 0
 (x – 1)[( 5x + 3) - (3x – 8)] = 0
 (x – 1)(5x + 3 – 3x + 8) = 0
 (x – 1)(2x + 11) = 0
 x – 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0
*x–1=0  x=1
* 2x + 11 = 0  2x = - 11  x = - 5,5
Tập nghiệm của phương trình là S = {1 ; - 5,5}
Bài 3. Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
(x2 + 2x + 1) – 9 = 0
Giải: Ta có:
(x2 + 2x + 1) – 9 = 0
 (x – 2)(x + 4) = 0
 x – 2 = 0 hoặc x + 4 = 0
*x–2=0  x=2
*x+4=0  x=-4
Tập nghiệm của phương trình là S = {- 4 ; 2}

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải các phương trình:
a) (2x + 5)(x – 7)(6x + 1) = 0;
c) x3 – 1 = x(x – 1);

Nguyễn Văn Lực

b) 5x(x – 3) + 10(x – 3) = 0
d) 3x + 7x – 20 = 0
2


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 16: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng ax + b = 0 (a  0) với a,b là các số đã
cho
Nghiệm của phương trình là: x = -

b
a

* Ví du: 2x + 5 = 0 <=> 2x = -5 <=> x = -

5
2

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b  0, ax + b  0) a  0.
Nghiệm của bất phương trình là: ax + b > 0 <=> ax > -b <=> x > hoặc x < -

b
a

nếu a > 0

b
nếu a < 0.
a

3
2
3
-2x + 3 > 0 <=> -2x > -3 <=> x <
2

* Ví dụ: 2x + 3 > 0 <=> 2x > -3 <=> x > -

3. Giá trị tuyệt đối:
a = a khi a  0
a = -a khi a < 0
Ví dụ: 6 = 6 ; 0 = 0 ;  3 = 3
4. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
ví dụ : Giải phương trình sau:
4 x = 2x + 1 (1)
Giải:
Ta có: 4 x = 4x khi 4x  0 <=> x  0

4 x = - 4x khi 4x < 0 <=>x < 0
Ta giải hai phương trình sau:
1) 4x = 2x + 1 với điều kiện x  0
Ta có 4x = 2x + 1 <=> 4x - 2x = 1 <=> 2x = 1 <=> x = 0,5
Giá trị x = 0,5 thoả mãn điều kiện x  0, nên x = 0,5 là nghiệm của phương trình (1)
2) - 4x = 2x + 1 với điều kiện x < 0
Ta có -4x = 2x + 1 <=> -4x - 2x = 1 <=> -6x = 1 <=>x = 

1
6

1
1
thoả mãn điều kiện x < 0, nên  là nghiệm của phương trình (1)
6
6
1
Tâp nghiệm của phương trình (1) là S =  ;0,5
 6


Giá trị x = -

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Giải phương trình sau: x  4 = 2x - 5 (2)
Giải
Ta có x  4 = x + 4 khi x + 4  0 <=>x  - 4
x  4 = -x - 4 khi x + 4 < 0 < = > x <- 4
Ta giải hai phương trình sau:
1) x + 4 = 2x-5 với điều kiện x  - 4
Ta có x + 4 = 2x - 5 < => x-2x = -5 – 4 <=> -x = -9 <=> x = 9
Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x  - 4, nên x = 9 là nghiệm của phương trình (2)
2) - x - 4 = 2x - 5 với điều kiện x < - 4
Ta có - x – 4 = 2x – 5 <=> -x – 2x = 4 – 5 <=> -3x = -1 <=> x =

1
3

1
1
không thỏa mãn điều kiện x < - 4, nên x = không là nghiệm của (2)
3
3
Vậy tập nghiệm của phương trình (2)là: S = 9

Giá trị x =

Bài 2. Giải phương trình  5 x = x + 8 (3)
Giải
Ta có  5 x = -5x khi -5x  0 <=> x  0
 5 x = 5x khi -5x < 0 <=> x > 0
Ta giải hai phương trình sau:
1) -5x = x + 8 với điều kiện x  0
Ta có -5x= x + 8 <=> -5x – x = 8 <=> -6x = 8 <=> x = 

Giá trị x = 

4
3

4
4
thỏa mãn điều kiện x  0, nên x =  là nghiệm của phương trình (3)
3
3

2) 5x = x +8 với điều kiện x > 0
Ta có: 5x = x + 8 <=> 5x – x = 8 <=> 4x = 8 <=> x = 2
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x > 0, nên x = 2 là nghiệm của phương trình (3)
4
3

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = {  ; 2}
Bài 3. Giải các phương trình sau. 2 x  3 = 2x - 3 (4)
Giải
Ta có: 2 x  3 = 2x - 3 khi 2x - 3  0 <=> x  1,5
2 x  3 = -2x + 3 khi 2x - 3 < 0 <=> x < 1,5
Ta giải hai phương trinh sau:
1) 2x - 3 = 2x - 3 với điều kiện x  1,5
Ta có 2x - 2x = -3 + 3 <=> 0x = 0 , ta thấy mọi giá tri của x  1,5 đều thoả mãn điều kiện
của ẩn nên x  1,5 là nghiệm của phương trình (4)
2) -2x + 3 = 2x - 3 với điều kiện x <1,5
Ta có -2x + 3 = 2x - 3 <=> -2x – 2x = -3 – 3 <=> -4x = -6 <=> x = 1,5
Giá trị x = 1,5 không thỏa mãn điều kiện x < 1,5 nên x = 1,5 không là nghiệm của
phương trình (4)

Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S= x / x  1,5
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
a) 5 x - 3x – 2 = 0
b) 3  x + x2 – (4+x)x = 0
Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

TIẾT 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT
(CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có

dạng : ax 2  bx  c  0
Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a  0 .
Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai :
a) 5x2 - 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2
b) 7x2 - 7 = 0
có a = 7, b = 0, c = -7
2
c) 9x - 9x = 0
có a = 9, b = -9, c = 0
2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0
* Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0
A  0

Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0  
B  0
 x0
 x=0

Ta có: ax + bx = 0  x(ax +b)=0  
x   b
ax+b=0

a

2

Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải

4x2 – 8x = 0

4 x  0

x  0

4x2 – 8x = 0  4x( x-2) = 0  

x  2
x  2  0
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2
*Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0
 Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và
c
đưa phương trình về dạng x2 = rồi giải.
a
2
Ví dụ 2: Phương trình x + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0
Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0
Giải:
5x2 – 100 = 0  5x2 = 100  x2 = 20  x =  2 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 5 ; x2 = - 2 5
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c
Bài 1. Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác
định các hệ số a, b, c của phương trình đó:
a) 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

2

FB: />2

b) 6x + 2x - 3 = 4x + 3
c) 7x2 + 2x = 3 + 2x
d)  2 2 x 2  2 x  8  8
Giải :
a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai
b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3
 6x2 + 2x – 3 - 4x2 - 3 = 0
 2x2 + 2x - 6 = 0
Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6
c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x
 7x2+2x -3 -2x = 0
=0
 7x2 – 3
Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3
d) Phương trình  2 2 x 2  2 x  8  8
  2 2x 2  2x  8  8  0
 - 2 2 x2 +

2x

=0
Là phương trình bậc hai có a = -2 2 , b = 2 , c = 0
Dạng 2: Giải phương trình:
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2x2 + 5x = 0,
b) 5x2 - 15 = 0,

c) x2 + 2010 = 0
Giải
a)
2x2 + 5x = 0
 x (2x + 5 ) = 0
x  0

x   5
2


Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = 

5
2

b) 5x2 - 15 = 0  5x2 = 15  x2 = 3  x =  3
Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3
c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0.
Vậy phương trình vô nghiệm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c
của chúng.
a) 2x2 + 5x + 1 = 0,
b) 2x2 – 2x = 0
c)  3x 2 = 0,
d) 4x + 5 = 0
Giải
a, 2x2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1.
b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0.

c)  3x 2 = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3 , b = 0, c = 0.
d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai.

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
Bài 2. Đưa các phương trình sau về phương trình dạng ax 2  bx  c  0 và giải các
phương trình đó:
a) 5x2 + 8 x = 2( 4 x  2) ,
b) 7 x 2  7 x  86  x  86
Giải
a) 5 x 2  8 x  8 x  2
 5x2  8x  8x  2  0
 5x2  2  0
x

2
5

Vậy phương trình có hai nghiệm x 
b, 7 x 2  7 x  86  x  86

2
5

và x  

2
5

 7 x 2  7 x  86   x  86
 7 x 2  7 x  86  x  86  0
 7 x2  8x  0
x





7x  8  0

x  0
x  0


x   8
 7x  8  0

7

Vậy phương trình có hai nghiệm x  0 và x  

8
7

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168

Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Đối với phương trình ax 2  bx  c  0 , a  0 và biệt thức   b 2  4ac
- Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 

b  
2a

và x2 

b  
2a

- Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép:
x1  x2  

b

2a

Ví dụ: Giải phương trình
Giải
Phương trình 2 x 2  5 x  1  0

2x2  5x  1  0

Có a = 2, b = - 5, c = 1

  b  4ac   5  4.2.1  25  8  17
2

2

  17  0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

b     5   17 5  17


2a
2.2
4
b     5   17 5  17
x2 


2a

2.2
4
Chú ý: Nếu phương trình ax 2  bx  c  0 , a  0 có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì
  b 2  4ac  0 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
x1 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình sau: 2 x2  2 2 x  1  0
Giải 2 x2  2 2 x  1  0 (a = 2, b = 2 2 , c = 1)



  b2  4ac  2 2



2

 4.2.1  4.2  4.2  0
b

2 2

2

Vậy phương trình có nghiệm kép: x1  x2   2a   2.2  2

Bài 2. Cho phương trình 2 x 2   m  4  x  m  0
a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ?
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?

Giải:
a) Phương pháp: Vì x0 là một nghiệm của phương trình nên ax 02  bx0  c phải bằng 0
Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên:

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
2.3   m  4  .3  m  0
2

 18  3m  12  m  0
 2 m   6
m3

Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm.
b) Để phương trình ax 2  bx  c  0 luôn có nghiệm thì   0
Ta có:
     m  4    4.2.m
2

 m 2  8m  16  8m
 m 2  16
Vì m 2  0 với mọi m do đó   m 2  16  0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải các phương trình sau





a, 2 x 2  1  2 2 x  2  0
1
2
b, x 2  2 x   0
3
3

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó
a, mx 2   2m  1 x  m  2  0

b, 2 x 2   4m  3 x  2m2  1  0

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
* Công thức nghiệm thu gọn:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0 ) (1) Đặt b = 2b'.
Ta có: ' = b’2 – ac
(1) vô nghiệm <=> ' < 0.
(1) có nghiệm kép <=> ' = 0; x1 = x2 =

 b'
a

(1) có hai nghiệm phân biệt <=> ' > 0
 b' '
 b' '
; x2 =
a
a
(1) có nghiệm <=> '  0

x1 =

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
10x2 + 6x + 1 = 0 (2)
Giải: Ta có:  ' = 32 - 10.1 = - 1.
 ' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
5x2 - 6x + 1 = 0 (3)
Giải: Ta có:  ' = (-3)2 - 5.1 = 4 ; '  4  2 .
 ' > 0 => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.
x1 =

 (3)  2
 (3)  2 1
 1 ; x2 =

5
5
5

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
x2 - 10x + 25 = 0 (4)
Giải: Ta có:  ' = (-5)2 - 1. 25 = 0.
 ' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép:
x1 = x2 =

 (5)
5;
1

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau:
a) 12x2 - 8x + 1 = 0
b) x2 - 2 3 x - 3 = 0
c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0
d) x2 - 5 5 x - 7 = 6 - 3 5 x
Giải:
8
 4 ; c = 1.
2
2 3
b) x2 - 2 3 x - 3 = 0 Ta có: a = 1; b' =

  3 ; c = -3.
2
c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0

a) 12x2 - 8x + 1 = 0

Ta có: a = 5 ; b' =
Nguyễn Văn Lực

Ta có: a = 12; b' =

 4( 3  1)
 2( 3  1)  2(1  3 ) ;c = -2.
2


Bài giảng đại số 9

FB: />
d) x - 5 5 x - 7 = 6 - 3 5 x  x - 5 5 x + 3 5 x - 7 - 6 = 0  x2 - 2 5 x - 13 = 0
2

2

Ta có: a = 1; b' =

2 5
  5 ; c = -13.
2

Bài 2. Giải các phương trình sau.
a) -16x2 - 10x - 1 = 0 (5);
b) 2x2 + 4x + 1 = 0 ( 6)
c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7);
Giải:
a) -16x2 - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có:  ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; '  9  3 .
 ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt:
 (5)  3
8
1
 (5)  3
2
1




; x2 =
 16
 16
2
 16
 16 8
2
2
b) 4x + 4x + 1 = 0 ( 6) Ta có:  ' = 2 - 4 .1 = 0.

x1 =

 ' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x1 = x2 =

 2 1

.
4
2

c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)
Ta có:  ' = {2(1 - 3 )}2 - 2 3 . (2 3 + 4) = 4 - 4 3 + 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0.
 ' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm.
Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra kết quả bằng máy tính
cầm tay.
Bài 3. Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8).
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt?
Giải:
a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + 3 = 0. (8’)
 '  22  2.3  2  0  phương trình (8’) vô nghiệm.
b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
 ' > 0  (2m)2 - (m + 1)(4m - 1) > 0  4m2 - 4m2 + m - 4m + 1 > 0
 3m < 1  m <

1
.
3

Bài 4. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?
5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0 (9)
Giải:
Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

 ' = 0  m2 - 5. ( 15 - 2m) = 0
 m2 + 10m - 75 = 0
  'm = 52 - 1.(-75) = 100 => '  10
 m1 =

 5  10
 5  10
 5 ; m2 =
 15 .
1
1

Vậy m =5 hoặc m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Xác định hệ số a, b', c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công
thức nghiệm thu gọn:
a) -x2 - 6( 3  2) x + 2- 3 = 0;
b) - 5x2 - (2 3  2) x + 3 - 1 = 0;
c) -x2 - 8( 3  2) x + 3- 5 = (2 3  4) x; d) x2 + ( 7  4) x + 7 - 1 = ( 4  7 ) x.
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
Bài 2. Giải các phương trình sau.
a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6);
b) 25x2 - 16 = 0 (7)
Giải:
a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6) Ta có:  ' = (-2)2 - (-1).5 = 4 + 5 = 9; '  9  3 .

 ' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt:
 (2)  3 5
 ( 2 )  3  1

 5 ; x2 =

1
1
1
1
1
b) 25x2 - 16 = 0; (7) Ta có:  ' = 02 - 25.(-16) = 400 > 0.
0  20 4
0  20  4
 ; x2 =

Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x1 =
.
25
5
25
5

x1 =

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình mx2 - 4(m - 1)x - 8 = 0 (12) có nghiệm kép.
Giải:
Phương trình (12) có nghiệm kép khi và chỉ khi:
 ' = 0  {-2(m - 1)}2 - m.(-8) = 0
 4m2 - 8m + 4 + 8m = 0

 4m2 + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m2 + 4 > 0
Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m  R.

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 20: HỆ THỨC VI-ÉT

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
* Định lý Vi-ét:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm (nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt) của phương trình:
ax2 + bx + c = 0 ( a  0) thì:
b

x 1  x 2   a

x .x  c
 1 2 a

Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các
phương trình sau:
a) 4x2 + 2 x - 5 = 0,
b) 9x2 - 12x + 4 = 0
Giải:
a) 4x2 + 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5)
Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt, gọi x 1, x2 là nghiệm của PT đã
cho, theo định lý Vi-ét ta có:

x1 + x2 =
x1 . x2 =

b 2
1


a
4
2

c
5

a
4

b) 9x2 - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4)
Có '  36  36  0 => PT có nghiệm kép x1 = x2
x1 + x2 =
x1 . x2 =

12 4

9 3

4
9

Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình:

x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12)
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
7

 x1  x2   1  7

 x .x  12  12
 1 2 1

Suy ra x1 = 4; x2 = 3 hoặc x1 = 3; x2 = 4
* Trường hợp đặc biệt:
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0)
có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2=

c
a

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0)
có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1=-1, còn nghiệm kia là x2= -

c
a

Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x2 – 5x + 3 = 0;

b) x2 - 49x - 50 = 0.

Giải:
a) 2x2 – 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3)
Vì a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 =

3
c
=
2
a

b) x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50)
Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0
Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -

50
c
=
= 50
1
a

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau :
a) x2 + 7x + 12 = 0; b) x2 + 3x - 10 = 0.

Giải:
a) x2 + 7x + 12 = 0 (a = 1; b = 7; c = 12)
Ta có:   7 2  4.12  1  0  phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta
có:
x1 + x2 = -7 ; x1.x2 = 12 => x1 = - 4; x2 = -3 hoặc x1 = - 3; x2 = -4
b) x2 + 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10). Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai
nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 = -3 ; x1.x2 = -1 0 => x1 = - 5; x2 = 2 hoặc x1 = 2; x2 = -5
Bài 2. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 7x2 - 9x + 2 = 0;
Giải
Nguyễn Văn Lực

b) 23x2 - 9x - 32 = 0.


Bài giảng đại số 9

FB: />
2

a) 7x - 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2)
Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 =

2
c
=
7
a

b) 23x2 - 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32)
Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0
Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -

 32 32
c

=
23
23
a

Bài 3. Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm
(nếu có) của các phương trình sau:
a) 2x2 – 7x + 2 = 0;

b) 5x2 + x + 2 = 0;

c) 16x2 - 8x + 1 = 0

Giải:
a) 2x2 – 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2)  = b2 - 4ac = (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0
=> x1 + x2 =

 b  ( 7 ) 7

 ;
a
2
2

x1.x2 =

c
1
a

b) 5x2 + x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2)  = b2 - 4ac = 12 – 4.5.2 = - 39 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn tại x1 + x2 và x1.x2
c) 16x2 - 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1)  = b2 - 4ac = (-8)2 – 4.16.1 = 0
=> x1 + x2 =

 b  (8) 1

 ,
a
16
2

x1.x2 =

c 1

a 16

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 10x + 21 = 0;

b) x2 + x - 12 = 0

c) x2 + 7x + 12 = 0

d) x2 - 2x + m= 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? . Theo hệ thức Vi-ét ta tính:
x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ?
Bài 2. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 6x + 5 = 0;

b) 4x2 - 3x - 7 = 0

c) - 3x2 + 12x + 15 = 0;

d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?
Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x1 = 1, x2 =
Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, x2 = -

Nguyễn Văn Lực

c
a

c
a


Bài giảng đại số 9

FB: />
Bài 3. Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2?
a) x2 + 2x – 35 = 0 ; x1 = 2;

b) x2 - 7x – 144 = 0 ; x1 = - 9

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?

c
c
a
Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 =
=> x2 =
=?
a
x1
Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 = 

b
b
=> x2 =  - x1 = ?
a
a

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN
TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2 – 4P  0.
Bước 2: Giải phương trình x2- Sx + P= 0
Tính  = S2- 4P
S  
2
S  
x2 =
2

x1 =

.

Bước 3: Hai số cần tìm là x1, x2
Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 3 và tích là P = 2.
Giải
Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số.
Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của phương trình:
x2 - 3x + 2 = 0. Ta có:  = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1

x1 =

 (3)  1
=1;
2

x2 =

 (3)  1
=2
2

Bước 3 :Vậy hai số cần tìm là 1 và 2.
Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và tích là P = 5.
Giải
S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - 4 < 0 => không tồn tại hai số.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm hai số u và v trong các trường hợp sau:
a) u + v = 1, uv = -6; b) u + v = -5, uv = 6
c) u + v = 2, uv = 2
Giải:
a) Ta có: S2 - 4P = 12 - 4.(-6) = 25 > 0 => tồn tại hai số.
Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình:
x2 - x - 6 = 0. Ta có:  = S2 - 4P = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25;
x1 =

1 5
3;
2

x2 =

1 5
 2
2

Vậy hai số cần tìm là 3 và -2.
b) Ta có: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn tại hai số.
Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình:
x2 + 5x + 6 = 0.
Ta có:  = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1;
x1 =

5  1
 2 ;
2

x2 =

5  1
 3
2

Vậy hai số cần tìm là -2 và -3.
c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v.
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1.
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9.
Hướng dẫn:
a) Tìm điều kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 322 – 4.231=…
Tính  =……… x1 = ……
x2 =……
Vậy hai số cần tìm là……….
b) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = (-8)2 – 4.(-105)=…
Tính  =……… x1 = ……
x2 =……
Vậy hai số cần tìm là……….
c) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 22 – 4.9 =…
Vậy có tồn tại hai số không ?………

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 22: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Phân số có dạng
Ví dụ:

a
trong đó a, b  N và b  0.
b

1
3
;
; 8...là các phân số.
5
14

- Phân thức đại số là biểu thức dạng
Ví dụ :

A( x )
, trong đó A,B là những đa thức và B(x)  0.
B( x)

3
x 2  2 xy 5a 2 b
;
;
... là các phân thức.
x y
7 xyz

x

- Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phân thức là tập các giá trị của biến làm cho
mẫu thức khác 0.
- Phân thức

A( x )
có ĐKXĐ là tập các giá trị của x sao cho B(x)  0.
B( x)

- ĐKXĐ của một phương trình là tập các giá trị của biến làm cho tất cả các mẫu trong
phương trình đều khác 0.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
3  2y2
b)
16 y 2  9

2x
a)
x5

Giải:
a) Phân thức

2x
có nghĩa khi x - 5  0 hay x  5
x5

3  2y2
có nghĩa khi 16 y2 - 9  0

2
16 y  9
hay ( 4y + 3) (4y – 3)  0
3
Suy ra y  
4

b) Phân thức

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a)

x
x4

x 1 x 1

b)

3
2x  1

x
x2 x2

Giải:
a) Ta thấy x - 1  0 khi x  1 và x + 1  0 khi x  -1. Vậy ĐKXĐ của phương trình
x
x4


là x  1.
x 1 x 1

b) Vì x- 2  0  x  2 nên ĐKXĐ của phương trình

Nguyễn Văn Lực

3
2x  1

 x là x  2
x2 x2