HH CHƯƠNG i tứ GIÁC

Lớp

FB: />
CHƯƠNG I. TỨ GIÁC

§ 1, 2, 3. Tứ giác – Hình thang – Hình thang cân

Bµi tËp 1: Cho tam giác ABC. Từ điểm O trong tam giác đó kẻ đ-ờng thẳng
song song với BC cắt cạnh AB ở M , cắt cạnh AC ở N.
a)Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b)Tìm điều kiện của ABC để tứ giác BMNC là hình thang cân?
c)Tìm điều kiện của ABC để tứ giác BMNC là hình thang vuông?
A

O

M

N

B

C

a/ Ta có MN // BC nên BMNC là hình thang.
b/ Để BMNC là hình thang cân thì hai góc ở đáy bằng nhau, khi đó:
B C
Hay ABC

cân tại A.

c/ Để BMNC là hình thang vuông thì có 1 góc bằng 900.
khi đó
hay

B 900

C 900
ABC vuông tại

B hoặc C.

Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD có AB //CD, O là giao điểm của AC và
BD. Chứng minh rằng OA= OB, OC=OD.
A

B

O
C
D

Nguyễn Văn Lực


Lp

FB: />
Ta có tam giác DBA CAB vì:
AB Chung, AD= BC, A  B
VËy DBA  CAB

Khi ®ã OAB cân
OA= OB,
Mà ta có AC=BD nên OC=OD.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N
sao cho BM=CN.
a) Tứ giác BMNC là hình gì ? vì sao?


b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A =400
A


0


a) ABC cân tại A B C 180 A

2

mà AB=AC ; BM=CN AM=AN
AMN cân tại A
=>

1
M 2



180  A
M 1  N1 

2






0

1
2

N



Suy ra B  M 1 do đó MN // BC




B

C

Tứ giác BMNC là hình thang, lại có B C nên là hình thang c©n.








b) B  C  700 , M1  N2 1100
Bài 4: Cho hình thang ABCD có O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD.
CMR: ABCD là hình thang cân nếu OA=OB.
Giải:
Xét AOB có:
OA=OB(gt)(*) ABC cân tại O

A1=B1 (1)




Mà B1 D1 ; nA1=C1(So le trong) (2)
Từ (1) và (2)=>D1=C1
=> ODC cân tại O => OD=OC(*)
Từ(*)và(*)=> AC=BD

Nguyn Vn Lc

=> ABCD là hình thang cân


Lớp

FB: />
§ 4. Đường trung bình của tam giác

Đường trung bỡnh ca hỡnh thang
I.Lý thuyết:
1.Định lí: Đ-ờng trung bình của tam giác
Định lí1: Đ-ờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song
với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Định nghĩa: Đ-ờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác.
II.Bài tập:
Bài tập 24: (sgk/80)
. Kẻ AP, CK, BQ
20
vuông góc với xy.
12
Hình thang ACQB
có: AC=CB;
CK // AP // BQ
nên PK=KQ.
CK là trung bình của hình thang APQB.
B

C

A

x

P

Q

K

CK= 1 (AP+BQ)=
2

1
(12+20)=16(cm)
2

Bài 21 (sgk/80)
Giải:
a)+Tứ giác BMNI là hình thang cân vì:
+ Theo hình vẽ ta có: MN là đ-ờng trung bình của tam giác ADC MN //
DC hay MN // BI(vì B, I, D, C thẳng hàng).

BMNI là hình thang .
+ABC(B=900); BN là trung tuyến BN=

AC
2

(1).

ADC có MI là đ-ờng trung bình(vì AM=MD ; DI=IC) MI=
(1)(2)có BN=MI(=

AC
2

AC

2

(2).

).

BMNI là hình thang cân.(hình thang có 2 ®-êng chÐo b»ng nhau).
b)ABD(B=900)cã  BAD=

580
2

=290.  ADB=900-290=610.

  MBD=610(vì BMD cân tại M).
Do đó NID = MBD=610(theo đ/n ht cân).
BMN= MNI=1800-610=1190.
Nguyn Vn Lc


Lớp

FB: />
Bµi 1 (bµi 38 sbt trang 64).
XÐt  ABC có
EA=EB và DA=DB nên ED là đ-ờng trung bình
ED//BC và ED=

1
2

A

E

BC

D
G
K

I

C

B

T-ơng tự ta có IK là đ-ờng trung bình cđa  BGC  IK//BC vµ IK=

1
2

BC

Tõ ED//BC vµ IK//BC  ED//IK
Tõ ED=

1
2

BC vµ IK=

1
2

BC  ED=IK

Bµi 2. (bµi 39 sbt trang 64)
Goi F là trung điểm của EC vì  BEC cã
MB=MC,FC=EF nªn MF//BE

A
E
D

F

B

C
M

 AMF

cã AD=DM ,DE//MF nªn AE=EF

Do AE=EF=FC nên AE=

1
2

EC

Bài 3. Cho ABC .Trên các cạnh AB, AC lấy D,E sao cho AD=
AC.DE cắt BC tại F.CMR: CF=

1
2

1
4

AB;AE=

BC.

Giải.
Gọi G là trung điểm AB
Ta có :AG=BG ,AE =CE
nên EG//BC vµ EG=

1
2

A
D

BC

G

(1)
B

Ta cã : AG=

1
2

AB , AD=

1
4

1
4

AB  DG= AB nên DG=DA

Ta có: DG=DA , EA=EG nên DE//CG(2)
Từ(1)và(2)ta có:EG//CF và CG//EF
nên EG=CF(3)
Từ(2)và(3) CF=

Nguyn Vn Lc

1
2

BC

E

F
C

1
2


Lp

FB: />
Bài 4. ABC vuông tại A có AB=8; BC=17. Vẽ vào trong ABC một tam giác
vuông cân DAB có cạnh huyền AB.Gọi E là trung điểm BC.Tính DE
Giải.
Kéo dài BD cắt AC tại F
B
17
E

8
D
1
A

C

2
F

Có: AC2=BC2-AB2=172- 82=225 AC=15
DAB vuông cân tại D nên A1 =450 A2 =450
ABF có AD là đ-ờng phân giác đồng thời là đ-ờng cao nên ABF cân tại A
do đó
FA=AB=8 FC=AC-FA=15-8=7
ABF cân tại A do đó đ-ờng cao AD ®ång thêi lµ ®-êng trung tuyÕn
 BD=FD
DE lµ ®-êng trung bình của BCF nên ED=

1
2

CF=3,5

Bài 5. Cho ABC .D là trung điểm của trung tuyến AM.Qua D vẽ đ-ờng thẳng
xy cắt 2 cạnh AB và AC.Gọi A',B',C' lần l-ợt là hình chiếu của A,B,C lên xy.
CMR:AA'=

BB ' CC '
2

Giải.
Gọi E là hình chiếu của M trên xy
A
C'
B'

A'

D

y

E

x
B

M

C

T có:BB'//CC'//ME(cùng vuông góc với xy)nên BB'C'C là hình thang.
Hình thang BB'C'C có MB=MC , ME//CC'
nên EB'=EC'.Vậy ME là đ-ờng trung bình cđa h×nh thang BB'C'C
BB '  CC '
(1)
 ME=
2
Ta cã: AA'D= MED(cạnh
BB ' CC '
Từ(1)và(2) AA'=
2

huyền-góc nhän)  AA'=ME(2)

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh

www.toantuyensinh.com
Nguyễn Văn Lực


Lớp

FB: />
§ 5. Dựng hình bằng thước và compa – Dng hỡnh thang
Đ 6. i xng trc

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB=AD, BC=CD(hình cái diều). Chứng minh
rằng điểm B đối xứng với điểm D qua đ-ờng thẳng AC.
B

O
C

A

D

Ta có AB=AD nên A thuộc đ-ờng trung trực của BD.
Mà BC=CD nên C thuộc đ-ờng trung trực của BD .
Vậy AC là trung trực của BC do đó B và D đối xứng qua AC
Bài 2. Cho ABC cân tại A, đ-ờng cao AH. Vẽ điểm I đối xứng víi H qua AB,
vÏ ®iĨm K ®èi xøng víi H qua AC. Các đ-ờng thẳng AI, AK cắt BC theo thứ tự
tại M, N. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua AH.
A

I

M

K

B

H

C

N

Xét tam giác AMB và ANC ta có AB=AC
B=C vì kề bù với B và C mà B=C.
A=A vì I và H đối xứng qua AB,
A=A vì H và K đối xứng qua AC, mà A=A vì ABC cân
Vậy A=A do đó AMB ANC (g.c.g)
AM=AN
Tam giác AMN cân tại A.
AH là trung trực của MN hay M và N đối xứng với nhau qua AH.

Nguyn Vn Lực


Lớp

FB: />
BTVN:
ˆ  600 , ®iĨm A n»m trong gãc ®ã. VÏ ®iĨm B ®èi xøng víi A qua Ox,

Cho xOy
®iĨm C ®èi xøng víi A qua Oy.
a. Chøng minh : OB=OC.
b. TÝnh gãc BOC.
c. Dùng M thuéc tia Ox, ®iĨm N thc tia Oy sao cho tam gi¸c AMN có chu vi
nhỏ nhất.

Đ 7. Hỡnh bỡnh hnh

Bài 1: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là
điểm dối xứng của điểm M qua G. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua
G.Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao ?
B

P
N
Q
C

M

A

Ta có M và P đối xứng qua G nên GP=GM.
N và Q đối xứng qua G nên GN=GQ
Mà hai đ-ờng chéo PM và QN cắt nhau tại G nên MNPQ là hình bình
hành.(dấu hiệu thứ 5).
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và
CD sao cho AE=CF. Lấy hai điểm M, N theo thø tù thuéc BC vµ AD sao cho
CM=AN. Chứng minh rằng :

a. MENF là hình bình hành.
b. Các đ-ờng thẳng AC, BD, MN, EF đồng quy.

Nguyn Vn Lực


Lp

FB: />
E

A

B
O

N

M

D

C

F

a/Xét tam giác AEN và CMF ta có
AE=CF, A=C , AN=CM
AEN=CMF(c.g.c)
Hay NE=FM

T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc EM=NF
Vậy MENF là hình bình hành.
b/ Ta có AC cắt BD tại O, O cách dều E, F. O cách đều MN nên Các đ-ờng
thẳng AC, BD, MN, EF đồng quy.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. E,F lần l-ợt là trung điểm của AB và CD.
a)Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b)C/m 3 đ-ờng thẳng AC, BD, EF đồng qui.
c)Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh tứ
giác EMFN là hình bình hành.

A

E
M

B

O

N
D

F

C

a/ Ta có EB// DF và EB=DF=1/2 AB
do đó DEBF là hình bình hành.
b/ Ta có DEBF là hình bình hành, gọi O là giao điểm của hai đ-ờng chéo, khi
đó O là trung điểm của BD.

Mặt khác ABCD là hình bình hành, hai đ-ờng chéo AC và BD cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đ-ờng.
Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của AC.
Vậy AC, BD và EF đồng quy tại O.
c/ Xét tam giác MOE và NOF ta có O=O
OE=OF, E=F(so le trong)
MOE=NOF(g.c.g)
ME=NF
Mà ME // NF
Vậy EMFN là hình bình hành.
Nguyn Vn Lực


Lp

FB: />
Bài 4: Cho ABC. Gọi M,N lần l-ợt là trung điểm của BC,AC. Gọi H là điểm
đối xứng của N qua M.Chứng minh tứ giác BNCH và ABHN là hình bình
hành.
A

N

M
B

C

H

Ta có H và N đối xứng qua M nên
HM=MN mà M là trung điểm của BC nên BM=MC.
Theo dấu hiệu thứ 5 ta có BNCH là hình bình hành.
Ta có AN=NC mà theo phần trên ta có NC=BH
Vậy AN=BH
Mặt khác ta có BH // NC nên AN // BH
Vậy ABHN là hình bình hành.

Nguyn Vn Lc
www.facebook.com/VanLuc168
Toỏn Tuyn Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyn Văn Lực


Lớp

FB: />
§ 8. Đối xứng tâm và luyện tập
§ 9. Hỡnh ch nht

Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần l-ợt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác ABCD cần điều kiện gì thì MNPQ là hình chữ nhật.
A
M

Q

B
D
N

P
C

Trong tam giác ABD có QM là đ-ờng trung bình nên QM // BD và
QM=1/2.BD
T-ơng tự trong tam giác BCD có PN là đ-ờng trung bình nên PN // BD vµ
PN=1/2.BD
VËy PN // QM vµ PN // QM
Hay MNPQ lµ hình bình hành.
Để MNPQ là hình chữ nhật thì AC và BD vuông góc với nhau vì khi đó hình
bình hành có 1 góc vuông.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đ-ờng chéo(không vuông
góc),I và K lần l-ợt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là
điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K.
a)C/m rằng tứ giác BMND là hình bình hành.
b)Với điều kiện nào của hai đ-ờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình
chữ nhật.
c)Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng.

Nguyn Văn Lực


Lp

FB: />
C

N

M

K

I

D

B

O

A

a/ Ta có OCND là hình bình hành vì có hai đ-ờng chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đ-ờng. Do đó OC // ND và OC=ND.
T-ơng tự ta có OCBM là hình bình hành nên OC // MB và OC=MB
Vậy MB // DN và MB=DN
Hay BMND là hình bình hành.
b/ Để BMND là hình chữ nhật thì
COB=900 hay CA và BD vuông góc.
c/ Ta có OCND là hình bình hành nên
NC // DO, Tứ giác BMND là hình bình hành nên MN // BD .
Mà qua N chỉ có một đ-ờng thẳng song song với BD do đó M, N, C thẳng
hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là
điểm đối xứng của điểm M qua B. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G.

a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao ?
b/ Nếu ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao?

A

N

M
G
Q
C

P
B

a/ Ta có MG=GP=1/3.BM
GQ=GN=1/3.CN.
Vậy MNPQ là hình bình hành.
b/ Tam giác ABC cân tại A nên BM=NC.
Khi đó QN=MP=2/3 BM=2/3 CN.
Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
Nguyn Vn Lực


Lp

FB: />
BTVN:
Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là điểm đối
xứng của điểm M qua B. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao ?
b) Nếu ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao?

ễN TP HèNH BèNH HNH HèNH CH NHT

I.Lý thuyết:
*Định nghĩa:
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
*Định lí:
+Trong hình bình hành:
a.Các cạnh đối bằng nhau.
b.Các góc đối bằng nhau.
c.Hai đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đ-ờng.
*Định nghĩa hình chữ nhật:
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. A=B=C=D=900
Tính chất hình chữ nhật:
Trong hình chữ nhật, hai đ-ờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đ-ờng.
II.Bài tập:
Bài 47 (sgk/93):
A

B
1

H

K

1

D

GT

KL

C
ABCD là hình bình hành
AH DB, CK DB
OH=OK
a)AHCK là hình bình hành.
b)A; O : C thẳng hàng

Chứng minh:
a)Theo đầu bài ta cã:
Nguyễn Văn Lực


Lớp

FB: />
AH  DB
CK  DB  AH // CK(1)
XÐt AHD và CKB có :
H=K=900
AD=CB(tính chất hình bình hµnh)
 D1=  B1(so le trong cđa AD // BC)

 AHD= CKB(cạnh huyền góc nhọn)
AH=CK(Hai cạnh t-ơng ứng)(2)

Từ(1),(2) AHCK là hình bình hành.
b)- O là trung điểm của HK mà AHCK là hình bình hành(Theo chứng minh
câu a).

O cũng là trung điểm của đ-ờng chéo AC(theo tính chất hình bình hành)
A; O ;C thẳng hàng.
Bài 48 (sgk/93):
GT Tứ giác ABCD
AE=EB ;
BF=FC
CG=GD ;
DH=HA

A

E

H

B

D

G

F

KL Tứ giác E FGH
là hình gì ?
Vì sao?

Chứng minh:
Theo đàu bài:
H ; E ; F ; G lần l-ợt là trung điểm của AD; AB; CB ; CD đoạn thẳng HE
là đ-ờng trung bình của ADB.
Đoạn thẳng FG là đ-ờng trung bình cđa
∆ DBC.
C

1
DB
2
1
GF= DB
2

 HE // DB vµ HE=
GF // DB và

HE // GF(// DB)và HE=GF
(=

DB
)
2

Tứ giác FEHG là hình bình hành.
Bài 64 (sgk/100):
Nguyn Vn Lc

Lớp

FB: />
B

A
E
H

F
G

D

C

Chøng minh:
Tứ giác EFGH có 3 góc vuông nên laø HCN
EFGH laø HBH(EF //= AC)
AC  BD , EF // AC
=>EF  BD, EH // BD =>EF  EH
Vaäy EFGH là HCN
Bµi 63 (sgk/100):
Ve õthêm

A

BH  DC ( H  DC )

=>Tứ giác ABHD

là HCN
=>AB=DH=10 cm
=>CH=DC-DH

B

10

13

x

D

15

C

=15-10=5 cm Vậy x=12

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Lớp

FB: />
§ 10. Đường thẳng song song với
một đường thẳng cho trc
Đ 11. Hỡnh thoi
Đ 12. Hỡnh vuụng
Bài tập:
Baứi taọp 84 (sgk/109):
a)Tứ giác AEDF là HBH (theo định nghóa)
b)Khi D là giao điểm của tia phân giác  với cạnh BC, thì AEDF là hình thoi.
c) ABC vuông tại A thì: hình bình hành AEDF là hình chữ nhật.
Bài 87 (sgk/110):
a)Tập hợp các HCN là tập hợp con của tập hợp các HBH, Hình thang.
b)Tập hợp các hình thoi là tập hợp con của tập hợp các HBH, Hình thang.
c)Giao của tập hợp các HCN và tập hợp các Hình thoi laứ taọp hụùp caực hỡnh
vuoõng.
Baứi 89 (sgk/110):
A

E

D

B

M

C

a. Tacó:DM=DE(gt)(1)mặt khắc DM là đ-ờng trung bình của ABC nên
DM//AC mà AC  AB  DM  AB(2)

Tõ(1)vµ(2)C E vµ M đ/x nhau qua AB.
b. Tứ giác AEMC là h.b.h vì;
1
2

DM= AC ; DM // AC(CM c©u a)
 EM=AC ; EM //AC(vì EM=2DM)

Vậy AEMC là h.b.h.
*AEBM là hình thoi vì.
AB và EM cắt nhau tại trung điểm mỗi đ-ờng và AB EM.
c. Chu vi của tứ giác AEBM là:
C=4 . BM=4 .

BC
2

C=2. BC=8 cm
d. Để AEBM là hình vuông thì AMB=900
Nguyễn Văn Lực


Lp

FB: />
AM BC mặt khác AM là trung tuyến.Vậy ABC phải là hình vuông cân

tại A
Ta có PQ là đ-ờng trung bình của BED => PQ=BD/2
T-ơng tù : MN=BD/2 ; NP=CE/2; MQ=CE/2 mµ BD=CE =>

PQ=MN=NP=MQ => MNPQ là hình thoi.
b. QPN = BAC(Góc có cạnh t-ơng ứng song song)
Gọi MP cắt AB tại R
=> ARM = QPM(đồng vị)
MNPQ là hình thoi => PM là phân giác=> QPM= QPN/2
=> ARM = QPM= QPN/2= BAC/2
Mặt khác AF là phân giác => BAF = BAC/2
Vậy ARM= BAF => AF//MR => MP//AF.
c. MNPQ là hình thoi => NQ ┴ MP
nh-ng AF//MP=>NQ┴AF tøc IK┴AF
∆AIK cã AF lµ đ-ờng cao, là phân giác =>AIK là tam giác cân.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, v BH AD, BK  DC. Biết rằng BH=BK,
chứng tỏ rằng ABCD là hình thoi.
H

A

B

D

K

C

Ta có: BH=BK, mà BH AD, BK DC. do đó B thuộc tia phân giác của góc
ADC , theo dÊu hiƯu nhËn biÕt h×nh thoi ta cã tứ giác ABCD là hình thoi.

Bài 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua M kẻ đ-ờng thẳng song song
với AC cắt AB ở P. Qua M kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt AC ở Q.

a/ Tứ giác APMQ là hình gì ? Vì sao ?
b/ ABC cần điều kiện gì thì APMQ là hình chữ nhật , hình thoi?
A

Q

P

B

M

a/ Theo đề bài ta có :
Nguyn Vn Lực

C


Lp

FB: />
AP // MQ, AQ // PM nên APMQ là hình bình hành.
b/ Ta có APMQ là hình bình hành, để APMQ là hình chữ nhật thì một góc
bằng 900, do đó tam giác ABC vuông tại A.
Để APQMQ là hình thoi thì PM=MQ hay tam giác ABC cân tạ A.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần l-ợt là trung điểm của AB, BC,
CD, DA.
a)Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b)Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?
M

B

A
Q

N

P

D

C

a/ Ta có MN // AC, MN=1/2. AC,
PQ // AC, PQ=1/2.AC,
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Ta có MNPQ là hình bình hành, để MNPQ là hình vuông thì MN=MQ, mà
MN=1/2 .AC, MQ=1/2. BD nên
AC=BD.
Khi đó MNPQ là hình thoi.
Để MNPQ là hình vuông thì góc M bằng 900, vậy AC BD.
Vậy để MNPQ là hình vuông thì AC=BD và AC BD.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đ-ờng chéo.Các đ-ờng
phân giác của bốn góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thø tù ë E,
F, G, H. Chøng minh EFGH là hình vuông.
A
G

E

O
B

D
G

F
C

Ta có BOE BOF
(cạnh huyền- góc nhọn)
nên OE=OF ta lại có OE OF nên tam giác EOF vuông cân tại O.
T-ơng tự ta có FOG, GOH , HOE vuông cân tại O.
Khi đó EFGH là hình vu«ng.
Nguyễn Văn Lực


Lp

FB: />
ễN TP CHNG I
Ôn tập ch-ơng I
Bài 1. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đ-ờng
thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB theo thứ tự ở E và F.
a/ Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b/ Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi.
c/ Nếu tam giác ABC vuông tại A thì ADEF là hình gì?Điểm D ở vị trí nào trên
cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông.

A

F

B

E

D

C

a/ Xét tứ giác AEDF ta có:
AE // FD, AF // DE
Vậy AEDF là hình bình hành(hai cặp cạnh đối song song với nhau).
b/ Ta có AEDF là hình bình hành, để AEDF là hình chữ nhật thì AD là phân
giác của góc FAE hai AD là phân giác của góc BAC.
Khi đó D là chân đ-ờng phân giác kẻ
từ A xuống cạnh BC.
c/ Nếu tam giác ABC vuông tại A thì A 900
Khi đó AEDF là hình chữ nhật.
Ta có AEDF là hình thoi khi D là chân đ-ờng phân giác kẻ từ A xuống BC, mà
AEDF là hình chữ nhật.
Kết hợp điều kiện phần b thì AEDF là hình vuông khi D là chân đ-ờng phân
giác kẻ từ A đến BC.

Nguyn Vn Lc


Lp

FB: />
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, ®iĨm D lµ trung ®iĨm cđa BC. Gäi M lµ
®iĨm ®èi xøng víi D qua AB, E lµ giao ®iĨm của DM và AB. Gọi N là điểm đối
xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a/ Tứ giác AEDF là hình gì?Vì sao?
b/ Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao?
c/ Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A.
d/ Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác AEDF là hình vuông.

B

E

D

M

A

F

C

N

a/ Xét tứ giác AEDF ta có: A E F 900
Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
b/ Xét tứ giác ADBM ta có:
BE MD, MD và BE cắt nhau tại E là trung điểm của mỗi đ-ờng.
Vậy ADBM là hình thoi.

T-ơng tự ta có ADCn là hình thoi.
c/ Theo b ta có tứ giác ADBM, ADCN là hình thoi nên AM// BD, AN // DC, mà
B, C, D thẳng hàng nên A, M, N thằng hàng.
Mặt khác ta có:
AN=DC. AM=DB, DC=DB
Nên AN=AM.
Vậy M và N đối xứng qua A.
d/ Ta có AEDF là hình chữ nhật.
Để AEDF là hình vuông thì AE=AF
Mà AE=1/2.AB, AF=1/2.AC
Khi đó AC=AB
Hay ABC là tam giác cân tại A.

Nguyn Văn Lực


Lp

FB: />
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, ®-êng cao AH. Gäi D lµ ®iĨm ®èi xøng
víi H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC.
a/ Chøng minh D ®èi xøng víi E qua A.
b/ Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c/ Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d/ Chứng minh rằng: BC=BD+CE.

B

H

D

C

A

E

a/ Ta có AB là trung trực của DH nên
DA= HA, hay tam giác DAH cân tại A.
Suy ra DAB BAH
T-ơng tự ta có AH=HE, EAC CAD
Khi đó ta cã:

DAH  HAE  2  BAH  HAC
2.900 1800

Vậy A, D, E thẳng hàng.
Và AD=AE(= AH)
Do ®ã D ®èi xøng víi E qua A.
b/XÐt tam giác DHE có AH=HE=AE nên tam giác DHE vuông tại H vì đ-ờng
trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện.
c/ Ta cã ADB  AHB  900 , AEC  900
Khi đó BDEC là hình thang vuông.
d/ Ta có BD=BH vì D và H đối xứng qua AB.
T-ơng tự ta có CH=CE.
Mà BC=CH+HB nên BC=BD+CE.

Nguyn Vn Lc

Lp

FB: />
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,
CD.
a/ Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh rằng các đ-ờng thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thø tù lµ M vµ N. Chóng minh
r»ng tứ giác EMFN là hình bình hành.
E

A

B
M
O
N

D

F

C

a/ Tứ giác DEBF là hình bình hành
vì EB // DF và EB=DF.
b/ Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có O là trung điểm của BD.
Theo a ta có DEBF là hình bình hành nên O là trung điểm của BD cũng là
trung điểm của EF.

Vậy AC, BD, EF cùng cắt nhau tại O.
c/ Tam giác ABD có các đ-ờng trung tuyến AO, DE cắt nhau tại M nên
OM=1/3.OA
T-ơng tự ta có ON=1/3.OC.
Mà OA=OC nên OM =ON.
Tứ giác EMFN có các đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ-ờng nên
là hình bình hành.
BTVN
Cho tam giác ABC vuông tại A, đ-ờng cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H
qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC.
a/ Chøng minh D ®èi xøng víi E qua A.
b/ Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c/ Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d/ Chứng minh r»ng: BC=BD+CE.

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực