Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm tích phân[Phương pháp tính- BKHCM]

I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :
Cho hàm y = f(x) và bảng số

Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

x

xo

x1

x2

...

xn

y

yo

y1

y2

...

yn

Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm
bằng đa thức nội suy Lagrange Ln(x)
Ta có

f / ( x ) ≈ L/n ( x )
f / / ( x ) ≈ L/n/ ( x )

1

1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút :
x
y

x0
y0

x1
y1

Công thức sai phân tiến :

h = x1- x0
y0 = f(x0)
y1 = f(x1) = f(x0+h)

f '( x0 ) ≈

Đa thức nội suy Lagrange
Ln ( x ) =

2

f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h

Công thức sai phân lùi :

( x − x0 )
( x − x1 )
y0 +
y
( x 0 − x1 )
( x1 − x 0 ) 1

f '( x1 ) ≈

( x − x0 )
( x − x1 )
=
y1 −
y0
h
h

y1 − y0
h

Đổi x1 bằng x0

Do đó với mọi x ∈ [x0, x1] ta có

y −y
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
f '( x ) ≈ 1 0 =
h
h

f '( x0 ) ≈
3

f ( x 0 ) − f ( x 0 − h)
h
4


Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Dùng công

2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều :

thức sai phân tiến, tính xấp xỉ f’(1.8) và sai số
với h = 0.1, 0.01, 0.001

x
y

giải
Ta có

f '(1.8) ≈

f (1.8 + h) − f (1.8)

h

f’(1.8)

∆

0.1

0.540672212

0.015

0.01

0.554018037

0.16x10-2

0.001

0.555401292

0.16x10-3

Ln (x) =

f’(1.8) = 0.555555555

=

f "( x ) ≈

( y2 − 2 y1 + y0 )

2h

2

( y2 − 2 y1 ) +

h = x2 - x1 = x1 - x0
y0 = f(x0)
y1 = f(x1) = f(x0+h)
y2 = f(x2) = f(x0+2h)

x2
y2

(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
(x − x1 )(x − x2 )
y0 +
y1 +
y
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 ) 2
(x − x0 )(x − x1 )
2h

2

y2 −

(x − x0 )(x − x2 )
2

h

y1 +

(x − x1 )(x − x2 )
2h2

y0

5

Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có
( x − x0 )

x1
y1

Đa thức nội suy Lagrange

h

f '( x ) ≈

x0
y0

( x − x1 )
2h

2

( y2 + y0 ) +

Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến
( x − x2 )
2h 2

( y0 − 2 y1 )

h2

f '( x 0 ) ≈

−3 f ( x0 ) + 4 f ( x0 + h) − f ( x0 + 2h)
2h

Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân
hướng tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)

Suy ra đạo hàm cấp 1
( − 3 y 0 + 4 y1 − y 2 )
2h
(y − y0 )

f '( x 1 ) ≈ 2
2h
( y − 4 y1 + 3 y 2 )
f '( x 2 ) ≈ 0
2h

6

f '( x 0 ) ≈

f '( x 0 ) ≈

7

f (x0 + h) − f (x0 − h)
2h

8


Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x – 2/x3.

Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi
thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)

a. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ
f’(3) và sai sốvới h = 0.1, 0.01, 0.001

f (x0 − 2h) − 4 f (x0 − h) + 3 f (x0 )
2h

f '( x 0 ) ≈

b. Tính xấp xỉ f”(3) và sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001

giải

đạo hàm cấp 2
f ''( x 1 ) ≈

f '(3) ≈

( y 2 − 2 y1 + y 0 )
h2

Thay x1 = x0 ta được
f ''( x 0 ) ≈

f (x0 + h) − 2 f (x0 ) + f (x0 − h)
h

2

f (3 + h ) − f (3 − h )
2h

f '( x ) =

1 6
+

x x4

f’(3)=0.407407407

h

f’(3)

∆

0.1

0.407805936

0.40*10-3

0.01

0.407411385

0.40*10-5

0.001

0.407407442

0.36*10-7

9

f ''(3) ≈

II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :

f (3 + h ) − 2 f (3) + f (3 − h )
h2

1 24
f "( x ) = − 2 − 5
x
x

10

Cho hàm f(x) xác đònh và khả tích trên [a,b].
Ta cần tính gần đúng tích phân :

f”(3) = -0.209876543

b

h

f’’(3)

∆

0.1

-0.210213236

0.34*10-3

0.01

-0.209879991

0.35*10-5

0.001

-0.209875600

0.95*10-6

I =

∫ f ( x ) dx
a

Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng
nhau với bước h = (b-a)/n
xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b
Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Lagrange
11

12


Đa thức Lagrange trong TH các điểm cách đều

n

L n ( x ) = q ( q − 1)...( q − n )∑

k =0

với q =

k =0

( − 1) n − k
y
k !( n − k )!( q − k ) k

(−1)n − k
q(q − 1)...(q − n)
với H k =
dq
∫
n k !(n − k )! 0
(q − k )
n

x−a
h

Công thức trên gọi là công thức Newton-cotes,
các hệ số Hk gọi là các hệ số cotes.

(−1)n − k q(q − 1)...(q − n)

I ≈ ∫ Ln ( x )dx =∑ ∫
yk dx
k !(n − k )!(q − k )
k =0 a
a
b

n

b

(−1)n − k q(q − 1)...(q − n) (b − a)
= ∑∫
dq yk
k !(n − k )!(q − k )
n
k =0 0
n

n

I ≈ I * = (b − a)∑ H k yk

n

Hệ số cotes có các tính chất sau :
n

∑H
k =0

=1

k

H n−k = H k

k = 0, n

13

1. Công thức hình thang :

Công thức sai số :
 Mn+1hn+2 n

∫ | q(q −1)...(q − n)| dq với n lẻ
 (n +1)! 0
∆ =| I − I *|≤ 
n+3 n
 Mn+2h
2
 (n + 2)! ∫ | q (q −1)...(q − n) | dq với n chẵn
0

Mn+1 = max | f
x∈[a,b]

(n+1)

14

(x)| và Mn+2 = max | f
x∈[a,b]

(n+2)

(x)|

Xét n = 1,
I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1)
1

H 0 = − ∫ (q − 1)dq =
0

Vậy

I≈

1
2

⇒ H1 = H 0 =

1
2

(b − a)
( y 0 + y1 )

2

Công thức sai số :
M2 h 3 1
M2 h3
∆≤
| q(q − 1) | dq =
2! ∫0
12
15

16


Công thức hình thang mở rộng :

Vậy

h
I ≈ [y0 + 2(y1 +...+ yn−1) + yn ]
2

Ta chia [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau
[x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn]. Áp dụng công
thức hình thang trên từng đoạn.
Ta có
I=

x1

x2

xn

x0

x1

xn−1

∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ... + ∫

Công thức sai số :

f ( x )dx

M2 h3
M2 h 2
∆≤n
= (b − a)
12
12

(x1 − x0 )
(x − x )
(x − x )
(y0 + y1) + 2 1 (y1 + y2 ) +...+ n n−1 (yn−1 + yn )
2
2
2

h
h
h
= (y0 + y1) + (y1 + y2 ) +...+ (yn−1 + yn )
2
2
2
=

17

2. Công thức Simpson :

Công thức sai số :

Xét n = 2,
I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2)

M4 h5 2 2
M4 h5
∆≤
| q (q − 1)(q − 2) | dq =
4! ∫0
90

Công thức Simpson mở rộng :

2

1

1
H 0 = ∫ (q − 1)(q − 2)dq =
40
6
1
H2 = H0 =
6
2
H 0 + H1 + H 2 = 1 ⇒ H1 =
3

Vậy

I≈

18

Điều kiện n phải chẵn
Ta chia [a,b] thành n=2m đoạn nhỏ bằng nhau
[x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn]. Áp dụng công
thức simpson trên m đoạn
[x0, x2], [x2, x4], ... , [xn-2, xn]

(b − a)
( y0 + 4 y1 + y2 )
6
19

20

Công thức sai số :

Ta có
I=

x2

x4

xn

x0

x2

xn−2

∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ... + ∫

5
M4 h 4
n M4 h
∆≤
= (b − a)
2 90
180

f ( x )dx

(x −x )
(x −x )
(x −x )
= 2 0 (y0 +4y1 +y2)+ 4 2 (y2 +4y3 +y4)+...+ n n−2 (yn−2 +4yn−1 +yn)
6
6
6
h
h
h
= (y0 +4y1 +y2)+ (y2 +4y3 +y4)+...+ (yn−2 +4yn−1 +yn)
3
3
3

Vậy

Ví dụ : Tính gần đúng tích phân
1
sin x
x
I = ∫ f ( x )dx với f ( x ) = 
0
1

x≠0
x=0

a. Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5

h
I ≈ (y0 + 4(y1 + y3 +...+ yn−1) +2(y2 + y4 +... + yn−2 ) + yn )
3

b. Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8

21

giải
a. Ta có h=0.2, chia đoạn [0,1] thành n = 5 đoạn
bằng nhau
x0 = 0 < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = 1

Công thức hình thang

22

b. Ta có h=0.25, chia đoạn [0,1] thành n=4 đoạn
bằng nhau
x0 = 0 < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = 1

Công thức Simpson

h
I ≈ [y0 + 4(y1 + y3)+ 2y2 + y4 ]
3

h
I ≈ [y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 ) + y5]
2

0.2
sin0.2 sin0.4 sin0.6 sin0.8 sin1
= [1+ 2(
+
+
+
)+
]
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1

=

0.25
sin0.25 sin0.75
sin0.5 sin1
[1+ 4(
+
)+ 2
+
]
3
0.25
0.75
0.5

1

= 0.946086934

= 0.945078781
23

24


b. h=0.125, chia đoạn [0,1] thành n=8 đoạn
bằng nhau

Ví dụ : Xét tích phân

a.Dùng công thức hình thang mở rộng
b.Dùng công thức Simpson mở rộng. Với n vừa
tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên

Công thức Simpson

h
I ≈ [y0 + 4(y1 + y3 + y5 + y7 )+ 2(y2 + y4 + y6 ) + y8]
3

giải

0.125
sin0.125 sin0.375 sin0.625 sin0.875
[1 + 4(

+
+
+
)
3
0.125
0.375
0.625
0.875
sin0.25 sin0.5 sin0.75 sin1
+2(
+
+
)+
]
0.25
0.5
0.75
1

f ( x ) = ln(2.7 x + 5.6)

=

⇒ f '( x ) =
f (3) ( x ) =

2 *2.73
(2.7 x + 5.6)3

f "( x ) = −

2.72
(2.7 x + 5.6)2

f (4) ( x ) = −

6 *2.74
(2.7 x + 5.6)4
26

b. Công thức sai số Simpson mở rộng

M2 h 2
2.72
, M2 = max | f "( x ) |=
12
5.62

∆ = ( b − a)

M4 h4
6 * 2.74
, M4 = max | f (4) ( x ) |=
180
5.64

6 * 2.74 1 4
∆=
( ) ≤ 10−5

4
180 * 5.6 n

2.72
1
∆=
( )2 ≤ 10−5
2
12 *5.6 n
2.72
⇒n≥
= 44.01
12 *5.62 *10 −5

2.7
2.7 x + 5.6

25

a. Công thức sai số hình thang mở rộng
∆ = (b − a)

0

xác đònh số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5

x0 = 0 < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5
x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1

= 0.94608331

1

I = ∫ ln(2.7 x + 5.6)dx

6 *2.74
⇒n≥
= 3.66
180 *5.6 4 *10 −5
4

Vậy n = 45

Vậy n = 4

Chia đoạn [0,1] thành n=4 đoạn bằng nhau
x0 = 0 < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = 1
27

28


Coâng thöùc Simpson

h
I ≈ [y0 + 4(y1 + y3)+ 2y2 + y4 ]
3

0.25
[ln5.6 + 4ln(2.7*0.25+ 5.6) + 4ln(2.7*0.75+ 5.6)

3
+2ln(2.7*0.5+ 5.6) + ln(2.7 + 5.6)]
=

= 1.932377388

29