Mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
I. Mặt cầu
1/ Định nghĩa
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là
mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O, R) hay {M/OM = R}.
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Cho mặt cầu S(O, R) và một điểm A bất kì, khi đó:
 Nếu OA=R⇔A∈S(O;R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là
hai bán kính sao cho OA−→−=−OB−→− thì đoạn thẳng AB gọi là 1 đường kính
của mặt cầu.
 Nếu OA < R ↔ A nằm trong mặt cầu.
 Nếu OA > R ↔ A nằm ngoài mặt cầu.
→Khối cầu S(O, R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O, R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu
đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) → d = OH.
 Nếu d < R ↔ mp(P) cắt mặt cầu S(O, R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên
mp(P)có tâm là H và bán kính r=HM=R2−d2−−−−−−−√=R2−OH2−−−−−−−−
−√ (hình a).
 Nếu d > R ↔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O, R) (hình b)
 Nếu d = R ↔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Lúc này, ta gọi mặt cầu S(O,
R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O,
R) là d(O. mp(P)) = R (hình c).


4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O, R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường
thẳng Δ và D = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi
đó:
 Nếu d > R ↔ Δ không cắt mặt cầu S(O, R).

 Nếu d < R ↔ Δ cắt mặt cầu S(O, R) tại hai điểm phân biệt.
 Nếu d = R ↔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều
kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O, R) thì:
 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O, R).
 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
 Tập hợpc các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O, R).
II. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1/ Các khái niệm cơ bản
″ Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa
giác đáy và vuông góc với
mặt phẳng chứa đa giác đáy.
→ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác
đó.
″ Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn
thẳng và vuông góc với
đoạn thẳng đó.
→ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng.
″ Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và


vuông góc với đoạn
thẳng đó.
→ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
″ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay
nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng
đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

″ Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

 Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
→Tâm là I, là trung điểm của AC’.
 Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
→ Bán kính: R=AC′2.
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3...An.A′1A′2A′3...A′n, trong đó có 2 đáy
A1A2A3...Anvà A′1A′2A′3...A′n nội tiếp đường tròn (O) và (O’). Lúc đó,
mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:


 Tâm: I với I’ là trung điểm của OO’.
 Bán kính: R = IA1 = IA2 = … = IA’n .
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

 Hình chóp S.ABC có SACˆ=SBCˆ=900.
+ Tâm: I là trung điểm của SC.
+ Bán kính: R=SC2=IA=IB=IC.
 Hình chóp S.ABCD có
SACˆ=SBCˆ=SDCˆ=900.
+ Tâm: I là trung điểm của SC.
+ Bán kính: R=SC2=IA=IB=IC=ID.
d/ Hình chóp đều.

Cho hình chóp đều S.ABC
 Gọi O là tâm của đáy → SO là trục của đáy.

 Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên,
chẳng hạn như mp(SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA


là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I → I là tâm của mặt cầu.
 Bán kính:
Ta có: ΔSMI∼ΔSOA⇒SMSO=SISA⇒. Bán kính
là: R=IS=SM.SASO=SA22SO=IA=IB=IC=...
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Cho hình chóp S.ABC…có cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC…) và đáy ABC… nội tiếp
được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC… được xác định như sau:
 Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với
mp(ABC..) tại O
 Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d
tại I.
→ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính R = IA = IB = IC = IS = …
 Tìm bán kính:
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét ΔMAI vuông tại M có:
R=AI=MI2+MA2−−−−−−−−−−√=AO2+(SA2)2−−−−−−−−−−−√.
f/ Hình chóp khác.
 Dựng trục Δ của đáy.
 Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
 (α) ∩Δ = I → I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp
đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
4/ Diện tích và thể tích mặt cầu
 Diện tích mặt cầu: SC=4πR2.
 Thể tích mặt cầu: VC=43πR3. 
TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh A,
SA⊥ (ABCD). Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Hãy tìm tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.


Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a.
Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ (ABC).
Biết rằng: AB = a√3 BC = a, SB tạo với mp(ABC) một góc 600. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của
khối cầu đó.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥ (ABCD,
SA = a, AC = a√2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện
tích và thể tích của mặt cầu đó.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều và SA⊥ (ABCD).
a/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b/ Gọi H, K, L là chân đường cao vẽ từ A trong các tam giác: ΔSAB, ΔSAC,

ΔSAD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, H, K L nằm trên một mặt cầu.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BACˆ=1200, SA ⊥ (ABC), SA =
2a. Định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C. Tìm diện tích và thể
tích khối cầu đó.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có mp(SBC) ⊥ mp(ABC) và SC = b, SA = SB = AB
= AC = a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện
tích và thể tích của nó.
Bài 10. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và O là tâm của mặt
phẳng đáy. Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 600. Gọi M là trung điểm của
cạnh CD và H là hình chiếu của O trên SM.
a/ Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD). Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tìm diện tích và
thể tích mặt cầu đó.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và ΔSAB là tam
giác đều. Mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD).
a/ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b/ Tìm góc giữa hai mp(SAB), mp(SCD).


c/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể
tích khối cầu đó.
Bài 12. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông tại A,AC =
a, ACBˆ=α và BC’ hợp với mặt phẳng (ACC’A’) một góc β.
a/ Tính thể tích lăng trụ đã cho.
b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Bài 13. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, bán kính
đường tròn ngoại tiếp một mặt bên là a.
a/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho.
b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Tính diện tích và thể
tích khối cầu đó.

Bài 14. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 10 cm và mỗi cạnh bên đều
bằng 15 cm. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm diện tích
và thể tích mặt cầu đó.
Bài 15. Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ
diện SABC, SA = a, SC = c. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đó.
Bài 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có 9 cạnh đều bằng nhau. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp đó và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp đó. Biết mỗi
cạnh có độ dài là 10 cm.
Bài 17. Cho tứ diện S.ABC có SA⊥mp(ABC),SA=a,AB=b,AC=c. Xác định tâm,
bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp
sau:
a/ BACˆ=900.
b/ BACˆ=600,b=c.
c/ BACˆ=1200,b=c.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và
cạnh bên bằng a√2. Một mặt cầu qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB, SC tại
trung điểm của mỗi cạnh.
a/ Chứng minh mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB, AC.
b/ Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài đoạn
thẳng AC, SDS.


Bài 19. Hình tứ diện ABCDcó cạnh bằng a có đường cao AH. Gọi O là trung điểm
AH. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Bài 20. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là
hình thang vuông tại A, B có AB = BC = a, AD = 2a. Gọi E là trung điểm của AD.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE. Tìm diện tích và
thể tích mặt cầu đó.

Bài 21. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh là a.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình
vuông ABCD và A’B’C’D’.
b/ Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
c/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm
trục và đường sinh AB.
Bài 22. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d
đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy một điểm S khác A ta được tứ
diện S.ABC.
a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện chóp S.ABC trong trường hợp
mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 300.
Bài 23. Cho hình lăng trụ có bán kính đáy bằng R. Thiết diện qua trục của hình trụ
là một hình vuông.
a/ Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ.
b/ Một mp(P) song song với trục của hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung
có độ dài bằng bán kính đáy hình trụ. Tính diện tích các thiết diện của hình trụ và
hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi cắt bởi mp(P).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABC có ΔABC đều cạnh a
và mp(SBC)⊥mp(ABC),SC=SB=a2–√
a/ Tính góc giữa mp(SAB), mp(SAC) và khoảng cách từ B đến mp(SAC).
b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho.
c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính diện tích và thể
tích khối cầu này.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Hai
mặt bên (SAD), (SAB) cùng vuông góc với mp(ABCD), SA = a. Gọi O là tâm của
hình chữ nhật.


a/ Tính thể tích hình chóp O.SCD.

b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích và
thể tích khối cầu đó.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông, đáy lớn AD = 2a,
đường cao AB = a, BC = a, SA ⊥ (ABCD), SA = a.
a/ Tính thể diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
b/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABD.
c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDM với M là trung điểm
AD.
d/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.
Nguồn: />