Bài tập nhị thức newton

Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN
A. Lý thuyết:
I.
TỔ HỢP:
1. Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần
tử
2.
Số tổ hợp n chập r là

nn  1(n  2)(n  3)...(n  r  1)
n!

1.2.3....r
r!(n  r )!

Cn 
r

3. Tính chất:
r
nr
a) C n  C n
b)
c)
d)
e)

II.

n 1

C  C 1 , C  C  n
C  C C
n  r 1
C  r C
C  C  C  ........  C  2
0

n

1

n

n

r

r

n
r 1

n

n 1

n 1

n

r

r 1

n

n 1

0

1

2

n

n

n

n

n

n

NHỊ THỨC NIUTƠN

ab  C a  C a
n

0

n

1

n

n 1

n

b  Cn a
2

n2

2

b

 ....... 

1 C b
n

n

n

(1)

n

Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1)
- Số hạng tử là n+1.
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến
n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(qui ước a0 = b0 = 1).
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng tử thứ k+1 la Tk+1= Cnk a n – k b k
Chú ý:
0
1
2
k
n 1
n
n
a = b = 1 ta có
2  C n  C n  C n  .....  C n  ...  C n  C n
0  Cn 

C C

0

a=1; b= -1 ta có

1

2

n

n

 ... 

1 C  ...  1 C
k

B. BÀI TẬP
Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton
Phương pháp:
Ta có :

a b

n

n

 Cn a
i 0

i

n i

i

b

Khi đó:
Trang 1

k

n

n

n
n


Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

Hệ số của số hạng tử thứ i là

Số hạng tử thứ i là
Ta có:

x



x



i

n i

C

i
n

i

Ca b
n

  C x   
n

n

i 0

i

n



n i

n

i
 ( n  i )  i
 i

C
x
n
x
i 0

Khi đó:
k
i
Hệ số của x là C n trong đó I là nghiệm của phương trình :  (n  i)  i  k
Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x
Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức

Trang 2

Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN

Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Bài 1: a) a  2b 5



5

=

k 0

C5k .(2b)k .a5k

= C50 .(2b)0 .a5 + C51.(2b)1.a 4 + … + C55.(2b)5.a0
= a 5 + 10ba 4 + 40b2a3 + 80b3a 2 + 80b4a + 32b5
Bài 2: Viết 3 số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển
3  2 x 8 = 5k 0 C5k .(3) k .(2 x)8k
Bài 3: Tính
a) S= C50  xC51  x 2C52  ...  x5C55
Ta có:

(1  x) 5  C50  xC 51  x 2 C52  ...  x 5C55
 (1  2) 5  C50  2C51  2 2 C52  ...  2 5 C55
 35  C50  2C51  2 2 C52  ...  2 5 C55
 S  35  243

C n1
Cnn
c) C = C +
+…+
n 1
2
0
n

 1  x  dx =  C
1

1

n

0

0

Vậy C =

0
n

 C x  ...  C x
1
n

n
n

n



1

2 n 1  1
(1  x) n 1
=
dx =
n 1
n 1 0

2 n 1  1
n 1

d) D = C n1 - 2 C n2 + … + (1)n1 . n. C nn

(1  x) ' = C
n

0
n

 Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3  ...   1 Cnn x n
n



-n (1  x) n1 =  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x2  ...   1n nCnn xn1
Chọn n (1  1)n1 = D  D = 0
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A = C21n  C23n  ...  C22nn1
B = C20n  C22n  ...  C22nn
Ta có A + B = C21n  C23n  ...  C22nn1 + C20n  C22n  ...  C22nn
= (1  1) n
= 2n
(1)

Trang 3


Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

và A - B = C21n  C23n  ...  C22nn1 - C20n  C22n  ...  C22nn 
= (1  1) n
=0
(2)
2 n 1
Từ (1) và (2), ta có A  B  2
Bài 5: Giải phương trình:

Cxx1  Cxx2  ...  Cxc9  Cxx10 = 1023 ( x  10)

= 1024
 Cx0  C1x  Cx2  ...  Cx9  C10
x



2x
x

= 210
= 10

Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Niu-tơn





15

Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển 3 3  2
Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
T k 1  C15k .(3 3)15k .( 2 )k
Theo giả thuyết T k 1  T 13  k+1 = 13  k = 12
Khi đó

12 3
T 13  C15

.( 3 )3.( 2 )12
= 87360.

Vậy T 13 = 87360
13

1 

Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển  z  3  , số hạng nào chứa z với mũ
z


số tự nhiên.
Giải
Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
1
z

T k 1  C13k .z13k .( 3 ) k
Theo giả thuyết T k 1  T 5 k+1 = 5 k = 4
Khi đó

1
z

z8
z

T 5  C134 .z 9 .( 3 ) 4 = 715. 3

z8
Vậy T 5 = 715. 3
z

1
z

Mặt khác, ta có: T k 1  C13k .z13k .( 3 ) k
 C .z
k
13

394 k
3

.(1)k

Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13)
4 k 3
 
39  4k

Trang 4


Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

k

k
 
k

k

0
3
6
9

+ Với k=0 T 1 = z13
+ Với k=3 T 4 = - C133 .z 9 = -286 z 9
+ Với k=6 T 7 = C136 .z 5 = 1716 z 5
+ Với k=9 T 10 = - C139 .z1 = -175 z
Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là
T 1 = z13 , T 3 = -286 z 9 , T 7 = 1716 z 5 , T 10 = -175 z
Bài 3: Viết lại P(x) = 1  x  + 2 1  x 2 + … + 20 1  x 20 dưới dạng
P(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a20 x 20 . Tìm a9
Giải
Ta có: P(x) = 1  x  + 2 1  x 2 + … + 20 1  x 20
0
1
= (1 + 2 C 20 + 3 C30 + … + 20 C 20
) + (1 + 2 C 21 + 3 C31 + … + 20 C 20
)x
+ (2 C22 + 3 C32 + … + 20 C202 ) x 2 + … + 20 C2020 x 20
9
 a9 = 9 C99 + 10 C109 + … + 20 C20

n

28
 3


Bài 4: Trong khai triển  x x  x 15  hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết:


n
n 1
C n + Cn + C nn  2 = 79

Giải Ta có C nn + Cnn 1 + Cnn  2 = 79
nn  1
= 79
2



1+n +



n 2 + n - 156 = 0
n  12
n  13  n = 12




 

Số hạng thứ k + 1 là T k 1  C . x x
k
8

3

nk

 28 
. x 15 



k

= Cnk .x  3 

4 n 16k
5

Số hạng không phụ thuộc biến


4n 16k

= 0  k = 5  C125 = 792
3

5
n


1 
Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển  x  4  có các hệ số là
2 x


3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển
trên.
Giải
Trang 5


Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:
Số hạng thứ nhất là : C 0n  1.
1
2

Số hạng thứ hai là : C 1n .  

n
.
2

nn  1
1
Số hạng thứ ba là : C .  
8
2
nn  1
Theo đề bài ta có : 1 
n
8
 n 2  9n  8  0
n  1
.

n

8

2

2
n

8 k

k

k
3
4 k
 1   1 1 

1
Với n = 8 ta có T k 1 = C . x 2  . x 4  =   .C8k .x 4 .
2
  2

3
4 k
3
16
 Xét x 4 để hữu tỷ thì 4  k  0  k  . Do k nguyên dương nên ta chọn k
4
3

k
8

= 6, 7, 8.
6
1
7
 1  6  2 
k = 6 ta được T 7 =   .C8 . x  
.
2

 16 x
16

k = 7 ta có T 8 =

x3 4 x

k = 8 ta cũng có T 9 =

.

1
.
256 x 2

k

1
 Xét   . C8k . Ta có :
2

k=0
k=1

T 1  x 4 (loại)
T 2  4 x 3 4 x (loại)

k=2

T 3  7 x 2 x (loại)

k= 3

T 4  7 x 4 x 3 (loại)

k=4

T5

35
x (nhận)
8
7
T 6  4 x (nhận)
4

k=5

n


1 
Vậy trong khai triển  x  4  khi ba số hạng đầu tiên liên tiếp lập thành cấp số
2 x

1
7
16
1
35
7
x, 4 x .
cộng thì ta có các hạng tử hữu tỷ là 4 ,
, 34 ,
,

2
4
8
2 x 16 x x x 256 x
200
Bài 7 : Tìm hệ số của x101 y 99 trong khai triển 2 x  3 y  .

Giải
Trang 6


Nhị thức NIU-TƠN

Nhóm

99
99
99
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T 100  C200
.2101. 3 .  C200
.299.3101 .

Bài 8 : Tính hệ số của x 5 y 8 trong khai triển x  y 13 .
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 9  C138  1287 .
Bài 9 : Tìm hệ số của x 9 trong khai triển 2  x 19
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có :
T 10  C199 .210. 19  C199 .210  94595072 .
Bài 10 : Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 3  2 x 15 .

Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 8  C157 .38. 27  C157 .38.2 7 .
Bài 11 : Tìm hệ số của x 25 y 10 trong khai triển x 3  xy  .
Giải
15 k
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T k 1  C15k .x 3  .xy k  C15k .x 452k . y k .
15

45  2k  25
.
k  10

Để tìm hệ số của x 25 y 10 thì 

10
Vậy hệ số của x 25 y 10 trong khai triển x 3  xy  là T 11  C15
 3003 .

15




1
4

n

Bài 12 : Biết hệ số của x n 2 trong khai triển  x   là 31. Tìm n
Giải

Hạng tử chứa x n 2 trong khai triển là hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề bài ta
2

có phương trình :

 1
C n2     31
 4
 nn  1  31.32

n  32
.ta nhận n = 32.
 n 2  n  992  0  
n  31
n

Vậy hệ số của x

n2

1

trong khai triển  x   là 31 thì n = 32.
4


Bài 13 : Biết hệ số x 2 trong khai triển 1 3x n là 90. Tìm n.
Giải
Theo đề bài ta có phương trình : C n2 .(3) 2  90  n 2  n  20  0
n  5

(loại n = -4)

n  4

Vậy hệ số x 2 trong khai triển 1 3x n là 90 thì n = 5.

Trang 7