Bài tập: Nhị thức Niu-tơn

Nguyễn Trung Bình_VTS
NHỊ THỨC NIU TƠN
1.Các kiến thức cần nhớ:
Với hai số thực a,b và n
N∈
ta có công thức:
( )
0 1 1 2 2 2
... ...
n
n n n k n k k n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
− − −
+ = + + + + + +
Các số
k
n
c
là các hệ số của nhò thức
-Số hạng tổng quát của khai triển , kí hiệu có dạng,
1
n k n k k
k n
T C a b
− −
+
=
-Các hệ số của nhò thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau:
n k k
n n

C C
−
=
-
0 1 2
... ... 2
k n
n
n n n n n
C C C C C
+ + + + + + =
-Tổng các hệ số hệ số của nhò tức nằm ở các vò trí chẳn,bẳng tổng các hệ số nhò thức ở các vò trí lẻ
va øbằng
1
2
n−
0 2 4 1 3 5
... ...
n n n n n n
C C C C C C
+ + + = + + +
=
1
2
n−
*
( )
1
n
x

+ =
0 1 2 2
... ...
k k n n
n n n n n
C C x C x C x C x
+ + + + + +
*
( )
1
n
x
− =
( ) ( )
0 1 2 2
... 1 ... 1
k n
k k n n
n n n n n
C C x C x C x C x− + − + − + + −
Bài tập:
1.Cho
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
Trong khai triển nhò thức

28
3
15
n
x x x
−
 
+
 ÷
 
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x.
2.Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x trong khai triển nhò thức Niutơn của
7
4
1

n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
+ + +

+ + + = −
n
n n n
C C C
3.Tìm hệ số của
4
x trong khai triển biểu thức
( )
2
1 3
n
A x x= − −
thành đa thức. Trong đó n là số
nguyên dương thỏa mãn:
( )
2 2 2 2 2
2 3 4 1
2 ... 3
n n
C C C C A
+
+ + + + =
Quy tắc tổng quát :Tổng các hệ số trong biểu diễn chính tắc của đa thức f(x) chính là f(1)
Cho
( )
100
1 2 100
0 1 2 100
2 ...x a a x a x a x− = + + + +
a)Tính

97
a
b)
0 1 2 100
...S a a a a= + + + +
c)M=
1 2 100
1. 2. ... 100.a a a+ + +
4.Đặt
( )
( )
12
2 12
0 1 2 12
1 2 ...f x x a a x a x a x= + = + + + +
Hãy tìm
1 2 12
max( , ,...,a a a
)
2
Nguyễn Trung Bình_VTS
5.Giả sử
10
2 10
0 1 2 10
1 2
...
3 3
x a a x a x a x
 

+ = + + + +
 ÷
 
Hãy tìm
1 2 10
max( , ,...,a a a
)
6.Chứng minh rằng :
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
, 0 k 2000
k k
C C C C
+
+ ≤ + ∀ ≤ ≤
7.Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2
. , 0,
n n n
n k n k n
C C C k n
− +
≤ ∀ =
8.Chứng minh rằng :
1
0 1
1 1 2 1
...

2 1 1
n
n n
C C
n n
+
−
+ + + =
+ +
9.Chứng minh rằng:
1 2 1
2 ... 2
n n
n n n
C C nC n
−
+ + + =
10.Chứng minh rằng:
( )
1 2
2 ... 1 0
n
n
n n n
C C nC− + + − =
11.k và n là hai số tự nhiên sao cho
4 k n≤ ≤
chứng minh rằng :
1 2 3 4
4

4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
12.Chưng minh đẳng thức :
( ) ( )
2 3 4 2
2.1. 3.2 4.3 .. 1 1 2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −
13.
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
...
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−

+ + + + =
+
14.Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhò Niu tơn của (2+x)
n
biết:
( )
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ... 1 2048
n
n n n n n
n n n n n
C C C C C
− − −
− + − + + − =
15. Chứng minh rằng :
0 1 2 2000 2000
2000 2000 2000 2000
2 3 ... 2001 1001.2C C C C+ + + + =
16.Chứng minh rằng :
( )
( ) ( )
0 1 2
1
1 1 1 1
...
2 4 6 2 1 2 1
n
n

n n n n
C C C C
n n
−
− + + =
+ +
17.Chứng minh rằng:
1
1 1
...
k k k k
k k k m k m
C C C C
+
+ + − +
+ + + =
.Từ đó suy ra đẳng thức sau:
0 1 2 1 1
1 2 1
...
m m
k k k k m k m
C C C C C
− −
+ + + − +
+ + + + =
18.Xác đònh số lớn nhất trong các số:
0 1 2
, , ,..., ,...,
k n

n n n n n
C C C C C
19.
( )
0 2 1 3 2 2n 2n 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n
C 3 C 3 C ... 3 C 2 2 1
−
+ + + + = +
20.
n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 4 n n 1
n n n n
2 C 2 C 3.2 C 4.2 ... nC n.3
− − − − −
+ + + + + =
21.
( ) ( )
n 1
n 1 0 n 2 1 n 1 1 2 n 1 n
n n n n n n
n.4 C n 1 4 C ... 1 C C 4C ...n.2 C
−
− − − −
− − + − = + +
22.
( )
0 2 2 4 2 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
3 3 ... 3 2 2 1+ + + + = −C C C C
2