Chuyên đề đạo hàm Nguyễn Bảo Vương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V.
ĐẠO HÀM –
TẬP 1.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 hoặc Liên hệ qua
Facebook: />Website: />Email:
Page Facebook: />
ALBA – CHƯ SÊ- GIA LAI


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
TẬP 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC
PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Mục Lục
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM .................................................................................................................................... 2
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa .................................................................................................. 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP .................................................................................................................. 4
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ................................................................................................................... 8
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức .................................................................................................... 8
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................ 11
Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn ........................................................................................... 24
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................ 25
Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân ..................................................................................................... 27
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................ 29

ĐẠO HÀM TỔNG HỢP .................................................................................................................................. 33

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm tại một điểm
Hàm số y f ( x) liên tục trên ( a; b) , được gọi là có đạo hàm tại x0
hạn): lim
x

f ( x)

f ( x0 )

x

x0

x0

( a; b) nếu giới hạn sau tồn tại (hữu

và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .Ta kí hiệu

f '( x0 ) .
Vậy f '( x0 )

lim

x

f ( x)

f ( x0 )

x

x0

x0

2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f ( x) f ( x0 )
.
f '( x0 ) lim
x x0
x x0

f '( x0 )

Hệ quả : Hàm f ( x) có đạo hàm tại x0

lim
x

f ( x)

x0

x

f ( x0 )
x0

.

f ( x0 ) và f '( x0 ) đồng thời f '( x0 )

f '( x0 ) .

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a; b) .
Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a; b)
đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b ) và đạo hàm phải f '(a ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ( x) liên tục tại x0 .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không
có đạo hàm tại x0 .

x liên tục tại x

Chẳng hạn: Xét hàm f ( x)

Vì lim
x

f ( x)

0

f (0)

1 , còn lim

x

x

0

f ( x)

f (0)
x

0 nhưng không liên tục tại điểm đó.
1.

Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp:

f '( x0 )

f '( x0 )
f '( x0 )

f ( x)

lim

x

x

x0

lim
x

x0

lim
x

x0

f ( x)
x
f ( x)
x

f ( x0 )
x0

f ( x0 )
x0
f ( x0 )
x0

Hàm số y

f ( x) có đạo hàm tại điểm x

x0

f '( x0 )

f '( x0 )

Hàm số y

f ( x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

2


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:
1. f ( x)

2x

x3

3

1 tại x

x2 1 1
khi x
x
khi x 0

3. f ( x)

2

0

x2

2. f ( x)

1 tại x

0 tại x

0

1

Lời giải.
1. Ta có lim
x

2

f ( x) f (2)
x 2

2. Ta có : f '(1)

lim
x 1

lim
x 1

x

lim 2( x2
x

( x 1)( x2
x

1

f ( x)

0

2

2)
f (0)

x

2x

2

f ( x) f (1)
x2 1
lim
x 1
x 1
x 1
( x 1)( x 1)
1

0 , do đó: lim

3. Ta có f (0)
Vậy f '(0)

2 x3 16
2 x 2

lim

lim

24

24 .

f '(2)

2
.

x3

x2

0

x

4)

x

1 1

2

x

0

1

x

lim
x

3

x

2

1

1

1
2

1
.
2
2x2

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f ( x)

x

1

x 1

liên tục tại x

1 nhưng không có đạo hàm tại

điểm đó.
Lời giải.
Vì hàm f ( x) xác định tại x

f ( x) f ( 1)
x 1
1
x
f ( x) f ( 1)
lim
x 1
1
x

Ta có: f '( 1 )

lim

f '( 1 )

f '( 1 )

1 nên nó liên tục tại đó.

f '( 1 )

Lời giải.
Để hàm số có đạo hàm tại x
x 1

x2 1
1 x 1

lim
x

x

1

2x
x 1

lim 2
x

1

2

1

f ( x) không có đạo hàm tại x

Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f x

Hay lim f ( x)

lim

2

1.

x2 1
khi x 1
có đạo hàm tại x
x 1
a
khi x 1

1

1 thì trước hết f ( x) phải liên tục tại x

1

f (1)

a.

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

x2 1
2
lim x 1
x 1
x 1

f ( x) f (1)
x 1
2 là giá trị cần tìm.

Khi đó, ta có: lim
x 1

Vậy a

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

1.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
Câu 1. f ( x) 2x 1 tại x0 1
A.2
Bài làm 1. Ta có: f '( x0 )
Câu 2. f ( x)

x 1
tại x0
x 1

A. 2
Bài làm 2 . f '( x0 )

x2

Câu 3. f ( x)

B.2

C.3

D.4

2

x 1 tại điểm x0

lim
x

x2

2

sin2 x tại x

2

5
7

(x

lim
x

2

(x

x3
Câu 5. f ( x)

1

x

5
2 7

7)

2

2x2 x
x 1

C.2

1 1

khi x

khi x

1
3

B.

x 1

3)

D.3

0

0

Bài làm 5. lim

D. 41

3

2)( x

2)( x2

B.1

Bài làm 4. f '( )
2

8

C.

2 7

x 1
x 2

A. 0

Vậy f '(1)

D.5

B.

Bài làm 3. f '(2)

A.

C.4

2

A. 2

Câu 4. f ( x)

B.3

2

f ( x) f (1)
x 1

lim
x 1

1 tại điểm x
0

1

1
5
x3

1.

C.

2 x2

x

1 1

( x 1)2

1
2

D.

x

lim
x 1

x

3

2x

2

x

1

1

1
4

1
2

1
.
2

Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

4


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

sin 2x tại x0

Câu 1. f ( x)

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

2

A. 1

B. 2

Bài làm 1. Ta có: f ( x)

f ( x)
lim
x

x

2

Vậy f '

f( )
2

x

2

2

.sin x

2 cos x

2

2

D. 4

sin x

2

2

2

1.

Câu 2. f ( x)

tan x tại x

4

A. 2

f ( x)
Suy ra lim
4

4

x

f

tan x tan

4

(1

f( )
4

1 tan x .tan x

4

tan x) tan x

4

lim
x

x

4

4

D. 31

4

2

4

2.

x 2 sin

Câu 3. f ( x)

0

1
khi x 0
tại x
x
khi x 0

A. 0

B.

Bài làm 3. Ta có: lim
x

Vậy f '(0)

C. 5

B. 4

Bài làm 2. Ta có f ( x)

Vậy f '

2

2 lim
x

2

x

sin 2 x sin

cos x

f( )
2

C. 3

f ( x)

1
2

f (0)

2
3

D. 7

C. 5

D.6

C.

lim x sin

x

0

0.

x

0

1
x

0

0.

Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra
Câu 1. f ( x)

x3 tại x0

1
B. 3

A. 4
Bài làm 1. Ta có: f ( x)
Suy ra: lim
x 1

Vậy f '(1)

f ( x) f (1)
x 1
3.

f (1)

lim x2
x 1

3

1

x

1

x

( x 1)( x

2

x

1)

3

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

2x
Câu 2. f ( x)

x

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

3

3

khi x
2

2x 7 x
x 1

4

A. 0

lim f ( x)

lim

x 1

x 1

x3

x 1

4

sin 2 x
x
x x2

lim f ( x)

lim x

x

x

x

f (0)

khi x

0

khi x

0

lim
x

x2

x

tại x0

sin 2 x

0

C.3

sin x
x

x2

x

x

1

x

0

sin x
.sin x
x

0

0

1.
x2

x

1

tại x0

x

f ( x) f ( 1)
x 1

lim

lim

D.5

1

x

0

1.

A.2
B.0
Bài làm 4. Ta có hàm số liên tục tại x0

1

1 nên hàm số không có đạo hàm tại x0

1 và

x2

0

x

Câu 4. f ( x)

x

0

0

0 nên hàm số liên tục tại x

lim

x

Nên lim

3x 4)

2

0

lim

f (0)

Vậy f '(0)

lim ( x2

0

x

0

D. Đáp án khác

5

B.2
x

f ( x)

3

hàm số không liên tục tại x

Bài làm 3. Ta có lim f ( x)

lim

C. 5

x 1

A.1

0

1.

x 1

Câu 3. f ( x)

x

tại x0

x 1

2x2 7 x
x 1
lim f ( x)

Dẫn tới lim f ( x)

f ( x)

1

lim 2x

x 1

lim

khi x
B. 4

Bài làm 2. Ta có lim f ( x)

0

1

x

2

x

x

x( x

1)

f ( x) f ( 1)
x 1

f ( x) f ( 1)
x 1

x

x

1

D.đáp án khác

1 và

1

lim

lim

C.3

1

x2 2 x 1
x( x 1)

x2 1
x( x 1)

0

2

f ( x) f ( 1)
f ( x) f ( 1)
lim
x 1
x 1
1
1
x
x
1.
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0
Do đó lim

Nhận xét: Hàm số y

f ( x) có đạo hàm tại x

x0 thì phải liên tục tại điểm đó.

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

6

1.


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

Bài 4
Câu 1. Tìm a , b để hàm số f ( x)

a
b

A.

23
1

B.

a
b

3

C.

11

x)

2 ; lim f ( x)

1 thì hàm liên tục tại x

lim

x

A. a 10, b 11
Bài làm 2. Ta thấy với x

x

Khi đó: f '(0 )

lim
x

f '(0 )
Vậy a

0, b

f ( x)

x2
2x

1

a

3
1

b

2 (1)

b

1
2

khi x
ax

b khi x

0
0

2 a)

có đạo hàm trên

f ( x) liên tục tại x

b

a

f (0)

0; f '(0 )

x

lim
x

.

0

b

1.

f ( x)

f (0)
x

0

a

0.

1 là những giá trị cần tìm.

Câu 3. Tìm a , b để hàm số f ( x)
A. a

a

a
b

0

0

f '(0 )

b)

D.

B. a 0, b
C. a 0, b 1
D. a 20, b 1
1
khi và chỉ
0 thì f ( x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên

khi hàm có đạo hàm tại x 0 .
Ta có: lim f ( x) 1; lim f ( x)
0

33
31

2

Câu 2. Tìm a,b để hàm số f ( x)

x

1.

x 1

x 2
lim ( x 2) 3
x 1
x 1

x 1
ax b 2
ax a
lim
lim
a (Do b
x 1
x 1
x 1 x 1
a 3
Hàm có đạo hàm tại x 1
.
b
1
lim

a
b

lim (ax

x 1

x 1

Hàm có đạo hàm tại x

f ( x) f (1)
x 1
x 1

f ( x) f (1)
lim
x 1
x 1

x khi x 1
có đạo hàm tại x
b khi x 1

lim ( x2

Bài làm 1. Ta có: lim f ( x)
x 1

x2
ax

11, b

11

Bài làm 3. Ta có lim f ( x)
x

0

x2 1
khi x
x 1
ax b khi x

B. a

1

10, b

có đạo hàm tại điểm x

0.

0

10

f (0); lim f ( x)
x

0

C. a

12, b

12

D. a

1, b

1

b

0

Hàm số liên tục tại x 0 b 1
f ( x) f (0)
f ( x) f (0)
x 1
lim
lim
1 , lim
x
x
x 0
x 0
x 0 x 1
1
Hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 a
1, b 1 là giá trị cần tìm.
Vậy a

lim a
x

a

0

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Quy tắc tính đạo hàm
1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

(u1

u2

(uvw)'
u( x)
v( x)

'

u1'

... un )'

u ' vw

uv ' w

u'2

... un'

uvw '

( k.u( x))'
(un ( x))'

nun 1 (x).u '(x)

c
'
u( x)

c.u '( x)

u '( x)v( x) v '( x)u( x)
2

v ( x)
1.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y f (u( x)) f (u) với u

k.u '(x)

u2 ( x )

.

u( x) . Khi đó y 'x

y 'u .u 'x .

2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
Đạo hàm

(c)'
( x)'

( x )'
x '
n

Hàm hợp

0
1

x '

1

x

u '

1

u '

2 x
1
n

n

n 1

u '

1

u

.u '

u'
2 u
u'
n

n x
(sin x)' cos x

n un 1
(sin u)' u '.cos u

(cos x)'

(cos u)'

(tan x)'

(cot x)'

sin x
1
2

cos x
1

sin 2 x

tan u '

cot u '

u 'sin u
u'
cos2 u
u'

sin 2 u

Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. y

x3

3x 2

2x

1

2. y

4

3. y
5. y

x
x2
4
2x 1
x 3

1

4. y
6. y

x3

3x

1

3 2
x
2
x2 2 x 2
x 1
2 x4

1

Lời giải.

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

8


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

1. Ta có: y '

x3

3x

1

2. Ta có: y '

x3

3x

1

x2

(2 x

5. Ta có: y '

3x 2

'

x3

3

'

8x3

1

2x

(2 x

1)

1) ( x 2

2)( x

(x

1)

2x

3. f ( x)

x2

x

x2

1

2)( x

2)

x2

b
ta có: y '
d

x

1)'
2x

x

1

4
2

ad bc
(cx

d) 2

.

.

0 biết:

Ví dụ 2. Giải bất phương trình f '( x)

x2

2x

2

2

ax
cx

Nhận xét: Với hàm số y

7
( x 3)2

1) ( x2

2)'( x

1)

2

(x

x 4

3x

1)'( x 3) ( x 3)'(2 x

( x2

1. f ( x)

2

2x

( x 3)

6. Ta có: y '

6x

3x 2

1
3 2
x
2

2x4

4. Ta có: y '

'

'

x4
4

3. Ta có: y '

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

1

2. f ( x)

x 2 x2

12

4. f ( x)

4

x

x2

1

Lời giải.
1. TXĐ: D

2; 2

Ta có: f '( x)

4

x2

x2

4
Do đó: f '( x)

4 2 x2

0

2 x2

4
x2

4

x2

0

2

x

12

2x

2.

2. TXĐ: D
Ta có: f '( x)

x
Suy ra: f '( x)
Với x
Với x

x2

2x

1

2

12

x2

0

x

12

12

2x (1)

0 thì (1) luôn đúng
x 0
0 thì (1)
x2 12

Vậy bất phương trình f '( x)

2

0

4 x2

x

0 có nghiệm x

2
2.

3. TXĐ: D
Ta có: f '( x)

2x 1

2 x2

x

2x
1

2 x2

1
x

1

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Suy ra f '( x)

0

(1 2 x)(1

1 2x

2 x)

1
2

x

(1 2 x)

2

4. TXĐ: D

1
2
(1

1

2x

3
4

x
2 x)

1

x2

1 2x

2

1
2

x

2

x

1

3
4

0.

2

x

1

2

0

x x

4

x2

1 bất phương trình này vô nghiệm

1)

3

.

4

2 (x

x2

x

0; 

Ta có: f '( x)

f '( x)

x2

0
2

1
2

(1 2 x)2 x

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

2 x

( x2

1)3

x6

( x2

1)3

Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y

2 x2

3. y

2 sin2 (2x 1)

5. y

3

3x

1

sin(tan x)

cos x

2. y

5

4. y

tan(sin2 3x)

2x2

1

3x

2

cot 2 (1 2 x3 )

3

cos(cot x)

Lời giải.
1. Ta có: y '

(2 x2

3x

2 2 x2

1)'

4x
2 2 x2

3x 1
1

2. Ta có y '
5

5. ( 2 x

2

1

3x

2)

1
5

5. ( 2 x

3. Ta có: y '

2

1

(2 sin 2 (2 x 1)

2)

4 x sin(4x

4 2 x sin (2x 1)
[1

( 2 x2

1

3x

2)'

4

4

2x

3) .

2 x2

cos x

2) sin x

2

4. Ta có: y '

1

cos x )'

2 2 sin 2 (2 x 1)

.

3x

(
3x

3

1

2 sin(4 x 2)

1
2 x

2 2 sin 2 (2 x 1)

cos x

.

x cos x

tan 2 (sin 2 3x)](sin 2 3x)'

[cot 2 (1 2 x3 )
2

3]'

3

2 cot (1 2 x )
3[1

tan 2 (sin 2 3x)]sin 6 x

sin x

2

2

3

3

6 x [1 cot (1 2 x )]cot(1 2 x3 )
cot 2 (1 2 x3 )

.

3

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

10


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

[sin(tan x)

5. Ta có: y '

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

cos(cot x)]'
cos(cot x)]2

3 [sin(tan x)

tan 2 x)cos(tan x)

(1

(1 cot 2 x)sin(cot x)
cos(cot x)]2

3 [sin(tan x)

.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau :

x 2 3x
2x 2

1. f ( x)

1 khi x 1
khi x 1

x 2 cos

2. f ( x)

0

1
khi x 0
2x
khi x 0

Lời giải.
1. Với x

1

x2

f ( x)

3x

Với x

1

Với x

1 ta có: lim f ( x)

f ( x)

2x

2

1

f '( x)

f '(x)
lim x2

x 1

2x

3

2
3x

1

hàm số không liên tục tại x

1

f (1)

1
2x

1
1
cos
2
2x

0

f '(0)

1 , suy ra hàm

x 1

số không có đạo hàm tại x 1
2 x 3 khi x 1
Vậy f '( x)
.
2
khi x 1
2. Với x
Với x

0

0 ta có: lim

f '(x )

2x cos

lim x cos

x

x

0

1
2x

0

1
1
cos
khi x 0
.
2
2x
khi x 0

2x

Vậy f '( x)

f ( x)

0

x

1
2x
f (0)

x2 cos

f ( x)

0

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y
A. y '

x4

3x 2
4x

3

2x 1

6x

4 x3

Bài làm 1. Ta có: y '

Câu 2. y
A. y '

x3
3

2x2
2 x2

Bài làm 2. Ta có y '

B. y '

3

6x

4 x4

6x

C. y '

2

4 x3

3x

2

D. y '

4 x3

6x

2

D. y '

x2

4x

1

2

x 1
4x

1
x2

B. y '

4x

3x 2

4x

1

C. y '

1 2
x
3

4x

1

1

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

2x 1
x 2
3

Câu 3. y
A.

x

2

B.

2

(2x

Bài làm 3. Ta có y '

x2

Câu 4. y
A.

x2

ax
cx

B.

2

A.
C.

3

C.

2

x

2) ( x

2)'(2 x

1)

2

(x

2)

x2

2x

2

2

D.

2

x

2

2

3
(x

(2 x 1)( x 1) ( x
( x 1)

b
, ac
d

2)2

B.

x

1)

2

x

2

1

2x

D.

2

x 1

2
2

2x

( x 1)2

ad bc
d

ad cb

a
c

b
d

d) 2

(cx

(cx

C.

2

2ab ' x
(a ' x

Bài làm 6. Ta có: y '

(a ' x

(2ax

B.
D.

b ') a '(ax 2

b)( a ' x

(a ' x
b ')

d

D.

2

ad bc
cx d

0.

2

2ab ' x

bc

d) 2

bb ' a ' c

b ')

ad
cx

2ab ' x bb ' a ' c
( a ' x b ')

aa ' x2

2x

x

2

cx

ax2 bx c
, aa '
a' x b'

aa ' x2

x2

0

a
c

aa ' x2

C.

2

x 1

Bài làm 5. Ta có y '

Câu 6. y

x

1)'( x

2x

Bài làm 4. Ta có y '

Câu 5. y

3

x 1
x 1

x 1

A.

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

bb ' a ' c
2

b ')

bx

aa ' x2

2ab ' x
(a ' x

aa ' x2

bb ' a ' c

b ')2

2ab ' x bb ' a ' c
(a ' x

b ')2

c)

2

.

Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau

Câu 1. y

x x2

1

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

12


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

A.

2 x2
2 x

1

2

1

x

x2

x ' x2

x2

12
5

x2
2x

2

1

x2

1

x2

1 'x

1

(x

2

D.

2x2

1

2

1

1

2

x

1)'

2 x2

.x

1

.

2x

1

3x

5)2

(2 x

4

2

(2 x 2)( x2

12(2 x

5)

(2 x

2x2

5)

6x

5

2x

5

3

12

4

5)3

(2 x

2

C.

4

1

2

1)

2x2

6x

x2

1) 2 x( x 2
(x

B.

2 tan x

sin2 (3x

A. 3sin(6x

2x

2)

2

2x2
(x

1

6x
2

2

D.

2

2x2

6x

x2

1

2
2

2

1)

2

(3x

1) x2

x

2 3x

2 tan x)'

2 3x

2 tan x

C.

2 tan x
2

3

2(1 tan x)

2 3x

B. sin(6x

2)

5x

5 2 tan 2 x

2 tan x

2 tan 2 x

5
2 3x

2 tan x

D.

5 2 tan 2 x
2 3x

2 tan x

2

5

2 tan x

2 3x

2 tan x

1)

Bài làm 5. Ta có: y '

2

2x

12

D.

3

'

x2

Bài làm 4. Ta có: y '

4 x2

5

6

C.

3

2 tan x

2 3x

(x

5)

B.

2 tan2 x

5

2 x

3 (2 x

2

Bài làm 3. Ta có y '

Câu 4. y

12

1

6x

x2

A.

x

1

x2

2 2x

Câu 3. y

Câu 6. y

2 x2

B.

4

Bài làm 2. Ta có: y '

Câu 5. y

1
x2

1

4x2

C.

5)2

(2 x

2x

A.

2

1

x2

1

1

3

A.

A.

x2

B.

Bài làm 1. Ta có: y '

Câu 2. y

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

2 sin(3x

x

3
1

C. 3sin(6x

2)

1). sin(3x

1)

'

2)

2 sin(3x 1).3cos(3x

1)

D. 3cos(6x

3sin(6x

2)

2) .

1.
B.

4 x2
2 x

5x
2

x

3
1

C.

4 x2
x

2

5x
x

3
1

D.

4 x2
2 x

2

5x

3

x

1

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

x2

Bài làm 6. Ta có y '

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

x

1

(x

2x

1)

2 x

2

4 x2

1
x

1

2 x

5x

3

x

1

2

Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau

x7

Câu 1. y

( x7

A. y '
C. y '
Bài làm

6

1)

1)

B. y '

2( x7

D. y '

7

2( x

x)(7 x6

C. y '

12x3

4x

x)
1)

1.Đáp án D

x2

1 5 3x 2

x3

A. y '

x3

B. y '

4x

4x

12x3

D. y '

4x

2. Ta có: Đáp án D

2x

Câu 3. y
A.

x)(7 x6

2(7 x

Câu 2. y

Bài làm

2

x

2

1

2

2

x
2x
(x

2

1)

2

2( x

Bài làm y '

2

2

1)

3x 2

6x

Bài làm y

10x4

x3

3x 2

A. y '
C. y '

5

(x

2

2
1)

D.

2

2 x2
(x

2

2
1)

2

2
1)

2

B. y '

y'

40x3
40x3

3x 2

3x 2

6x

C. y '

40x3

B. y '

3 4

D. y '

3 4

B. y '

2( x2

3x 2

6x D. y '

40x3

3x 2

6x

3

3 4

10

5

2

5
x2

2

x2
10

3 4

Câu 6. y

2)3 ( x
3( x2

4x

x3

Bài làm y '

A. y '

2

2 x2

x2

4x

(x

1)

2

C.

1 5x 3

40x2

4x

(x

2

343

2

2x

2

A. y '

Câu 5. y

(x

1) 2 x.2 x

(x

x2 2 x

Câu 4. y

2x2

B.

x3

5x

4x

5

10
x3
10
x3

4x
4x

2

5
x2
5

2

x2

2

x2

3)2
6)3

2(x

3)(x

2)3

5x

6)2

3( x

3)( x

2)3

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

14

x


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

3( x2

C. y '

3( x2

Bài làm y '

x3

Câu 7. y

5x

3x
x

3x

2 x

x2

A. y '
C. y '

2( x

2)3

3)( x

3x2

6x

3

2

2 x

3x

C. y '

2

3x2

6x

3

2

2 x

3x

D. y '

3x2
2 x

2

3

6x
3x 2

2

1
x

1

2 x

1

1

2x

x

B. y '

2x

x

1

D. y '

2x

x

1

x
2 x 1
x
2 x

1

x

1

2 x

1

x
a

2

x2

a2

A. y '

( a2

x2

Bài làm y '

B. y '

x 2 )3

a2

( a2

a2
( a2

x 2 )3

2a2

C. y '

( a2

x 2 )3

D. y '

a2
( a2

x 2 )3

x2
a2
x2 )

a2

x2
( a2

x 2 )3

1

x x
3 1
A. y '
2 x2 x

B. y '

( x x )'

Bài làm y '

A. y '

6)2

5x

6x

x

2 x

3( x2

2)3

3)( x

x

Câu 9. y

Câu 11. y

2

3x 2

x x

Bài làm y '

Câu 10. y

D. y '

2)

B. y '

2

2

3

2x

2( x

6x

3x

Bài làm y '

3)( x

2

2

3

2( x

6)2

5x

3x 2

A. y '

Câu 8. y

6)

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

x

1

3

1
x

2

C. y '

x

1
x

2

x

D. y '

3 1
2 x2 x

3 1
2 x2 x

x

1 x
1 3x
(1 x)

3

B. y '

1 3x
3 (1 x)

3

C. y '

1 1 3x
3 2 (1 x)3

D. y '

1 3x
2 (1 x)3

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

15

2


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

1

1 x

x
1 3x

2 1 x
1 x

Bài làm y '

Câu 12. y

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

2 (1 x)3

sin 2 3x

A. y '

B. y '

sin 6x

Bài làm y '

3 tan2 x

3 3 tan 2 x

2

3 tan 2 x

cot 2 x

D. y '

3 tan x(1 tan x) (1 cot 2 2 x)
3 tan 2 x

cot 2 x

2

3 tan x(1 tan x) (1 cot 2 x)
3 tan 2 x

3

x3

cos4 (2 x

3x2

3

8 cos 3 (2 x

A. y '

cot 2 x

)

4

) sin(2 x

4

3x2

)

6x2

cos 4 (2 x

8 cos3 (2 x

C. y '

4

3

) sin(2 x

4

3x2

)

3x2

cos 4 (2 x

8 cos 3 (2 x

4

3

8 cos 3 (2 x

4

4

)

4

3

)

) sin(2 x

4

)

3

3 3 x3

) sin(2 x

) sin(2 x

cos 4 (2 x

D. y '

)

4

3

4 3 x3

)

3

3 3 x3

8 cos 3 (2 x

B. y '

3

3 3 x3

cos 4 (2 x

3

)

)

3

3 3 x3

Câu 16. y

2 3 tan 2 x

cot 2 x

2

Bài làm y '

Bài làm y '

3 tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
2

3 tan x(1 tan x) (1 cot 2 x)

C. y '

A. y '

B. y '

cot 2 x

2

Câu 15. y

3sin 6x

cot 2x

3 tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)

A. y '

Bài làm y '

D. y '

2 sin 6x

3sin 6x

Câu 13. y

Câu 14. y

C. y '

3sin 3x

2 sin x2

cos 4 (2 x

3

)

2

x cos( x2
4x cos( x2

2)

B. y '

4 cos( x2

2)

C. y '

2x cos( x2

2)

D. y '

4x cos( x2

2)

cos2 sin 3 x

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

16

2)


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

A. y '

sin(2sin3 x)sin2 x cos x

B. y '

6sin(2sin3 x)sin2 x cos x

C. y '

7 sin(2sin3 x)sin2 x cos x

D. y '

3sin(2sin3 x)sin2 x cos x

3sin(2sin3 x)sin2 x cos x

Bài làm y '

x
sin x
sin x

Câu 17. y
A. y '

cos x
2

sin x
sin x x cos x

Bài làm y '

cos x
3sin x
cot3 x 1

sin x cos x
sin x

D. y '

B. y '

3cot 4 x 1

C. y '

cot 4 x 1

D. y '

4
cot x
3

cot 2 x(1 cot 2 x) 1 cot 2 x

y'

x 3 sin

Câu 19. f ( x)

0

0

sin x

Bài làm x

0

x

f '(0)

f '( x)

lim

x

0

1
x
f (0)

3x2 sin

f ( x)
x

x cos

f' 1
' 0

1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0

f '(1)
'(0)

. Biết rằng : f ( x)

4
8

B.

B. f '( x)

0

D. f '( x)

1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0

3x 2 sin

1
1
cos
khi x
x
x
khi x 0

3x2 sin
0

0

0

1
x

0

3x 2 sin
0

cot 4 x

cot x

0

1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0

0

Bài 4. Tính

x cos x
2

1
khi x 0
x

khi x 0

3x 2 sin

C. f '( x)

f '( x)

sin x

cot 4 x 1

1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0

0

0

1
cot 3 x
3

x 2 sin

A. f '( x)

A.

C. y '

1
cot x(1 cot 2 x)
3

Bài làm y

Vậy

sin x x cos x
sin x

4
cot x
3

3

A. y '

Với

B. y '

sin 2 x

Câu 18. y

Suy ra

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

0
.

x2 và
f '(1)
'(0)

( x)
2

8

4x

sin

x
.
2

C.

f '(1)

'(0)

4

D.

f '(1)
'(0)

4
8

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Bài làm Bài 4. f '( x)

f '(1)
Suy ra '(0)

2x

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

f '(1)

2; '( x)

4

2

x
2

cos

'(0)

4

2

4
.

8

Bài 6. Tìm m để các hàm số

(m 1)x3

Câu 1. y
A. m

3

Bài làm 1. Ta có: y '
Do đó y '

(m 1)x2

0

1 thì (1)

m

1 thì (1) đúng với

m 1
( m 1)(4

mx3
3

A. m

2)x 2(m

2)x 2(m

a m 1
' 0

C. m

4

D. m

4 2

C. m

0

D. m

0

2)

0 (1)

2)

1 nên m

x

x

m

0

mx2

1 (loại)
0

4

0

2
mx

B. m
2

mx

2mx

2

2mx

0 thì (1) trở thành:

m

0 , khi đó (1) đúng với

1

m 0
1 2m

0

2

.

0 (2)

0 đúng với

x

a m 0
' 0

x
m

0

0, x

3m 1

3m 1

m

m 0
m(1 2m)

1 có y '

(3m 1)x

Bài làm 2. Ta có: y '

Vậy m

2( m

0, x

4 là những giá trị cần tìm.

Câu 2. y

Nên y '

1

2

0

1 có y '

2)x

B. m

2(m

6x 6

m)

6(m

3 ( m 1)x

m

Vậy m

2)x2

3(m

0

0 là những giá trị cần tìm.

Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau
Câu 1. f ( x)

x 2 sin
0

A. f '( x)

1
khi x 0
x
khi x 0

x sin
0

1
x

cos

1
khi x 0
x
khi x 0

B. f '( x)

x sin
0

1

x

1
khi x
x
khi x 0

x cos

0

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

18


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

2 x sin

C. f '( x)

1
x

1
khi x
x
khi x 0

x cos

0
Bài làm 1. Với x
Tại x

f ( x)

1
x

cos

x

1 khi x

1

x 1

3 khi x

1

2 x sin

Vậy f '( x)

f (0)

x

0

x2

Câu 2. f ( x)

2 x khi x 1
1
khi x
2 x 1

A. f '( x)

2x
C. f '( x)

0

1 ta có:

lim
x 1

B. f '( x)

1
1

f ( x) f (1)
x 1

0

1 khi x 1
1
khi x 1
x 1

2x
D. f '( x)

khi x 1
x 1
Bài làm 2. Với x 1 ta có: f '( x)

Tại x

1
khi x
x
khi x 0

cos

.

2x

1 khi x

1 ta có: f '( x)

1
x

0

1

Với x

2 x sin

D. f '( x)

2 x sin

1
khi x
x
khi x 0

0

0

1
1

cos
x
x
1
lim x sin
0
x 0
x

0 ta có: f '( x)

0 ta có: lim
x

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

1 khi x
1

2 x 1
2x

1

khi x

1

1

1
2 x 1

lim
x 1

x2

x 2
x 1

3

f ( x) f (1)
x 1
lim
 suy ra hàm số không có đạo
x 1
x 1 x 1
hàm tại x 1
2 x 1 khi x 1
.
Vậy f '( x)
1
khi x 1
2 x 1
lim

x 1

Bài 8. Tìm a , b để các hàm số sau có đạo hàm trên

x2

Câu 1. . f ( x)

A.

a
b

x

13
1

Bài làm 1 Với x

x
2

1
ax

khi x

1

b khi x

1

B.

a
b

3
11

C.

a
b

23
21

D.

a
b

3
1

1 thì hàm số luôn có đạo hàm

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

Do đó hàm số có đạo hàm trên
Ta có lim f ( x) 1; lim f ( x) a
x 1

hàm số có đạo hàm tại x
b 1

x 1

Hàm số liên tục trên
f ( x) f (1)
Khi đó: lim
x 1
x 1

f ( x) f (1)
x 1

a

b 1

1

a

b

2

1;
x2

ax 1 a
a 2
x 1
x 1
x 1
a b 2
Nên hàm số có đạo hàm trên
thì
a 2 1
lim

1.

lim

x2
Câu 2. f ( x)

a
b

3
1

.

x 1
khi x 0
.
1
ax b khi x 0

x
x2

A. a 0, b 11
B. a 10, b 11
Bài làm 2. Tương tự như ý 1. ĐS: a 0, b 1 .

C. a

20, b

21

D. a

B. y '

2( x3

2x)2 (3x2

2)

D. y '

3( x3

2x)2 (3x2

2)

0, b

1

Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y

( x3

2x)3

A. y '

( x3

2x)2 (3x2

C. y '

3( x3

2x)2

( x2

A. y '

1)(3x3

x

4

3x

2

Bài làm 2. Ta có: y '

Câu 3. y

2x)2 x3

2x

'

3( x3

2x)2 (3x2

2)

2x)
5x4

B. y '

2
2x(3x3

2x) ( x2

3x 2
1)(9x2

2

C. y '

2)

15x4

15x4
3x 2

3x 2

D. y '

15x4

3x 2

2

3x 2

A. y '

x

C. y '

x

2
3x

2

2
3x

2

Bài làm 3.Ta có: y '

Câu 4. y

2)

2

2

x

(3x2

3( x3

Bài làm 1.Ta có: y '

Câu 2. y

2)

2sin3 2x

1
1

4
3x

3

4
3x

2 x

tan2 3x

3

2
3x2

1

B. y '

2 x

D. y '

2 x

2
3x

2

2

3x

2

1
1

4
3x3
4
3x3

4
3x3

x cos 4x

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

20

2


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

A. y '

12 sin2 2x cos 2x

6 tan 3x 1 2 tan 2 3x

B. y '

12 sin2 2x cos 2 x

6 tan 3x 1 tan 2 3x

C. y '

12 sin2 2x cos 2 x

tan 3x 1 tan 2 3x

D. y '

12 sin2 2x cos 2 x

6 tan 3x 1 tan 2 3x

12 sin2 2x cos 2 x

Bài làm 4. Ta có: y '

Câu 5. y
A. y '
C. y '

sin 2 x
x
x
cos 3x
2 x cos 2 x sin 2 x

x2

cos2 3x

Nên y '

'

Câu 6. y
A. y '
C. y '

2 x cos 2 x sin 2 x
2

2 x cos 2 x sin 2 x

cos 3x

x2

x
3x sin 3x

cos2 3x
x3

x sin 2x

x2

3x2
2 x3
3x

2 x cos 2 x

Bài làm 6.Ta có: y '

A. y '

2 sin2 x

sin 2 x

x3

3x2

2 sin 2 x

x3

sin 2 x

2

2 sin x
Bài làm 7. Ta có: y '

2x
x2

2

x2

1

'

cos 3x

3x sin 3x

x
2 x cos 2 x sin 2 x

cos 3x
cos 3x 3x sin 3x

x2

cos2 3x

cos 3x

2

3x sin 3x
2

cos 3x

B. y '

x2

D. y '

3x 2

2 x cos 2 x

sin 2 x

3

2

2x

x3
3x

2 x cos 2 x

2 x3

1
3x

2 x cos 2 x

sin 2 x

1

2x

2 x3

x2
2

1
2x

x2

1

2x
x2

1

3x
x

B. y '

1

2

3

D. y '

1

2 sin 2 x
2 2 sin 2 x
2 sin 2 x
2

2 2 sin x

2 sin 2 x
2

2 2 sin x
Câu 8. y

x
cos 3x

sin 2 x

2

1

2 sin 2 x

C. y '

,

D. y '

2 x cos 2 x

.

2 x
Câu 7. y

B. y '

cos 4 x 4 x sin 4 x

1

sin 2 x 2 x cos 2 x
sin 2 x

cos 4 x 4 x sin 4 x

3x sin 3x

cos 3x
cos 3x 3x sin 3x

sin 2 x
x

x sin 4 x

cos 4 x 4 x sin 4 x

2

x
2 x cos 2 x sin 2 x

Bài làm 5. Ta có:

cos 4 x

6 tan 3x 1 tan 2 3x

cos 3x

2

cos 4 x 4 x sin 4 x

3x
x3

3x 2
x3
3x
x3

1
2

1

2

1

2x 1

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

A. y '

( x2

x

2 x2

1)

x2

2 ( x2

1
1

x2

1)

x
x
2

Câu 9. y

2
x

1

2

1

2x 1

2 (x

2

1)

2 x2
x

2

A. y '

tan 2 x 2 x 1 tan 2 2 x

B. y '

tan 2 x

x 1 tan 2 2 x

C. y '

tan 2 x

2 x 1 tan 2 2 x

tan x

D. y '

tan 2 x

2 x 1 tan 2 2 x

tan x ( x 1)(tan 2 1)

'

(x

Nên y '

1) tan x

tan 2 x

Câu 10. y

1
1

1

2x 1

1)

x2

1
1

2x 1

.

2x 1

x 1
cot x

x tan 2 x

Bài làm 9. Ta có: x tan 2 x

x 1
cot x

x

2 ( x2

1

2 x2

x

2x 1

2

x2

1)

D. y '

1

Bài làm 8. Ta có: y '

( x2

1

x2

x

B. y '

2x 1

x2

x

C. y '

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

'

'

tan x


3

A. y '

sin 2 x


3


3

sin 2 2 x
B. y '


3
1


cos 2 x
3

2 sin 3 2 x

1


cos 2 x
3
3

2 x 1 tan 2 2 x

tan x ( x 1)(tan 2 1)


3

2 sin 2 x

C. y '

2( x 1)(tan 2 1)

1

3

sin 2 2 x

1)(tan 2 1)

1)(tan 2 1)

(x


cos 2x
3

3 sin2 2x

(x

tan x ( x 1)(tan 2 1)

tan 2 x

2 x 1 tan 2 2 x

sin 3 2 x

tan x

3 sin 2 2 x
D. y '


3


3
1


cos 2 x
3

sin 3 2 x


3


3

1

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

22

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.


cos 2 x
3

3 sin 2 2 x
Bài làm 10. Ta có: y '


3

3

sin 2 x


3

.

1

Bài 10. Giải bất phương trình :

A.

x
x

2 x3

0 với f ( x)

Câu 1. f '( x)

0
1

3x 2

1

B. x

1

6x , suy ra f '( x)

0

C. x

D. 0

0

x

1

Bài làm 1. TXĐ: D
Ta có: f '( x)

6 x2

Câu 2. f '( x)

0 với f ( x)

A.

1
x

x

2 x4

x
x

4 x2

0
1

1

0

B. 1

1

D. x

C. x 1
Bài làm 2. TXĐ: D

8 x3

Ta có: f '( x)

Câu 3. 2xf '( x)
A. x

8x , suy ra f '( x)

0 với f ( x)

f ( x)

1

Ta có: f '( x)

Mặt khác: f ( x)
Nên 2 xf '( x)

2x

x2

Câu 4. f '( x)
A. 2

x2

f ( x)

1

0
2

x

2

4

0

1

1

1

C. x

3

1
3

D. x

2
3

0, x
f ( x)

0

1

1
3
4

.

x2 .

B. x

2

C. 2

x

D. x

0

2; 2
x

1

x

x

1

Bài làm 4. TXĐ: D
Ta có: f '( x)

x
x2

x
3x

0

1

2 xf ( x)

0

0 với f ( x)

x

x2

1

x2

x

x

0

f ( x)

x

1

x

x2

x

B. x

3
Bài làm 3. TXĐ: D

1

0

x

x

2

f '( x)

0

4

x2

x

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

2

x

x

0

4

x

0

2

x

2

0

2

x
x

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

0

2

2

2.

x

Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Từ định nghĩa đạo hàm f '( x0 )

f ( x)

lim

x

f ( x0 )

x

x0

,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của

x0

hàm số. Cụ thể
Để tính A

lim

x

Ta viết g( x)

x0

g( x)
, biết g( x0 )
x x0

f ( x)

0.

f ( x0 ) . Khi đó nếu f ( x) có đạo hàm tại x0 thì :
A

Để tính: B

F ( x)
, biết F( x0 )
x0 G( x)

x

Ta viết F( x)

f ( x)

x

f ( x0 ) và G( x)

x

x0

G( x0 )

lim

f ( x)

lim

f ( x0 )
x0

f '( x0 ) .

0.

g( x) g( x0 ) .

Nếu hai hàm số f ( x), g( x) có đạo hàm tại x

x0 và g '( x0 )

f ( x)
x
lim
x x0 g( x)
x

0 thì: B

f ( x0 )
x0
g( x0 )
x0

f '( x0 )
g '( x0 )

.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau :
3

1. A

lim
x

0

n

3. C

lim
x

0

1 x
x

3

1

1 3x
x

2. B

lim
x

x
3

1

4. D

lim
x

2x 1

1

1

0

x

2

2

x

3x 2
1
4

x

1 2x

2

Lời giải.
3

1. Đặt f ( x)

A

lim
x

0

3

B

lim
x 1

2x 1

1

.

và f (0)

1

1
.
3

3x 2
3

3. 3 (2 x 1)

1

3 (1 x)2
3

f '(0)

2

x

1

f '( x)

f ( x) f (0)
x 0

2. Đặt f ( x)

f '( x)

1 x

2

2 3x

f ( x) f (0)
x 1

2

lim
x 1

và f (1)

1
x

1

.lim

x 1

0.
f ( x) f (0)
x 1

1
. f '(1)
2

2
3

3
2

5
.
9

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

24