Day nghiem phuong trinh (LN huyen)

Lương Ngọc Huyên

Pre VMO 2014

DÃY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Lương Ngọc Huyên
1. Lý thuyết
+ Trong phần này ta xét bài toán sau: “Cho dãy các hàm số f n(x) xác định bởi công thức tường
mình hoặc truy hồi thoả mãn điều kiện: các phương trình f n(x) = 0 có nghiệm duy nhất x n ∈ D.
Cần khảo sát các tính chất của xn như khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn …”
+ Các kiến thức cần ôn tập: Hàm số liên tục, định lí Lagrange, sự đơn điệu của hàm số,...
2. Ví dụ
 π
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình cos x = x n (1) có nghiệm duy nhất x = an ∈ 0;  với
 2
mọi n ∈ ¥ * . Tính giới hạn lim an .
 π
HD. Theo định lý giá trị trung bình thì (1) có nghiệm duy nhất x = an ∈ 0;  .
 2

π
Dãy (an ) tăng vì nếu an +1 < an thì từ an +1, an ∈ (0; ) ta suy ra
2
cos an +1 > cos an ⇒ ann++11 > ann ⇒ ann+1 > ann ⇒ an +1 > an .
vô lí!. Vậy tồn tại l = lim an > 0 . Từ

an = (cos an

1
)n

suy ra

1

l = lim an = lim (cos an ) n  = (cos l )0 = 1.





Ví dụ 2. Với n ≥ 2 gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình
xn = xn-1 + xn-2 + … + x + 1.
a) Chứng minh rằng lim xn = 2.
b) Hãy tìm lim (2 – xn)1/n.
Giải.
Sử dụng hằng đẳng thức x n – 1 = (x – 1)( x n-1 + xn-2 + … + x + 1) ta viết phương trình lại dưới
dạng xn(x – 2) + 1 = 0. Từ đó suy ra 2 – xn = 1/xnn.
 2n 
Đặt Pn(x) = xn – xn-1 – xn-2 – … – x – 1 thì Pn+1(2) = 1 > 0, P 
÷ < 0 (sử dụng BĐT Becnuli).
 n +1 
Ta thấy: x > 2 ⇒ Pn ( x) > 0, 0 < x <

2n
⇒ Pn ( x) < 0.
n +1

Vậy Pn(x) không có nghiệm x ∈ (0;

2n

2n
) ∪ (2; +∞). Trên khoảng (
; 2) Pn(x) có nghiệm duy
n +1
n +1

nhất.

1


Lương Ngọc Huyên

Pre VMO 2014

Mặt khác: Pn+1(xn) = xnPn(xn) – 1 = –1, suy ra 2 > x n+1 > xn. Như thế, ta luôn có 2 – x n = 1/xnn <
1/x1n → 0, suy ra lim xn = 2. Và cũng từ đây (2 – xn)1/n = 1/xn → 1/2.
Ví dụ 3 (Hưng Yên 2010). Cho phương trình: x2n+1 = x + 1 với n nguyên dương. Chứng minh
rằng phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm thực với mỗi n nguyên dương cho trước. Gọi
lim xn .
nghiệm đó là xn. Tìm n →+∞
Giải. Khảo sát hàm số: f n ( x) = x 2n +1 − x − 1 ; f n '( x) = ( 2n + 1) x 2n − 1 .
f n '( x) = 0 ⇔ x = ± n
i ) f n '( x) < 0 ⇔ − n

1
. Kết hợp bảng biến thiên và các nhận xét:
( 2n + 1)

1

1
( 2n + 1)
( 2n + 1)

ii ) f n '( x ) ≤ 0 ⇔ x ≤ − n

1
1
,x ≥ n
( 2n + 1)
( 2n + 1)



1
1
1
1
iii ) f  − n
+n
−1 < 0
n
÷= −
 ( 2n + 1) ÷
2
n
+
1
2

n
+
1
2
n
+
1
(
)
(
)
(
)




1
1
1
1
iv) f  n
−n
−1 < 0
n
÷=
 ( 2n + 1) ÷ ( 2n + 1) ( 2n + 1)
2
n
+

1
(
)


v) lim f n ( x) = +∞.
x →∞

Ta có thể kết luận được phương trình trên có nghiệm duy nhất xn .
Mặt khác: f n (1) < 0, f n (2) > 0 ⇒ 1 < xn < 2 và xn = 2n +1 xn + 1 ⇒ 2n +1 2 < xn < 2n +1 3 (*).
Dùng kết quả lim

n →∞

1
an

lim x = 1 .
= 1 (khi a > 1) và cho (*) qua giới hạn, ta có: n →∞ n

Ví dụ 4. Gọi xn là nghiệm của phương trình

1
1
1
+
+ ... +
= 0 thuộc khoảng (0; 1). Chứng
x x −1
x−n

minh dãy {xn} hội tụ;
1
1
1
+
+ ... +
liên tục và đơn
x x −1
x−n
điệu trên (0; 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x n. Rất may mắn, để
chứng minh tính hội tụ của x n, ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị
chặn là đủ. Với tính bị chặn, mọi thứ đều ổn vì 0 < x n < 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý một chút
Bình luận. xn được xác định duy nhất vì hàm số f n ( x) =

2


Lương Ngọc Huyên

Pre VMO 2014

đến mối liên hệ giữa fn(x) và fn+1(x): fn+1(x) = fn(x) + f n +1 ( x) = f n ( x) +

1
. Đây chính là
x − n −1

chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của xn.
Giải. Rõ ràng xn được xác định 1 cách duy nhất, 0 < x n < 1. Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn – n – 1)

= 1/(xn – n – 1) < 0, trong khi đó f n+1(0+) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0, x n)
có ít nhất 1 nghiệm của fn+1(x). Nghiệm đó chính là xn+1. Như thế ta đã chứng minh được xn+1 < xn.
Tức là dãy số {xn} giảm. Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn.
Ví dụ 5. Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng phương trình x n = x + 1 có
một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Chứng minh rằng xn dần về 1.
Giải. Rõ ràng xn > 1. Đặt fn(x) = xn – x – 1. Khi đó fn+1(1) = – 1 < 0 và f n+1(xn) = xnn+1 – xn – 1 >
xnn – xn – 1 = fn(xn) = 0. Từ đó ta suy ra 1 < xn+1 < xn . Suy ra dãy {xn} có giới hạn hữu hạn a. Ta
chứng minh a = 1. Thật vậy, giả sử a > 1. Khi đó x n ≥ a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao
cho: xnn ≥ an > 3 và xn + 1 < 3, mâu thuẫn với fn(xn) = 0.
Ví dụ 6 (VMO 2007). Cho số thực a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+ x + 1.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f n(x) = a luôn có đúng một nghiệm
dương duy nhất.
b) Gọi nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
Giải. Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm f n(x) tăng trên (0; +∞). Dễ dàng nhận thấy 0 < x n <
1. Ta sẽ chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn. Tương tự như ở những lời giải trên, ta xét
fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1. Vì ta đã có fn+1(1) = a10 + n + 1
> a nên ta chỉ cần chứng minh axn + 1 < a là sẽ suy ra xn < xn+1 < 1. Như vậy, cần chứng minh xn <
(a – 1)/a. Thật vậy, nếu xn ≥ (a – 1)/a thì
n +1

 a −1 
n +10 1 − 
n
n
÷
 a −1 
 a −1 
 a 
10  a − 1 
f n ( xn ) ≥ a10 

+
=
(
a
−
1)
+
a
−
(
a
−
1)
÷

÷

÷ >a
a −1
a
a
 a 




1−
a
(do a – 1 > 1).
Vậy dãy số tăng {xn} tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ.

Bài tập
1
1
+
= m có nghiệm với mọi m.
s inx cos x
2. Chứng minh rằng phương trình x5 – x2 – 2x – 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
3. Chứng minh rằng phương trình sinx = x3 – 3x có đúng ba nghiệm phân biệt.
---------------------------------------Hết--------------------------------------1. Chứng minh rằng phương trình

3