Bài tập tích phân rất hay

BI TP THAM KHO ễN THI
Cụng thc tớnh nguyờn hm:
1.
2.

0du=C
du=u+C

u +1
3. u du=
+C
+1

( x+1) d ( x+1)

6.
7.

VD

VD



3

x

x

x

3

+C
1)

2

2

+C

1
d ( s inx+1) =ln sinx+1 +C
sinx+1

VD
lnx+1
lnx+1

e d ( lnx+1) =e +C

e du=e +C
cosudu=sinu+C
sinudu=-cosu+C
u

( x+1)
=

(e
( e 1) d ( e 1) =

u2
3.1 udu= +C
2
1
4. du=ln u +C
u
5.

2

VD



u

VD

cos ( 2x-4 ) d ( 2x-4 ) =sin ( 2x-4 ) +C

VD
x
x
x

sin ( e + x ) d ( e + x ) =-cos ( e + x ) +C

1

8.

cos u du=tanu+C

9.

sin u du=-cotu+C

2

1

2

du vụựi
u laứ haứm soỏ theo bieỏn x.
u'
1
1. d ( 2x-1) = ( 2x 1) '.dx = 2dx dx = d ( 2x 1)
2

Cn nh: Vi phaõn du=u'.dx dx=

Vớ d:

2. d ( sinx ) = ( s inx ) dx = cosxdx
/

3. d ( x 3 1) = ( x 3 1) dx = 3x 2 dx
/

Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau:

2
1
1 d ( x + 1)
2x
2
1. I= 2
dx =
=
ln
x
+
1
= ln 2
0 x +1
0
0
x2 + 1



d ( sin x )
cos x
2. I= 2 cot xdx = 2
dx = 2
= ln sin x

sin x
6
6 sin x
6
1


2

6

= ln1 ln

1
= ln 2
2

Bi 2: Tớnh cỏc tớch phõn sau:

3
1
x2
1 1 d ( x + 1) 1
1
3
1. I= 3
dx =
=
ln
x

+
1
= ln 2
3
0 x +1
3 0 x +1
3
3
0
1


2
0

2. I =

cos x
1 d ( 2sin x + 3) 1
dx = 2
= ln 2sin x + 3
2 sin x + 3
2 0
sin x
2


2
0

=

1
( ln 5 ln 3 )
2

Bi 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
1. I=

4

1

1

2x + 1dx = ( 2x + 1) 2 dx =

0

0


4
0

2. I =

4

1

3
1 4
1
2x + 1) 2 d ( 2x + 1) = ( 2x + 1) 2 = ...
(

2 0
3
0



1

1
4


cos 2x ữdx = 4 cos 2x ữd 2x ữ = sin 2x ữ = ...
2
2 0
2
2 2
20



1

Bài 4: Tính các tích phân sau:
1. I= ∫

1

⇒ I= ∫

1

1
dx
x+2 + x + 1

0

0

=∫

1

0

(

(

ta nhaân löôïng lieân hôïp.

x+2 − x + 1

x+2 + x + 1

)

)(

x+2 − x + 1

)

dx

x+2 − x + 1 dx

1
2

= ∫ ( x + 2 ) dx − ∫ ( x + 1) dx
0

0

1
2

1

0

2. I= ∫

1

3. I= ∫

4

0

1
2

1

1

0

1
1
1

= ∫ ( x + 2 ) 2 − ( x + 1) 2  dx
0


1

1. I= ∫

1
dx
2x+1 + 2x − 1
1
dx
1-x − 2 − x
1
dx
x + 2x + 1

1

1

= ∫ ( x + 2 ) d ( x + 2 ) − ∫ ( x + 1) 2 d ( x + 1)
0

2
= ( x + 2)
3

0

3 1
2

1

3
2

− ( x + 1) 2 = ..............
3
0
0

Bài 5: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I= ∫π2 cos x ln ( sin x ) dx
6

I = ∫ 3 sin x ln ( cos x ) dx

π

0

sin x

 u = ln ( cos x )
du = −
⇒
cos x

dv = sin xdx
 v = − cos x

2. I= ∫π2 ( cos x + 1) ln ( sin x + x ) dx

6

π
π
π
1 1
1
1
I = − cos x.ln ( cos x ) 03 − ∫ 2 sin xdx = − ln + cos x 03 = ln 2 −
0
2 2
2
2

Bài 6: Tính các tích phân sau:
π
2
0

π
2
0

I = ∫ x.cos x.sin xdx = ∫

1
1 π2
x. sin 2xdx = ∫ x.sin 2xdx
2
2 0

1

1
du = dx


u = x

2
⇒
2

dv = sin 2xdx  v = − 1 cos 2x

2
π

π
2
1
1 π
π 1
π
I = − x.cos 2x + ∫ 2 cos 2xdx = + sin 2x 02 =
4
4 0
8 8
8
0

Bài 7: Tính các tích phân sau:
π

1. I= ∫ 4 x.sin 2x.cos 2xdx
0

π

2. I= ∫ 2 x. ( 1 + cos x.sin x ) dx
0

π

3. I= ∫ 4 ( x − 1) .sin x.cos xdx
0

π
4
0

4. I= ∫ x. ( cos 2x.sin 2x − 2 ) dx
π
4
0

5. I= ∫ ( 1 − x ) . ( 1 − sin x.cos x ) dx

2

Bài 8: Tính các tích phân sau:

π
2
0

π
2
0

1. I = ∫ sin x ln ( 1 + sin x ) dx

I = ∫ cos x ln ( 1 + cos x ) dx

π

− sin x

2. I = ∫π2 cos x ln ( 1 − cos x ) dx
dx
 u = ln ( 1 + cos x )
du =
⇒
1
+
cos
x
3



dv = cos xdx
v = sin x
π
π
π
π
π
sin 2 x
1 − cos2 x
1 − cos2 x
I = sin x.ln ( 1 + cos x ) 02 + ∫ 2
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2 ( 1 − cos x ) dx = ( x − sin x )
0 1 + cos x
0 1 + cos x
0 1 + cos x
0

π
2
0

= ..

Bài 9: Tính các tích phân sau:
1

π

I = ∫ cos xdx

1. I = ∫ 2 sin xdx

0

0

t = x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx

π

2. I = ∫ 2 cos x.sin ( sin x ) dx

1
x = 0 ⇒ t = 0

→ I = 2 ∫ t cos tdt

0
x = 1 ⇒ t = 1
u = t
du = dt
⇒

dv = cos tdt v = sin t
π
2
0

1

0

1

3. I = ∫ e x dx
0

I = ∫ x ln ( 1 + x 2 ) dx
1

0

π
2
0

4. I = ∫ cos x ln ( 1 + sin x ) dx
1

I = 2t.sin t 0 − 2 ∫ sin tdt = 2sin1 + cos t 0 = 2sin1 + 2 cos1 − 2

π

5. I = ∫ 2 sin x ln ( 2 − cos x ) dx
0

Bài 10: Tính các tích phân sau:

π

π

I = ∫ 2 x.cos2 xdx = ∫ 2 x.
0

0

π
1
1
1
1 π
1 π
( 1 + cos 2x ) dx = ∫02  x + x cos 2x ÷dx = ∫02 xdx + ∫02 x.cos 2xdx
2
2
2
2
2


du = dx
u = x

⇒

1
dv = cos 2xdt  v = sin 2x


2
π
2

π

π
1 22 1
1 π2
π2 1
π2 1
2
I = x + x sin 2x − ∫ sin 2xdx =
+ cos 2x 0 =
−
4 0 4
4 0
16 8
16 4
0

π

1. I = ∫ 2 x.sin 2 xdx
0

π

2. I = ∫ 2 x. ( sin 2 x + 1) dx

0

π
2
0

3. I = ∫ x. ( cos2 2x + 1) dx

Bài 11: Tính các tích phân sau:
π
6
0

I = ∫ x.cos2 x.sin xdx
du = dx
u = x

⇒
1
1

2
3
Chuù yù
2
→ ta tính ∫ cos2 x.sin xdx = − ∫ ( cos x ) .d ( cos x ) = − .cos 3 x + C
dv = cos x.sin xdx v = − cos x 
3
3


π

6
x
1 π6
π 3 1 π6
3
3
I = − cos x + ∫ cos xdx = −
+ ∫ ( 1 − sin 2 x ) cos xdx = ......
0
3
3
48 3 0
0
π
2
0

1. I = ∫ x.sin 2 x.cos xdx
π

2. I = ∫ 4 x. ( 1 − sin 2 x.cos x ) dx
0

π

3. I = ∫ 4 x.cos2 2x.sin 2xdx
0

3


Bài 12: Tính các tích phân sau:
I=∫

x 2ex

1

( x + 2)

0

2

dx

 u = x 2 .e x
du = x ( x + 2 ) e x dx
1
1
x2ex
e 1


1
⇒

→I = −

+ ∫ x.ex dx = − + ∫ x.e x dx
dv =
1
dx v = −
x+2 0 0
3 0
2

x
+
2
(
)

x
+
2

1
1
1
u = x
du = dx
e
e
e
⇒
⇒ I = − + x.ex − ∫ ex dx = − + e − e x = 1 −

x

x
0
0
0
3
3
3
dv = e dx v = e

Bài 13 Tính các tích phân sau:

1

I = ∫ x 2 ex dx

1. I = ∫ x 3e x dx

 u = x 2
1
du = 2xdx
2 x 1
⇒

→
I
=
x
e
−
2

xe x dx


∫
x
x
0
0
dv = e dx v = e

2. I = ∫ x 2 .sin xdx

1

0

(

)

(

1

0

I = ∫ x 2e 2x dx

π
2

0

I = ∫ 2 x 2 cosxdx

0

π

0

)

1
1
u = x
du = dx
x 1
⇒

→
I
=
e
−
2
xe
−
ex dx =e-2 e-e x =e-2



∫
x
x
0
0
0
dv = e dx v = e
 u = ex
Chú ý: Ta có thể đặt 
rồi giải tương tự.
dv = s inxdx

Bài 14: Tính các tích phân sau:
π

I = ∫ e x .sin xdx
0

π
π
 u = sin x
du = cos xdx
π
x
x
⇒

→
I
=

e
.sin
x
−
e
.cos
xdx
=
e x . ( − cos x ) dx


∫
∫
x
x
0
0
0
dv = e dx v = e
π
π
π
 u = − cos x du = sin xdx
⇒

→ I = ∫ e x . ( − cos x ) dx = − cos x.e x − ∫ e x .sin xdx =e π + 1 − I

x
x
0

0
0
dv = e dx
v = e

⇒ I + I = eπ + 1 ⇒ 2I = e π + 1 ⇒ I =

1 π
( e + 1)
2

 u = ex
Chú ý: Ta có thể đặt 
rồi giải tương tự.
dv = s inxdx

Bài 15: Tính các tích phân sau:
e

1. I = ∫ ln xdx
1

e

1

e
 u = ln x du = dx
e
e

⇒
→ I = x.ln x 1 − ∫ dx = e − x 1 = 1
x 

1
dv = dx  v = x


2. I = ∫ ln 2 xdx
1

1

e
e
 u = ln 2 x du = 2 ln x. dx
⇒
→ I = x.ln 2 x − ∫ 2 ln xdx
x 

1
1
dv = dx
v = x
1

e
 u = ln x
e
e

du = dx
⇒
→ I = e −2x ln x 1 + ∫ 2dx =e − 2e + 2x 1 = e − 2
x 

1
dv = 2dx v = 2x

3. I = ∫ ( 1 − ln 2 x ) dx
e

1

3. I = ∫ ( 1 − ln 2 x ) xdx
e

1

4


Bài 16: Tính các tích phân sau:
/

 1
1
1
+

− 2


÷
1

 1  du =  x  dx = x dx = − 1 . x dx = −
dx
2
 u = ln  1 + ÷ 
1
x +1
x
x
+
1
x
x
+
1
(
)
 x⇒
1+

x
x
dv = x 2 dx


3


x
v =
3


2
 1
1. I = ∫ x 2 ln  1 + ÷dx
1
 x

2

x3  1 
1 2 x2
1
1 2
1 
10
1
I = ln  1 + ÷ + ∫
dx = ( 8 ln 3 − 9 ln 2 ) + ∫  x − 1 +
dx = ... = 3ln 3 − ln 2 +
÷
3  x  1 3 1 x +1
3
3 1
x +1
3
6

Bài 17: Tính các tích phân sau:
ln x

e

1. I = ∫1
e

( x + 1)

2

dx

1

 u = ln x
du = dx



x
1
⇒
dv =
dx
2

v = − 1
( x + 1)



x +1

e

e
1
1
e  e 1
1 
 1
I = − ln x.
+ ∫1
dx = − 
+
+ ∫1  −
÷
÷dx = .. = 0
x + 1 1 e x ( x + 1)
 e +1 e +1  e  x x +1 
e

Bài 18: Tính các tích phân sau:
1
2
0

 1+ x 
1. I = ∫ x.ln 

÷dx
 1− x 

I=

2


dx
 1 + x  du =
u
=
ln

1 − x2

÷⇒ 
 1− x  

2
dv = xdx
v = x


2

1
2

1

x
x2
1+ x 
2
ln 
+
dx
÷
2  1 − x  0 ∫0 x 2 − 1
2

1

1
1
1
1 
1
 1 1
1 
1 
1
2 1 3
2
= ln 3 + ∫  1 + 2
dx = + ∫ 2  1 + 
−
dx
=
+

x
+
ln
x
−
1
−
ln
x
+
1
(
)
÷
÷
 = 2 − 8 ln 3
0
8
8 0  2  x −1 x +1  ÷
8 
2
 x −1 

0
Bài 19: Tính các tích phân sau:
1

 u = ln ( x + 1)
du =
dx


e ln ( x + 1)


x
+
1
1. I = ∫
dx
⇒

1
1
x2
dv = 2 dx
v = − 1

x

x
e

e
e 1
e
1
1
1
1 
1

I = − ln ( x + 1) + ∫
dx = − ln ( e + 1) + ln 2 + ∫  −
dx = ln 2 − ln ( e + 1) + ( ln x − ln x + 1 ) = ...
÷
1 x x +1
1
1
x
e
e
(
)
 x x +1
1
Bài 20: Tính các tích phân:
s inx

π
 u = ln ( 1 − cosx )
dx
du =
2
1. I = ∫π cosxln ( 1-cosx ) dx
⇒
1-cosx

dv = cosxdx
3
 v = s inx
π

2
π
3

π
2
π
3

I = s inx ln ( 1 − cosx ) − ∫
=

sin 2 x
dx
1 − cosx

π
π
3
1 − cos2 x
3
3
ln 2 − ∫π2
dx =
ln 2 − ∫π2 ( 1 + cosx ) dx =
ln 2 − ( x + s inx )
2
2
2
3 1 − cosx

3

π
2
π
3

=

3
π
( ln 2 + 1) − − 1
2
6

5


Bài 21: Tính các tích phân:
e2 
e2
e2 1
1
1 
1
1. I = ∫  2 −
dx= I = ∫
dx
−
÷

∫e ln x dx
e
e ln 2 x
 ln x ln x 
1
1


dx
u =
du = −
ln x ⇒ 
x ln 2 x

dv = dx
v = x
e
 1 e

e2 1
e2
e2
1
1
1
1
e2
I=∫
dx − ∫
dx= ∫

dx −  x.
+∫
dx  = − x.
= e−
e ln 2 x
e ln x
e ln 2 x
e ln 2 x
lnx e
2
 lnx e

Bài 22: Tính các tích phân:
2

e2

π

1. I = ∫ x sin3 xdx=

∫

0

π

0

x sin 2 x.s inxdx = ∫ x ( 1 − cos 2 x ) .s inxdx = ∫ x.s inxdx − ∫ xcos2 x.s inxdx

π

π

Tính J = ∫ x.s inxdx =.... = π . Tính K = ∫0
0

Bài 23: Giải phương trình

ln x + 4
dx = 0
e
x

∫

2

π

π

π

0

0

0

π
2π
xcos2 x.s inxdx = ... = 
→I = J − K =
3
3

t

t
( ln x + 4 )
ln x + 4
dx
=
0
⇔
ln
x
+
4
d
ln
x
+
4
=
0
⇔
(
)

(
)
∫e x
∫e
2
t

Cách 1:

⇔

( ln t + 4 )
2

2

−

( ln e + 4 )

2

2 t

=0
e

 ln t = 1 ⇒ t = e
 ln t + 4 = 5
2

= 0 ⇔ ( ln t + 4 ) = 25 ⇔ 
⇔
−9
 ln t + 4 = −5
 ln t = −9 ⇒ t = e

2

1
Cách 2: Đặt u = ln x + 4 ⇒ du= dx, x=e ⇒ u=5, x=t ⇒ u=lnt+4
x
ln t + 4
ln x + 4
t2
dx
=
0
⇔
tdt
=
0
⇔
∫e x
∫5
2
t

ln t + 4

( ln t + 4 )

=0⇔
2

5

2

−

5
=0
2

 ln t = 1 ⇒ t = e
 ln t + 4 = 5
2
⇔ ( ln t + 4 ) = 25 ⇔ 
⇔
−9
 ln t + 4 = −5
 ln t = −9 ⇒ t = e
Bài 22: Tính các tích phân:
π

π

π

π

1

1

π

I = ∫ cosx s inxdx = ∫ 2 cosx s inxdx − ∫π cosx s inxdx = ∫ 2 ( s inx ) 2 d ( s inx ) − ∫π ( s inx ) 2 d ( s inx )
0

2
= ( s inx )
3

0

π
3 2
2
0

3
2
− ( s inx ) 2
3

0

2

π

=

π
2

2

2 2 4
+ =
3 3 3

Bài 23: Tính các tích phân:
π

π

6

6

I = ∫π3 tan 2 x + cot 2 x − 2dx = ∫π3

π

π

6

6

( tan x − cotx ) dx = ∫π3 t anx-cotx dx = ∫π3
2

sinx cosx
dx
cosx sinx

π
π
π
sinx.sinx-cosx.cosx
sin 2 x − cos2 x
cos2x
2cos2x
dx = ∫π3
dx = ∫π3
dx = ∫π3
dx
1
sinx.cosx
s inx.cosx
sin
2x
6
6
6
6
sin 2x
2

π
π
π
π
2cos2x
2cos2x
d(sin 2x) π3 d ( sin 2x )
4
3
4
= ∫π
dx − ∫π
dx = ∫π
− ∫π
= ln ( sin 2x ) π4 − ln ( sin 2x )
sin
2x
sin
2x
sin
2x
sin
2x
6
4
6
4
6
π

= ∫π3

π
3
π
4

= −2 ln

3
2

6


Bài 24: Tính các tích phân:
I=∫

4

1

x 2 − 6x + 9dx = ∫

4

( x − 3)

1

2

4

dx = ∫ x − 3 dx
1

3

4



x2   x 2
5
= ∫ ( 3 − x ) dx + ∫ ( x − 3) dx =  3x − ÷ +  − 3x ÷ =
1
3
2 1  2

3 2
Bài 25: Tính các tích phân:
3

4

I=∫

4

0

x − 2x + xdx = ∫
3

2

x ( x − 2x + 1) dx = ∫

4

2

0

1
2

4

I = ∫ ( x + x − 1 ) dx

3.

I = ∫ x3 + 1 − x 2 dx

−1
2

0

2

0

I=∫

4

2

0

(

)

( 9x − 6x

1

2

+ x 3 ) dx

4

3
3
1

4
 12


 2 23 2 25   2 25 2 23 
2
2
2
= ∫ ( 1 − x ) x dx + ∫ ( x − ) x dx = ∫  x − x ÷dx + ∫  x − x ÷dx =  x − .x ÷ −  x − x ÷ = 8
0
1
0
1
5
3 1




3
0 5
Bài 26: Tính các tích phân:
4
x
3
2
3
x
x
x

1.
I
=
∫ 9 − 3 dx
I = 2 − 4 dx =
4 − 2 dx + 2 − 4 dx
1

1
2

2.

x ( x − 1) dx = ∫ x − 1 xdx

0

( 2 + x ) dx

I=∫

4

2

2

1.

4

∫(

∫

0

)

0

2

1

∫(

)

2

0

3



2   2
1
=  4x −

− 4x ÷ = 4 +
÷ −
ln 2  0  ln 2
ln 2

2
Bài 27: Tính các tích phân:
x

1. I = ∫

1

0

π
2
0

I=∫

x

( 1− x )

2 3

( 1 − sin t )
2

3

.costdt = ∫

( cos t )
2

2

3. I = ∫

2

−1

−1

dx x=sint ⇒ dx=costdt
π
2
0

2. I = ∫

3

9 x − 2.3x + 1dx
4 x + 2 x +1 + 1dx

x=0 ⇒ t=0, x=1 ⇒ t=

π
2
0

.c ostdt = ∫

( cos t )
3

2

π
2
π
2
0

.costdt = ∫ cos 4tdt

2

π
2
0

1 π2
1 2π
3π
1


2
= ∫  ( 1 + c os2t ) ÷ dt = ∫ ( 1 + 2cos2t+cos 2t ) dt = ∫ ( 3 + 4cos2t+cos4t ) dt = ...
0
0
4
8
16
2

1
1
1
1
2
1
1
2. I = ∫ ( 1 − x 2 ) dx
3. I = ∫ 2
dx
4. I = ∫ 2
dx
5. I = ∫ 2
3
2
0
0
0
0
( 1 − x2 )
( 1 − x2 )

1

( 1− x )

2 5

dx

Bài 28: Tính các tích phân:
2
 π π
1. I = ∫ x 2 4 − x 2 dx x=2sint ⇒ dx=2costdt t ∈  - , ÷
−1
 2 2
π
π
Khi x=-1 ⇒ t= , x= 2 ⇒ t=
6
4
π
4
π
−
6

π
4
π
−

6

π
4
π
−
6

π
4
π
−
6

I = ∫ 4sin t 4 ( 1 − sin t ) 2costdt= ∫ 16.sin t.cos tdt=4 ∫ sin 2tdt=2 ∫
2

2

1

2

2

3

2. I = ∫ x 2 1 − x 2 dx

3. I = ∫ x 2 9 − x 2 dx

0

0

2

( 1-cos4t ) dt=...=
4

4. I = ∫ x 2 16 − x 2 dx
0

Bài 29: Tính các tích phân:
π
π
π
( cosx-sinx ) ( cosx+sinx ) dx
cos2xdx
cos2 x − sin 2 x
1. I = ∫ 4
= ∫4
dx =∫ 4
0 sinx+cosx+2
0
0 s inx+cosx+2
s inx+cosx+2
Đặt t = s inx+cosx+2 ⇒ dt= ( cosx-sinx ) dx,
I=∫

2+ 2

3
π
4
0

2. I = ∫

( t − 2 ) dt =

2+ 2

∫3
t
cos2xdx

( sinx+cosx+2 )

3

sinx+cosx=t-2. Khi x=0 ⇒ t=3, x=

 2
 1 − ÷dt = ( t − 2 ln t )
t


2+ 2
3

5π
3
−
6
4

= 2 − 1 + 2 ln

(

3 2− 2
2

)

π
⇒t =2+ 2
4

.

7


Bài 30: Tính các tích phân:
π
4
0

π
π
π
sin4xdx
sin 4x
sin 4xdx
sin 4x
4
4
4
1. I = ∫
=∫
dx = ∫
dx =∫
2
4
4
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
1
sin x+cos x
( s in x+cos x ) -2sin x.cos x

( s in2 x) + ( cos x)
1 − sin 2 2x
2
1
1
1
π
1
dt
t = 1 − sin 2 2x ⇒ dt = − sin 4xdx. Khi x=0 ⇒ t=1, x= ⇒ t = 
→ I = − ∫ 2 = − ln t 12 = ln 2
1
2
4
2
t
π
π
 1

2. I= ∫ 4 cos2x ( sin 4 x + cos4 x ) dx = ∫ 4  1 − sin 2 2x ÷cos 2xdx
0
0
 2

1
π
1  dt
⇒ t = 1 
→ I = ∫ 1 − t 2 ÷. = ......

0
4
 2  2

t = sin 2x ⇒ dt = 2 cos 2xdx. Khi x=0 ⇒ t=0, x=
Bài 31: Tính các tích phân:
π

π

π

I = ∫ 2 cos3x.sin 2xdx = ∫ 2 cos3 x.2sin x.cosxdx = ∫ 2 cos 4 x.sin xdx
0

0

0

0

t=cosx ⇒ dt=-sinxdx. Khi x=0 ⇒ t=1, x=

0
π
2
2
⇒ t = 0 
→ I = −2 ∫ t 4dt = − t 5 =
1

2
5 1 5

Bài 32: Tính các tích phân:
π

I = ∫π2
4

π
π
1
1
1
1
2
2
2
dx
=
.
dx
=
dx.
π
π ( 1 + c ot x )
4
2
2
2

∫
∫
sin x
sin
x
sin
x
sin
x
4
4

Chú ý:

1
= 1 + cot 2 x
2
sin x
0

0
 t3 
1
π
π
4
2
t=cotx ⇒ dt=- 2 dx. Khi x= ⇒ t=1, x= ⇒ t = 0 
→ I = − ∫ ( 1 + t ) dt = −  t + ÷ =
1

sin x
4
2
3 1 3


Bài 33: Tính các tích phân:
π
4
0

I=∫

2

π
π
π
2
1
1
1
1 
1
1
2
4
4
2
dx

=
.
dx
=
.
dx
=
dx.
π ( 1 + tan x )

÷
6
4
2
2
2
∫
∫
∫
0 cos x cos x
0
cos x
cos 2 x
 cos x  cos x
4

t=tanx ⇒ dt=

1
π

dx. Khi x=0 ⇒ t=0, x= ⇒ t = 1
2
cos x
4
1

1
1
2

t3 t5 
28
I = ∫ ( 1 + t 2 ) dt = ∫ ( 1 + 2t 2 + t 4 ) dt =  t + 2 + ÷ =
0
0
3 5  0 15


π

I = ∫4
0

dx
cos4 x

π

I = ∫π2
4

dx
sin 6 x

cos 2x
dx
sin 2x + cos 2x
Bài giải
π
sin 2x
Xét tích phân: J = ∫ 8
dx
0 sin 2x + cos 2x
π
π
π
π
π
cos 2x
sin 2x
cos 2x + sin 2x
π
8
8
8
Ta có: I + J = I = ∫
dx + ∫
dx= ∫
dx = ∫ 8 dx = x 08 =
0 sin 2x + cos 2x

0 sin 2x + cos 2x
0 sin 2x + cos 2x
0
8
π
π
π
cos 2x
sin 2x
cos 2x − sin 2x
Và I − J = I = ∫ 8
dx − ∫ 8
dx= ∫ 8
dx
0 sin 2x + cos 2x
0 sin 2x + cos 2x
0 sin 2x + cos 2x
π
1 2 dt 1
Đặt t=sin2x+cos2x ⇒ dt=2 ( cos2x-sin2x ) dx. Khi x=0 ⇒ t=1, x= ⇒ t = 2 ⇒ I − J = ∫
= ln t
8
2 1 t 2
π

 I+J= 8
π 1
Vậy: 
⇒ I = + ln 2
16 8

 I − J = 1 ln 2

4
Bài 34: Tính I =

π
8
0

∫

2
1

=

1
ln 2
4

Bài 33: Tính các tích phân:

8


π
2
π
3

π
π
x + s inx
x
s inx
2
dx = ∫π
dx + ∫π2 2 dx
2
2
sin x
3 sin x
3 sin x

1. I = ∫
π
2
π
3

J=∫

 u=x
du = dx

⇒

1
dv= sin 2 x dx v = − c otx

x
dx
sin 2 x
π

π

3

3

⇒ J= -x.cotx π2 + ∫π2
π
2
π
3

K=∫

π
π
π
cosx
d(sinx)
dx = -x.cotx π2 + ∫π2
= -x.cotx π2 + ln sinx
sinx
sinx
3
3

3

π
2
π
3

3π
3
− ln
9
2

=

π
s inx
s inx
dx = ∫π2
dx
2
2
sin x
3 1-cos x

π
1
π
⇒ t = , x= ⇒ t = 0
3

2
2
1
0
1
1  1
1 
K = − ∫1
dt = ∫ 2 
−
÷dt = ... = ln 3
2
2 0  1− t 1+ t 
2 1− t
t=cosx ⇒ dt=-sinxdx. Khi x=

3π
3
3π
− ln
+ ln 3 =
+ ln 2
9
2
9
π
π
π
x + cosx
x + cos x + s inx

x + sin 2 x − cosx
2
3
2. I = ∫ 3
dx
3.
I
=
dx
2.
I
=
dx
∫π3
∫0
0
cos2 x
sin 2 x
cos2 x
1
s inx
s inx
1
cosx
cosx
dx = ∫
dx = ∫
dx
I=∫
dx = ∫

dx = ∫
dx
Chú ý: I = ∫
2
2
2
s inx
sin x
1-cos x
cosx
cos x
1-sin 2 x

→I = J+ K =

Bài 35: Tính các tích phân:
π

 u=x
du = dx
⇒

2
dv=cot x + 1 − 1 v = − c otx-x

π

1. I = ∫π2 x.cot 2 xdx = ∫π2 x. ( cot 2 x + 1 − 1) dx
4

4

π
2
π
4

π
2
π
4

I = − x. ( cotx+x ) + ∫
π
2
π
4

π
2
π
4

= −x. ( c otx+x ) + ∫
π

2. I = ∫ 4 x.tan 2 xdx
0

( c otx+x ) dx = −x. ( c otx+x )

π
2
π
4

π
2
π
4

+∫

π
cosx
dx + ∫π2 xdx
sinx
4

π
π
d ( sinx )
+ ∫π2 xdx = −x. ( c otx+x ) π2 + ln s inx
sinx
4
4
π

3. I = ∫π2 ( 1 − x ) .cot 2 xdx
4

π
2
π
4

x2
+
2

π
2
π
4

=

π

π ln 2 3π2
−
−
4
2
32

4. I = ∫π2 x. ( cot 2 x − 1) dx
4

π

5. I = ∫ 4 ( 1 − 2x ) . ( 1 − tan 2 x ) dx
0

Bài 36: Tính các tích phân:

1.

( tan x + 2 ) dx t=tanx+1, tanx=t-1, dt= 1 dx,
I=∫
3
cos2 x
cos2 x. ( tan x + 1)
2
2
2 ( t + 1)
2 t + 2t + 1
21
2 1
dt =
dt =
+ +
dt = .........
2

π
4
0

I=∫

1

t3
π
4
0

2. I = ∫

π

4. I = ∫ 4
0

∫

1

( tan x − 1)

∫

t3

1


t

dx

( tan x − 1)
dx
3
cos2 x. ( 2 − 4 tan x )

π
⇒t=2
4

÷
t3 

t2

2

cos2 x. 3tan x + 1

x=0 ⇒ t=1 x=

3.

3

5.

( cot x − 2 ) dx
I=∫

2
sin 2 x. ( 1 + cot x )
2
π
( cot x − 2 ) dx
I= 2
2

π
2
π
4

∫

π
4

sin 2 x. 3 7 cot x + 1

Bài 37: Tính các tích phân:

9


I=∫

dx

2

1

x 1+ x

3

=∫

x 2 .dx

2

x.x

1

2

1+ x

3

t= 1+x3 ⇒ t 2 = 1 + x 3 , x3 = t 2 − 1, 2tdt = 3x 2dx

Khi x=1 ⇒ t= 2, x=2 ⇒ t=3
2
tdt
3
2 3 dt

1 3  1
1 
1 3+2 2
3
I= ∫
=
=
−

÷dt = ....... = ln
2
∫
∫
2
2
2
2
3
2
( t − 1) .t 3 t − 1 3  t − 1 t + 1 
Bài 38: Tính các tích phân:

I=∫

dx

ln2

1+ e

0

x

=∫

e x dx

ln 2

e

0

x

1+ e

x

t= 1+ex ⇒ t 2 = 1+e x , e x = t 2 − 1, 2tdt = e xdx

Khi x=0 ⇒ t= 2, x=ln2 ⇒ t= 3
3

I= ∫

2

2tdt

=
2
( t − 1) .t ∫

3
2

3 1
dt
1 
=
−

÷dt = ....... = ln  2 − 3 3 + 2 2 
2
∫
2
t −1
 t −1 t +1 

(

)(

)

Bài 39: Tính các tích phân:

1
dt

dx t=1+e x ⇒ dt = e x dx ⇒ dx =
, x=0 ⇒ t=1 x=ln2 ⇒ t=3
x
0 1+ e
t −1
3
3 1
dt
1
I= ∫
=∫ 
− ÷dt = ........
2 t. t-1
2 t −1
t
( )


1. I = ∫

ln2

2. I = ∫

ln 2

0

ln 2
1

e x dx
dx
=
∫0 ex ( 1 + ex )
1 + ex

t=1+ex ⇒ dt = ex dx, e x = t − 1, x=0 ⇒ t=1 x=ln2 ⇒ t=3
3

3

2

2

I= ∫ I= ∫

3 1
dt
1
=∫ 
− ÷dt = ........
2
t. ( t-1)
 t −1 t 

10