Phân dạng bài tập hình OXYZ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.
Hệ trục tọa độ Oxyz là hệ trục gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một.
Ox ⊥ Oy.

Tức là: Oy ⊥ Oz.
Oz ⊥ Ox.


z

r
i

r
k

r
j

y

O

x
-

Hệ trục tọa độ Oxyz gồm có các thành phần sau:
o
o
o

o

Góc tọa độ O: O(0;0;0).
Trục tọa độ:
 Trục Ox: Gọi là trục hoành. Trục Oy: Gọi là trục tung. Trục Oz: Gọi là trục cao.
Các vectơ đơn vị và vecto chỉ phương của các trục tọa độ:
r
 Trục Ox: Có vecto đơn vị và Ox có vecto chỉ phương là i = ( 1;0; 0 ) .
r
r
 Trục Oy: Có vecto đơn vị j = ( 0;1; 0 ) và Oy có vecto chỉ phương j = ( 0;1; 0 ) .
r
r
 Trục Oz: Có vecto đơn vị k = ( 0;0;1) và Oz có vecto chỉ phương k = ( 0;0;1) .
Các mặt phẳng tọa độ:
 Có ba mặt phẳng tọa độ là: Mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Ozx).
( Oxy ) ⊥ ( Oyz ) .

 Ba mặt phẳng tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một, tức là: ( Oyz ) ⊥ ( Ozx ) .

( Ozx ) ⊥ ( Oxy ) .
r r rr
 Mp(Oxy) có vecto pháp tuyến là: n = k = i, j  .
r r r r
 Mp(Oyz) có vecto pháp tuyến là: n = i =  j , k  .
r r
rr
 Mp(Ozx) có vecto pháp tuyến là: n = j =  k , i  .

B. Tọa độ của điểm:

uuuur
r
r
r
uuuur
Tọa độ của OM chính là tọa độ của điểm M, tức là: OM = x.i + y. j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) .
o Đặc biệt: Gốc tọa độ O(0;0;0).
o Điểm M(a;b;c) thuộc trục tọa độ:
• M ∈ Ox ⇔ M(a;0;0). NX: Điểm nằm trên trục Ox luôn có tung độ và cao độ =0.
• M ∈ Oy ⇔ M(0;b;0). NX: Điểm nằm trên trục Oy luôn có hoành độ và cao độ =0.
• M ∈ Oz ⇔ M(0;0;c). NX: Điểm nằm trên trục Oz luôn có hoành độ và tung độ =0.
o Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng tọa độ:
• M ∈ (Oxy) ⇔ M(a;b;0).
NX: Điểm nằm trên mp Oxy luôn có cao độ =0.
• M ∈ (Oyz) ⇔ M(0;b;c).
NX: Điểm nằm trên mp Oyz luôn có hoành độ =0.
• M ∈ (Ozx) ⇔ M(a;0;c).
NX: Điểm nằm trên mp Ozx luôn có tung độ =0.

13


r

r

r

r

r

r
Đặc biệt: 0 = (0; 0;0).

C. Tọa độ của vectơ: a = a1.i + a2 . j + a3 .k ⇔ a = (a1 ; a2 ; a3 ).
D. Các tính chất
của vectơ.
r
r

Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) và số k tuỳ ý, ta có:
r r
1. Tổng và hiệu của hai vectơ . Là một vecto. a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) .
2. Tích của vectơ.
r
• Tích của vecto với một số. Là một vecto. k .a = ( k .a1 ; k .a2 ; k .a3 ) .
•

Tích vô hướng của hai vecto: Là một số.
rr
o a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

rr
r r
Đặc biệt: a.b = 0 ⇔ a ⊥ b .

•

Tích có hướng của hai vecto: Là một vecto.
r r
 a2 a 3 a3 a1 a1 a 2
;
;
o  a, b  = 
 b2 b3 b3 b1 b1 b 2
3. Độ dài vectơ. Là một số không âm.
r
o
a = a12 + a22 + a32 .


÷
÷.


4. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
a1 = b1
r r

o a = b ⇔ a2 = b2 .
a = b
3
 3

r r
r
r

r
Đặc biệt:  a, b  = 0 ⇔ a cùng phương b .
r
Đặc biệt: Vectơ 0 = 0.

r
r
r
r
Đặc biệt: a = kb ⇔ a cùng phương với b .

5. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
rr
r r
a.b
o cos a, b = r r .
Cần nhớ: Góc giữa hai vectơ là góc tùy ý.
a.b
r r
r r
r r
0
o Đặc biệt: cos a, b = 0 ⇔ a, b = 90 ⇔ a ⊥ b .

( )

( )

( )

E. Tính chất của vecto đối với tọa độ của điểm.

Cho hai điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) . Khi đó:
uuur
uuur
1. Tọa độ vectơ AB là: AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) .
uuur
uuur
2. Độ dài AB : Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài AB .
uuur
2
2
2
AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) .

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
 x A + xB y A + y B z A + z B 
;
;
3. Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: I 
.
2
2 ÷
 2

 x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC
;
;
4. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: G 
3

3
3

5.

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là:


÷.

x
+
x
+
x
+
x
y
+
y
+
y
+
y
z
+ z + z + zD

B
C
D

B
C
D
G A
; A
; A B C
4
4
4



÷.


F. Vecto vuông góc, vecto cùng phương.
•

Hai vecto vuông góc với nhau: Hai vecto vuông góc thì có tích vô hướng bằng 0.
r r
rr
o a ⊥ b ⇔ a.b = 0 .
r r
r r
r r
o a ⊥ b ⇔ a, b = 900 ⇔ cos a, b = 0 .

( )

•

( )

Hai vecto cùng phương.
r r
r
r r
o Hai vectơ a , b cùng phương ⇔  a, b  = 0 .
r r
r
r
r
r
o Hai vectơ a , b cùng phương ⇔ a = kb hoặc b = ka .
a1 a2 a3
b1 b2 b3
r r
=
=
=
=
o Hai vectơ a , b cùng phương ⇔
hoặc ⇔
với mẫu số ≠ 0.
b1 b2 b3
a1 a2 a3

G. Vecto đồng phẳng, vecto không đồng phẳng.
•
•

r r r
r r r
Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0 .
r r r
r r r
Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng ⇔  a, b  .c ≠ 0 .

14


H. Các tính chất về điểm thường áp dụng.

uuur uuur
r
uuur uuur
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi 2 vecto AB, AC cùng phương ⇔  AB, AC  = 0 .
uuur uuur
r
uuur uuur
• Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi 2 vecto AB, AC không cùng phương ⇔  AB, AC  ≠ 0 .
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
• Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 3 vecto AB, AC , AD đồng phẳng ⇔  AB, AC  .ΑD = 0 .
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
•
A, B, C, D không đồng phẳng khi 3 vt AB, AC , AD không đồng phẳng ⇔  AB, AC  .ΑD ≠ 0 .
1 uuur uuur
I. Diện tích tam giác ABC:

S ABC =  AB, AC  .
2
uuur uuur
S ABCD =  AB, AC  .
J. Diện tích HBH ABCD:
1 uuur uuur uuur
1
VABCD =  AB, AC  .ΑD hoặc VABCD = B.h.
K. Thể tích tứ diện ABCD:
6
3
Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm tọa điểm, tọa độ vectơ, vectơ bằng nhau:
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết:
uuuur
uuuur r r r
4. AM = ( 1; 2;3) , A(1;-1;2).
1. OM = 3i + 2 j − k .
uuuur
r r
uuuur r r
2. OM = 2 j − 3k .
5. AM = i − 2k , A(-1;-1;3).
uuuur
r r
uuuur
r r
r
3. OM = −i + 2 j.
6. AM = −i + 3 j − 2k , A(0;-1;-2)

Bài 2: Cho năm điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1), D(-2;0;-1).
1. Tính tọa độ trung điểm các đoạn thẳng: AB, AC, AD.
2. Tính tọa độ trọng tâm các tam giác sau: ABC, ABD.
Bài 3:
1. Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;5;6). Tìm điểm C sao cho A là trung điểm BC.
2. Cho hai điểm M(-1;0;3), N(0;2;-3). Tìm điểm E sao cho N là trung điểm ME.
Bài 4: Cho ba điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1).
1. Tìm điểm M sao cho A là trọng tâm tam giác BCM.
2. Tìm điểm N sao cho B là trọng tâm tam giác ANC.
Bài 5: Tìm tọa độ điểm M biết: Vận dụng hai vecto bằng nhau
uuur
uuur uuu
r
1. MA = 2 AB + OA với A(2;1;0), B(-2;0;1).
uuur uuur r
2. 3MA − 2 MB = 0 với A(2;1;4), B(-2;3;1).
uuur
2 uuur
3.
MA = −5MB với A(2;1;0), B(-2;0;1).
3
Bài 6:
1. Cho ba điểm A(1;6;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
2. Cho hai điểm A(1;-7;3), B(1;2;-9). Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
3. Cho hai điểm M(1;-1;3), N(1;0;-4). Tìm tọa độ điểm P để tứ giác OMNP hình bình hành.
r r
r
r
r
Dạng 2: Vectơ cùng phương với nhau: a cùng phương b ⇔  a, b  = 0 .

Bài 1: Xét sự cùng phương của các vectơ sau.
r
r
r
r
1. a = ( 1;1;1) , b = ( −2; −2; −2 ) ,
a = ( 2; −2;1) , b = ( −2; 2; −1)
r
r
r
r
2. a = ( 2;1; −2 ) , b = ( 2; −1;0 )
a = ( 1;3;0 ) , b = ( 2; −1; 0 )
•

Bài 2: Cho ba điểm A(1;2;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4). Chứng minh rằng A, B, C không thẳng thàng.
Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;-3), B(9;-8;1), C(-1;1;2). Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
r r
rr
Dạng 3: Vectơ vuông góc với nhau. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 .
r
r
r r
Bài 1: Cho a = ( m;6; −5 ) , b = ( m; − m; −1) . Tìm m để a ⊥ b .
r
r
r r
Bài 2: Cho a = ( m;3; −2 ) , b = ( m; − m; −1) . Tìm m để a ⊥ b .
Bài 3: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 4:

1. Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính diện tích tam giác.
2. Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
3. Cho ba điểm, M(0;1;1), N(1;0;4) P(-1;1;2). Chứng minh tam giác vuông.
4. Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
5. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

15


Dạng 4: Độ dài vectơ, chu vi và diện tích tam giác.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC. Chứng minh tam giác ABC là tam
giác đều. Tính diện tích tam giác.
Bài 2: Cho ba điểm A(2;2;0), B(2;0;2), C(0;2;2). Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC. Chứng minh tam giác ABC là tam
giác đều. Tính diện tích tam giác.
Dạng 5: Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng và không đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích
tứ diện ABCD.
Bài 3: Cho ba điểm A(1;-4;1), B(2;1;2), C(1;-1;1). Chứng minh O, A, B ,C không đồng phẳng.
uuu
r r r
r uuur r r
r uuur
r r
r uuur
r r
r
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn OA = i − j + 2k , OB = i + 3 j + 2k , OC = 4i + 3 j + 2k , OD = 4i − j + 2k .
1. Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

- Phương trình mặt cầu.
- Phương trình mặt phẳng.
- Phương trình đường thẳng.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu: Có hai dạng phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu.
Mặt cầu cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R.
Phương trình mặt cầu có dạng: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .
2

2

2

Dạng 2: Phương trình mặt cầu ở dạng khai triển.
Từ pt ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .
2

2

2

Ta khai triển hằng đẳng thức, ta được: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax-2by-2cz+a 2 +b 2 +c 2 -R 2 =0
Ta đặt d=a 2 +b 2 +c2 -R 2 , ta được phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax-2by-2cz+d=0 .
Như vậy ta có hai dạng phương trình mặt cầu:
2
2
2
o Mc (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 có tâm I(a;b;c) và bán kính R.

Mc (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax-2by-2cz+d=0 có I(a;b;c) và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
2. Các dạng toán về phương trình mặt cầu: Có hai dạng toán về phương trình mặt cầu.
- Dạng 1: Cho phương trình mặt cầu xác định tâm và bán kính mặt cầu hoặc cho các yếu tố liên quan đến mặt cầu
xác định tâm và bán kính mặt cầu.
- Dạng 2: Cho các yếu tố liên quan đến mặt cầu viết phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
o

Dạng 1

Dạng 2
Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax-2by-2cz+d=0
• Có tâm I(a;b;c) với
heä soá x
heä soá y
heä soá z
a=
b=
c=
•
−2
−2
−2
• Bán kính: R = a 2 + b 2 + c 2 − d

Mc (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
2

2

2

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Bài tập về xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
1. ( x-1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 4

2. ( x+1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 9

3. ( x-2 ) + y 2 + ( z + 1) = 2

4. x 2 + ( y − 3) + ( z + 3 ) = 36

2

2

2

2

2

Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
1. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0

2

2

2

2

2

2. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y + 6 z − 1 = 0

16


3. x 2 + y 2 + z 2 4 x + 2 y + 4 z + 2 = 0

4. x 2 + y 2 + z 2 x y z = 0

5. x 2 + y 2 + z 2 3x + y 5 z 2 = 0
6. x 2 + y 2 + z 2 6 x 8 z = 0
Bi 3:
1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu cú tõm A(1;2;3) v i qua im B(;3;4;2).
2. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu cú ng kớnh AB vi A(1;2;3) v B(-1;0;4).
Bi 4: Xỏc nh bỏn kớnh mt cu cú tõm I(5;-6;-4) v Tip xỳc vi trc Ox. Tip xỳc vi trc Oy. Tip xỳc vi trc Oz.
Bi 5: Xỏc nh bỏn kớnh mt cu cú tõm I(3;-4;-5) v Tip xỳc vi mp(Oxy). Tip xỳc vi mp(Oyz).
Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu.
A. Lp phng trỡnh mt cu dng ( x a ) + ( y b ) + ( z c ) = R 2 .
2

2

2

Cỏch gii: Tỡm tõm I v bỏn kớnh R ca mt cu
Cỏc dng phng trỡnh mt cu thng gp.
Dng 1:
Mt cu cú tõm I v bỏn kớnh R.
Mt cu cú tõm I v ng kớnh d.
d
Cú bỏn kớnh l: R = .
2
Dng 2: Mt cu cú tõm A v i qua im B.
Cú bỏn kớnh l: R= AB .


Dng3: Mt cu cú ng kớnh AB.
Cú tõm l trung im I ca on thng AB.
AB
Cú bỏn kớnh l R=
.
2
Hoc cú bỏn kớnh R= IA = IB .
Dng 4: Mt cu cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (P).
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
Cú bỏn kớnh l R = d ( I , ( P ) ) =
.
A2 + B 2 + C 2
Hoc cú bỏn kớnh R=IH vi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I lờn (P).
Dng 5: Mt cu cú tõm I v tip xỳc vi ng thng d.
Cú bỏn kớnh l R = d ( I , d ) .
Hoc cú bỏn kớnh R=IH vi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I lờn d.
B. Lp phng trỡnh mt cu dng: x 2 + y 2 + z 2 2ax-2by-2cz+d=0 .

Cỏch gii: Lp h phng trỡnh vi bn phng trỡnh v bn n a, b, c, d.

1.

Dng 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D
Phng phỏp
Pt mt cu (S) cú dng: x 2 + y 2 + z 2 2ax-2by-2cz+d=0 (*).


Vỡ A, B, C, D thuc (S):
theỏ toùa ủoọủieồm A vaứo pt (*).

theỏ toùa ủoọủieồm B vaứo pt (*).

theỏ toùa ủoọủieồm C vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọủieồm D vaứo pt (*).

- Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th, ta tỡm c a, b, c, d.
- Sau ú th a, b, c, d vo pt (*).
Chỳ ý: bi cú th hi thờm xỏc nh tõm, tớnh bỏn kớnh, tớnh din tớch xung quanh v th tớch khi cu ngoi tip hỡnh
chúp.
2. Dng 2: Lp Pt mc qua ba im A, B, C v cú tõm thuc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp
o Pt mt cu (S) cú dng: x 2 + y 2 + z 2 2ax-2by-2cz+d=0 (*).
o Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P), nờn: A.a+B.b+C.c+D=0.
o Vỡ A, B, C thuc (S) nờn suy ra h 3 phng trỡnh:

17

 A.a + B.b + C.c + D = 0.

 thế tọa độđiểm A vào pt (*).
o Nên ta có hệ bốn pt là: 
 thế tọa độđiểm B vào pt (*).
 thế tọa độđiểm C vào pt (*).

3. Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc mặt phẳng tọa độ.
4. Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục tọa độ.
Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc trục tọa độ.
3. Vị trị trí tương đối của mặt cầu.
a. Vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu: Có 3 vị trí tương đối.
- Điểm A nằm trong mặt cầu ⇔ IA- Điểm A nằm trên mặt cầu ⇔ IA=R.
- Điểm A nằm ngồi mặt cầu ⇔ IA>R.
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
- Mặt phẳng và mặt cầu có ba vị trí tương đối:
+ Mặt phẳng và mặt cầu khơng có điểm chung.
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm.
+ Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn
Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0.
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R.
Tính khoảng cách h = d ( I , ( P ) ) , sau đó so sánh h với R.
1. Nếu h>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.
2. Nếu h=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm H. Khi đó:
a. Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu.
b. Điểm H gọi là tiếp điểm.

c. IH vng góc với mặt phẳng (P), H chính là hình chiếu vng góc của tâm I lên mp(P)
3. Nếu ha. Các bước xác định tâm H và bán kính r của đường tròn (C).
i. Bước 1: Tính bán kính r = R 2 − h 2 với h = d ( I , ( P ) ) .
ii. Bước 2: Xác định tâm H. Gọi H là hình chiếu vng góc của tâm I lên mặt phẳng (P), khi
đó H chính là tâm đường tròn (C).
c. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
- Đường thẳng và mặt cầu có ba vị trí tương đối.
+ Đường thẳng và mặt cầu khơng có điểm chung.
+ Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm.
+ Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R.
Cho đường thẳng d có pt tham số hoặc chính tắc.
Tính khoảng cách h = d ( I , d ) , sau đó so sánh h với R.
1. Nếu h>R thì đường thẳng d và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.
2. Nếu h=R thì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm H. Khi đó:
a. Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
b. Điểm H gọi là tiếp điểm.
c. IH vng góc với d. H chính là hình chiếu vng góc của tâm I lên đường thẳng d.
3. Nếu htrình
Bài tập về lập phương trình mặt cầu
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .
2

2

2

Loại 1: Mặt cầu có tâm I và bán kính R

Cách giải: Xác đinh tâm I và bán kính R.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(0;2;2).

18


1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và bán kính bằng 3.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và bán kính bằng BC.
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và có tâm là B.
4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đi qua C.
Bài 2: Cho ba điểm A(-1;2;1), B(1;0;2), C(-1;4;-2).
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đường kính bằng 10.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm C và bán kính bằng đoạn thẳng AB.
3. Viết phương trình mặt cầu có đường kính BC.
4. Viết phương trình mặt cầu có đường kính OC.
Loại 2: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng.
Cách giải: Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng.
Bài 1:
1. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0.
2. Viết pt mc (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mp (P): 16x-15y-12z-75=0.
Bài 2:
1. Cho hai điểm phân biệt K(1;2;-2), H(-3;-8;2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là trung điểm đoạn thẳng
KH và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y-z-27=0.
2. Cho ba điểm M(1;2;-2), N(3;2;2), P(2;2;-27). Viết pt mặt cầu (S) có tâm là trọng tâm tam giác MNP và tiếp xúc
mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y-2z-27=0.
3. Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;0;0), C(0;-2;0), D(0;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCD).
Bài 3:
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxy).
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0;-1;2) và tiếp xúc với mp(Oyz).

Loại 3: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng.
Cách giải: Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng.
Bài 1:
 x = 1 + 1t

1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;1) và tiếp xúc với đt d:  y = −1t .
 z = 2 + 2t

2.
Bài 2:

Viết phương trình mặt cầu có tâm B(2;-1;0) và tiếp xúc với đt d:

x−2 y
z
= =
.
1
1 −2

1. Cho A(1;1;0), B(1;0;1), C(0;1;1). Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với cạnh BC.
2. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;0;2), C(0;2;1). Viết phương trình mặt cầu có tâm là một đỉnh của tam giác ABC và
tiếp xúc với cạnh đối diện .
Bài 3:
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với trục Ox.
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1;-1;2) và tiếp xúc với trục Oy.
ADCT
Dạng 2: Mặt cầu qua bốn điểm →
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 .
Cách giải: Lập hệ phương trình tìm a, b, c, d.

Bài 1: Cho ba điểm M(-5;-4;-3). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm O, A, B, C.
2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó. Tính thể tích khối cầu ngoài tiếp tứ diện.
Bài 2:
1. Cho ba điểm A(1;2;0), B(0;-1;-2), C(-2;0;-1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
3. Cho bốn điểm M(1;0;1), N(2;1;2), P(1;-1;1), Q(4;5;-5). Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn đỉnh tứ diện
MNPQ.
Dạng 3: Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và thuộc mặt phẳng.
Bài 3:
1. Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0.
2. Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):18x-35y-17z-2=0.
3. Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0.
Bài 4:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz).
Bài 5:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.

19


2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
Dạng 4: Vị trí tương đối của mặt phẳng – đường thẳng và mặt cầu
Bài 1: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
1.

(P): 2x+2y+z+2=0 và (S): ( x-1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .

2.

(P): x-2y-2z-3=0 và (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 .

2

2

2

Bài 2: Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0.
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
2. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).
Bài 3: Cho mặt cầu (S): ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 100 và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0.
2

2

2

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
2. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).
Bài 4: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu (S).
 x = 1 + 1t

2
2
1. d:  y = −1t và (S): x 2 + ( y − 3) + ( z + 3) = 36
 z = 2 + 2t

2.

d:

x−2 y
z
= =
và (S): 2x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 4 x + 6 y + 8 z − 10 = 0 .
1
1 −2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng.
Nhận xét:
- Một mặt phẳng có vô số vectơ phápr tuyếnrvà các vectơ pháp tuyến này cùng phương với nhau.
- Nếu mp(P) có vectơ pháp tuyến là n thì k .n cũng là vectơ pháp tuyến của mp(P).
2. Các cách xác định vecto pháp tuyến của một mặt phẳng.
• Cách 1: Tìm một vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng.
• Cách 2: Tìm hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng rồi lấy tích có hướng.
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2 + B 2 + C 2 > 0 .
• Nếu mp(P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
r
n = ( A; B; C ) .
4. Các cách viết phương trình mặt phẳng.
• Cách 1: Áp dụng công thức Ax+By+Cz+D=0 rối đi tìm A, B, C, D.
r
• Cách 2: Phương trình mặt đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) phương trình
tổng quát có dạng: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
Như vậy: Để viết phương trình mặt phẳng ta cần:

• Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng.
• Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
• Sau đó áp dụng công thức: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) phương trình có dạng:

x y z
+ + = 1 với a, b, c, khác
a b c

không.
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian.
- Hai mặt phẳng có ba vị trị trí tương đối.
o Hai mặt phẳng cắt nhau.
o Hai mặt phẳng song song.
o Hai mặt phẳng trùng nhau.
uur
• Mp(P) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến nP .
uur
• Mp(Q) đi qua điểm B và có vecto pháp tuyến nQ .
1. Mp(P) song song mp(Q):
a. Hai mặt phẳng song song không có điểm chung.

20


b.
c.
d.

e.

2.

uur uur
r
Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là:  nP , nQ  = 0 .
Điểm A thuộc (P) nhưng không thuộc (Q).
Điểm B thuộc (Q) nhưng không thuộc (P).
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:
uur uur
r
i. Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là:  nP , nQ  = 0 .
ii. Điểm A thuộc (P) nhưng không thuộc (Q).

Mp(P) trùng với mp(Q):
a. Hai mặt phẳng trùng nhau có vô số điểm chung, nghĩa là mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều
thuộc mặt phẳng kia và ngược lại.
uur uur
r
b. Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là:  nP , nQ  = 0 .
c. Điểm A thuộc (P) và cũng thuộc (Q).
d. Điểm B thuộc (Q) và cũng thuộc (P).

3.

Mp(P) vuông góc với mp(Q):
a. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau, tức là:
uur uuu
r

nP ⊥ nQ .
b. Để chứng minh mp(P) vuông góc với mp(Q) ta chứng minh hai vecto pháp tuyến vuông góc
uur uuu
r
với nhau, thứ là: n P .n Q = 0 .
6. Các dạng phương trình mặt phẳng.
• Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
o Mặt vuông góc với đường thẳng nhận vecto chỉ phương của đường làm vecto pháp tuyến.
o Lưu ý: Đường thẳng có thể cho ở các dạng: Pt tham số, pt chính tắc hoặc pt đường thẳng đi qua hai
điểm phân biệt, hoặc đường là các trục tọa độ.
• Dạng 2: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước.
o Hai mặt phẳng song song cung vecto pháp tuyến.
• Dạng 3: Mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt A, B, C.
r
uuur uuur
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  AB, AC  .
• Dạng 4: Mặt phẳng đi qua hai điểm và A, B và vuông góc mp(P).
r
uuur uur
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  AB, nP  .
o Giả thiết đi qua hai điểm có thể thay bằng chứa một đường thẳng có pt tham số hoặc chính tắc.
• Dạng 5: Mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d.
r
uuur uur
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  AB, ad  với điểm B nằm trên d.
• Dạng 6: Mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song đường thẳng d’, với d và d’ chéo nhau.
r
uur uuu
r
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  ad , ad ' 

• Dạng 7: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
r
uur uuu
r
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  ad , ad '  .
• Dạng 8: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
r
uuur uur
r
uuur uuu
r
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  AB, ad  hoặc n =  AB, ad ' 
o Với điểm A thuộc d và điểm B thuộc d’.
• Dạng 9: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
r
uur uur
o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n =  nP , nQ  .
• Dạng 10: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến và cách điểm M một khoảng bằng d.
o Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0. Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm
D.
o Các trường hợp thường gặp:
 Đề cho vecto pháp tuyến.
 Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng.
 Mặt phẳng song song với mặt phẳng.
• Dạng 11: Măt phẳng có vecto pháp tuyến và tiếp xúc với một mặt cầu:

21


o

o

Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0. Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm
D.
Các trường hợp thường gặp:
 Đề cho vecto pháp tuyến.
 Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng.
 Mặt phẳng song song với mặt phẳng.

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: d ( M , ( P)) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

.
A2 + B 2 + C 2
8. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng nay đến mặt phẳng kia hoặc ngược lại.
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:
• Chọn một điểm M thuộc (Q). Sau đó tính khoảng cách từ M đến (P).
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( ( P) ,( Q) ) = d ( M ,( P) ) =
A2 + B 2 + C 2
Chú ý: Khoảng cách là một số không âm.
Các dạng bài tập về phương trình mặt phẳng
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
1. 2x-2y-z-10=0
2. 3x-4y+10=0
3. x-2y-2z=0

Bài 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
1. (P): 2x+y+z-2=0 và (Q): 2x+y+z+3=0.
2. (P): x-y+2z-4=0 và (Q): -x+y-2z+1=0.
Bài 3:
1. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0
2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4).
3. Cho A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0.Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mp(P): 2x-2y-z=0.
1. Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P).
3. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P).
Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1;3) đến các mặt phẳng tọa độ.
2. Viết phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng d co trước.
Nhận xét:
- Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng sẽ vuông góc với giá của đường thẳng d.
- Do đó mặt phẳng sẽ nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến.
Bài 1: Cho ba điểm I(1;2;0), J(0;-1;-2), K(-2;0;-1).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với JK.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với IJ.
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục Ox.
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua K và vuông góc trục Oz.
x = 2 − t

x −1 y z +1
Bài 2: Cho điểm E(1;-2;-3) và hai đường thẳng d:  y = 1 + 2t , d’:
=
=
.

2
−1 −2
 z = 1 − 2t

1.
2.
3.
4.
Bài 3:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua E và vuông góc với đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua E và vuông góc với đường thẳng d’.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d’.
 x = 1 + 2t
x −1 y z +1

=
=
1. Cho hai đường thẳng d:  y = 2 + t , d':
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
5
−1 −2
 z = −1 + 3t


d’ và vuông góc với đường thẳng d.

22

 x = 1 + 2t

2. Cho đường thẳng d:  y = 2 + t . Viết pt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với trục Ox.
 z = −1 + 3t

Trường hợp Đặc biệt: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.
- Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm AB.
uuur
- Mặt phẳng trung trực nhận AB làm vecto pháp tuyến.
Bài 1:
1. Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.
2. Cho hai điểm F(-2;3;0), G(-2;-3;-4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng FG.
3. Cho điểm S(2;-4;6). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng OS.
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng
- Hai mặt phẳng song cùng vecto pháp tuyến.
1. Viết pt mp (P) đi qua điểm T(1;-2;6) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
2. Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0.
3. Cho hai điểm M(-1;-9;-3), N(-3;-9;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và
song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+9z-10=0.
4. Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC
và song song với mặt phẳng (Q): 9y-2z-1=0.
Dạng 3: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng.
r
uuur uuur
- Mp(ABC) có vecto pháp tuyến là n =  AB, AC  .
1. Cho ba điểm A(1;2;0), B(0;-1;-2), C(-2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Cho ba điểm M(1;2;9), N(0;-1;-6), P(-2;8;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M, N, P.
3. Cho hai điểm K(0;-2;3), H(2;-3;1). Viết phương trình mặt phẳng (OKH).
Dạng 4: Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với một mặt phẳng (Q).

r
uuur uuu
r
- Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n =  AB, n Q  .
Bài 1:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z1=0.

2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng ( β ): 2x-y-

1=0.
Bài 2:
x −1 y z +1
=
=
và vuông góc với mP(P): 2x-y+2z-1=0.
2
−1 −2
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x-y+2z-1=0.
1. Viết pt mp chứa đường thẳng d:

Dạng 5: Mặt phẳng chứa một điểm A và một đường thẳng d.
r
uuur uur
- Mp(P) có vecto pháp tuyến là n =  AB, ad  .
x = 2 − t

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:  y = 1 + 2t .
 z = 1 − 2t

x −1 y z +1

=
=
.
2
−1 −2
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
2. Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d:

Dạng 6: Mặt phẳng chứa một đường thẳng d và song song với một đường thẳng d’.

23


r
uur uuu
r
- Mp(P) có vecto pháp tuyến là n =  ad , ad '  .
Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
Bài 2:
x = 2 − t
x −1 y z +1

=
=
1. Viết pt mp chứa đt d:  y = 1 + 2t và song song với đường thẳng d’:
.
5

−1 −2
 z = 1 − 2t

x −1 y z +1
=
=
.
2
−1 −2
3. Viết pt mp chứa đường thẳng đi qua hai điểm A(1;4;1), B(-1;0;3) song song với trục Ox
2. Viết pt mp chứa trục Ox và song song với đường thẳng d:

Dạng 7: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d và d’:
r
uur uuu
r
- Mp(P) có vecto pháp tuyến là n =  ad , ad '  .
x = 2
 x = −2 − 2t


1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:  y = 2t , d':  y = −4
.
 z = 1 − 2t
z = 3 − t


 x = 1 + 2t
x = 2 + t '



2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:  y = 2 + t và d’:  y = 1 + 2t '
 z = −1 + 3t
z = 1+ t '


3. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai trục Ox, Oy.
4. Viết phương trình mặt phẳng (Oyz).
5. Viết phương trình mặt phẳng (Ozx).
Dạng 8: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
r
uuur uur
- Mp(P) có vecto pháp tuyến là n =  AB, ad  .

1.

2.

x = 1
 x = −1


y
=
2
t
,
d':
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng: 
 y = 3 − 2t .

z = 1− t
z = t


x
=
1


Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d:  y = 1 − 2t và chứa trục Ox.
z = 1


x = 1
 x = −1


3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:  y = t , d':  y = 3 + t .
z = 1− t
z = 3 − t


Dạng 9: Mặt phẳng (P) đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R).
uur
uur uur
- Mp(P) có vecto pháp tuyến là nP =  nQ , nR  .
1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là 2x+y+z+1=0, mặt phẳng
(R) có phương trình tổng quát là x-2y+z+4=0 và điểm M(1;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông
góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) và mặt phẳng (Q) có phương

trình tổng quát là x+2z+10=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;1;-3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) và
mp(ABC).

24


3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là x+y+z+1=0, mặt phẳng
(R) có phương trình tổng quát là 2x-y-3=0 và điểm M(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc
với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Dạng 10: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến và cách điểm M một khoảng bằng d.
• Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0. Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
r
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = ( 2; 2;1) và cách điểm M(1;-2;0) một khoảng bằng 3.
2. Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z-1=0 và điểm M(0;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng
(P) cách điểm điểm M khổng bằng 9.
3. Cho (Q): 4x+3y-12z+1=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa
độ đến (P) bằng 2.
 x = 1 + 16t

4. Cho đường thẳng d:  y = −15t . Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d và khoảng cách từ gốc tọa
 z = 2 + 12t

độ đến (P) bằng 10.
5. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P)
bằng 2
Dạng 11: Măt phẳng có vecto pháp tuyến và tiếp xúc với một mặt cầu:
• Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0. Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
1: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) bán kính R=3. Viết phương trình mặt phẳng
(Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
2: Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0 và mặt cầu (S): ( x-1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 . Viết phương trình mặt

2

2

2

phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
3: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0
và song song với mặt phẳng có pt (Q): 4x+3y-12z+1=0.
4: Cho mặt cầu (S): ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 100 và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0.
2

2

2

a. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
b. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).
5: Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 4 và mặt phẳng (P): x+z=2.
1. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
2. Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S).

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vecto chỉ phương của đường thẳng.
Là vecto có giá song song với đường thẳng hoặc trùng với đường thẳng.

d

.

M

r
a

r
a

Nhận xét:
- Một đường thẳng có vô số vecto chỉ phương và các vecto chỉ phương này cùng phương với nhau.
r
r
- Nếu đường thẳng d có vecto chỉ phương là a thì k. a cùng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.
2. Các cách xác định vecto chỉ phương của một đường thẳng.
o Cách 1: Tìm một vecto có giá song song hoặc có giá trùng với đường thẳng.
o Cách 2: Tìm hai vecto có giá vuông góc với đường thẳng rồi lấy tích có hướng.
3. Phương trình tham số của đường thẳng.
r
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vecto chỉ phương a = ( a; b; c ) .

25


 x = x0 + at

Phương trình tham số có dạng:  y = y0 + bt . .
 z = z + ct
0

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng.

r
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vecto chỉ phương a = ( a; b; c ) .
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
, với abc ≠ 0 .
a
b
c
Nhận xét: Để viết phương trình đường thẳng ta cần tìm một điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc đường thẳng và một vecto chỉ
r
phương a = ( a; b; c ) của đường thẳng.
5. Các dạng phương trình đường thẳng.
o Đường thẳng đi qua hai điểm A, B phân biệt.
o Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng.
o Đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.
o Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.
o Đường thẳng đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau.
6. Ví trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
- Hai đường thẳng có bốn vị trí tương đối:
+ Hai đường thẳng cắt nhau.
+ Hai đường thẳng chéo nhau (không đồng phẳng).
+ Hai đường thẳng song song.
+ Hai đường thẳng trùng nhau.
Phương trình chính tắc có dạng:

r
Cho đường thẳng d đi qua A ( x A ; y A ; z A ) có vecto chỉ phương a = ( a; b; c ) .
uu
r

• Cho đường thẳng d’ đi qua B ( xB ; yB ; z B ) có vecto chỉ phương a ' = ( a '; b '; c ' ) .
Hai đường thẳng cắt nhau:
• Hai đường thẳng cắt nhau thì cắt nhau tại một điểm.
• Hai đường thẳng cắt nhau thì chúng đồng phẳng.
• Nếu 2 đường thẳng d và d’ cắt nhau:
o Khi đó:
r uu
r
r
r uu
r
 Hai vecto chỉ phương a, a ' không cùng phương, tức là  a, a ' ≠ 0 .
r uu
r uuur
r uu
r uuur
 Ba vecto a, a ', AB đồng phẳng, tức là  a, a ' . AB = 0 .
•

1.

•

Để chứng minh 2 đường thẳng d và d’ cắt nhau, ta có 2 cách sau đây:
r uu
r uuur
o Cách 1: Chứng minh  a, a ' . AB = 0 .
o Cách 2: Đi tìm giao điểm của d và d’.
2. Hai đường thẳng chéo nhau:
• Hai đường chéo nhau thì chúng không có điểm chung và không đồng phẳng.

• Nếu 2 đường thẳng d và d’ chéo nhau:
o Khi đó:
r uu
r
r
r uu
r
 Hai vecto chỉ phương a, a ' không cùng phương, tức là  a, a ' ≠ 0 .
r uu
r uuur
r uu
r uuur
 Ba vecto a, a ', AB không đồng phẳng, tức là  a, a ' . AB ≠ 0 .
r uu
r uuur
• Để chứng minh 2 đường thẳng d và d’ chéo nhau, ta chứng minh  a, a ' . AB ≠ 0 .
2. Hai đường thẳng song song.
• Hai đường thẳng song song thì chúng không có điểm chung. Nghĩa là mọi điểm thuộc đường thẳng này
không thuộc đường thẳng kia và ngược lại.
• Hai đường thẳng song song thì chúng đồng phẳng.
• Nếu 2 đường thẳng d và d’ song song với nhau:
o Khi đó:
r uu
r
r
r uu
r
 Hai vecto chỉ phương a, a ' cùng phương, tức là:  a, a ' = 0 .
 Điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’.
 Điểm B thuộc d’ nhưng không thuộc d.

26


•

Để chứng minh 2 đường thẳng d và d’ song song với nhau, ta chứng minh:
r uu
r
r
r uu
r
 Hai vecto chỉ phương a, a ' cùng phương, tức là:  a, a ' = 0 .
 Điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’.
3. Hai đường thẳng trùng nhau:
• Hai đường thẳng trùng nhau có vô số điểm chung, nghĩa là mọi điểm thuộc đường thẳng này đều thuộc
đường thẳng kia và ngược lại.
• Nếu 2 đường thẳng d và d’ trùng nhau:
o Khi đó:
r uu
r
r
r uu
r
 Hai vecto chỉ phương a, a ' cùng phương, tức là:  a, a ' = 0 .
 Điểm A thuộc d và cũng thuộc d’.
 Điểm B thuộc d’ và cũng thuộc d.
• Để chứng minh 2 đường thẳng d và d’ trùng nhau, ta chứng minh:
r uu
r

r
r uu
r
 Hai vecto chỉ phương a, a ' cùng phương, tức là:  a, a ' = 0 .
 Điểm A thuộc d và cũng thuộc d’.
4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
• Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cắt nhau hoặc chéo nhau.
• Hai vecto chỉ phương vuông góc với nhau. Tích vô hướng của chúng bằng 0.
• Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh hai vecto chỉ phương vuông góc với
ru
r
nhau, tức là: a.a' = 0
7. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
- Đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tường đối.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng, không có điểm chung.
+ Đường thẳng chứa trong mặt phẳng, có vô số điểm chung.
1.

Đường thẳng song song với mặt phẳng.
• Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
• Vecto chỉ phương vuông góc với vecto pháp tuyến.
• Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh:
rr
o Vecto chỉ phương vuông góc với vecto pháp tuyến, tức là: a.n = 0 .
o Một điểm A thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mặt phẳng.
2. Đường thẳng chứa trong mặt phẳng.
• Đường thẳng và mặt phẳng có vô số điểm chung, tức là mọi điểm thuộc đường thẳng đều thuộc mặt
phẳng.
• Vecto chỉ phương vuông góc với vecto pháp tuyến.

• Để chứng minh đường thẳng chứa trong mặt phẳng, ta chứng minh:
rr
o Vecto chỉ phương vuông góc với vecto pháp tuyến, tức là: a.n = 0 .
o Một điểm A thuộc đường thẳng và cũng thuộc mặt phẳng.
Đặc biệt: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
r r
r
• Vecto chỉ phương cùng phương với vecto pháp tuyến, tức là: a, n  = 0 .
• Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
3. Đường thẳng cắt mặt phẳng.
• Khi vecto chỉ phương không vuông góc với vecto pháp tuyến thì đường thẳng cắt mặt phẳng. Tức là:
rr
a.n ≠ 0 .
Cách khác:
• Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
 x = x0 + at

 y = y0 + bt
• Tọa độ giao điểm nếu có là nghiệm của hệ phương trình: 
.
 z = z0 + ct
 Ax+By+Cz+D=0
• Xét phương trình: A ( x0 + at ) +B ( y0 + bt ) +C ( z0 + ct ) +D=0 (*).
o
o

Nếu pt (*) có một nghiệm t, thì đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
Nếu pt (*) vô nghiệm, thì đường thẳng song song với mặt phẳng.

27

o

Nếu pt (*) có vô số nghiệm, thì đường thẳng chứa trong với mặt phẳng.

Bài tập về các dạng phương trình đường thẳng.
Dạng 1: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
uuur
Nhận xét: Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là vecto AB
Bài 1: Cho hai điểm A(1;2;3), B(-2;0;-3).
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B.
2. Viết phương trình đường thẳng OA.
3. Viết phương trinh đường thẳng OB.
Bài 2:
1. Cho mặt cầu (S) có phương trình 4x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 400 . Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm mặt cầu và
điểm M(2;3;-1).
2. Cho ba điểm A(1;1;1), B(3;3;3), C(-8;-12;-4). Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm đoạn thẳng AB
và trọng tâm tam giác ABC.
Dạng 2: Đường thẳng d đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng (P).
o Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận vecto pháp tuyến của mặt phẳng làm vecto chỉ phương.
Bài 1: Cho hai điểm E(1;-2;3), F(3;-4;5) và mặt phẳng (P): 2x-3y+4y-5=0.
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua E và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua F và vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2;-3) và vuông góc với mặt phẳng Oxz
Dạng 3: Đường thẳng qua một điểm và song với một đường thẳng.

Nhận xét: Hai đường thẳng song song cùng vecto chỉ phương.
 x = 1 + 2t

Bài 1: Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:  y = 2 + t .
 z = −1 + 3t


Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và song song với d.
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ và song song với d.
x −1 y z +1
=
=
Bài 2: Cho điểm M(-2;0;-3) và đường thẳng d:
.
5
−1 −2
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và song song với d.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ và song song với d.
Bài 3: Cho điểm P(1;2;3).
1. Viết phường trình đường thẳng ∆ đi qua P và song song với trục Ox.
2. Viết phường trình đường thẳng ∆ đi qua P và song song với trục Oy.
Dạng 4: Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
uur
uur uuu
r
Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là: a∆ =  ad , ad '  .
 x = 1 + 2t

x −1 y z +1
=

=
Bài 1: Cho điểm A(1;-2;0) và hai đường thẳng d:  y = 2 + t , d’:
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi
1
−1 −2
 z = −1 + 3t

1.
2.

qua A và vuông góc với d và d’.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(3;0;3), C(-4;-1;2).
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với AB và BC.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và AC tại A.
3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua Q(2;-3;9) và vuông góc với 2 trục Ox, Oy.
4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua Q(2;-3;9) và vuông góc với 2 trục Ox, Oy.

28


Dạng 5: Đường thẳng đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau.
Nhận xét:
o Đường thẳng d song song với mp(P) và mp(Q) thì d sẽ vuông góc với giá của hai vecto pháp tuyến của mp(P) và
mp(Q).
uur
uur uur
o Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là: a∆ =  nP , nQ  .
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E(1;2;-3) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P): x-y+2=0, (Q): x-z+2=0.
2. Viết pt đường thẳng đi qua điểm F(0;1;-2) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P): 2x-y-3=0, (Q): x-2y-10=0.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng d là:
uur uuuur
 ad , AM 


d ( M,d ) =
với điểm A thuộc đường thẳng d.
uur
ad
Bài 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng d.
x = 1+ t
x = 1− t


1. M(1;2;3), d:  y = 2 − t
2. N(0;-1;2), d:  y = 1 + t .
 z = −1 + 2t
 z = −1


x −1 y z +1
x + 2 y + 3 z −1
=
=
=
=
3. A(1;2;3), d:
4. B(1;-1;2), d:
.

2
−1
1
−2
1
1
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1;-2;3) đến các trục tọa độ.
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ chéo nhau là:
uur uuu
r uuur
 ad , ad '  . AB
A∈ d


d ( d , d ') =
với 
.
uur uuu
r
 ad , ad ' 
B ∈ d '


Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
x = 3 + t
 x = −t '


1.

d:  y = 1 − t và d’:  y = 2 + 3t ' .
 z = 2 + 2t
 z = 2t '


2.

 x = −2t

x −1 y − 2 z
d:  y = −5 + 3t và d’:
=
=
.
2
−2
−1
z = 4


Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1). Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối của tứ diện.
Cách khác:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.
- Khi đó:d(d;d’)=d(d’,(P))=d(M,(P)). Với M thuộc d’.
8. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song với nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trên đường thẳng nay đến
đường thẳng kia hoặc ngược lại.
• Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ song song.
• Chọn điểm M thuộc d’. Sau đó tính khoảng cách từ M đến d. Hoặc ngược lại.
uur uuuur

 ad , AM 


d ( d , d ') = d ( M , d ) =
•
uur
ad

1.

 x = 1 − 2t
x −1 y − 2 z

=
=
d:  y = 3t
và d’:
−2
3
1
 z = −1 + t


29


 x = −1 − t
x = 1− t



y
=
2
+
2
t
2.
d: 
và d’:  y = 3 + 2t
z = t
 z = −1 + t


9. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau.
Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng bằng khoảng cách từ một điểm bắt kì trên đường thẳng
đến mặt phẳng.
•
•

1.

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P).
Chọn điểm M thuộc d. Sau đó tính khoảng cách từ M đến (P).
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( d,( P) ) = d ( M ,( P) ) =
•
.
A2 + B 2 + C 2
x = 1+ t
 x = −1 + 4t



d:  y = 3 − t
và mp(P): x-y+z+9=0.
2.
d:  y = 2 + 3t và mp(P): 4x+3y+z-10=0=0.
z = 2 + t
z = t



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. Các dạng toán về giao điểm và góc.
1. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Cách giải: Lập hệ phương trình rồi tìm t sau đó suy ra giao điểm
Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
x = 1+ t

1.
d:  y = 3 − t
và mp(P): 2x+y+2z=0.
z = 2 + t


 x = 12 + 4t

d:  y = 9 + 3t và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.
z = 1+ t


2.

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
x + 3 y +1 z − 3
x+2
y
z +3
1.
d:
=
=
và mp(P): x+2y-z+5=0
2.
d:
=
=
và mp(P): 2x+y-z2
1
1
1
−2
2
5=0.
Bài 3: Cho hai điểm M(1;2;1), N(0;-1;-2) và mặt phẳng (P): 2x-y-3z-4=0.
Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho bốn điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2), D(2;2;2).
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng OD và mặt phẳng (ABC).
2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng.
Cách giải: Lập hệ phương trình rồi tìm t và t’ sau đó suy ra giao điểm.
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:

 x = 1 + 2t
x = 2 + t '


1.
d:  y = 2 + t và d’:  y = 1 + 2t '
 z = −1 + 3t
z = 1+ t '



2.

 x = −1 + t
x −1 y + 2 z − 4

=
=
d:
và d’:  y = −t
.
−2
1
3
 z = −2 + 3t


3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách giải: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là sin của góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
rr

a.n
sinα = r r
Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 .
a.n
Bài 1: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
x = 1+ t

1.
d:  y = 3 − t và mp(P): 2x+y+2z=0.
z = 2 + t


2.

d:

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và mp(P): 3x+5y-z-2=0.
4
3
1

Bài 2: Cho hai điểm A(1;2;3), B(1;0;2) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+19=0.
1. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
2. Tính góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng Oxy.
3. Tính góc giữa đường thẳng OB và mặt phẳng Oyz.
Cần nhớ:
• Góc giữa hai đường thẳng.

30


Góc giữa hai đường thẳng là cos của góc giữa hai vectơ chỉ phương.
r uu
r
a.a '
cosα = r uu
r
Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 .
a . a'
•

1.

2.

Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng là cos của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
r uu
r
n.n '
cosα = r uu
r
Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 .
n . n'

Tính góc giữa hai đường thẳng.
 x = 1 + 2t

x = 2 + t '


1.
d:  y = 2 + t và d’:  y = 1 + 2t '
 z = −1 + 3t
z = 1+ t '


Tính góc giữa hai mặt phẳng.
1.
(P): x-y-1=0, (Q): 2y-z-10=0.

2.

 x = −1 + t
x −1 y + 2 z − 4

=
=
d:
và d’:  y = −t
.
−2
1
3
 z = −2 + 3t


2.

(P): 2x-y+2=0, (Q): x-3z=0.

Các dạng toán về hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng
1. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm M lên một mặt phẳng(P).
Phương pháp
• Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
• Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P).
• Bước 3: Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
2. Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng(P).
Phương pháp
• Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
• Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P).
• Bước 3: Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”.
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
1. Cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 2x-3y+6z+35=0.
a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
b. Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mp(P).
2. Cho điểm A(1;0;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 2x-z+2=0.
c. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P).
d. Xác định điểm đối xứng với A qua mp(P).
3. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d.
Phương pháp
• Bước 1: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
• Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P).
• Bước 3: Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc
với (P).
4. Xác định điểm M đối xứng với điểm M’ qua đường thẳng d.

Phương pháp
• Bước 1: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
• Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P).
• Bước 3: Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
x −1 y +1 z
=
=
1. Cho điểm I(1;1;8) và đường thẳng d:
.
2
1
−1
a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d.
b. Xác định điểm đối xứng với I qua đường thẳng d.

31


x = 1− t

2. Cho điểm A(1;-2;0) và đường thẳng d:  y = 2 + 2t .
z = 3

a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d.
b. Xác định điểm đối xứng với I qua đường thẳng d.
3. Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a. Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC).
b. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên cạnh BC.
c. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (BCD).

d. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm O lên cạnh AB.

Đặc biệt: Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) lên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ
Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên 2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0;y0;z0)
các trục tọa độ.
trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
Phương pháp
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên
Ox là: M(x0;0;0).
(Oxy) là: M(x0;y0;0).
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên
Oy là: M(0;y0;0).
(Oyz) là: M(0;y0;z0).
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên
Oz là: M(0;0;z0).
(Oxz) là: M(x0;0;z0).
CÁC BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TRONG KHONG GIAN
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
r uu
r
Bước 1: Tính tích có hướng  a, a ' = ......
r uu
r
Bước 2: Xét tính cùng phương của a, a ' .

r uu
r
r
r uu
r
• Nếu  a, a ' = 0 thì a, a ' cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
r uu
r
r
r uu
r
• Nếu  a, a ' ≠ 0 thì a, a ' không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
r uu
r uuur
o Nếu  a, a ' . AB = 0 thì d và d’ cắt nhau.
r uu
r uuur
o Nếu  a, a ' . AB ≠ 0 thì d và d’ chéo nhau.
r uu
r
Đặc biệt: Nếu a.a ' = 0 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Bài tập luyện tập về vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây.
x = 3 + t
 x = −t '


1.

d:  y = 1 − t và d’:  y = 2 + 3t ' .
2.
 z = 2 + 2t
 z = 2t '


3.

x −1 y − 2 z
x
y z
d:
=
=
và d’:
= =
2
−2
−1
−2 2 1

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.
 x = 1 − 2t
x = 1+ t


y
=
2
+

t
1.
d: 
và d’:  y = 3 + 2t .
z = 3
z = 1



4.

2.

 x = 1 − 2t
x −1 y − 2 z

=
=
d:  y = 3t
và d’:
−2
3
1
 z = −1 + t

 x = −2t

x −1 y − 2 z
d:  y = −5 + 3t và d’:
=

=
.
2
−2
−1
z = 4


d:

x −1 y − 2 z
x y+5 z −4
=
= và d’: =
=
.
2
−2
2
1
2
1

32


2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
r uu
r
Bước 1: Tính  n, n ' = ......

Bước 2: Xét tính cùng phương của hai vecto pháp tuyến.
r uu
r
r
o Nếu  n, n ' ≠ 0 thì hai mặt phẳng cắt nhau.
r uu
r
r
o Nếu  n, n ' = 0 thì hai mặt phẳng song song hoặc trung nhau.
o Nếu điểm A thuộc mặt này nhưng không thuộc mặt phẳng kia thì 2 mp song song.
o Nếu điểm A thuộc mặt này và cũng thuộc mặt phẳng kia thì 2 mp trùng nhau.
r uu
r
Đặc biệt: Nếu n.n ' = 0 thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Bài tập về vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
1. (P): 2x-y+3=0, (Q): x+z-10=0.
2. (P): x-y-3=0, (Q): 2x-2y=0.
3. (P): x-y+z-1=0,(Q): 2x-z+3=0.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
1. (P): 2x-y+30=0, (Q): x+2y-10=0.
2. (P): 2x+2y-z-3=0,
(Q): x+y+4z-10=0.
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cách 1:
rr
Bước 1: Ta tính a.n = ....
Bước 2:
rr

o Nếu a.n ≠ 0 thì đường thẳng cắt mặt phẳng.
rr
o Nếu a.n = 0 thì đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
o Nếu điểm A thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mặt phẳng thì đt song song mp.
o Nếu điểm A thuộc đường thẳng và cũng thuộc mặt phẳng thì đt nằm trên mp.
Cách 2: Lập hệ phương trình tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng.
o Nếu phương trình có một nghiệm t thì đường thẳng cắt phẳng tại một điểm.
o Nếu phương trình vô nghiệm theo t thì đường thẳng song song mặt phẳng.
o Nếu phương trình có vô số nghiệm t thì đường thẳng chứa trong mặt phẳng.
rr
r
Đặc biệt: Nếu  a.n  = 0 thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
x = 1+ t

1.
d:  y = 3 − t và mp(P): 2x+y+2z=0.
2.
z = 2 + t

3.

 x = 10 + t

d:  y = 2t
và mp(P): 2x+y+2z=0.
 z = 10 − 2t


Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
x = 1+ t

1.
d:  y = 3 − t và mp(P): -x+y-z=0.
z = 2 + t


d:

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và mp(P): 3x+5y-z-2=0.
4
3
1

4.

d:

x y z −1
= =
và mp(P): x+y+3z-5=0.
3 3
−2

2.

d:

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và mp(P): -2x+2y-z-2=0.
2
−2
1

4. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Bước 1: Tính khoảng cách h = d ( I ; ( P ) ) .
Bước 2: So sánh h với R.
o Nếu h>R thì mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
o Nếu h=R thì mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
o Nếu hBài 1: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
1.

(P): 2x+2y+z+2=0 và (S): ( x-1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .
2

2

2

33


2.

(P): x-2y-2z-3=0 và (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 .

Bài 2: Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0.Chứng minh rằng mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Bước 1: Tính khoảng cách h = d ( I ; d ) .
Bước 2: So sánh h với R.
o Nếu h>R thì đường thẳng và mặt cầu không có điểm chung.
o Nếu h=R thì đường thẳng tiếp xúc mặt cầu.
o Nếu hXét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu (S).
 x = 1 + 1t

2
2
1.
d:  y = −1t và (S): x 2 + ( y − 3) + ( z + 3) = 36
 z = 2 + 2t

x−2 y
z
= =
và (S): 2x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 4 x + 6 y + 8 z − 10 = 0
1
1 −2
6. Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu.
- Điểm A nằm trong mặt cầu ⇔ IA- Điểm A nằm trên mặt cầu ⇔ IA=R.
- Điểm A nằm ngoài mặt cầu ⇔ IA>R.

Xét vị trí tương đối của điểm A(1;2;0) với mặt cầu.
2.

d:

1. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 100 .
2

2

2.

( x − 1) 2 + y 2 + ( z + 2 ) 2 = 64 .

3.

( x − 4 ) 2 + y 2 + ( z + 10 ) 2 = 1

Các bài toán vận dụng tích vô hướng và tích có hướng
A. Chứng minh vuông góc. Cách giải: Vận dụng tích vô hướng bằng 0.
uuur uuur
 AB. AC = 0
r uuur
 uuu
1. Chứng minh tam giác vuông. Cách giải: Chứng minh  BA.BC = 0 .
r uuu
r
 uuu
CA.CB = 0
Bài 3: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.

Bài 4:
1. Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính diện tích tam giác.
2. Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
3. Cho ba điểm, M(0;1;1), N(1;0;4) P(-1;1;2). Chứng minh tam giác vuông.
4. Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
5. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
r uu
r
Cách giải: Chứng minh tích vô hướng a.a ' =0.
x = 1+ t
 x = 1 + 3t
x
y
z
x-20 y z


d :  y = 3 − 6t ,
d : y = t
d:
=
= ,
d:
= =
1.
2.
2 −3 3
3
3 1

z = 2 + t
 z = 2 + 3t


3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
r uu
r
Cách giải: Chứng minh tích vô hướng n.n ' =0.
1. (P): x-y+z=0, (Q): 2x+8y+6z-10=0.
2. (P): 2x-3y-1=0, (Q): 3x+2y-10=0.
4. Đặc biệt: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Cách giải:
rr
o Bước 1: Chứng minh a.n = 0 .
o Bước 2: Chứng minh điểm A thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mặt phẳng.
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
x = t
x y−2 z

d
:
(P) : x+-y+z+5=0 .
d:
=
= ,
(P): 2x+2y+2z-7=0.
1.
2.
 y = 3 + 2t ,
2

−3
1
z = t

B. Chứng minh song song.

r uu
r
r
Cách giải: Chứng minh  a, a ' = 0 .
1. Chứng minh hai đường thẳng song song.

34


Cách giải:

r uu
r
r
Chứng minh  a, a ' = 0 .
o Chứng mính một điểm A thuộc đường này nhưng không thuộc đường kia.
Chứng minh hai đường thẳng song song
x = 1+ t
 x = 1 + 3t
x y−2 z


d :  y = 3 + 2t ,
d :  y = 6t

d:
=
= ,
1.
2.
2
4
6
z = t
 z = 2 + 3t


o

d:

x-1 y + 3 z
=
= .
3
6
9

2. Chứng minh hai mặt phẳng song song.
Cách giải:
r uu
r
r
o Chứng minh  n, n ' = 0 .
o Chứng mính một điểm A thuộc mặt này nhưng không thuộc mặt kia.

Chứng hai mặt phẳng song song.
1.
(P): 1x+2y+3z=0, (Q): 2x+4y+6z-100=0.
2.
(P): 2x-3y-1=0, (Q): 6x-9y-100=0.
3. Đặc biệt: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
r r
r
Cách giải: Chứng minh  a, n  = 0 .
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
x = 1+ t
x y−2 z

d :  y = 3 + 2t ,
(P) : x+2y+z-10=0 . 2.
d:
=
= ,
(P): 2x+3y-z-20=0.
1.
-2
−3
1
z = t

C. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng.
Cách giải.
uuur uuur
r
uuur uuur

• Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi 2 vecto AB, AC cùng phương ⇔  AB, AC  = 0 .
uuur uuur
r
uuur uuur
• Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi 2 vecto AB, AC không cùng phương ⇔  AB, AC  ≠ 0 .
1. Chứng minh ba điểm A(1;2;0), B(1;0;2), C(0;1;2) không thẳng hàng.
2. Chứng minh ba điểm A(-3;2;0), B(1;0;-4), C(0;-1;2) không thẳng hàng.
3. Chứng minh ba điểm A(1;3;0), B(2;5;1), C(0;1;-1) thẳng hàng.
4. Chứng minh ba điểm A(-1;-1;-2), B(1;3;0), C(4;9;3) thẳng hàng
D. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng hoặc không đồng phẳng.
Cách giải:
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
• Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 3 vecto AB, AC , AD đồng phẳng ⇔  AB, AC  .ΑD = 0 .
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
•
A, B, C, D không đồng phẳng khi 3 vt AB, AC , AD không đồng phẳng ⇔  AB, AC  .ΑD ≠ 0 .
1. Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0). Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng.
2. Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng.
3. Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3). Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng.
4. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;-1). Chứng minh bốn điểm đồng phẳng.
E. Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.
Cách giải:
r uu
r uuur
o Hai đường thẳng cắt nhau ⇔  a, a ' . AB = 0 .
r uu
r uuur
o Hai đường thẳng chéo nhau ⇔  a, a ' . AB ≠ 0 .

Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.

1.

x = 3 + t
 x = −t '


d:  y = 1 − t và d’:  y = 2 + 3t ' .
 z = 2 + 2t
 z = 2t '



2.

 x = −2t

x −1 y − 2 z
=
=
d:  y = −5 + 3t và d’:
.
2
−2
−1
z = 4


35

3.

 x = 1 + 2t '

x − 2 y −1 z −1
=
=
d:
và d’:  y = 2 + t '
1
2
1
 z = −1 + 3t '


4.

x = 0

d:  y = 1 và d’:
z = 1− t


 x = −2 + 2t '

y =1
z = 0


ÔN TẬP 1
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E.
2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF.
Câu 3. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6).Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
1. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, G.
Câu 4. Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (P) có
phương trình x+2y-2z+6=0.
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với mp(P).
Câu 5. Cho mặt cầu (S) có pt : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + (z − 5) 2 = 4
1. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;1;10).
x = 1

3. Tìm giao điểm của đường thẳng d:  y = t và mặt cầu (S).
z = 5

Câu 6. Cho mặt cầu (S) có pt : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y − 4 = 0
1. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;-3;1).
x = t

3. Tìm giao điểm của đường thẳng d:  y = 0 và mặt cầu (S).
z = 1


Câu 7. Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
1. Chứng minh rằng ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.
2. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
3. Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
4. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu 8. Cho mặt cầu (S) có pt: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 4 z = 0 .
1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.
2. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của(khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình
mặt phẳng (ABC).
3. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC). Xác định tọa độ điểm H.
Câu 9. Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M(1;2;1), N(2;0;1) và vuông góc với (P).
Câu 10. Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song với CD.
2
2
2
Câu 11. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 và
song song với mặt phẳng (Q): 4x+3y-12z+1=0.
Câu 12. Cho hính chóp S.ABC với S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). Chứng minh rằng: Hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân.
x + 3 y +1 z − 3
=
=
Câu 13. Cho mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 và đt d:
.Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P). Tính góc giữa
2

1
1
d và (P).

36


x = 1

Câu 14. Cho điểm A(2;-1;1) và đường thẳng d:  y = 2t
.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.
 z = 4 − 2t

Xác định điểm B đối xứng với A qua d.
Câu 15. Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0;0;1), B(-1;-2;0) và C(2;1;-1).Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
(P).Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P).Xác định
chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC. Tính thể tích tứ
diện OABC.
x +1 y − 2 z − 2
=
=
Câu 16. Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d:
.Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.
3
−2
2
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
x + 1 y −1 z − 3
=
=

Câu 18. Cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0. Tìm giao điểm của d và (P).
1
2
−2
Tính góc giữa d và (P).
x − 2 y +1 z −1
=
=
Câu 19. Cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0.Tìm giao điểm của d và (P). Tính góc
2
3
5
giữa d và (P).
 x = 2 + 2t
x = 1


Câu 20. Cho hai đường thẳng d:  y = −1 + t và d’:  y = 1 + t ' .Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt
z = 1
z = 3 − t '


phẳng (P) chứa d và song song d’.
x + 1 y −1 z − 2
x-2 y + 2
z
=
=

, d':
=
=
Câu 21. Cho hai đt d:
.Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt
2
3
1
2
5
−2
phẳng (P) chứa d và song song d’.
 x=-1+t
x −1 y + 2 z − 4

=
=
, d':  y=-t
Câu 22. Cho hai đường thẳng d:
. Chứng minh d và d’ cắt nhau. Tìm giao điểm của d
−2
1
3
z=-2+3t

và d’. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’.
 x = 5 + 2t
 x=3+2t



Câu 23. Cho hai đường thẳng d :  y = 1 − t , d':  y=-3-t .Chứng minh d và d’ song song với nhau. Viết phương trình mặt
z = 5 − t
z=1-t


phẳng chứa d và vuông góc trục Oz.
Câu 24. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 :
x y z −3
= =
.
1 2
1
Câu 25. Viết phương trình mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5).
 x = 1 + 2t

Câu 26.Cho d:  y = 2 − t và mp(P): 2x-y-2z+1=0.
 z = 3t


x −1 y + 2 z
=
= ,
−1
1
1

d2 :

1. Tìm các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3.
2. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của d và (P) và gốc tọa độ.

Câu 27. Cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) .
1. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với BC. Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mp(P).
2. Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính diện tich tam giác ABC.
x −1 y z − 2
= =
Câu 28. Cho hai điểm A(1;-3;-1), B(-2;1;3) và đường thẳng d:
.
3
2
−3
1. Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Câu 29. Cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 2x-3y+6z+35=0.
Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu tâm M’ và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

37