“Tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nền giáo dục nước ta đang tiến tới thực hiện đổi mới căn bản và toàn diện, hướng
tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế
giới. Xu thế chung của giáo dục thế giới ngày nay là giáo dục phải góp phần vào sự phát
triển toàn diện của mỗi cá nhân cả về thể chất lẫn tinh thần. Trong khi đó, tình trạng khá
phổ biến hiện nay ở các nhà trường nước ta mới chỉ tập trung vào việc trang bị kiến thức
có sẵn mà chưa quan tâm đúng mức đến việc phát triển năng lực, đặc biệt là rèn luyện
các kỹ năng, thái độ cho HS để họ có thể sống và làm việc trong một xã hội luôn thay
đổi sau khi hoàn thành chương trình giáo dục phổ thông. Vì vậy, việc đổi mới phương
pháp dạy học để đáp ứng mục tiêu giáo dục hiện nay là một việc làm cần thiết.
Định hướng đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực người học tập trung
vào việc dạy cho HS cách suy nghĩ để có thể tự tìm tòi, phát hiện kiến thức mới. Nói
riêng, xét trong lĩnh vực dạy học Toán, khi nói học tập môn Toán là muốn nhấn mạnh
đến: học các khái niệm toán học, các tiên đề, định lý, công thức; học cách suy nghĩ, tư
duy toán học để có thể kết nối, tìm tòi, dự đoán, phát hiện ra các mối liên hệ giữa các đối
tượng và quan hệ toán học; đồng thời học vận dụng toán học vào các khoa học khác và
vào thực tiễn. Trong quá trình học tập môn Toán, việc tìm tòi những cách thức mang lại
chất lượng và hiệu quả học tập cao luôn là vấn đề có ý nghĩa đáng kể. Nếu không được
trang bị những cách thức để HS tự tìm tòi, phát hiện kiến thức mới thì HS không thể tiến
hành việc học một cách chủ động và tích cực, làm hạn chế sự vận dụng toán học vào các
khoa học khác, đồng thời hạn chế sự kết nối giữa toán học với thực tiễn.
Trong quá trình dạy học, tồn tại mối liên hệ hữu cơ giữa ba thành phần cơ bản:
mục tiêu - nội dung - phương pháp. Như vậy, để đạt được mục tiêu nói trên thì nội
dung và phương pháp đều có vai trò của chúng. Nói riêng, trong những điều kiện nào
đó, phương pháp dạy học có thể có tác động trở lại mục tiêu và nội dung. Thế nhưng,
phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn

những nhược điểm phổ biến, trong số đó phải kể đến nhược điểm tri thức thường được

truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện. Điều này làm hạn chế tính tích
cực, chủ động, sáng tạo của HS, ảnh hưởng không nhỏ tới chất lượng học tập môn Toán.
Chính vì những lí do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án
là: “Tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh Trung học phổ thông
theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học”.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án là xây dựng các biện pháp tổ chức hoạt động
học tập môn Toán cho HS Trung học phổ thông nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện
các quy luật Toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu trong luận án này là làm sáng
tỏ các vấn đề sau:
- Dựa trên cơ sở khoa học nào để xác định các hoạt động học tập nhằm giúp HS
phát hiện các quy luật Toán học?
- Các hoạt động học tập mang tính phát hiện thể hiện qua các phương pháp dạy
học chủ yếu nào?
- Người HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học thường có những biểu hiện
như thế nào?
- Tổ chức hoạt động học tập như thế nào để HS phát hiện các quy luật Toán học
có hiệu quả?
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học Toán ở trường Trung học
phổ thông.
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những cách thức tổ chức dạy học nhằm
giúp HS Trung học phổ thông phát hiện quy luật Toán học.
5. Giả thuyết khoa học
Cần thiết và có thể xác định nội dung năng lực phát hiện các quy luật Toán học

của HS Trung học phổ thông và ảnh hưởng tích cực của năng lực này tới kết quả học
tập môn Toán. Trên cơ sở đó, có thể tổ chức các dạng hoạt động học tập cho HS theo
hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học, nhằm nâng cao khả năng
lĩnh hội và khám phá tri thức để đáp ứng những yêu cầu của việc dạy học Toán ở
trường phổ thông.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
a. Phương pháp phân tích hệ thống: sử dụng để nghiên cứu các lí thuyết học tập,
các tài liệu có liên quan nhằm thu thập thông tin và làm cơ sở lí luận cho đề tài.
b. Phương pháp lịch sử: sử dụng để nghiên cứu nguồn gốc xuất hiện, quá trình
tồn tại, phát triển của vấn đề nghiên cứu, đồng thời kế thừa thành quả của các nhà khoa
học đi trước giúp cho việc nhìn nhận, nghiên cứu vấn đề sâu sắc và toàn diện hơn.


3
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
a. Quan sát: sử dụng trong quá trình dạy học và dự giờ để thấy rõ việc sử dụng
các phương pháp dạy học, cách thức tổ chức các hoạt động dạy học trên lớp của giáo
viên, thái độ và các hoạt động học tập của HS.
b. Điều tra: sử dụng phiếu câu hỏi (anket), đàm thoại.
c. Tổng kết kinh nghiệm: dùng các kiến thức về lí luận dạy học để phân tích,
khái quát hoá thông tin nhằm rút ra những kết luận trong quá trình nghiên cứu.
d. Hỏi ý kiến chuyên gia: trao đổi và xin ý kiến các chuyên gia trong lĩnh vực
Giáo dục học về các vấn đề lí luận, thực tiễn liên quan đến đề tài, hội ý, trao đổi với
các giáo viên và cán bộ có chuyên môn trong quá trình soạn giáo án, dạy thực nghiệm.
e. Thực nghiệm sư phạm: sử dụng trong các giai đoạn thực nghiệm của luận án.
6.3. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp thống kê toán học trong giáo dục và các kỹ thuật cần
thiết để xử lí số liệu, phân tích kết quả điều tra thực trạng, kết quả thực nghiệm sư
phạm của luận án.

7. Những đóng góp của luận án
7.1. Về mặt lý luận
- Làm sáng tỏ khái niệm quy luật Toán học trong chương trình môn Toán Trung
học phổ thông;
- Làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học;
- Làm sáng tỏ ý nghĩa, tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực phát hiện
quy luật Toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông;
- Khai thác các cơ sở khoa học để tìm những định hướng, những phương thức
tác động làm cho việc dự đoán, tìm tòi, phát hiện có căn cứ, đảm bảo tiến dần tới độ
chính xác hơn, đúng đắn hơn.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đề xuất các biện pháp sư phạm, trong đó coi trọng việc tạo nhu cầu, hứng
thú học tập; hướng đến các hoạt động dự đoán, kiểm nghiệm; các phương thức tác
động để HS phát hiện quy luật Toán học đạt hiệu quả;
- Có thể sử dụng luận án làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán có mong
muốn bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật Toán học cho học sinh, góp phần nâng
cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.


4
8. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận án
được trình bày trong 4 chương.
Chương 1.

Cơ sở lý luận

Chương 2.

Khảo sát thực trạng

Chương 3.

Một số biện pháp tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh
Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện
các quy luật Toán học

Chương 4.

Thực nghiệm sư phạm


5
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Một số nghiên cứu liên quan đến đề tài
Ở nước ngoài
Tư tưởng học tập tự giác, phải biết suy nghĩ và động não có từ xa xưa. Khổng
Tử (551 - 479 TCN) đã thể hiện quan điểm trên khi cho rằng: “Không tức giận vì
không biết thì không gợi mở cho, không bực tức vì không vẽ được thì không bày vẽ
cho. Vật có bốn góc, bảo cho biết một góc mà không suy ra ba góc thì không dạy nữa”.
Theo Khổng Tử người học phải có nhu cầu nhận thức, ham hiểu biết, khám phá cái
mới; phải độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong quá trình nhận thức, người dạy không chỉ
truyền đạt tri thức, phải trang bị cho người học cách tự tìm đến tri thức.
Các công trình của G. Polya được đúc kết trong [85], [86], [87] cho thấy những
trăn trở không nhỏ của tác giả về việc làm thế nào để trang bị cho HS những kỹ thuật
giúp phát hiện kiến thức, quy luật Toán học, đồng thời cũng đã khẳng định đóng góp
quý giá của tác giả xung quanh vấn đề này.
Tony Buzan đã có nhận định về khoảng thời gian ngồi trên ghế nhà trường:
“Mặc dù đã giành rất nhiều thời gian để học ở trường”, nhưng “thực tế không được

dạy cách sử dụng cái đầu của mình” [49, tr. 70]. Ông đã viết tác phẩm “Use your
head”, cuốn sách được cho là rất cần thiết cho những người tham gia vào cuộc cách
mạng học tập với những băn khoăn rằng làm thế nào để có thể dùng cái đầu của mình,
tự phát hiện được những điều mới mẻ.
Các tác giả Jeannette Vos và Gorden Dryden trong [49] đã thực sự mang tính
“xúc tác” giúp cho người đọc thay đổi cách nghĩ, cách sống, cách học, cách làm việc,
cách dạy và cách hành động của bản thân. Các tác giả nhận định: “Ba bộ môn chính
được giảng dạy tại trường là học cách học như thế nào, nghĩ như thế nào và làm thế
nào để trở thành người chủ tương lai của chính mình?”. Điều này khẳng định vai trò
của các nghiên cứu của tác giả trong vấn đề làm thế nào để dạy cho HS biết cách tự
tìm tòi, phát hiện những tri thức tồn tại xung quanh mình.
Đầu thế kỷ XX, sự chuyển đổi từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm đến lấy
HS làm trung tâm có liên quan tới quan điểm mới trong dạy học khi cho rằng người
học cần dựa trên kinh nghiệm để xây dựng sự hiểu biết của mình và tạo dựng vốn
kiến thức vững chắc, giáo viên là người hướng dẫn HS xây dựng kiến thức thay vì
chỉ tái tạo kiến thức. Các nghiên cứu đã tập trung vào việc giáo viên cần lựa chọn
phương pháp dạy học như thế nào để giúp HS phát hiện và giải quyết vấn đề, xây


6
dựng và thử nghiệm các giải pháp, các ý tưởng, thực hiện suy diễn, tổng hợp, chia sẻ
tri thức trong môi trường học tập hợp tác [8, tr. 223].
Dạy học tự phát hiện có vai trò cốt lõi trong việc giúp HS học các khái niệm và
các ý tưởng như thế nào. J. Bruner nói về “hành động phát hiện” như là một phần công
việc không thể thiếu của người học. J. Bruner đã nghiên cứu về bản chất của hoạt động
phát hiện, tìm hiểu về khái niệm “học tập phát hiện”. Từ đó, dựa trên cách tiếp cận
phát hiện J. Bruner đã phát triển thành cách tiếp cận tìm tòi và giải quyết vấn đề. Đây
là một bước đi cụ thể của cách tiếp cận phát hiện, HS phải phát huy hết khả năng phát
hiện của mình cùng với các khả năng khác trong cách tiếp cận tìm tòi và giải quyết vấn
đề. Trong quá trình nghiên cứu J. Bruner cũng phân tích và làm sáng tỏ những ưu điểm

và hạn chế của các cách tiếp cận dạy học này.
Trong [50], các tác giả cho rằng trong quá trình dạy học, giáo viên là người
hướng dẫn, cố vấn, đồng hành với HS để cùng nhau tìm hiểu và phát hiện kiến thức
mới. Điều này cũng hoàn toàn phù hợp với ý kiến của J. Dewey (trong Experience and
Education, 1938), Carl Rogers (trong Freedom to learn, 1969) và J. Bruner khi cho
rằng mặc dù rất tôn trọng vai trò của vốn kiến thức, kinh nghiệm của HS cũng như
quyền được lựa chọn nội dung để tự tìm tòi, phát hiện nhưng trong quá trình ấy không
thể thiếu vai trò của giáo viên.
Trong [80], V.Ôkôn đã trình bày những luận điểm về cách dạy học phát hiện và
nêu lên quy trình áp dụng trong dạy học.
Trong [26], Geoffrey Petty đã đưa ra những lời khuyên cụ thể về việc sử dụng
các phương pháp dạy học phổ biến, trong đó nhấn mạnh những cách thức tiến hành
sao cho HS có thể tự mình phát hiện được tri thức mới.
Với câu hỏi: “Có nên đặt vấn đề để HS tự khám phá lại tất cả các tri thức của
môn học hay không?” thì Lecne cho rằng: “Một tổ chức dạy học trong đó HS phải
khám phá lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được quy định
trong chương trình học, là một điều ít nhất cũng là kỳ quái” và “Chỉ có một số tri thức
và phương thức hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành
đối tượng của dạy học nêu vấn đề...” (dẫn theo [60, tr. 149-150]).
Với bài viết “Tri thức và tư duy” [2, tr. 64 -119], M. Crugliac đã xem xét sự tìm
tòi trí tuệ về mặt tổ chức và cấu trúc, vạch ra các dạng của tình huống có vấn đề, giới
thiệu cách giải quyết vấn đề qua các ví dụ. Theo tác giả, dạy học nêu vấn đề là hình
thức tổ chức sự tìm tòi trí tuệ khi thu nhận tri thức bằng cách giải quyết vấn đề và để
điều khiển sự tìm tòi trí tuệ giáo viên cần vận dụng nhiều phương pháp dạy học.
J. Bruner trong “Fucus in Inquiry”, Alberta, Canada, (2004), đã đề xuất hai quy
trình dạy học phát hiện dựa theo thuyết kiến tạo như sau:


7
- Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo năm bước (quy trình 5E). Quy trình

này là một mẫu hướng dẫn, gồm các bước: tạo sự chú ý (Engage); khảo sát (Explore);
giải thích (Explain); phát biểu (Elaborate); đánh giá (Evaluation).
- Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo sáu bước: lên kế hoạch; thu thập thông
tin; tiến hành; sáng tạo; chia sẻ; đánh giá (dẫn theo [1, tr. 40]).
Ở trong nước
Hoạt động phát hiện trong dạy học đã và đang giành được sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu. Nguyễn Cảnh Toàn đã có những nghiên cứu sâu sắc về vấn đề
sử dụng triết học duy vật biện chứng để tìm tòi, phát hiện quy luật Toán học [112],
[113], [114]. Phạm Văn Hoàn và các cộng sự trong [39] đã tìm những biện pháp để tổ
chức một cách khoa học hoạt động giảng dạy của thầy và hoạt động học tập của trò
đảm bảo nâng cao hiệu suất lao động, tiết kiệm sức lực. Hiện nay, khi bàn về hoạt
động dạy học, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới các thuật ngữ: tìm tòi, phát hiện,
khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr. 162] đã phân biệt khám phá và phát hiện.
Trong [98, tr. 30], Đào Tam đã quan niệm: “Hoạt động phát hiện trong dạy học toán ở
trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được điều chỉnh bởi nền tảng tri thức đã
tích lũy thông qua các hoạt động khảo sát, tương tác với các tình huống để phát hiện tri
thức mới” và “Trong hoạt động phát hiện một khái niệm, một định lý, một mệnh đề
nào đó cần sử dụng các phương pháp tìm đoán, các hoạt động đặc biệt hóa, khái quát
hóa, chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác”. Nguyễn Hữu
Châu [8] cho rằng “phát hiện” và “giải quyết” là các khâu đan quyện với nhau trong
suốt quá trình giải quyết vấn đề, khi nói tới giải quyết vấn đề là đã có phát hiện vấn đề.
Trần Vui [123] đã quan tâm đến việc dạy HS tìm kiếm các quy luật Toán học xuất phát
từ tình huống thực tiễn. Nguyễn Bá Kim [60], Nguyễn Phú Lộc [66] đã thể hiện sự
quan tâm về vấn đề giúp HS phát hiện quy luật Toán học khi đề xuất quy trình dạy học
định lý theo con đường có khâu nêu giả thuyết. Nguyễn Anh Tuấn [118, tr. 11] đã
quan niệm: “Phát hiện là hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán
những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết
bài toán - vấn đề”. Dưới góc độ xem phát hiện và giải quyết vấn đề là một năng lực
cần bồi dưỡng cho HS, trong [118] tác giả đã quan tâm nghiên cứu cách thức bồi
dưỡng năng lực này cho HS trung học cơ sở trong dạy học khái niệm toán học; Từ

Đức Thảo [106] đã tìm cách bồi dưỡng năng lực này cho HS Trung học phổ thông
trong dạy học hình học. Gần đây, vấn đề tổ chức dạy học theo hướng tự phát hiện được
đề cập trong các công trình [1], [38], [45], [51] nhưng chỉ nghiên cứu ở chương trình
tiểu học. Trong [14] và [83], các tác giả đã quan tâm tìm hiểu một số vấn đề liên quan
đến cách thức hướng dẫn HS dự đoán, phát hiện quy luật Toán học trong dạy Toán ở


8
trường Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong [14], tác giả tập trung vào việc giúp HS
dự đoán nhờ tương tự và quy nạp từ một số trường hợp riêng; trong [83] tác giả xem
xét việc phát hiện quy luật toán học chủ yếu thông qua các biểu diễn toán. Trong [34],
đã nghiên cứu cách thức rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS trong
dạy học đại số và giải tích. Trong [35], đã khai thác và tập luyện cho HS các hoạt động
nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học đại số và giải tích ở bậc
Trung học phổ thông.
Như vậy, có thể thấy, mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực và
phát triển năng lực trong dạy học, tuy nhiên vấn đề bồi dưỡng năng lực phát hiện quy
luật toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học toán còn có phần tản mạn,
chưa thể hiện tính hệ thống.
Trong luận án này, chúng tôi sẽ làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực
phát hiện quy luật toán học, đồng thời làm sáng tỏ cơ sở phương pháp luận để thấy
được vai trò của các hoạt động cần thiết để phát hiện quy luật toán học. Từ đó, đề xuất
các biện pháp tổ chức hoạt động học tập hướng vào việc gợi nhu cầu nhận thức cho
người học; đặc biệt tập luyện cho HS các hoạt động quan sát, dự đoán, hình thành và
kiểm định các giả thuyết toán học - đây là những hoạt động nền tảng để bồi dưỡng
năng lực phát hiện quy luật toán học cho HS.
1.2. Quy luật và quy luật Toán học
1.2.1. Quy luật
Trong đời sống hàng ngày, có nhiều tình huống khiến con người dần dần nhận
thức được “tính có trật tự” và mối liên hệ có tính lặp lại ẩn sau các hiện tượng muôn

hình muôn vẻ, từ đó hình thành nên khái niệm quy luật.
Với tư cách là phạm trù của lý luận nhận thức, khái niệm quy luật là sản phẩm
của tư duy khoa học, phản ánh sự liên hệ của các sự vật và tính chỉnh thể của chúng.
Với tư cách là cái tồn tại ngay trong hiện thực, quy luật là mối liên hệ khách
quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc tính bên
trong mỗi sự vật, hiện tượng hoặc giữa các sự vật, hiện tượng với nhau.
Với tư cách là một khoa học về mối liên hệ phổ biến của sự phát triển, phép
biện chứng duy vật nghiên cứu những quy luật chung nhất, tác động trong toàn bộ các
lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy.
Theo [127], định nghĩa sau về quy luật đã được chấp nhận rộng rãi: “Các quy
luật chỉ ra những mối liên hệ giữa các biến, trong đó các biến là những khái niệm
có thể mang những giá trị khác nhau. Nếu a thì b, theo đó, a đại diện cho một hay
nhiều biến độc lập và b đại diện cho biến phụ thuộc. Về hình thức, đây là một phát
biểu về quy luật. Nếu mối quan hệ giữa a và b là không đổi, quy luật ở đây là tuyệt


9
đối. Nếu mối quan hệ giữa a và b lặp đi lặp lại nhiều lần, dù không phải là bất biến
thì quy luật đó được phát biểu như sau: Nếu a thì b với xác suất x. Một quy luật
không chỉ đơn thuần dựa vào mối quan hệ giữa các biến đã được tìm thấy, mà còn
phụ thuộc vào việc quan hệ đó có lặp đi lặp lại hay không”. Theo đó, các tác giả
cho rằng, quy luật xác định những mối tương quan có thể thay đổi hoặc không thay
đổi, mỗi thuật ngữ miêu tả trong từng quy luật liên quan chặt chẽ với những quy
trình quan sát hoặc thí nghiệm, và các quy luật chỉ được thiết lập khi chúng vượt
qua được những kiểm chứng bằng quan sát hoặc thí nghiệm. Nói về cách quy luật
được phát hiện, các tác giả cho rằng: “Các giả thuyết có thể được suy ra từ lý
thuyết. Nếu các giả thuyết đó được xác nhận, chúng được gọi là quy luật. Các giả
thuyết cũng có thể đạt được bằng cách suy luận. Một lần nữa, nếu được xác nhận,
chúng sẽ trở thành quy luật”.
Tuy nhiên, theo chúng tôi, nhiều khi sự xác nhận này không phải nhờ quan sát

hoặc thí nghiệm, mà lại bằng lập luận, chứng minh. Đó là trường hợp đối với lĩnh vực
các quy luật Toán học sẽ được đề cập ngay dưới đây.
1.2.2. Quy luật Toán học
Theo quan điểm phương pháp luận nghiên cứu khoa học, mỗi khoa học có đối
tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu riêng. Sản phẩm của hoạt động nghiên
cứu một ngành khoa học là khám phá ra quy luật vận động của thế giới khách quan có
liên quan đến đối tượng nghiên cứu của ngành khoa học đó.
Khoa học toán học có đối tượng là những cái vốn có trong thực tiễn, có trước
những người khám phá ra nó, tồn tại khách quan và không phụ thuộc vào cảm giác con
người. F. Ăngghen cho rằng: “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng
không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (theo [134]). Thông
qua hoạt động khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học, con người
đã làm cho Toán học ngày càng phát triển.
Trong quá trình hình thành và phát triển, mỗi ngành khoa học luôn tuân
theo những quy luật chung của triết học và lôgic học, đồng thời còn có những quy
luật riêng được quy định do tính đặc thù của ngành khoa học đó. Đối với toán học
cũng vậy.
Trong Toán học, tồn tại những mối liên hệ bản chất, ổn định, tất yếu, lặp đi lặp
lại giữa các phương diện, các yếu tố, các thuộc tính bên trong của các đối tượng và
quan hệ toán học. Ta sẽ gọi chúng là các quy luật toán học.
Từ đó, dựa trên quan niệm của triết học duy vật biện chứng về khái niệm quy
luật, kế thừa kết quả nghiên cứu của [127], đồng thời dựa vào đặc điểm về đối tượng
của ngành khoa học Toán học, chúng tôi quan niệm Quy luật Toán học là mối liên hệ


10
khách quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc
tính bên trong của các đối tượng và quan hệ toán học.
Với quan niệm đó, quy luật toán học chứa những thuộc tính cơ bản sau đây:
- Quy luật toán học là mối liên hệ chỉ liên quan đến các đối tượng và quan hệ

toán học;
- Quy luật toán học có tính bản chất, tất yếu, khách quan;
- Quy luật toán học là mối liên hệ phổ biến, lặp đi lặp lại;
- Quy luật toán học được xác nhận bằng lập luận chứng minh (trừ các tiên đề).
Sau đây là một số ví dụ.
1). Xét mệnh đề: “Đối với bất kỳ hai số tự nhiên a, b đều xảy ra a  b  b  a ”.
Đây là một quy luật toán học. Tính đúng đắn của nó đã được xác nhận. Nó có
tính phổ biến và lặp đi lặp lại đối với mọi cặp giá trị số tự nhiên của a và b. Nó là tất
yếu vì là vốn có, nó là bản chất của các số tự nhiên, không phụ thuộc vào hình thức
diễn đạt bởi các chữ a và b. Nó liên quan đến chỉ các đối tượng toán học là các số tự
nhiên và các quan hệ cộng (+) và bằng nhau (=).
2). Xét mệnh đề: “Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm”.
Đây là quy luật toán học. Nó chỉ liên quan đến các đối tượng toán học là các
tam giác, trung tuyến của tam giác, đường thẳng, điểm,…và quan hệ toán học là sự cắt
nhau của các đường thẳng. Nó là khách quan, tất yếu vì điều đó là vốn có như vây ; nó
có tính bản chất vì không phụ thuộc vào các yếu tố không bản chất như kích cỡ, hình
dạng cụ thể của tam giác. Nó có tính phổ biến, lặp đi lặp lại vì điều đó là có đối với
mọi tam giác. Nó đã được xác nhận (chứng minh) từ lâu.
Từ quan niệm đã nêu về khái niệm quy luật toán học và các thuộc tính cơ bản
của nó đã được trình bày ở trên, có thể nói rằng các quy luật toán học thực chất là
những mệnh đề toán học đúng phản ánh mối liên hệ giữa các đối tượng và quan hệ
toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lý, tính chất, công thức toán học, và
những quy tắc, quy luật suy diễn thường dùng trong suy luận toán học.
Trong luận án này chúng tôi xếp các quy luật Toán học thành hai nhóm:
Nhóm thứ nhất: Những mệnh đề toán học đúng phản ánh mối liên hệ giữa các
đối tượng và quan hệ toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lý, tính chất, công
thức toán học.
Nhóm thứ hai: Những quy tắc, quy luật suy diễn thường dùng trong suy luận
toán học.
Tuy không định nghĩa rõ nhưng đã có nhiều người sử dụng thuật ngữ quy luật

Toán học đúng theo nghĩa mà chúng tôi đã trình bày ở trên (xem chẳng hạn [95] tại
các trang 130, 182, 196, 213, 266). Nguyễn Cảnh Toàn (xem [113, tr. 107]) dùng cách
diễn đạt “Trong toán học, quy luật…” với nghĩa như là thuật ngữ quy luật Toán học.


11
1.3. Hoạt động học tập
1.3.1. Quan niệm về hoạt động học tập
Theo L. X. Vưgotxki, hoạt động học là một hoạt động đặc biệt, chú trọng đến
sự thay đổi của chính bản thân HS. Hoạt động học xảy ra một cách có chủ định, có
mục đích và không là yếu tố bổ sung cho bất kỳ hoạt động chủ đạo nào khác. Hoạt
động học có chủ định có bốn đặc điểm cơ bản, đó là: có đối tượng là tri thức, kỹ năng,
kỹ xảo tương ứng; nhằm phát triển trí tuệ, năng lực người học, làm thay đổi bản thân
người học; có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu cả phương pháp chiếm lĩnh tri thức;
được điều khiển một cách có ý thức.
Carol Blades cho rằng hoạt động học của HS bắt đầu với sự nhận thức, điều đó
được xuất phát từ sự trải nghiệm và việc tìm hiểu, khám phá khi HS sử dụng tất cả các
giác quan để quan sát, phát hiện thế giới xung quanh. Tiếp đó HS chuyển sang quá
trình điều tra, nghiên cứu, trong quá trình này HS suy nghĩ về việc học của mình, so
sánh với những điều đã phân tích và quan sát được, từ đó tiến gần tới những chuẩn
mực về văn hóa. Học tập giúp HS tìm kiếm và khám phá trong những trường hợp
tương tự (theo [38, tr. 9]).
Quá trình nhận thức trong học tập là quá trình nhận thức các vấn đề đã
được nghiên cứu, không mới đối với con người. Tuy nhiên trong học tập người
học phải tích cực, chủ động khám phá những điều chưa biết đối với bản thân.
Theo thời gian, đến một trình độ nhất định nào đó, sự học tập tích cực sẽ mang
tính nghiên cứu khoa học và chính người học lại tìm ra những tri thức mới cho
nhân loại (theo [38, tr. 11]).
Theo Bùi Văn Huệ [44, tr. 232]: - Hoạt động học là hoạt động có ý thức nhằm
thay đổi bản thân chủ thể của hoạt động,…

- Hoạt động học có đối tượng là các khái niệm khoa học, đây là hoạt động nhận
thức được tổ chức một cách chuyên biệt để chiếm lĩnh các khái niệm khoa học;
- HS bằng hoạt động học lĩnh hội những cái mà các nhà bác học đã khám phá ra
dưới sự tổ chức của giáo viên;
- Hoạt động học có các thành tố: nhiệm vụ học tập, các hành động học tập,
động cơ và nhu cầu học tập. HS thực hiện nhiệm vụ học tập bằng các hành động học.
Phan Trọng Ngọ [78, tr. 139] cho rằng: - Hoạt động học của người học có đối
tượng là kinh nghiệm xã hội hiện còn ở bên ngoài;
- Người học có chức năng cấu trúc lại, tái tạo lại các kinh nghiệm xã hội trong
hoạt động của bản thân, nhằm phát triển bản thân. Để thực hiện chức năng này, người
học phải thực hiện nhiều hành động học với các mục đích khác nhau;
- Trong hoạt động học tập có các hành động học phổ biến sau: hành động


12
định hướng cho việc học; hành động tiếp nhận và phân tích đối tượng học; các hành
động mô hình hóa đối tượng học với vật liệu mới; hành động phát triển mô hình
sang các dạng mới, với các vật liệu mới; hành động đối chiếu với vật mẫu của đối
tượng học.
Theo D. B. Enconin, cấu trúc của hoạt động học tập có mục đích gồm:
- Các động cơ học tập, nhận thức: Mọi hoạt động học tập có mục đích được
kích thích bằng những động cơ phù hợp. Đó có thể là những động cơ gắn liền với nội
dung học tập, hay là động cơ tự hoàn thiện mình.
- Các nhiệm vụ học tập: Nhiệm vụ học tập là mục tiêu mà HS ý thức được cho
mình dưới hình thức “bài toán” có vấn đề. Từ đó sẽ tạo ra tình huống có vấn đề, nếu
giải quyết nó thì HS thực hiện được mục đích đặt ra, chiếm lĩnh được tri thức cần thiết.
- Các hành động học tập: HS giải quyết được các nhiệm vụ nhận thức nhờ thực
hiện các hoạt động thành phần sau: tách các vấn đề nhờ các nhiệm vụ nhận thức; vạch
ra các phương thức chung để giải quyết vấn đề trên cơ sở phân tích các quan hệ chung
trong tài liệu học tập; mô hình hóa các quan hệ chung của tài liệu học tập và các phương

thức hành động chung; kiểm tra tiến trình và kết quả hoạt động học tập; đánh giá sự phù
hợp giữa tiến trình và kết quả hoạt động học tập với những nhiệm vụ nhận thức đã đặt ra
(dẫn theo [29, tr. 199]).
Trong quá trình xem xét những đặc trưng của hoạt động học, chúng tôi cho rằng
hoạt động học tập trong dạy học môn Toán có những đặc trưng sau:
- Hoạt động học tập là hoạt động hướng vào đối tượng: Đó là các khái niệm
toán học, các mối liên hệ, quan hệ, các quy luật cần khám phá.
- Hoạt động học tập gắn với động cơ: Đó là một nhiệm vụ nhận thức do giáo
viên chuyển giao cho HS hoặc tự HS đề ra cho bản thân, đó là đối tượng mang tính
nhu cầu, kích thích tư duy HS, vạch ra ý nghĩa của hoạt động.
- Hoạt động học tập gắn với nhiệm vụ nhận thức: Nói cách khác, hoạt động học
tập xảy ra khi HS đứng trước vấn đề toán học cần giải quyết, nếu giải quyết được vấn
đề thì HS thực hiện được nhiệm vụ, mục đích đặt ra, chiếm lĩnh được tri thức.
- Hoạt động học tập được thực hiện thông qua tổ hợp các hành động học tập:
Biến đổi vấn đề về dạng quen thuộc; huy động kiến thức đã có để giải quyết vấn đề;
thực hiện các bước lập luận; kiểm tra, đánh giá các bước lập luận; tổng quát hóa vấn đề.
Như vậy, đối với HS, hoạt động chủ đạo chính là hoạt động học tập. Hoạt động
học tập có chủ định là hoạt động có đối tượng (tri thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng);
mang tính động cơ (nhằm phát triển trí tuệ, năng lực của người học, làm thay đổi bản
thân người học); có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu phương pháp chiếm lĩnh tri thức;
được điều khiển một cách có ý thức.


13
1.3.2. Hoạt động phát hiện
Hiện nay, khi bàn về hoạt động dạy học, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới
các thuật ngữ: tìm tòi, phát hiện, khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr. 162] đã
phân biệt khám phá và phát hiện như sau: “…Phát hiện và khám phá đều là tìm cái
chưa biết, cái còn ẩn giấu. Nhìn chung, nếu việc tìm ra cái gì đó chợt thấy, hay một
cách tình cờ, người ta thường nói đó là phát hiện. Có khi tìm kiếm mãi chả được

nhưng tại một thời điểm nào đấy lại có được…” và “Nếu tìm ra được cái chưa biết, cái
còn ẩn giấu là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu người ta gọi đó là khám
phá”. Tác giả cũng cho rằng: “Trong quá trình dạy học, nếu việc tìm ra cái chưa biết,
cái ẩn giấu chỉ đòi hỏi người học cố gắng ở mức độ nhẹ nhàng, vừa phải, có thể xem
việc đó là phát hiện, nếu đòi hỏi ở mức độ cao hơn, có thể xem đó là khám phá”.
Trong việc phát hiện này, chủ thể là HS, HS chủ động, sáng tạo để phát hiện vấn đề,
phát hiện cách giải quyết vấn đề và đồng thời phát hiện ra tri thức cho bản thân.
Một số nhà nghiên cứu cho rằng phát hiện là một thuật ngữ sử dụng trong dạy
học các môn khoa học trong nhà trường, đề cập đến cách tìm kiếm kiến thức hoặc
thông tin, tìm hiểu về các hiện tượng. Đa số các nhà sư phạm hưởng ứng việc dạy học
cần chú trọng các loại hình khám phá, tìm tòi, phát hiện vì để nâng cao hiệu quả giảng
dạy cần sử dụng các kỹ thuật giống như kỹ thuật mà các nhà khoa học đã tìm tòi và
phát minh. Các nhà giáo dục luôn nhấn mạnh giá trị của sự phát hiện trong học tập.
Theo J. Bruner, F. Wittrock và Cronbach thì “phát hiện” xảy ra khi một người
nào đó sử dụng trí tuệ của mình để làm nảy sinh một khái niệm hay một nguyên lí mới.
Với cách hiểu này thì phát hiện sẽ là sự hấp thụ về mặt tinh thần một khái niệm hay
nguyên lí mà một cá nhân đã đúc kết được từ những hoạt động thể chất hay tinh thần.
Chẳng hạn, một HS có thể đọc một số tài liệu và cảm thấy khó hiểu, HS đó cũng nghe
người khác nói về đề tài này, nói chuyện với giáo viên và các bạn cùng lớp nhưng
không khả quan gì hơn. Sau thời gian dài trao đổi với người khác và đọc sách, HS ấy
thấy mọi việc sáng tỏ hơn. Như thế, HS này đã phát hiện ra một khái niệm hay một
nguyên lí mà điều này trước đây vượt quá sự hiểu biết của bản thân (theo [8, tr. 255]).
J. Bruner cũng cho rằng: “Phát hiện, về bản chất là việc tái sắp xếp hoặc chuyển dịch
các bằng chứng theo cách làm cho một người nào đó có thể từ những bằng chứng đã
được sắp xếp lại đó, hình thành những hiểu biết mới”. Học tập phát hiện là “lối tiếp
cận dạy học mà qua đó, HS được tương tác với môi trường của họ, bằng cách khảo sát
và sử dụng các đối tượng, giải đáp các thắc mắc và tranh luận hoặc là biểu diễn thí
nghiệm”. Dạy học phát hiện chỉ có thể diễn ra nếu người dạy và người học cùng nhau
làm việc một cách hợp tác, nói cách khác kiểu dạy học này luôn hướng tới việc thu hút
sự tham gia của HS chứ không phải chỉ là lối truyền thụ một chiều (theo [37], [38]).

14
Welch đã xác định năm đặc điểm nổi bật của quá trình phát hiện:
- Quan sát: Khoa học bắt đầu từ việc quan sát các hiện tượng tự nhiên. Đó là
điểm khởi đầu của một sự khám phá. Welch đã chỉ ra rằng việc đặt những câu hỏi
đúng để gợi ý cho người quan sát là một yếu tố quyết định trong quá trình quan sát;
- Đo lường: Mô tả định lượng sự vật, hiện tượng là một hoạt động thực hành
khoa học được chấp nhận và mong đợi vì nó thể hiện sự chính xác trong quá trình
quan sát;
- Trải nghiệm: Việc thiết kế các thí nghiệm là để trả lời các câu hỏi và để kiểm
nghiệm các ý kiến và là nền tảng của khoa học. Thí nghiệm bao gồm việc đặt câu hỏi,
quan sát và đo lường;
- Giao tiếp: Việc thông báo những kết quả tìm hiểu được với hội đồng khoa học
và cộng đồng là một nhiệm vụ của nhà khoa học và là một phần cần thiết của quá trình
phát hiện. Giá trị của những suy nghĩ độc lập và tính trung thực của báo cáo về kết quả
quan sát, đo lường sẽ được khẳng định nhờ hoạt động này;
- Các hoạt động trí tuệ: Welch đã mô tả một số thao tác trí tuệ không thể thiếu
đối với việc khám phá khoa học là: quy nạp, phát biểu thành giả thuyết và học thuyết;
thao tác diễn dịch cũng như thao tác phân tích, suy đoán, tổng hợp và đánh giá. Những
thao tác trí tuệ của hoạt động khám phá khoa học có thể còn nhiều hoạt động khác nữa,
chẳng hạn như tưởng tượng hoặc yếu tố trực giác.
J. Dewey đã nghiên cứu cách tiếp cận dạy học tìm tòi và giải quyết vấn đề.
Theo ông, HS cần phải phát triển năng lực trí tuệ và sự nhạy cảm để giải quyết các vấn
đề thông qua sự quan sát liên tục những gì xảy ra trong lớp. Các chiến lược dạy học
theo định hướng tìm tòi sẽ giúp tạo điều kiện cho HS tự phát hiện và làm rõ mục đích
của việc tìm tòi, hình thành giả thuyết, áp dụng những kết luận và các tình huống mới
với số liệu mới, đưa ra những tổng quát hóa có ý nghĩa. Sử dụng cách dạy học theo
hướng tìm tòi, phát hiện không có nghĩa là dẫn dắt HS hướng tới những kết luận mà cả
thầy và trò hiểu cặn kẽ, điều quan trọng là hướng HS sử dụng những phương pháp đã

được chấp nhận để thu thập số liệu, từ đó tìm hiểu về vấn đề đang tồn tại trong môi
trường học tập. Từ những kinh nghiệm này, HS có thể phát hiện ra một khái niệm hay
một nguyên lí và cũng có thể mở rộng hơn nữa sự hiểu biết của mình về khái niệm
cũng như nguyên lí. Bên cạnh đó, HS hiểu được rằng các nhận định về hiện tượng
không chỉ dựa vào phỏng đoán hoặc quan sát một cách tình cờ mà phải dựa trên kết
quả của việc điều tra nghiêm túc, HS cũng được tạo điều kiện để học hỏi các phương
pháp tìm tòi kiến thức mang tính khoa học.
Dựa trên những quan niệm của các nhà khoa học về hoạt động học tập và hoạt
động phát hiện, trong luận án này, chúng tôi quan niệm: Hoạt động phát hiện quy luật


15
Toán học ở trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được thực hiện nhằm tìm
kiếm những đối tượng toán học, những mối liên hệ toán học tất yếu, bên trong sự vật
hoặc giữa các sự vật với nhau.
1.3.3. Một số đặc điểm của hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện
Hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện có một số đặc điểm nổi bật:
1. Trong hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện thì học tập một kiến
thức là phải hiểu biết nó trên các phương diện:
(a) Nội dung và ý nghĩa của các kiến thức đó (tức là trả lời cho câu hỏi “là gì?”);
(b) Kiến thức đó được xác nhận dựa trên cơ sở nào (tức là trả lời cho câu hỏi
“tại sao?”);
(c) Có thể áp dụng kiến thức đó vào việc gì và áp dụng bằng cách nào (tức là
trả lời cho câu hỏi “để làm gì và làm như thế nào?”).
Theo Tâm lí học, hoạt động nhận thức được chia thành hai giai đoạn là nhận
thức cảm tính và nhận thức lí tính. Hoạt động hiểu biết là một hoạt động trí óc cơ bản
được xếp vào quá trình nhận thức lí tính. Hiểu biết một kiến thức tức là biến nó thành
kiến thức của chính mình. Muốn vậy HS phải tự chiếm lĩnh lấy nó, có thể là với sự trợ
giúp của thầy giáo.
Để chiếm lĩnh được kiến thức và biến nó thành cái của chính mình thì người

học không nên bỏ qua mặt nào trong các phương diện (a), (b), (c) nói trên.
Dưới đây là một ví dụ về những điều vừa được trình bày.
Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 là một kiến
b  b2  4ac
ứng với   0 . Về phương diện ý
2a
nghĩa, có vài điều cần được đề cập tới: biểu thức b 2  4ac nằm trong dấu căn bậc hai

thức. Nội dung công thức đó là x 

nên chấp nhận được khi nó không âm; trước dấu căn có các dấu
b2  4ac  0 thì với dấu



ta thu được một nghiệm và với dấu





nên khi

ta thu được

nghiệm thứ hai;… Công thức đó được xác nhận dựa trên cơ sở lập luận sau: Biến đổi
2

b



ax  bx  c  0 thành dạng  x 
 
2a
2





b  b2  4ac
b 2  4ac
x

và
suy
ra
ứng với
2a
4a 2

  0 . Công thức nghiệm này có thể áp dụng để giải bất cứ phương trình bậc hai nào

có dạng như trên bằng cách thay thế giá trị của a, b, c vào và tính toán.
2. Cách thức suy nghĩ trong quá trình học tập mang tính tìm tòi phát hiện có ảnh
hưởng quyết định đối với hiệu quả học tập.
Theo J. Bruner: “Chúng ta dạy không phải vì mục đích tạo ra một thư viện sống
về bộ môn đó mà vì muốn HS suy nghĩ một cách có cân nhắc và tham gia vào tiến

16
trình tìm tòi kiến thức” (theo [8, tr. 261]). Và G. Polya cho rằng nhiệm vụ chính của
dạy học toán ở trường phổ thông là dạy HS suy nghĩ, để việc dạy học có hiệu quả, HS
cần tự khám phá trong chừng mực có thể phần lớn tài liệu học tập (theo [109, tr. 42]).
Suy nghĩ là hoạt động nhằm giải quyết vấn đề đặt ra, cụ thể là để trả lời câu hỏi,
giải bài toán, tìm tòi, chứng minh, áp dụng,… những kiến thức nào đó.
Những vấn đề đặt ra đòi hỏi sự suy nghĩ thường bao gồm hai yếu tố: thứ nhất,
đó là những dữ kiện bao gồm những cái đã cho biết và những điều kiện cần thỏa mãn,
ta gọi chúng là các giả thiết; thứ hai, đó là một câu hỏi cần được trả lời, hoặc một vấn
đề đặt ra cần được giải quyết, nghĩa là cần phải tìm kiếm cái gì đó, phải chứng minh
hay bác bỏ một giả thuyết nhằm đưa đến quyết định cho một đề nghị hay một sự lựa
chọn nào đó,… Ta gọi chúng là những cái cần tìm hoặc là kết luận.
Để suy nghĩ, trước hết cần huy động các “ảnh” liên quan đến vấn đề đã và đang
tồn tại trong đầu, gợi lại (tái hiện) để nhận ra đâu là giả thiết, đâu là kết luận. Hãy hình
dung giữa giả thiết A và kết luận B còn có những chướng ngại chưa thể vượt qua. Suy
nghĩ nghĩa là tìm ra những chiếc cầu và con đường để vượt qua chướng ngại và nối
liền A với B. Tiếp đó cần gợi lại (nhớ lại) các kiến thức, huy động các kinh nghiệm đã
thu nhận và ghi nhớ được trước đây liên quan đến bài toán; nếu chưa đủ, phải thực
hiện thao tác tìm hiểu bổ sung để có thêm những kiến thức cần thiết khác. Cuối cùng
cần lựa chọn trong chuỗi các “ảnh” nói trên những cái thích hợp và kết nối chúng theo
một lôgic hợp lý để thu được kết quả, mà kết quả này cho phép ta trả lời câu hỏi hay
rút ra kết luận. Con đường đi từ giả thiết đến kết luận cần được xây dựng bằng những
vật liệu lấy từ kiến thức, kinh nghiệm đã có cùng với vật liệu lấy từ những “ảnh” gợi ra
của giả thiết, kết luận và những kết quả được gợi ra trong các bước trước đó.
Thông thường, quá trình suy nghĩ được diễn ra theo các con đường như sau:
- Từ những điều trong giả thiết, cùng với kiến thức, kinh nghiệm đã có, suy ra
điều biết thêm (1), từ đó lại kết hợp với kiến thức cũ để suy ra điều biết thêm (2),…
Cứ thế kéo dài những điều biết thêm cho đến khi chúng trở thành kết luận. Ta gọi đó là
sự phân tích đi xuống.

- Khi bắt đầu từ giả thiết gặp những bế tắc, không tìm thấy cầu nối đến kết luận,
lúc này đi ngược từ kết luận dựa theo các suy luận sau: Muốn có kết luận, nhờ vào
những kiến thức, kinh nghiệm đã có trước sẽ thu được điều cần có (1), rồi thì để thu
được điều cần có (1) ta phải tìm ra điều cần có (2),… Cứ tiếp tục đi ngược như thế cho
đến khi điều cần có cuối cùng có thể suy ra được một cách trực tiếp từ giả thiết nói
trên. Ta gọi đó là sự phân tích đi lên.
- Cũng có khi cần xuất phát từ hai phía. Từ giả thiết tìm ra các điều cần biết
thêm và từ kết luận suy ra điều cần có. Khi một điều biết thêm nào đó trùng với một
điều cần có chính là lúc ta đã tìm được con đường nối giả thiết với kết luận.


17
Trên thực tế, HS gặp khó khăn trong suy nghĩ có thể do các nguyên nhân sau:
- Không nhận ra (gợi lại) đầy đủ các giả thiết, kết luận của bài toán;
- Không tái hiện được (không huy động được) kiến thức cũ có liên quan;
- Tuy đã gợi ra được đầy đủ giả thiết, kết luận và các kiến thức có liên quan
nhưng không biết so sánh, đối chiếu, gắn kết để phát hiện được mối quan hệ giữa
những cái đã được gợi ra trong đầu.
3. Tưởng tượng và sáng tạo là những yếu tố không thể thiếu trong quá trình học
tập mang tính tìm tòi phát hiện.
Tưởng tượng không chỉ là phẩm chất riêng của nhà khoa học hay người nghệ sĩ
mà còn là một hoạt động trí óc cần có đối với mọi người. Đây là một hoạt động trí óc
nhằm tạo ra trong đầu những ảnh mới có thể là có thực hay không có thực, nhưng
trước đó chưa từng có, nghĩa là chưa ai biết đến, hoặc đã có nhiều người biết nhưng ít
nhất trong đầu của chủ thể chưa từng có. Muốn tưởng tượng sáng tạo chủ thể cần dựa
trên những hiểu biết cũ, những hình ảnh đã có trong đầu mà nay có thể gợi lại được,
tiếp đó chủ thể cần thêm bớt hoặc thay đổi những hình ảnh cũ để tạo ra đối tượng mới
mà trước đó trong họ chưa từng có. Cần lưu ý rằng:
- Tưởng tượng, sáng tạo chỉ nảy sinh khi chủ thể hướng tới những đối tượng, sự
việc, hoạt động,… nhất định nào đó.

- Muốn tưởng tượng ra cái gì mới trước hết phải tái hiện (gợi lại) được đầy đủ
cái đang tồn tại mà chủ thể đang quan sát hoặc đã quan sát trước, để trên cơ sở đó có
thể thay đổi, bổ sung.
- Người ta chỉ bắt đầu tưởng tượng sáng tạo khi đang quan sát sự vật, khi sự vật
đang hiện diện trước mắt hoặc đã được quan sát kỹ và có thể gợi lại đầy đủ trong đầu.
Khi tưởng tượng và sáng tạo, chủ thể tự đặt ra những bài toán để suy nghĩ, lấy những
thực tế đang tồn tại làm giả thiết, còn kết luận của bài toán là ý muốn chủ quan của chủ
thể, sau đó tạo ra cái mới nhờ thêm bớt, chỉnh sửa,…
Hoạt động tưởng tượng, sáng tạo và hoạt động suy nghĩ có liên quan chặt chẽ
với nhau. Khi tưởng tượng rất cần suy nghĩ, có như vậy mới tìm được mối quan hệ
hợp lý, từ những cái đã biết, đã có để tìm ra cái chưa biết, chưa có. Ngược lại, nếu có
óc tưởng tượng tốt thì suy nghĩ sẽ đạt hiệu quả hơn. Trong hoạt động học tập, HS
không thể chỉ học để hiểu, ghi nhớ, suy nghĩ mà còn phải học cách tưởng tượng và
sáng tạo. Có khả năng tưởng tượng thì HS mới có thể nhìn thấy những cái chưa phải là
hiển hiện trước mắt mình và có thể vượt ra khỏi khuôn khổ của bài toán để phát hiện ra
những quan hệ mới thuận lợi cho việc giải bài toán.
1.4. Một số vấn đề về năng lực phát hiện các quy luật Toán học
1.4.1. Quan niệm về năng lực
Các nhà khoa học đã dành nhiều sự quan tâm để nghiên cứu vấn đề năng lực.
Tuy nhiên cho đến nay vẫn còn nhiều quan niệm khác nhau về khái niệm này.


18
B. M. Chieplôv coi năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với
kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai yếu tố cơ
bản liên quan đến khái niệm năng lực. Thứ nhất, năng lực là những đặc điểm tâm lí
mang tính cá nhân, những cá thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh
vực và không thể nói rằng mọi người đều có năng lực như nhau. Thứ hai, khi nói đến
năng lực, không những chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà còn phải gắn với một
hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt.

Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của hoạt
động, ông coi năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng lực là
toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích
lợi xã hội nhất định”.
Theo Từ điển Tiếng Việt [82], năng lực là: - Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc
tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; - Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo
cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Theo Phạm Đức Quang [88], cho dù được diễn đạt dưới nhiều dạng khác nhau
nhưng có thể rút ra một số đặc điểm chung, cơ bản của năng lực, đó là:
- Nói đến năng lực là đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một
công việc cụ thể, do một con người cụ thể thực hiện;
- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối
tượng cụ thể để có một sản phẩm nhất định;
- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể. Năng lực chỉ tồn
tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể.
Trong luận án này, chúng tôi tiếp cận khái niệm năng lực theo Chuẩn đầu ra
(mô tả năng lực theo tiêu chí). Chúng tôi quan niệm: Năng lực là khả năng, điều kiện
chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó. Theo đó, năng lực
được xem là sự tích hợp của kiến thức - kỹ năng - thái độ để tạo thành khả năng thực
hiện một hoạt động đạt kết quả tốt. Năng lực của mỗi người được hình thành trên cơ sở
tư chất, những cá thể khác nhau có năng lực khác nhau trong cùng một lĩnh vực. Năng
lực được hình thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con người
dưới sự tác động của giáo dục và rèn luyện.
1.4.2. Một số quan niệm về năng lực toán học
Quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (2003) về
năng lực toán học (theo [36, tr. 54-55]): Năng lực toán học là khả năng của một cá
nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập
luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi, khám

19
phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó
Một định nghĩa khác cũng theo PISA: Năng lực toán học là khả năng của
một cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ
cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự
việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng.
Trần Luận [68] cho rằng: Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng
được nhu cầu hoạt động toán học và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong
lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Theo V. A. Cruchetxki: Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm
tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu của hoạt động học tập toán, và trong điều kiện vững
chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách
sáng tạo toán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ
dàng, sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học (theo [109, tr. 17]).
Qua các tìm hiểu trên cho thấy hai quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình
đánh giá HS quốc tế PISA thể hiện sự quan tâm rõ nét tới những hiểu biết toán học và
sự vận dụng nó trong đời sống. Trần Luận và V. A. Cruchetxki quan tâm nhiều hơn
đến thuộc tính tâm lí của năng lực toán học, việc vận dụng toán học vào đời sống
không được đề cập tới.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu tâm lí được tiến hành khá công phu nhằm
vạch ra cấu trúc các năng lực toán học của HS, sau đây là một số nghiên cứu nổi bật:
Theo V. A. Cruchetxki, cấu trúc năng lực toán học của HS gồm các thành
phần: thu nhận thông tin toán học, chế biến thông tin toán học, lưu trữ thông tin
toán học, thành phần tổng hợp chung (theo [11, tr. 167-168] và [39, tr. 129-130]).
Theo A. N. Kôlmôgôrôv, trong các thành phần của năng lực toán học có: năng lực
biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm các con đường giải phương
trình không theo quy tắc chuẩn; trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; nghệ
thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn, đặc biệt là hiểu và
có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học (theo [39, tr. 129]).
E. L. Thorndike đã đi sâu nghiên cứu lĩnh vực đại số và cho rằng những thành

tố của năng lực đại số gồm: năng lực hiểu và thiết lập công thức; năng lực biểu diễn
các tương quan số lượng thành công thức; năng lực biến đổi các công thức; năng lực
thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; năng lực giải các
phương trình; năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất; năng lực biểu
diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng (theo [109, tr. 18]).
Nhìn khái quát những quan niệm nói trên về năng lực toán học, ta thấy các tác
giả của những quan niệm ấy đã đề cập đến các bộ phận của năng lực toán học, đó là


20
năng lực lĩnh hội các tri thức toán học, năng lực áp dụng các tri thức toán học, và còn
có một bộ phận đáng chú ý, đó là năng lực phát hiện các định lý, công thức,... và các
quy tắc suy luận trong toán học (tức là các quy luật toán học).
1.4.3. Thuộc tính của năng lực phát hiện các quy luật toán học
Quan niệm về quy luật toán học, hoạt động phát hiện, năng lực đã được đưa
ra theo thứ tự tại các mục (1.2.2), (1.3.2), (1.4.1) của luận án.
Theo đó, tóm lại, chúng tôi quan niệm: Năng lực phát hiện các quy luật toán
học chính là khả năng quan sát có chủ định các đối tượng toán học, sử dụng thao tác
tư duy để đưa ra dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa chúng, trên cơ sở
đó hình thành nên giả thuyết toán học và kiểm định nó.
Quan niệm đó cho thấy năng lực phát hiện quy luật toán học có các thuộc tính
chính yếu sau:
1) Có thể quan sát có chủ định các đối tượng toán học;
2) Có thể sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra các dự đoán về các mối liên hệ
có tính quy luật giữa các đối tượng toán học đó;
3) Có thể hình thành được giả thuyết toán học về chúng;
4) Có thể kiểm định giả thuyết toán học ấy và đưa ra kết luận xác đáng. Trong
trường hợp giả thuyết đó được xác nhận là đúng thì biết khẳng định đó là một quy
luật toán học và biểu đạt thành định lý, công thức,...
Mỗi thuộc tính có thể mô tả theo các chuẩn mà người HS có năng lực phát

hiện quy luật toán học cần đạt được. Cụ thể như sau:
(1). Nói rằng có thể quan sát có chủ định các đối tượng toán học tức là muốn
nói rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(1a). Biết xác định đối tượng cần quan sát và mục đích của việc quan sát;
(1b). Biết kết hợp hai yếu tố “nhìn thấy” và tư duy không chỉ xuyên suốt quá
trình quan sát mà là cả trước và sau quá trình đó;
(1c). Biết đặt đối tượng cần quan sát trong mối liên quan với những đối tượng gần
gũi nó;
(1d). Biết sử dụng hợp lý các phương tiện và các giác quan trong quá trình quan sát.
(2). Nói rằng có thể sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra dự đoán về các mối
liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng toán học đang xem xét tức là muốn nói
rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(2a). Có những hiểu biết cơ bản về từng thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...
(2b). Có thể thực hiện được các thao tác tư duy ấy trong những tình huống cụ
thể ở mức hợp với trình độ toán học được quy định trong chương trình môn học;


21
(2c). Trên cơ sở đó, đối với những tình huống nhất định, có thể đưa ra những
dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng và quan hệ toán học
trong tình huống đó.
(3). Nói rằng có thể hình thành được giả thuyết toán học liên quan đến tình
huống toán học đang quan tâm tức là muốn nói rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(3a). Có sự hiểu biết về khái niệm giả thuyết toán học;
(3b). Ở những hoàn cảnh cụ thể nhất định, có thể thực hiện được việc đưa ra
các giả thuyết toán học có ích.
(4). Nói rằng có thể kiểm định giả thuyết toán học đã đưa ra tức là muốn nói
rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(4a). Có sự hiểu biết về những phương pháp khác nhau để kiểm tra tính đúng

đắn của giả thuyết;
(4b). Thực hiện được một số phương pháp kiểm định tính đúng đắn của giả
thuyết;
(4c). Biết đưa ra kết luận xác đáng đối với giả thuyết đó sau khi tiến hành
những biện pháp kiểm định phù hợp.
Một câu hỏi đặt ra là: Năng lực phát hiện các quy luật Toán học có hay không
có ở tầng lớp HS trung học phổ thông Việt nam? Câu trả lời là khẳng định rằng có.
Thực tiễn dạy học cho thấy năng lực này ở người HS trung học phổ thông nước ta vẫn
được hình thành và phát triển ở những mức độ nhất định trong các giờ học môn Toán.
Một câu hỏi khác nữa được đặt ra là: Trong trường hợp nào thì một HS được
xem là đạt yêu cầu về năng lực phát hiện quy luật toán học? Vấn đề này sẽ được
chúng tôi trình bày tại mục 1.4.5.
1.4.4. Một số biểu hiện của học sinh có năng lực phát hiện quy luật Toán học
Như đã được nhắc đến ở 1.4.2, năng lực phát hiện các quy luật Toán học là một
bộ phận đáng chú ý trong năng lực toán học. Do vậy, việc bồi dưỡng cho HS bộ phận
năng lực toán học này là một khâu quan trọng trong quá trình dạy học môn Toán ở
trường phổ thông. Trong mục này, chúng tôi sẽ đề cập đến các biểu hiện của HS có
năng lực phát hiện các quy luật Toán học để làm nền cho việc xây dựng hệ thống các
biện pháp sẽ đưa ra ở chương 3.
Hoạt động phát hiện các quy luật Toán học chính là hoạt động nhận thức các
quy luật Toán học. Nó cũng có hai mức độ khác nhau, đó là nhận thức cảm tính và
nhận thức lý tính (tư duy). Ở mức độ nhận thức cảm tính, khi đạt đến trình độ phát
triển cao của sự tri giác có mục đích, có kế hoạch, có biện pháp và đạt tới mức phản
ánh đối tượng tốt nhất thì tri giác trở thành hoạt động quan sát của con người, cung cấp
cho con người các thông tin cần thiết của hoạt động tư duy, tưởng tượng và sáng tạo


22
(theo [29, tr. 104]).
Như vậy, một HS có năng lực phát hiện các quy luật Toán học chính là người

HS có năng lực nhận thức cảm tính và năng lực tư duy trong lĩnh vực toán học. Dựa
trên những đặc điểm của nhận thức cảm tính và tư duy, chúng tôi nhận thấy HS có
năng lực phát hiện quy luật Toán học có các biểu hiện sau đây:
- Biết thực hiện hoạt động quan sát một cách có chủ định các đối tượng toán
học để nhận ra các mối quan hệ toán học lặp đi lặp lại trong cấu trúc của đối tượng;
- Dựa trên những bất biến khi xét các trường hợp riêng, biết sử dụng các thao
tác tư duy đưa ra dự đoán về mối quan hệ có tính quy luật giữa các đối tượng toán học
trong trường hợp tổng quát;
- Biết phát biểu những điều đã dự đoán thành giả thuyết toán học bằng các thuật
ngữ và kí hiệu toán học, đồng thời biết thực hiện hoạt động kiểm định giả thuyết;
- Biết thay đổi cách nhìn quen thuộc khi xem xét mối liên hệ ổn định, lặp lại
giữa các đối tượng và quan hệ toán học, từ đó thiết lập mối quan hệ toán học mới;
- Biết vận dụng chính xác và suy luận chặt chẽ tuân theo các quy luật và quy tắc
suy luận của lôgic hình thức để tìm những tiền đề đầy đủ và các kết luận lôgic của các
tiền đề cho trước, nhằm kết nối những kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã có với
những tình huống chứa đựng điều cần tìm kiếm;
- Có thói quen và hứng thú với việc khảo sát các mô hình, vật mẫu, các tình
huống… của đời sống thực tiễn nhằm phát hiện những mối liên hệ có tính chất toán
học ẩn chứa trong các đối tượng nghiên cứu đó.
Sau đây, chúng tôi sẽ mô tả một cách cụ thể các biểu hiện của HS có năng lực
phát hiện quy luật Toán học.
Biểu hiện 1: Biết thực hiện hoạt động quan sát một cách có chủ định các đối tượng
toán học để nhận ra các mối quan hệ toán học lặp đi lặp lại trong cấu trúc của đối tượng.
Quan sát là mức độ phát triển cao của tri giác. Đó là loại tri giác có chủ định,
diễn ra tương đối độc lập và lâu dài, nhằm phản ánh đầy đủ, rõ rệt các sự vật, hiện
tượng và những biến đổi của chúng [29, tr. 116].
Trong công việc của mình ai cũng tiến hành quan sát, dựa trên những nghiên cứu
về đối tượng của toán học, các quan điểm của tâm lí học về quan sát và năng lực quan
sát, chúng tôi cho rằng biểu hiện này có thể nhận thấy thông qua các hoạt động sau:
- HS biết xác định mục đích của quan sát và nắm vững phương pháp quan sát.

HS nhận thức được rằng hoạt động quan sát trong toán học có hai mục đích chủ
yếu, đó là thu được kiến thức mới và vận dụng kiến thức để giải bài tập.
Về phương pháp quan sát, HS nhận thức được rằng bất cứ sự quan sát nào cũng
bao hàm hai yếu tố: yếu tố nhìn thấy và yếu tố tư duy. Sự kết hợp hai yếu tố này không


23
những xuyên suốt quá trình quan sát mà phải kéo dài cả trước và sau khi quan sát.
Trước khi quan sát, HS phải xác định quan sát cái gì. Tiếp đó phải phân tích các thông
tin thu được, tiến hành quy nạp và cố gắng đi đến những kết luận đúng đắn. Cuối cùng,
sau khi quan sát sẽ giải quyết vấn đề và tiếp tục suy nghĩ về kết quả đã quan sát được.
- HS biết xem xét đối tượng và quan hệ toán học một cách độc lập, đồng thời
cũng biết đặt và quan sát chúng trong mối tương quan với những đối tượng gần gũi
khác nhằm tìm ra đặc điểm của đối tượng cần quan tâm.
Ví dụ 1.1: + Khi tìm hiểu về hàm số chẵn, ngoài việc nghiên cứu trực tiếp định
nghĩa và các tính chất của hàm số chẵn, HS đã biết đặt trong mối quan hệ với hàm số
lẻ và với hàm số tổng quát để nắm kiến thức sâu sắc hơn.
+ Khi xem xét một hình không gian, ban đầu phải quan sát toàn bộ hình để nắm
được cái tổng thể, mặt khác có thể phân tách thành những bộ phận phẳng, hoặc những
hình đơn giản, quen thuộc hơn để thuận lợi cho việc tìm hiểu đối tượng đó.
+ Khi học về phương trình bậc bốn trùng phương, HS biết xem xét đặc điểm
cấu tạo của nó, mặt khác biết xét mối liên hệ của nó với phương trình bậc hai tương
ứng và cũng có khi đặt nó trong mối liên hệ với các phương trình bậc cao.
- HS biết sử dụng hợp lý các phương tiện và các giác quan trong quá trình quan sát.
Quan sát không phải chỉ là dùng mắt để nhìn, HS đã biết sử dụng kết hợp các
phương tiện vật chất và các giác quan để cân, đong, đo, đếm, ước lượng và để cảm
nhận, biểu đạt, đánh giá.
Ví dụ 1.2: Có nhiều khối lập phương đơn vị, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động:
1. Ghép các khối lập phương đơn vị thành những khối hộp chữ nhật có kích
thước khác nhau cho trước. Sau đó nhận xét về số khối lập phương cần dùng để ghép

cho mỗi khối hộp chữ nhật và giá trị các kích thước của chúng.
2. Dùng 24 khối lập phương đơn vị để ghép thành các khối hộp chữ nhật.
Sau khi thực hiện hoạt động 1, HS phát hiện ra rằng số khối lập phương đơn vị
cần dùng bằng tích của ba kích thước. Đây là một nhận xét đúng trong trường hợp cụ
thể khi kích thước các cạnh là những số nguyên, và HS được thừa nhận kết quả này
trong trường hợp tổng quát với độ dài cạnh là số không nguyên tùy ý.
Để thực hiện hoạt động 2 các em phải thử nhiều lần vì chưa biết vận dụng kết
quả ở hoạt động 1 để phân tích số 24 thành tích của 3 số nguyên dương. Tuy nhiên,
các em đã thu được nhận xét thú vị: có thể xếp được nhiều hình hộp chữ nhật từ 24
khối lập phương, chứng tỏ có nhiều hình hộp chữ nhật có cùng thể tích.
- HS biết tự đặt ra những câu hỏi, thắc mắc nếu thấy có hiện tượng bất thường.
Trong quá trình học tập, HS xây dựng kiến thức bằng chính sự hiểu biết của mình
thông qua việc lặp lại những kinh nghiệm có liên quan đến sự tác động qua lại giữa bản


24
thân và tài liệu học tập. HS biết tự đưa ra ý kiến thông qua việc đặt câu hỏi, quan sát
những gì xảy ra và khám phá ra câu trả lời. Chẳng hạn, trong quá trình xét các trường
hợp riêng, nếu nhận thấy hiện tượng nào đó xảy ra nhiều lần thì HS biết tự hỏi “tại sao?”
và biết đặt ra nghi vấn: “phải chăng có một quy luật ẩn sau các hiện tượng này?”.
Biểu hiện 2: Dựa trên những bất biến khi xét các trường hợp riêng, biết sử
dụng các thao tác tư duy đưa ra dự đoán về mối quan hệ có tính quy luật giữa các đối
tượng toán học trong trường hợp tổng quát.
J. Bruner cho rằng việc đưa ra dự đoán rồi cố gắng chứng minh hoặc phản đối
những dự đoán đó là một trải nghiệm học có tác động lớn đối với HS (theo [70, tr.
106]). Do đó, trong học tập môn Toán, có thể tiến hành hoạt động dự đoán là một dạng
biểu hiện của HS khả năng tìm tòi, phát hiện kiến thức. Các em không chỉ dừng lại ở
những tri thức toán học cụ thể, riêng lẻ mà biết sử dụng các thao tác tư duy để liên kết
chúng nhằm bước đầu rút ra những dự đoán có tính khái quát về đối tượng. Trong mục
này chúng tôi mô tả các biểu hiện của HS khi sử dụng ba phương thức thường dùng để

thực hiện hoạt động dự đoán, đó là: quy nạp không hoàn toàn, tương tự, khái quát hóa.
Phương thức 1: Dự đoán thông qua quá trình quy nạp từ một số trường hợp riêng.
“Có thể hiểu, phát hiện là phương pháp qui nạp, bởi vì HS bắt đầu từ những ví
dụ cụ thể rồi đi đến khái niệm. Học phát hiện trước hết sẽ giúp HS hiểu thấu đáo các
khái niệm, sau đó tiến tới tổng quát hóa, đưa ra các nguyên lý, các định luật có liên
quan tới những khái niệm đó” (theo [8, tr. 257]). Điều này khẳng định vai trò của phép
quy nạp trong việc dự đoán các vấn đề.
Khi tiến hành dự đoán thông qua quy nạp từ một số trường hợp riêng, với sự
hướng dẫn của giáo viên, HS biết thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Quan sát các trường hợp riêng;
Bước 2. Sắp xếp các trường hợp riêng;
Bước 3. Dự đoán các kết quả từ những trường hợp riêng đã quan sát;
Bước 4. Phát biểu dự đoán;
Bước 5. Xác nhận dự đoán;
Bước 6. Khái quát hóa dự đoán;
Bước 7. Biện minh sự dự đoán.
Phương thức 2: Dự đoán thông qua quá trình khái quát hóa.
Cùng với sự hướng dẫn của giáo viên, HS biết sử dụng thao tác khái quát hóa
để tìm kiếm kiến thức mới thông qua việc biết thực hiện các bước sau:
Bước 1. Quan sát một số đối tượng toán học riêng lẻ cần khái quát hóa;
Bước 2. Phát hiện những thuộc tính của các đối tượng đã quan sát được ở
bước 1;


25
Bước 3. So sánh các thuộc tính đã phát hiện được ở bước 2;
Bước 4. Tách những thuộc tính bản chất (ổn định, có tính lặp lại) trong số
những thuộc tính giống nhau (xác định được ở bước 3) ra khỏi các thuộc tính không
bản chất (có tính bộ phận và hay thay đổi) của các đối tượng riêng lẻ;
Bước 5. Xác minh tính đúng đắn của các thuộc tính bản chất đối với tập hợp các

đối tượng rộng hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đã xét ở bước 2;
Bước 6. Phát biểu kết quả tổng quát.
Phương thức 3: Dự đoán thông qua việc sử dụng phép tương tự.
Sau khi được giới thiệu sơ đồ của phép tương tự: “Đối tượng A có các thuộc
tính a, b, c; Đối tượng B có các thuộc tính a, b, c, d. Kết luận đối tượng A có thuộc tính
d. Nếu kết luận trên là đúng thì chúng ta đã phát hiện được một mối liên hệ, một quy
luật Toán học mới” (dựa theo [21]), cùng với sự hỗ trợ của giáo viên, HS biết tiến
hành các bước sau để dự đoán kết quả mới:
Bước 1. Quan sát nhằm tìm các thuộc tính giống nhau của hai đối tượng A, B;
Bước 2. Tìm thuộc tính a có ở A mà chưa kết luận là có ở B;
Bước 3. Phát biểu và xác minh dự đoán “B có thể có tính chất a”;
Biểu hiện 3: Biết phát biểu những điều đã dự đoán thành giả thuyết toán học
bằng các thuật ngữ và kí hiệu toán học, đồng thời biết thực hiện hoạt động kiểm định
giả thuyết.
Theo Paul Ernest: “Người ta có thể nói rằng kiến thức toán học bắt đầu với việc
đạt được kiến thức ngôn ngữ. Ngôn ngữ tự nhiên bao gồm cơ sở của toán học thông
qua bản danh sách các thuật ngữ toán học cơ bản của nó, thông qua những quy tắc và
quy ước cung cấp cơ sở cho lôgic học và chân lý lôgic” (theo [73, tr. 88]). Diễn đạt
thành lời là cơ hội để HS học tập lẫn nhau, để trao đổi và làm cho người khác hiểu
được suy nghĩ của mình. Các phát biểu của HS dù còn vụng về trong diễn đạt nhưng
cũng thể hiện khả năng xâu chuỗi đối với các sự kiện, các ý tưởng toán học. Ngôn ngữ
giúp người học phát triển các ý tưởng, lập luận các giả định, xác lập giả thuyết, trình
bày ý kiến cá nhân. Do đó, các dự đoán nếu chỉ nằm trong đầu mỗi người thì bản thân
nó sẽ mất đi cơ hội được phát triển. Mặt khác, một trong những việc không thể thiếu
khi bắt tay vào học toán là cần xây dựng cho mình những phỏng đoán, hay đề ra những
giả thuyết rồi sau đó tiến hành chứng minh. Những điều nói trên chứng tỏ việc có thể
phát biểu thành giả thuyết bằng ngôn ngữ toán học các sự kiện trong nội bộ môn Toán
hoặc trong đời sống thực tiễn, đồng thời biết thực hiện hoạt động kiểm định giả thuyết
là một biểu hiện của người HS có năng lực phát hiện các quy luật Toán học.
Theo Từ điển Toán học thông dụng [62, tr. 364]: “Một nhận xét nào đó về một

đám đông được gọi là một giả thuyết. Việc kiểm tra để xác định sự đúng sai của một giả