Đề Tài Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 7 Giải Bài Tập Áp Dụng Tính Chất Dãy Tỉ Số Bằng Nhau

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ÂN THI
TRƯỜNG THCS ĐẶNG LỄ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 GIẢI BÀI TẬP
ÁP DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

MÔN: TOÁN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Phú
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị công tác: Tổ KHTN – Trường THCS Đặng Lễ

Năm học 2014 - 2015

1


2


Phần A. Mở đầu.
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng nghiên cứu.
Toán học là môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh. Toán học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận
chặt chẽ lô gíc. Học tốt môn toán giúp các em học tốt các môn học khác. Do đó mỗi em
học sinh cần học phải học tập tốt bộ môn toán.
Đại số là môn học mới đối với học sinh lớp 7. Các em còn có nhiều bỡ ngỡ, Giải

bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được vận dụng rất nhiều trong chương
trình đại số lớp 7, hay gặp trong các vòng thi Violimpic toán trên mạng và thi học sinh
giỏi toán hàng năm. Dạng toán này rất đa dạng đòi hỏi người học phải có tư duy sáng
tạo, phân tích tổng hợp và biết vận dụng kiến thức đã học mới có thể giải được.
2. Ý nghĩa và tác dụng.
Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặc
biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7, nên tôi đã mạnh dạn
trình bày một đề tài mang tính kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài
tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
3. Phạm vi nghiên cứu.
Học sinh lớp 7A, Đội tuyển Học sinh giỏi Toán 7 năm học 2014-2015.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
a. Cơ sở lí luận:
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông.
Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm
lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội
dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy
học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy
bộ môn toán thường xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh
có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự
về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được nhà trường
hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi
năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.
Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi,
trong đó chuyên đề “Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” là một trong những
chuyên đề giữ một vai trò quan trọng. Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh
chuyên đề về chuyên đề là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
b. Cơ sở thực tiễn:

- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học sinh hiểu bài,
nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó vào làm được hầu hết các
bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập. Nhưng với đối tượng học sinh khá, giỏi thì
không chỉ dừng lại ở đó, mà còn phải làm được các dạng bài tập mở rộng và nâng cao.
- Thực tế tôi thấy học sinh chưa có phương pháp giải bài tập áp dụng tính chất dãy
tỉ số bằng nhau ở dạng khó. Khi gặp các bài toán ở dạng này các em thường lúng túng
và không biết cách làm.
3


Qua thực tế kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh biết cách giải các bài tập nâng cao
ở dạng này rất thấp chỉ khoảng 9%. Trước tình hình học sinh như trên tôi đã có kế
hoạch xây dựng một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau”.
2. Biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.
Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp, thông qua
một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải quyết một số bài tập ở
một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả tốt khi học
chuyên đề này.
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau theo
các dạng chính sau:
- Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
- Dạng II: Chia tỉ lệ.
- Dạng III: Chứng minh tỉ lệ thức.
- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp 7A và
bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2014 – 2015.
Phần B. Nội dung
I. Mục tiêu.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a c a +c a −c
= =
=
b d b+d b−d
a c e a ± c ± e ma ± nc ± pe
=
- Tính chất mở rộng: = = =
b d f b ± d ± f mb ± nd ± pf
- Tính chất: Ta luôn có

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
II. Giải pháp thực hiện
1. Nội dung giải pháp
Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.

Ví dụ 1: Tìm x, y biết: x : ( −3) = y : 5 và y − x = 24
Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
x y
y x
⇒
=
Giải: Từ: x : ( −3) = y : 5 ⇒ =
5 −3
−3 5
y x y − x 24
= =
=
= −3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
−3 5 −3 − 5 −8

x
⇒ = −3 ⇒ x = 5. ( −3) ⇒ x = −15
5
y
= −3 ⇒ y = −3.( −3) ⇒ y = 9
−3
Vậy: x = −15 ; y = 9 .
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết.

x y
z
= =
và x + y − z = 10
8 12 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z
x + y − z 10
= = =
= =2
8 12 15 8 + 12 − 15 5
4


⇒ x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; z = 15.2 = 30
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z = 30 .
x y
Ví dụ 3: Tìm x, y biết: =

và x + y = 20
2 3
x y x + y x + y 20
=
=
=4
Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = =
2 3 2+3
5
5
y
x
⇒ =4⇒ x =2.4⇒ x =8 ; =4⇒ y =3.4⇒ y =12
3
2

Vậy: x = 8 ; y = 12 .
Nhận xét: Ở ví dụ 1 và ví dụ 2 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa được về dạng để
áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số dạng và cách biến đổi.
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết.

x y z
= = và. 2 x + 3 y + z = 34
2 3 4

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy
tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y, z trong đẳng
thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân cả tử và mẫu của tỉ
số

x
y
với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số
với 3 rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
2
3

nhau để tìm x, y. z.
Giải: Ta có:

x y z 2x 3 y z
= = =
=
= . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 4 4 12 4
2 x 3 y z 2 x + 3 y + z 34
=
= =
=
=2
4
9 4
4+9+4
17
x
⇒ = 2 ⇒ x = 2.2 ⇒ x = 4
2
y
= 2 ⇒ y = 3.2 ⇒ y = 6

3
z
= 2 ⇒ z = 4.2 ⇒ z = 8
4

Vậy: x = 4 ; y = 6 ; z = 8 .

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và x − 2 y + 3 z = 14 .
2
3
4
Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4
x − 1 y − 2 z − 3 x − 1 2 y − 4 3z − 9
=
=
=
=
=
Giải: Ta có:
2
3
4
2
6
12
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x − 1 2 y − 4 3z − 9 x − 1 − 2 y + 4 + 3z − 9

=
=
=
2
6
12
2 − 6 + 12
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.

5


x − 2 y + 3z − 6 14 − 6
=
=1
8
8
x −1
⇒
= 1 ⇒ x −1 = 2 ⇒ x = 3
2
y−2
⇒
=1⇒ y − 2 = 3 ⇒ y = 5
3
z −3
⇒
=1⇒ z − 3 = 4 ⇒ z = 7
4
Vậy: x = 3 ; y = 5 ; z = 7

Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Tìm x, y, z biết. 2 x = 3 y = 4 z và x + y + z = 169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x = 3 y = 4 z về dạng dãy tỉ số bằng nhau sao
cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN ( 2;3; 4 ) = 12 ] sau đó làm như ví dụ 3
=

2x 3y 4z x y z
=
=
= = =
12 12 12 6 4 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x + y + z 169
= = =
=
= 13
6 4 3 6 + 4 + 3 13
x
⇒ = 13 ⇒ x = 6.13 ⇒ x = 78
6
y
= 13 ⇒ y = 4.13 ⇒ y = 52
4
z
= 13 ⇒ z = 3.13 ⇒ z = 39
3
Vậy: x = 78 ; y = 52 ; z = 39 .
Ví dụ 7: Tìm x, y biết. 7 x = 9 y và 10 x − 8 y = 68
Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức 7 x = 9 y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó vận

dụng cách làm ở ví 4.
Giải: Từ: 2 x = 3 y = 4 z ⇒

Giải: Từ: 7 x = 9 y ⇒

x y 10 x 8 y
= =
=
. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
9 7 90 56

10 x 8 y 10 x − 8 y 68
=
=
=
=2
90 56 90 − 56 34
x
⇒ = 2 ⇒ x = 9.2 ⇒ x = 18
9
y
= 2 ⇒ y = 7.2 ⇒ y = 14
7
Vậy: x = 18 ; y = 14 .
x y
= và x. y = 112
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7

6

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ
số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ x ≠ 0 rồi nhân hai
x y
vế của hai tỉ số = với x. Thay x. y = 112 vào rồi tính.
4 7
x y
Giải: Vì x. y = 112 ⇒ x ≠ 0 nhân cả hai vế của = với x ta được:
4 7
2
2
x
x
xy 112
=
=
= 16 ⇒
= 16 ⇒ x 2 = 4.16 ⇒ x 2 = 64 ⇒ x = ±8
4
7
7
4
112
⇒ y = −14
Nếu x = −8 ⇒ −8. y = 112 ⇒ y =
−8
112
⇒ y = 14
Nếu x = 8 ⇒ 8 y = 112 ⇒ y =

8
Vậy: x = −8 ; y = −14 hoặc x = 8 ; y = 14
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
x y y z
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết. = ; = và x − 2 y + 3 z = 19
2 3 2 3
x y y z
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số = ; = về một dãy ba tỉ số bằng nhau bằng
2 3 2 3
cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải:
x y
x y
= ⇒ = 
x y z x 2 y 3z
2 3
4 6
=
⇒ = = = =
y z
y z  4 6 9 4 12 27
= ⇒ =
2 3
6 9 
x 2 y 3 z x − 2 y + 3 z 19
=
=
=
=1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: =

4 12 27 4 − 12 + 27 19
x
⇒ = 1 ⇒ x = 4.1 = 4
4
y
= 1 ⇒ y = 6.1 ⇒ y = 6
6
z
= 1 ⇒ z = 9.1 ⇒ z = 9
9
Vậy: x = 4 ; y = 6 ; z = 9
* Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm x, y biết.
x y
x
y
=
a) = và x − y = 30
b)
và 2 x − y = 34
6 9
19 21
x y
c) = và x. y = 180
d) x : y = 4 : 5 và x. y = 5
4 5
Bài 2: Tìm x, y, z biết.
7

a)

x y z
= = và x + y + z = 9
2 3 4

x y z
= = và x − 3 y + 4 z = 62
4 3 9
2x 3 y 4z
=
=
d)
và x + y + z = 49
3
4
5
b)

x y z
= =
và 5 x + y − 2 z = 28
10 6 21
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
x 7 y 5
a) = ; =
và 2 x + 5 y − 2 z = 100
y 20 z 8
x −1 y − 2 z − 3
=

=
b)
và 2 x + 3 y − z = 50
2
3
4
Dạng II: Chia tỉ lệ.
* Chú ý:

c)

1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c ⇔ x : y : z = a : b : c ( Hay
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c ⇔ x : y : z =

x y z
= = )
a b c

1 1 1
: : ( Hay ax = by = cz )
a b c

* Bài tập:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài tương
ứng tỉ lệ với các số nào.
µ ,C
µ .
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: µA, B
µA B
µ C

µ
µ
µ
µ
Vì ba góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có = =
7 5 3

µ +C
µ = 1800
Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 nên ta có: µA + B
Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải:
µ ,C
µ và
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

(

µ ,C
µ < 1800
µA1 ; B
µ 1; C
µ 00 < µA, B
1

Theo bài ra ta có:

µA B
µ C

µ
µ +C
µ = 1800 .
và µA + B
= =
7 5 3

)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µA B
µ C
µ µA + B
µ +C
µ 1800
= = =
=
= 120
7 5 3
7+5+3
15
0
0
0
⇒ µA = 7.120 = 840 ⇒ µA1 = 180 − 84 = 96

µ = 1800 − 600 = 1200
µ = 5.120 = 600 ⇒ B
B

1
µ = 1800 − 360 = 1440
µ = 3.120 = 360 ⇒ C
C
1
µ :C
µ = 960 :120 0 :1440 = 4 : 5 : 6
⇒ µA : B
1

1

1

Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6 .

8


Ví dụ 2: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho
theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng
cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ
nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a = 2000b = 3000c
Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a + b + c = 1530 .
Giải:
Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c ( a, b, c > 0 ) .
Theo bài ra ta có: 1500a = 2000b = 3000c và a + b + c = 1530
a b c
Từ: 1500a = 2000b = 3000c ⇒ = =

4 3 2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 1530
= = =
=
= 170
4 3 2 4+3+ 2
9
⇒ a = 4.170 = 680 ;
b = 3.170 = 510 ;
c = 2.170 = 340
Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.
Ví dụ 3: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng
tỉ lệ với 3; 4.
Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều rộng
(còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài. Hai
cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ với 4.
Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b ( 0 < a < b ) . Vì hai cạnh hình chữ nhật
a b
ti lệ với 3 và 4 nên ta có: = .
3 4
Chu vi hình chữ nhật là 2 ( a + b ) nên ta có: 2 ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 14
Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b ( 0 < a < b )
Theo bài ra ta có:

a b
=
và 2 ( a + b ) = 28

3 4

Từ 2 ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 24

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b a + b 14
= =
= =2
3 4 3+ 4 7

⇒ a = 3.2 = 6 ; ⇒ b = 4.2 = 8
Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm.
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại
tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Phân tích đề bài:
Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a = 5000b = 10000c
9


Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a + b + c = 16
Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có: 2000a = 5000b = 10000c và a + b + c = 16
a b c
Từ: 2000a = 5000b = 10000c ⇒ = =
5 2 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 16

= = =
= =2
5 2 1 5 + 2 +1 8
⇒ a = 5.2 = 10 ; b = 2.2 = 4 c = 1.2 = 2
Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ.
µ ,C
µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3. tính số đo
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có số đo các góc µA, B
các góc của tam giác ABC.
µ ,C
µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc µA, B
µ ,C
µ là số đo ba góc cần tìm.
Vậy ta lấy luôn µA, B
µ µ µ
µ ,C
µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có: A = B = C
Vì số đo các góc µA, B
1 2 3
µ +C
µ = 1800
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: µA + B
Giải:
µ ,C
µ
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

(0

Theo bài ra ta có:

0

µ ,C
µ < 1800
< µA, B

)

µA B
µ C
µ
µ +C
µ = 1800
và µA + B
= =
1 2 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µA B
µ C
µ µA + B
µ +C
µ 1800
= = =
=
= 300
1 2 3

1+ 2 + 3
6
0
0
µ = 2.300 = 600 ; C
µ = 3.300 = 900
⇒ µA = 1.30 = 30 ; B

µ ,C
µ của tam giác ABC lần lượt là: 300 ; 600 ;900
Vậy số đo ba góc µA, B
* Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với
1: 2: 3.
Bài 2: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với mức
sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với mức sản xuất của
người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% tổng số mức sản xuất
của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được thưởng.
Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết rằng
chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m 2 .
Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận

1
diện tích còn lại. Diện tích còn lại
5

10

của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với
1 1 5
: : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
2 4 16

Bài 5: Tính chiều dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và 3 cạnh tỉ lệ với
4:5:6.
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh
tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1:

a c
ac a 2 + c 2
Cho tỉ lệ thức = . với a, b, c, d ≠ 0 . Chứng minh:
=
b d
bd b 2 + d 2
Phân tích đề bài:

2

2

a c
a c a c 
ac a 2 c 2
ac a 2 + c 2
= ⇐ . = ÷ = ÷ ⇐
=

=
⇐
=
b d
b d b d 
bd b 2 d 2
bd b 2 + d 2
Giải:
2

2

a c
a c a  c 
ac a 2 c 2
Từ: = ⇒ . =  ÷ =  ÷ ⇒
=
=
b d
b d b d 
bd b 2 d 2
a2 c2 a2 + c2
Mà: 2 = 2 = 2
(2)
b
d
b + d2
ac a 2 + c 2
Từ (1) và (2) ⇒
(đpcm)

=
bd b 2 + d 2

(1)

Ví dụ 2:

( a − b ) = ab
a c
Cho tỉ lệ thức = . với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d . Chứng minh:
2
b d
( c − d ) cd
2

Phân tích đề bài:

a c
a b a −b
a b  a −b 
ab ( a − b )
= ⇐ = =
⇐ . =
⇐
=
÷
b d
c d c−d
c d c−d 
cd ( c − d ) 2

2

2

Giải:

a b  a −c 
ab ( a − c )
a c
a b a −b
⇒ . =
⇒
=
Từ: = ⇒ = =
÷
c d b−d 
cd ( b − d ) 2
b d
c d c−d
2

( a − b)
2
(c−d)
2

Hay

=

2

ab
(đpcm)
cd

Ví dụ 3:
Cho

a+b c+d
a c
=
( a, b, c, d ≠ 0 và a ≠ b, c ≠ ± d ). Chứng minh rằng = .
a −b c−d
b d
11


Phân tích đề bài:

a+b c+d
a +b a −b
a b
a c
=
⇐
=
⇐ = ⇐ =
a−b c−d
c+d c−d

c d
b d
a+b c+d
a +b a −b
a b
a c
=
⇒
=
⇒ = ⇒ =
Giải: Từ:
a −b c−d
c+d c −d
c d
b d
Ví dụ 4:

Cho tỉ lệ thức

(đpcm)

a c
a+b c+d
= với b, c, d ≠ 0 và c ≠ −d . Chứng minh rằng:
=
b d
b
d

Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích

suy luận ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo
chiều xuôi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
Có:

a c
a b
a+b b
a+b c+d
= ⇐ Cần CM: = ⇐ Cần CM:
= ⇐ để CM:
=
b d
c d
c+d d
b
d

Giải:
Từ

a c
a b a +b
b a+b
c+d a+b
a+b c+d
= ⇒ = =
⇒ =
⇒
=
=

hay:
b d
c d c+d
d c+d
d
b
b
d

Ví dụ 5:

a c
a
c
= với b, c, d ≠ 0 . Và a ≠ −b; c ≠ −d . Cmr:
=
a+b c+d
b d
a c
a b
a a +b
a
c
= ⇐ = ⇐ =
⇐
=
Phân tích đề bài:
b d
c d
c c+d

a +b c +d
a c
a b a +b
a a+b
a
c
⇒ =
⇒
=
Giải:
Từ: = ⇒ = =
(đpcm)
b d
c d c+d
c c+d
a+b c+d
Cho tỉ lệ thức

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a + d = b + c và a 2 + d 2 = b 2 + c 2 ( b, d ≠ 0 ) .
Chứng minh rằng bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức.
a+2 b+3
a b
=
=
Bài 2: Cho tỉ lệ thức:
với a ≠ 2; b ≠ 3 . Chứng minh rằng
a −2 b−3
2 3

a c
= ≠ ±1 với a, b, c, d ≠ 0 . Chứng minh rằng:
b d
a+b c+d
a
c
a −b c−d
=
=
=
a)
b)
c)
b
d
a −b c −d
a
c
a c
Bài 4: Cho tỉ lệ thức = c/m các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b d
Bài 3: Cho tỉ lệ thức

( a + b)
2
(c+d)
2

a)

a2 + b2
= 2
c + d2

b)

2a + 5b 2c + 5
=
3a − 4b 3c − 4d

2005a − 2006b 2005c − 2006d
2012a − 2013b 2012c − 2013d
=
=
d)
2013a + 2014b 2013c + 2014d
2006c + 2007 d 2006a + 2007b
Bài 5: Cho b 2 = ac ; c 2 = bd với b, c, d ≠ 0 ; b + c ≠ d ; b3 + c 3 ≠ d 3
c)

12


3

a 3 + b3 − c3  a + b − c 
Chứng minh rằng: 3
=
÷
b + c3 − d 3  b + c − a 

2. Khả năng áp dụng
Theo tôi kinh nghiệm này có thể áp dụng ngay tại trường ta trong chương trình
Toán lớp 7, đặc biệt là để bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 7 ngay trong năm học 2014 2015 và cả những năm học tiếp theo.
3. Hiệu quả
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy lớp 7 ở trường THCS Đặng
Lễ trong năm học 2014 - 2015 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ
thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn. Bên cạnh đó các phương pháp này được
học sinh giỏi dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như
việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn
toán.
Với phương pháp dạy học theo các chuyên đề, đặc biệt là chuyên đề “Hướng dẫn
học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau” các em không những
không còn sợ dạng toán này mà còn rất thích làm bài tập dạng này.
4. Kết quả
Chất lượng
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
khảo
sát
SL (%) SL (%) SL (%) SL (%) SL (%)
T/g áp dụng
Khi chưa
30
0

0
7
23 18 60
4
14
1
3
áp dụng
Khi áp dụng
30
4
14 15 50 10 33
1
3
0
0
Phần C. Kết luận
I. Kết luận chung
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả
hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định
hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng
tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử.
II. Điều kiện, kinh nghiệm áp dụng
Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả
năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương
pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập,
say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được
như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài
toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra

các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương
pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát
hiện ra các cách giải.
III. Triển vọng phát triển
Áp dụng kinh nghiệm trên trong bồi dưỡng học sinh giỏi theo tôi sẽ đạt được kết
quả tốt.
13


IV. Đề xuất kiến nghị.
Tôi xin đưa ra một số ý kiến sau:
- Cần tạo điều kiện hơn nữa để người giáo viên có thời gian nghiên cứu đổi mới
phương pháp dạy học, đặc biệt phân loại được các dạng bài tập cơ bản và khó
- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các
môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội để giáo viên có điều kiện hơn nữa
để rèn cho nhiều học sinh.
Phòng giáo dục cần tổ chức một chuyên đề hướng dẫn làm sáng kiến kinh
nghiệm giới thiệu những sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên có dịp trao đổi bàn
bạc và học tập ở đồng nghiệp.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc dạy học sinh lớp 7 giải bài toán áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, mong hội đồng khoa học góp ý kiến bổ sung cho đề
tài được tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !

14


- Tài liệu tham khảo
1. Nâng cao và phát triển toán 7.
2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 7.

3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 7.
4. Bồi dưỡng toán 7.
5. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7.
- Mục lục
Trang
Phần A. Mở đầu.
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng nghiên cứu.
2. Ý nghĩa và tác dụng.
3. Phạm vi nghiên cứu.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
a. Cơ sở lí luận
b. Cơ sở thực tiễn
2. Biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.
Phần B. Nội dung
I. Mục tiêu.
II. Giải pháp thực hiện
1. Nội dung giải pháp
2. Khả năng áp dụng
3. Hiệu quả
4. Kết quả
Phần C. Kết luận
I. Kết luận chung
II. Điều kiện, kinh nghiệm áp dụng
III. Triển vọng phát triển
IV. Đề xuất kiến nghị.
- Danh mục các cụm từ viết tắt
+ THCS: trung học cơ sở
+ Cmr: Chứng minh rằng

+ C/m: Chứng minh
+ HSG: Học sinh giỏi
+ đpcm: điều phải chứng minh
+ SL: Số lượng

3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
13
13
13
13
13
13
14

15