chuyên đề hàm số bậc nhất

December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

A- KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ:
- Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) xác định với ∀x ∈ R. Trên tập số thực R, hàm số đồng biến
khi a > 0, hàm số nghịch biến khi a < 0.
- Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax và cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng b.
- Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn. Khi a < 0 thì góc tạo bởi
đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù.
- Xét hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)
Ta có :
d // d’
↔
a = a’ và b ≠ b’
d trùng d’
↔
a = a’ và b = b’
d cắt d’
↔
a ≠ a’
d  d’
↔
a.a’ = -1
2
- Hàm số y = ax (a ≠ 0) xác định với ∀x ∈ R. Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch
biến khi x < 0; bằng 0 khi x = 0. Nếu a < 0, hàm số đồng biến khi x < 0; nghịch biến khi x > 0;
bằng 0 khi x = 0.
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- Cho đường thẳng (d) y = mx + n và parabol (P) y = ax2 (a ≠ 0).

Xét phương trình ax2 = mx + n ↔ ax2 – mx – n = 0 (1)
(d) không có điểm chung với (P) ↔ phương trình (1) vô nghiệm
(d) tiếp xúc (P) ↔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
(d) cắt (P) ↔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

B – BÀI TẬP:
1. Chủ đề 1: Các tính chất của hàm số bậc nhất:
Dạng 1: Điểm thuộc đồ thị hàm số
Phương pháp: Để xét một điểm M0(x0;y0) có thuộc đồ thị hàm số hay không, ta lần lượt thay x bởi
x0 và y bởi y0 vào hàm số. Nếu thỏa mãn phương trình thì điểm M0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số.
Ngược lại, thì điểm M0(x0;y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
Bài tập:
Bài 1: Xét các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = 3x – 5.
1
1
9
a. A(3;5)
b. B(5;10)
c. C( ;-4)
d. D( ; − )
3

𝑚

6

2

Bài 2: Tìm m để điểm M(-4;1) thuộc vào đồ thị hàm số y = − x + m – 1
1

2

Bài 3: Cho hàm số y =
𝑥 − √3 − 2 và điểm M(-1;0). Hỏi điểm M có thuộc vào đồ thị hàm số
√3−2
hay không? Tại sao ?
Dạng 2: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất.
Phương pháp:
- Chứng minh theo lý thuyết:
Cho hàm số y = f(x) và x1 và x2 là hai số sao cho hàm số xác định, giả sử x1 < x2
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến khi và chỉ khi f(x1) < f(x2).
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến khi và chỉ khi f(x1) > f(x2).
- Có thể sử dụng kết quả sau để chứng minh:
+ Nếu

1

𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥2 )
𝑥1 −𝑥2

> 0 thì hàm số y = f(x) là đồng biến.

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016
+ Nếu

𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥2 )

𝑥1 −𝑥2

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT
< 0 thì hàm số y = f(x) là nghịch biến.

Đối với hàm số bậc nhất:
Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Khi đó, ta có các kết quả sau về sự đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu a > 0, hàm số đồng biến trên tập số thực ℝ.
+ Nếu a < 0, hàm số nghịch biến trên tập số thực ℝ.
Bài tập:
Bài 1: Trong các hàm số bậc nhất sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến ?
-

2

a. 𝑦 = − 𝑥 + 5

c. 𝑦 =

b. 𝑦 =

d. 𝑦 =

3
1

√3−2

𝑥−9

5−2√2
6
√3−2
√3+2

𝑥−
𝑥+

1
4+2√3
√3+2
√3−2

Bài 2: Chứng minh theo lý thuyết hàm số sau:
1
a. y = 3x – 9 là hàm số đồng biến.
b. y = − x + 11 là hàm số nghịch biến.
2
Bài 3: Tìm m để hàm số y = (3 – 2m)x + m – 5 là hàm số nghịch biến.
Bài 4: Chứng minh hàm số y = (m2 – 2m + 3)x – 6 là hàm số đồng biến.
𝑚−1
Bài 5: Tìm m để hàm số y =
𝑥 − 𝑚 + 2 là hàm số đồng biến.
1−3𝑚
Bài 6: Tìm m để hàm số y = (m2 + 3m + 2)x – 5m + 3 đồng biến.
Bài 7: Tìm m để các đồ thị hàm số sau:
a. y = (m2 – 1)x + 3m – 2 nghịch biến trên tập xác định (TXĐ).
b. y = (2m2 – 3m + 1)x – (3 + 2m – m2) đồng biến trên TXĐ của nó.
1
c. y = (m2 + 𝑚 + 1)x – m + 3 đồng biến trên TXĐ của nó.

2
d. y = (-4m2 + m – 4)x – 3 + 2m + m2 nghịch biến trên TXĐ của nó.
Dạng 3: Đồ thị hàm số bậc nhất.
Phương pháp: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng. Do đó, ta chỉ cần tìm
ra 2 điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng đi qua hai điểm
đó.
 Trong rất nhiều trường hợp, ta thực hiện vẽ đồ thị y = ax + b (a ≠ 0) theo các bước sau:
Bước 1: Cho x = 0 => y = b. Ta có điểm A(0;b), điểm này thuộc trục tung Oy.
𝑏
𝑏
Bước 2: Cho y = 0 => x = − . Ta có điểm B(− ; 0), điểm này thuộc trục hoành Ox.
𝑎
𝑎
Bước 3: Từ 2 điểm A, B nối lại thành đường thẳng ta có đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0).
 Khoảng cách giữa hai điểm A, B với tọa độ của A(x1, y1) và B(x2, y2):
AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2

Bài tập:
Bài 1: Vẽ các đồ thị bậc nhất sau:
1
a. y = 3x + 6
b. y = − 𝑥 + 2
c. y = - x + 3
d. y = 2x
2
Bài 2: Cho hàm số: y = 2x + 1 và hai điểm A, B thuộc vào đồ thị hàm số lần lượt có tọa độ là
A(1;3), B(3;7).
a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Tính khoảng cách AB.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(2;-1), B(1;3), C(4;4). Tính chu vi

của tam giác ABC.
Bài 4: Cho hàm số y = 2x + 3 và điểm M(4;2). Tìm điểm A thuộc đồ thị hàm số sao cho độ dài của
AM nhỏ nhất.

2

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

2. Chủ đề 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Dạng 1: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp: Cho 2 đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2, ta có các trường hợp sau:
+ Nếu a1 ≠ a2 thì (d1) cắt (d2).
+ Nếu a1 = a2 và b1 ≠ b2 thì (d1) // (d2).
+ Nếu a1 = a2 và b1 = b2 thì (d1) ≡ (d2).
Bài tập:
Bài 1: Cho hai đồ thị: (d1): y = 2mx + 3 và (d2): y = (m+1)x + 2. Tìm giá trị của m để:
a. Hai đường thẳng cắt nhau.
b. Hai đường thẳng song song.
Bài 2: Chứng minh rằng không tồn tại m để hai đường thẳng sau song song với nhau
1
(d1): y = mx + 4 và (d2): y = (m+1)x + 4.
2
Bài 3: Tìm các giá trị của m để 2 đường thẳng: y = (m2 – 4)x + 2 (m ≠ ±2) và y = 5x + m – 1 song
song với nhau.
Bài 4: Cho 2 đường thẳng: (d1): y = 3x + m - 2 và (d2): y = (m-1)x + 3m + 2. Tìm m để (d1) và (d2)

cắt nhau tại điểm nằm trên trục tung.
Bài 5: Cho 2 đường thẳng: (d1): y = (2m + 5)x - 3m + 2 và (d2): y = -2x + m + 16. Tìm m để (d1)
và (d2) cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành.
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng: (d1): y = x + 3 – 2m và đường
thẳng (d2): y = -3x + 4m – 2. Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm thuộc đường phân giác
thứ nhất.
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng: (d1): y = (2m – 3)x + 2m + 5
và đường thẳng (d2): y = (2m+1)x - 4m – 1. Tìm m để giao điểm của (d1) và (d2) thuộc đường thẳng
𝑥
y = – 3.
2
Bài 8: Cho 2 đường thẳng (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2. Chứng minh rằng: (d1) vuông góc
với (d2) khi và chỉ khi a1.a2 = -1.
Bài 9: Tìm a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(2: -6) và vuông góc với đường thẳng y
1
= − 𝑥 + 4.
4

1

Bài 10: Cho đường thẳng (d): y = − 𝑥+ 5. Gọi B là điểm thuộc (d) và có hoành độ bằng 3. Viết
3
phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với (d) tại B. Vẽ hình minh họa.
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho bốn đường thẳng:
1
1
(d1): y = 𝑥 – 2
(d2): y = 𝑥
(d3): y = -2x + 4
(d4): y = -2x – 2.

2
2
a. Vẽ (d1), (d2), (d3), (d4) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Bốn đường thẳng (d1), (d2), (d3), (d4) tạo thành hình gì ?
c. Tính diện tích hình đó.
Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng:
1
1
3
(d1): y = − 𝑥 + 3
(d2): y = 4x - 𝑥
(d3): y = -4x + 11
(d4): y = 4x – .
4
2
4
a. Đường thẳng nào song song với đường thẳng (d): y = 4x – 7.
b. Đường thẳng nào cắt đường thẳng (d): y = - 4x – 9
c. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng y = 4x + 5
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng: (d): y = (1 – 5m)x + 11 – 2m.
4
a. Tìm m để đường thẳng (d) // (d1): y = 6x 1

3

b. Tìm m để đường thẳng (d) ⊥ (d2): y = - x + 21.
3

3

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

c. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (d3): y = 2x + 3.
d. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = (4m + 3)x - m + 3
và (d2): y = (4m – 1)x + 3m – 1. Tìm m để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
c. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
d. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường phân giác thứ hai.
1
1
e. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng y = x + .
3
3
f. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục thẳng y – 2x – 1 = 0.
g. Khi m thay đổi thì giao điểm của (d1) và (d2) luôn chạy trên đường nào ?
2
Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = x và (d2): y = - x – 4.
3
a. Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2) và B là giao điểm của (d2) với trục hoành. Tính chu vi
và diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ.
c. Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2) và C là giao điểm của (d2) với trục tung. Tính chu vi và
diện tích tam giác OAC với O là gốc tọa độ.

Dạng 2: Điểm cố định của đồ thị hàm số:
Bài 1: Tìm điểm cố định của hàm số: y = (2m – 1)x + m – 4 với mọi giá trị m.
Bài 2: Tìm điểm mà đồ thị hàm số y = (1 - m)x – 2m + 3 luôn đi qua.
Bài 3: Cho đường thẳng (d): (m + 2)x – (2m – 1)y + 6m – 8 = 0. Chứng minh đường thẳng (d) luôn
đi qua giao điểm của (d1): x – 2y + 6 = 0 và (d2): 2x + y – 8 = 0.

3. Chủ đề 3: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0):
Dạng 1: Khi biết đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt:
Phương pháp: Tìm a, b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(xA;yA) và điểm B(xB;yB).
+ Điểm A(xA;yA) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình:
(1)
yA = axA + b  b = yA – axA
+ Điểm B(xB;yB) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nên tọa độ của B thỏa mãn phương trình:
(2)
yB = axB + b  b = yB – axB
+ Thay (1) vào (2) ta được phương trình bậc nhất ẩn a, giải phương trình này tìm a rồi tìm b. Từ
đó kết luận đồ thị hàm số cần tìm.
Bài tập:
Bài 1: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết rằng:
a. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;4) và B(-3;2).
1
3
3 5
b. Đồ thị hàm số đi qua điểm C( ; − ) và D(− ; )
2

2

2 2

c. Đồ thị hàm số đi qua điểm E(√3;1) và F(−√3;-3)
d. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và điểm G(-2;6).
Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 3 và đi qua điểm M(1;2)
Bài 3: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm N(3;-1) và giao
1
điểm của hai đường thẳng (d1): y = x – 3 và (d2): y = -2x + 2. Vẽ hình minh họa.
2
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số (dm); y = (1 – 3m)x + 2m + 5 đồng quy với hai đường thẳng

4

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT
1

(d1): y = x và (d2): y = − x + 3.
2

Dạng 2: Khi biết hệ số góc và điểm đường thẳng đi qua:
Chú ý:
- Hai đường thẳng song song với nhau khi có cùng hệ số góc bằng -3.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích hai hệ số góc bằng -1.
- Hệ số góc của đường thẳng là tan của góc hợp bởi giữa trục hoành và đường thẳng tính theo
chiều ngược kim đồng hồ.
Bài tập:

Bài 1: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0). Biết rằng:
a. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;4) và có hệ số góc bằng -3.
b. Đồ thị hàm số đi qua điểm B(-2;1) và song song với đường thẳng (d): y = 4x + 1
1
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm C(-6;2) và vuông góc với đường thẳng: (d): y = − x + 4
3
d. Đồ thị hàm số đi qua điểm D(-5;2) và vuông góc với đường phân giác thứ hai.
e. Đồ thị hàm số đi qua điểm E(-3;2) và hợp với trục hoành một góc bằng 600.
f. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và song song với đường phân giác
thứ nhất.
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng x + 2y = 1 và đi qua giao
điểm của hai đường thẳng (d1): 2x – 3y = 4 và (d2): 3x + y = 5.
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm A(-3;4); B(-2;1); C(1;2); D(0;5)
a. Cho biết đơn vị trên các trục là cm. Tính độ dài các cạnh và các đường chéo của tứ giác
ABCD. Tứ giác ABCD là hình gì ?
b. Dựa vào hình vẽ, cho biết tọa độ giao điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCD.
Bài 4: Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b biết rằng đồ thị của hàm số song song với đường thẳng
1
y = -3x +5 và đi qua điểm A thuộc parabol (P): y = x2 có hoành độ bằng -2.
2
Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B(4;0) và C(-1;4).
a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng y = 2x – 3.
Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
b. Xác định hệ số a, b biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm b và C. Tính góc tạo bới đường
thẳng BC với trục hoành (làm tròn đến phút).
c. Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo cm) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ
nhất).
Bài 6: Tìm a, b của đồ thị hàm sô y = ax + b
a. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng
y = -3x = 4 tại điểm có tung độ bằng -2.

1
b. Đồ thị hàm sô song song với đường thẳng y = x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng
1

2

y = - x + 1 và y = 3x + 5.
2
Bài 7: Trong mỗi trường hợp dưới đây, tìm các giá trị của m sao cho:
a. Ba đường thẳng y = 2x, y = -3 – x và y = mx + 5 phân biệt đồng quy.
b. Ba đường thẳng y = -5(x+1), y = mx + 3 và y = 3x + m phân biệt đồng quy.
Dạng 3: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M(x0;y0) đến đường thẳng (d): y = ax + b. Ta thực
hiện các bước sau:

5

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0;y0) và vuông góc với đường thẳng
1
(d). Đường thẳng ∆ có hệ số góc bằng − vì ∆ vuông góc với (d).
𝑎
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm N của ∆ và d.
Bước 3: Khoảng cách từ điểm M(x0;y0) đến đường thẳng (d): y = ax + b là độ dài đoạn thẳng MN.

Bài tập:
1
Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = − x + 3 và điểm A(2;1). Tính khoảng cách từ điểm A đến
2
đường thẳng (d). Biết đơn vị đo trên các trục là cm.
Bài 2: Trong mặt phẳng cho điểm A(-2;-1). Cho B là điểm thuộc trục tung có tung độ bằng 3. C
là điểm thuộc trục hoành và có hoành độ bằng 2.
a. Chứng minh rằng: ABC là một tam giác.
b. Tính diện tích tam giác ABC (đơn vị đo là cm)
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = 2x + 3. Tìm điểm A nằm
2
trên đường thẳng y = 1 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng (d1) bằng .
√5
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng (d) hợp với trục hoành một h=góc
bằng 600 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng √3.
a. Viết phương trình đường thẳng (d) và vẽ hình mình họa.
b. Xác định góc hợp bởi đường thẳng (d) và trục tung.
c. Tính khoảng cách từ O đến (d).
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1;3) và B(2;4)
a. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B.
b. Tìm phương trình đường thẳng trung trực (d) của đoạn AB.

4. Chủ đề 4: Đồ thị hàm nhiều thành phần:
Dạng 1: Hàm cho bởi nhiều thành phần.
Phương pháp: Tổng quát phương pháp vẽ đồ thị hàm số nhiều thành phần.
Bước 1: Vẽ tất cả các đồ thị hàm số mà hàm số nhiều thành phần cho lên hệ trục tọa độ.
Bước 2: Lấy các chốt phân cách của biến số giữa các giá trị hàm số làm chuẩn và theo các chốt nay
để lấy từng thành phần của đồ thị hàm số.
Bước 3: Trên từng khoảng, ta nối lại để được một đồ thị hàm số hoàn chỉnh.
Bước 4: Tổng hợp các đồ thị hàm số vừa nhận được, ta được đồ thị hàm số cần tìm.

Bài tập:
𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 1
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số y = {
−2𝑥 − 5 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < −1
2𝑥 − 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ 0
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = {
−2𝑥 − 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0
2
𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ 0
Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số y = {
4𝑥 + 2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0
Dạng 2: Hàm có chứa giá trị tuyệt đối.
𝐴 𝑘ℎ𝑖 𝐴 ≥ 0
Chú ý: |A| = {
−𝐴 𝑘ℎ𝑖 𝐴 < 0
Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a, y = |2x – 1|
c, y = x + 3 - |x + 1|
d, y = 3|x +1| - (2x + 3)

6

b, y = 3 - |1 - 3x|
e, y = √𝑥 2 − 4𝑥 + 4

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

Dạng 3: Hàm có chứa nhiều hơn một giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Dùng phương pháp chia hàm số thành nhiều hàm số ở dạng 2 và tiếp tục lấy từng
khoảng như xác định.
Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số:
a,
y = | x + 1| - | 2x – 1| + 2
b,
y = 5 - |1 + x | - | x – 2 |
Bài 2: Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đồ thị hàm số: y = |x| và y = - |x+1| + 3
a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Hai đồ thị hàm số tạo thành hình gì ? Giải thích ?
c. Tính chu vi và diện tích của hình tạo thành.
1
Bài 3: Cho hai hàm số: y = 4 - |x-2| và y = − x + 2.
3
a. Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
1
b. Suy ra phương trình 4 - |x-2| = − x + 2 có hai nghiệm phân biệt. Tìm nghiệm của phương
3
trình này dựa vào hình vẽ.
1
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy hai đồ thị hàm số: y = |x – 2| và y = x + 2
2
a. Hai đồ thị hàm số tạo thành hình gì ?
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình tạo thành. ( đơn vị đo: cm)

5. Chủ đề 5: Các dạng toán nâng cao:

Dạng 1: Tính chu vi và diện tích tam giác
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1 ;3) ; B(2 ;5)
a. Chứng minh : OAB là một tam giác.
b. Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.
c. Tính tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho ABC thẳng hàng.
1
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;-3) và đường thẳng (d1) : y = − x + 5
2
a. Viết phương trình đường thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d1). Tìm tọa
độ giao điểm của (d1) và (d2). Vẽ hình minh họa.
b. Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là B. Điểm C là điểm có hoành độ bằng 4 và thuộc đường
thẳng (d1). Tính diện tích tam giác ABC.
17
c. Tìm trên đường thẳng (d1) điểm D sao cho diện tích tam giác ABD bằng .
2
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1, điểm A(-2 ;1)
và điểm B(1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ
nhất.
Dạng 2: Các tứ giác khác
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình
(d1) : y = 3x – 2 và (d2) : y = x + 1. Điểm A(-2 ;-2) nằm ngoài hai đường thẳng trên.
a. Tìm phương trình đường thẳng (d3) và (d4) biết (d3) và (d4) đi qua A và lần lượt song song
với (d1) và (d2). Vẽ (d1), (d2), (d3), (d4) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b. Gọi C là giao điểm của (d1) và (d2) ; B là giao điểm của (d2) và (d3) ; D là giao điểm của
(d1) và (d4). Tìm tọa độ của B, C, D.
c. Chứng minh ABCD là hình bình hành. Tính diện tích của ABCD.
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho các đường thẳng :

7

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT
1

1

(d1) : y = 2x
(d2) : y = 2x – 3
(d3) : y = − x + 4
(d4) : y = − x + 1
2
2
a. Vẽ (d1), (d2), (d3), (d4) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b. (d1), (d2), (d3), (d4) tạo thành hình gì ? Tính chu vi và diện tích hình tạo thành ?
Bài 3: Cho 3 đường thẳng : (d1) : y = 5 (d2) : y = 2 (d3) : x = 1 và điểm M(1;-3)
Gọi (d) là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M và cắt (d1), (d2) lần lượt tại B và C. Tìm k để tứ
giác ABCD có diện tích bằng 13. Biết rằng (d3) cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và D. Vẽ hình minh
họa.
Bài 4: Cho đường thẳng (d1) : y = 2x + 2 và điểm I(2 ;6). Đường thẳng (d2) đi qua I và vuông góc
với (d1). A là điểm thuộc (d2) và có tung độ bằng 1. Tìm điểm B thuộc (d1) sao cho ANCD là hình
9
thoi tấm I và có diện tích bằng . Biết rằng D ∈ (d1) và C ∈ (d2). (đơn vị đo trên trục là cm)
4
Bài 5: Cho đường thẳng : (d1) : y = 2 và điểm M(0;4). Tìm phương trình đường thẳng ∆ đi qua
điểm M và ∆ tạo với hai trục tọa độ và đường thẳng (d1) một hình có diện tích bằng 6.
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm : A(1;1) ; B(2;4) ; C(4;0)

a. Chứng minh : ABC là tam giác vuông cân.
b. Tính diện tích tam giác giác ABC.
c. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình vuông.
d. Tìm tọa độ tâm hình vuông và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;1) ; B(5;2) và hàm số
y = |x – 2| - 1.
a. Chứng tỏ : A, B thuộc đồ thị hàm số y. Vẽ minh họa.
b. Viết phương trình đường thẳng AB.
c. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình tạo bởi đường thẳng AB và đồ thị hàm số.
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho điểm A(1;4) và đường thẳng (d1) : y = x – 1.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d).
b. Tìm tọa độ của điểm B là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (d1).
c. Tìm hai điểm C, D thuộc đường thẳng (d1) sao cho ACBD là hình vuông.
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho A(-2;1) ; B(1;4) ; C(2;-3)
a. Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
b. Tính diện tích của tam giác ABC.
c. Tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
d. Tìm tọa độ điểm D sao cho : ABDC là hình chữ nhật.

C – MỘT SỐ DẠNG BÀI ÔN THI CHUYÊN VÒNG 1
Một số công thức bổ sung:
* Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A, B với tọa độ của A(x1, y1) và B(x2, y2):
AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2

* Công thức tìm tọa độ trung điểm M(xM, yM) của đoạn thẳng AB:
xM 

x2  x1
y y
; yM  2 1 với A(x1, y1) và B(x2, y2).

2
2

Trong phần này, cần củng cố và tìm hiểu:

8

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

+ Cách vẽ đồ thị; Xác định hệ số a, b của đồ thị (d) biết đồ thị đi qua hai điểm cho trước, đi qua
một điểm và song song (hoặc vuông góc) với đồ thị y = a’x + b’.
+ Tính góc tạo bởi đồ thị với trục Ox; Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng; Tính chu vi, diện
tích tam giác (tứ giác...) tạo thành; Nhận dạng tam giác (tứ giác...). Tính các góc của tam giác (tứ
giác...).
+ Tìm mối quan hệ giữa các đường thẳng, chứng minh các đường thẳng đồng qui.
+Chứng minh họ đường thẳng (chứa tham số) đi qua một điểm cố định; Tính khoảng cách từ gốc
tọa độ đến đường thẳng; Tìm giá trị tham số để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng là
lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
+ Giải hệ phương trình bằng đồ thị; Tìm quĩ tích các điểm thỏa mãn điều kiện ax + by > k (hoặc ax
+
by < k) với a, b, k là hằng số. Tìm các điểm có tọa độ nguyên. Giải bất phương trình; tìm
min (max) của biểu thức bằng đồ thị.
Bài tập :
Bài toán 1: Cho ba hàm số:
y=x+2

có đồ thị là d1
y = -x – 2
có đồ thị là d2
y = -2x + 2 có đồ thị là d3
a) Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tính góc tạo bởi các đường thẳng và trục Ox.
c) Cho biết d1 cắt d2 tại A; d1 cắt d3 tại B; d2 cắt d3 tại C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tam giác ABC có đặc biệt gì? Viết phương trình đường cao AD của tam giác ABC.
Bài toán 2: Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2)
a) Hãy xác định hình dạng tứ giác ABCD
b) Tính chu vi, diện tích tứ giác ABCD
c) Tính số đo 𝐵̂
Bài toán 3: Cho ba đường thẳng: y = x + 2
(d1); y = 2x + 1
2
y = (m + 1)x + m (d3)
a) Tìm các giá trị của m để d1 cắt d3; d2 // d3; d2 trùng d3
b) Tìm m để ba đường thẳng đồng qui.

(d2)

Bài toán 4: Cho đường thẳng d có phương trình (m - 2)x + (m - 1)y = 1 (m là tham số).
a) Tìm m biết đường thẳng d đi qua điểm C có tọa độ (-2; 1)
b) Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng

1
2

d) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d là lớn nhất.
Bài toán 5: Minh họa bằng đồ thị nghiệm của hệ phương trình:
 x 1  y
2 y  5  x

a) 

9

x 1  y  1
 y  3x  12

b) 

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email:


December 24, 2016

HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài toán 6: Cho hàm số y  x 2  6 x  9  x 2  2 x  1
a) Vẽ đồ thị hàm số trên
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  3  x  1 bằng đồ thị và phép toán
c) Giải bất phương trình x  3  x  1  6 bằng đồ thị.
Bài toán 7: Tìm quĩ tích các điểm M(x; y) sao cho 3x + 2y > -6.
Bài toán 8: Tìm các điểm có tọa độ là số nguyên thuộc đường thẳng 3x – 5y = 8 và nằm trên dải
song song tạo bởi hai đường thẳng y = 10 và y = 20.

D – TRÍCH TỪ ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG TRÊN TOÀN QUỐC

Bài 1: (TS 10 – Đà Nẵng – 2013 – 2014) Cho hàm số bậc nhất y = ax – 2. Hãy xác định hệ số a
biết rằng a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox và trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao
cho OB = 2OA (với O là gốc tọa độ).
Bài 2: (TS 10 – Chuyên Khánh Hòa – 2014 – 2015)
1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = − x2
4
a. Vẽ đồ thị (P)
b. Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M
đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện
tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.
Bài 3: (TS 10 – Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2014 – 2015) Cho các hàm số: y = 2x2 có đồ thị là
(P) và y = kx – 2 có đồ thị là d ( với k là tham số thực)
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho.
b. Tìm k để điểm M(xM;yM) thuộc cả hai đồ thị (P) và d đã cho, biết yM = 2 và xM > 0.
Bài 4: (TS 10 – Chuyên Lê Quý Đôn – Bà Rịa – Vũng Tàu – 2014 – 2015) Trong mặt phẳng với
hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng (∆): y = kx – k + 2 (k là tham số khác 2)> Tìm k để khoảng
cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (∆) là lớn nhất.
Bài 5: (TS 10 – Chuyên Cần Thơ – 2014 – 2015) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai
đường thẳng (d): y = (a2 – 3a)x + 2a – 1 và đường thẳng (d’): y = -2x + 1. Xác định a biết (d) //
(d’).
Bài 6: (TS 10 – Bình Dương – 2014 – 2015) Cho đường thẳng (d): y = mx + 2 (m≠0). Tìm m để
2
khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng . Vẽ đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa
3
độ với giá trị m tìm được.
Bài 7: (TS 10 – 2014 – 2015) Trong mặt phẳng, cho (d1): y = 2x + 1 và (d2): y = 2x -3. Gọi (d) là
đường thẳng đi qua M(4; -1) và có hệ số góc k. Đường thẳng (d) cắt (d1) và (d2) lần lượt tại A, B.
Tìm k để độ dài AB nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. (đơn vị: cm)

10

GV: Lê Phương Chi – SĐT: 0963331808 – Email: