tổ chức hoạt động học tập môn toán cho học sinh trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật toán học

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................... 2
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu...................................................................... 2
5. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 2
6. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 2
7. Những đóng góp của luận án ............................................................................... 3
8. Cấu trúc của luận án ............................................................................................ 4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN.................................................................................... 5
1.1. Một số nghiên cứu liên quan đến đề tài ............................................................. 5
1.2. Quy luật và quy luật Toán học .......................................................................... 8
1.2.1. Quy luật ................................................................................................... 8
1.2.2. Quy luật Toán học .................................................................................... 9
1.3. Hoạt động học tập........................................................................................... 11
1.3.1. Quan niệm về hoạt động học tập..............................................................11
1.3.2. Hoạt động phát hiện ................................................................................13
1.3.3. Một số đặc điểm của hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện .......15
1.4. Một số vấn đề về năng lực phát hiện các quy luật Toán học ............................ 17
1.4.1. Quan niệm về năng lực............................................................................17
1.4.2. Một số quan niệm về năng lực toán học...................................................18
1.4.3. Thuộc tính của năng lực phát hiện các quy luật toán học .........................20
1.4.4. Một số biểu hiện của học sinh có năng lực phát hiện quy luật Toán học ....21
1.4.5. Phân loại mức độ của năng lực phát hiện quy luật Toán học....................30
1.5. Vai trò của việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực phát hiện các quy luật
Toán học trong dạy học môn Toán......................................................................... 31
1.6. Đặc điểm hoạt động nhận thức của học sinh Trung học phổ thông .................. 32
1.7. Một số yêu cầu của việc tổ chức hoạt động học tập theo hướng bồi dưỡng
năng lực phát hiện ................................................................................................. 35

1.8. Một số lý thuyết và phương pháp dạy học góp phần giúp học sinh thực hiện
hoạt động phát hiện trong học tập toán .................................................................. 38


1.8.1. Lý thuyết kiến tạo....................................................................................39
1.8.2. Lý thuyết hoạt động.................................................................................41
1.8.3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề....................................................42
1.8.4. Dạy học hợp tác theo nhóm .....................................................................43
1.9. Một số tri thức thuộc lĩnh vực triết học có vai trò điều chỉnh, định hướng
hoạt động phát hiện quy luật Toán học .................................................................. 44
1.9.1. Tri thức về mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung..................................44
1.9.2. Tri thức về mối liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả...............................46
1.9.3. Tri thức về mối liên hệ giữa nội dung và hình thức..................................48
Kết luận chương 1 ................................................................................................. 49
Chương 2. KHẢO SÁT THỰC TRẠNG ................................................................ 50
2.1. Mục đích khảo sát........................................................................................... 50
2.2. Đối tượng khảo sát.......................................................................................... 50
2.3. Nội dung khảo sát ........................................................................................... 50
2.4. Phương pháp khảo sát ..................................................................................... 51
2.5. Kết quả khảo sát ............................................................................................. 51
2.5.1. Kết quả khảo sát nhận được từ ý kiến của giáo viên.................................51
2.5.2. Kết quả khảo sát về việc thực hiện hoạt động phát hiện quy luật toán
của học sinh trong học tập môn Toán ......................................................53
Kết luận chương 2 ................................................................................................. 60
Chương 3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP
CHO HỌC SINH THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT HIỆN
QUY LUẬT TOÁN HỌC ........................................................................................ 62
3.1. Một số định hướng để xây dựng các biện pháp ............................................... 62
3.2. Một số tìm hiểu về nội dung và cách trình bày của sách giáo khoa Toán
trung học phổ thông............................................................................................... 62

3.3. Một số biện pháp tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh Trung
học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật toán học ........... 65
3.3.1. Biện pháp 1: Chọn lọc và tổ chức các tình huống nhằm gây hứng thú
học tập để học sinh tích cực tham gia vào hoạt động phát hiện kiến thức
toán học mới............................................................................................66
3.3.2. Biện pháp 2: Thiết kế các tình huống dạy học để học sinh luyện tập
hoạt động quan sát một cách có chủ định các sự vật, hiện tượng ẩn chứa
những quy luật Toán học cần khám phá...................................................71


1
3.3.3. Biện pháp 3: Tạo các tình huống nhằm rèn luyện cho học sinh các
hoạt động phù hợp có tác dụng hỗ trợ cho việc dự đoán, hình thành
giả thuyết nhằm tìm kiếm các kết quả mới..............................................81
3.3.4. Biện pháp 4: Tạo cơ hội cho học sinh được trải nghiệm những cách thức
khác nhau để kiểm định giả thuyết toán học ............................................99
3.3.5. Biện pháp 5: Sau mỗi nội dung dạy học phù hợp, khuyến khích học sinh
thực hiện hoạt động tìm tòi, phát hiện quy luật Toán học trên cơ sở
triệt để khai thác tiềm năng sách giáo khoa............................................106
3.3.6. Biện pháp 6: Tổ chức các tình huống nhằm tập luyện cho học sinh
thực hiện hoạt động suy luận để đạt tới kết luận đúng xuất phát từ
những tiền đề đúng ................................................................................117
Kết luận chương 3 ............................................................................................... 128
Chương 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................................. 129
4.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................. 129
4.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ................................................................. 129
4.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm....................................................................... 147
4.3.1. Đánh giá định tính .................................................................................147
4.3.2. Đánh giá định lượng..............................................................................149
Kết luận chương 4 ............................................................................................... 155

KẾT LUẬN ............................................................................................................ 156
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI......... 157
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 158
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC HÌNH, BẢNG
Trang
Hình:
Hình 3.1.....................................................................................................................67
Hình 3.2.....................................................................................................................80
Hình 3.3.....................................................................................................................83
Hình 3.4.....................................................................................................................85
Hình 3.5.....................................................................................................................95
Hình 3.6................................................................................................................... 101
Hình 3.7................................................................................................................... 107
Hình 3.8................................................................................................................... 108
Bảng:
Bảng 4.1 .................................................................................................................. 149
Bảng 4.2 .................................................................................................................. 151
Bảng 4.3 .................................................................................................................. 152
Bảng 4.4 .................................................................................................................. 153
Bảng 4.5 .................................................................................................................. 154


1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nền giáo dục nước ta đang tiến tới thực hiện đổi mới căn bản và toàn diện, hướng

tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế
giới. Xu thế chung của giáo dục thế giới ngày nay là giáo dục phải góp phần vào sự phát
triển toàn diện của mỗi cá nhân cả về thể chất lẫn tinh thần. Trong khi đó, tình trạng khá
phổ biến hiện nay ở các nhà trường nước ta mới chỉ tập trung vào việc trang bị kiến thức
có sẵn mà chưa quan tâm đúng mức đến việc phát triển năng lực, đặc biệt là rèn luyện
các kỹ năng, thái độ cho HS để họ có thể sống và làm việc trong một xã hội luôn thay
đổi sau khi hoàn thành chương trình giáo dục phổ thông. Vì vậy, việc đổi mới phương
pháp dạy học để đáp ứng mục tiêu giáo dục hiện nay là một việc làm cần thiết.
Định hướng đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực người học tập trung
vào việc dạy cho HS cách suy nghĩ để có thể tự tìm tòi, phát hiện kiến thức mới. Nói
riêng, xét trong lĩnh vực dạy học Toán, khi nói học tập môn Toán là muốn nhấn mạnh
đến: học các khái niệm toán học, các tiên đề, định lý, công thức; học cách suy nghĩ, tư
duy toán học để có thể kết nối, tìm tòi, dự đoán, phát hiện ra các mối liên hệ giữa các đối
tượng và quan hệ toán học; đồng thời học vận dụng toán học vào các khoa học khác và
vào thực tiễn. Trong quá trình học tập môn Toán, việc tìm tòi những cách thức mang lại
chất lượng và hiệu quả học tập cao luôn là vấn đề có ý nghĩa đáng kể. Nếu không được
trang bị những cách thức để HS tự tìm tòi, phát hiện kiến thức mới thì HS không thể tiến
hành việc học một cách chủ động và tích cực, làm hạn chế sự vận dụng toán học vào các
khoa học khác, đồng thời hạn chế sự kết nối giữa toán học với thực tiễn.
Trong quá trình dạy học, tồn tại mối liên hệ hữu cơ giữa ba thành phần cơ bản:
mục tiêu - nội dung - phương pháp. Như vậy, để đạt được mục tiêu nói trên thì nội
dung và phương pháp đều có vai trò của chúng. Nói riêng, trong những điều kiện nào
đó, phương pháp dạy học có thể có tác động trở lại mục tiêu và nội dung. Thế nhưng,
phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn

những nhược điểm phổ biến, trong số đó phải kể đến nhược điểm tri thức thường được
truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện. Điều này làm hạn chế tính tích
cực, chủ động, sáng tạo của HS, ảnh hưởng không nhỏ tới chất lượng học tập môn Toán.
Chính vì những lí do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án
là: “Tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh Trung học phổ thông

theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học”.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án là xây dựng các biện pháp tổ chức hoạt động
học tập môn Toán cho HS Trung học phổ thông nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện
các quy luật Toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu trong luận án này là làm sáng
tỏ các vấn đề sau:
- Dựa trên cơ sở khoa học nào để xác định các hoạt động học tập nhằm giúp HS
phát hiện các quy luật Toán học?
- Các hoạt động học tập mang tính phát hiện thể hiện qua các phương pháp dạy
học chủ yếu nào?
- Người HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học thường có những biểu hiện
như thế nào?
- Tổ chức hoạt động học tập như thế nào để HS phát hiện các quy luật Toán học
có hiệu quả?
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học Toán ở trường Trung học
phổ thông.
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những cách thức tổ chức dạy học nhằm
giúp HS Trung học phổ thông phát hiện quy luật Toán học.
5. Giả thuyết khoa học
Cần thiết và có thể xác định nội dung năng lực phát hiện các quy luật Toán học
của HS Trung học phổ thông và ảnh hưởng tích cực của năng lực này tới kết quả học
tập môn Toán. Trên cơ sở đó, có thể tổ chức các dạng hoạt động học tập cho HS theo
hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học, nhằm nâng cao khả năng
lĩnh hội và khám phá tri thức để đáp ứng những yêu cầu của việc dạy học Toán ở

trường phổ thông.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
a. Phương pháp phân tích hệ thống: sử dụng để nghiên cứu các lí thuyết học tập,
các tài liệu có liên quan nhằm thu thập thông tin và làm cơ sở lí luận cho đề tài.
b. Phương pháp lịch sử: sử dụng để nghiên cứu nguồn gốc xuất hiện, quá trình
tồn tại, phát triển của vấn đề nghiên cứu, đồng thời kế thừa thành quả của các nhà khoa
học đi trước giúp cho việc nhìn nhận, nghiên cứu vấn đề sâu sắc và toàn diện hơn.


3
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
a. Quan sát: sử dụng trong quá trình dạy học và dự giờ để thấy rõ việc sử dụng
các phương pháp dạy học, cách thức tổ chức các hoạt động dạy học trên lớp của giáo
viên, thái độ và các hoạt động học tập của HS.
b. Điều tra: sử dụng phiếu câu hỏi (anket), đàm thoại.
c. Tổng kết kinh nghiệm: dùng các kiến thức về lí luận dạy học để phân tích,
khái quát hoá thông tin nhằm rút ra những kết luận trong quá trình nghiên cứu.
d. Hỏi ý kiến chuyên gia: trao đổi và xin ý kiến các chuyên gia trong lĩnh vực
Giáo dục học về các vấn đề lí luận, thực tiễn liên quan đến đề tài, hội ý, trao đổi với
các giáo viên và cán bộ có chuyên môn trong quá trình soạn giáo án, dạy thực nghiệm.
e. Thực nghiệm sư phạm: sử dụng trong các giai đoạn thực nghiệm của luận án.
6.3. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp thống kê toán học trong giáo dục và các kỹ thuật cần
thiết để xử lí số liệu, phân tích kết quả điều tra thực trạng, kết quả thực nghiệm sư
phạm của luận án.
7. Những đóng góp của luận án
7.1. Về mặt lý luận
- Làm sáng tỏ khái niệm quy luật Toán học trong chương trình môn Toán Trung
học phổ thông;

- Làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học;
- Làm sáng tỏ ý nghĩa, tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực phát hiện
quy luật Toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông;
- Khai thác các cơ sở khoa học để tìm những định hướng, những phương thức
tác động làm cho việc dự đoán, tìm tòi, phát hiện có căn cứ, đảm bảo tiến dần tới độ
chính xác hơn, đúng đắn hơn.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đề xuất các biện pháp sư phạm, trong đó coi trọng việc tạo nhu cầu, hứng
thú học tập; hướng đến các hoạt động dự đoán, kiểm nghiệm; các phương thức tác
động để HS phát hiện quy luật Toán học đạt hiệu quả;
- Có thể sử dụng luận án làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán có mong
muốn bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật Toán học cho học sinh, góp phần nâng
cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.


4
8. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận án
được trình bày trong 4 chương.
Chương 1.

Cơ sở lý luận

Chương 2.

Khảo sát thực trạng

Chương 3.

Một số biện pháp tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh

Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện
các quy luật Toán học

Chương 4.

Thực nghiệm sư phạm


5
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Một số nghiên cứu liên quan đến đề tài
Ở nước ngoài
Tư tưởng học tập tự giác, phải biết suy nghĩ và động não có từ xa xưa. Khổng
Tử (551 - 479 TCN) đã thể hiện quan điểm trên khi cho rằng: “Không tức giận vì
không biết thì không gợi mở cho, không bực tức vì không vẽ được thì không bày vẽ
cho. Vật có bốn góc, bảo cho biết một góc mà không suy ra ba góc thì không dạy nữa”.
Theo Khổng Tử người học phải có nhu cầu nhận thức, ham hiểu biết, khám phá cái
mới; phải độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong quá trình nhận thức, người dạy không chỉ
truyền đạt tri thức, phải trang bị cho người học cách tự tìm đến tri thức.
Các công trình của G. Polya được đúc kết trong [85], [86], [87] cho thấy những
trăn trở không nhỏ của tác giả về việc làm thế nào để trang bị cho HS những kỹ thuật
giúp phát hiện kiến thức, quy luật Toán học, đồng thời cũng đã khẳng định đóng góp
quý giá của tác giả xung quanh vấn đề này.
Tony Buzan đã có nhận định về khoảng thời gian ngồi trên ghế nhà trường:
“Mặc dù đã giành rất nhiều thời gian để học ở trường”, nhưng “thực tế không được
dạy cách sử dụng cái đầu của mình” [49, tr. 70]. Ông đã viết tác phẩm “Use your
head”, cuốn sách được cho là rất cần thiết cho những người tham gia vào cuộc cách
mạng học tập với những băn khoăn rằng làm thế nào để có thể dùng cái đầu của mình,
tự phát hiện được những điều mới mẻ.

Các tác giả Jeannette Vos và Gorden Dryden trong [49] đã thực sự mang tính
“xúc tác” giúp cho người đọc thay đổi cách nghĩ, cách sống, cách học, cách làm việc,
cách dạy và cách hành động của bản thân. Các tác giả nhận định: “Ba bộ môn chính
được giảng dạy tại trường là học cách học như thế nào, nghĩ như thế nào và làm thế
nào để trở thành người chủ tương lai của chính mình?”. Điều này khẳng định vai trò
của các nghiên cứu của tác giả trong vấn đề làm thế nào để dạy cho HS biết cách tự
tìm tòi, phát hiện những tri thức tồn tại xung quanh mình.
Đầu thế kỷ XX, sự chuyển đổi từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm đến lấy
HS làm trung tâm có liên quan tới quan điểm mới trong dạy học khi cho rằng người
học cần dựa trên kinh nghiệm để xây dựng sự hiểu biết của mình và tạo dựng vốn
kiến thức vững chắc, giáo viên là người hướng dẫn HS xây dựng kiến thức thay vì
chỉ tái tạo kiến thức. Các nghiên cứu đã tập trung vào việc giáo viên cần lựa chọn
phương pháp dạy học như thế nào để giúp HS phát hiện và giải quyết vấn đề, xây


6
dựng và thử nghiệm các giải pháp, các ý tưởng, thực hiện suy diễn, tổng hợp, chia sẻ
tri thức trong môi trường học tập hợp tác [8, tr. 223].
Dạy học tự phát hiện có vai trò cốt lõi trong việc giúp HS học các khái niệm và
các ý tưởng như thế nào. J. Bruner nói về “hành động phát hiện” như là một phần công
việc không thể thiếu của người học. J. Bruner đã nghiên cứu về bản chất của hoạt động
phát hiện, tìm hiểu về khái niệm “học tập phát hiện”. Từ đó, dựa trên cách tiếp cận
phát hiện J. Bruner đã phát triển thành cách tiếp cận tìm tòi và giải quyết vấn đề. Đây
là một bước đi cụ thể của cách tiếp cận phát hiện, HS phải phát huy hết khả năng phát
hiện của mình cùng với các khả năng khác trong cách tiếp cận tìm tòi và giải quyết vấn
đề. Trong quá trình nghiên cứu J. Bruner cũng phân tích và làm sáng tỏ những ưu điểm
và hạn chế của các cách tiếp cận dạy học này.
Trong [50], các tác giả cho rằng trong quá trình dạy học, giáo viên là người
hướng dẫn, cố vấn, đồng hành với HS để cùng nhau tìm hiểu và phát hiện kiến thức
mới. Điều này cũng hoàn toàn phù hợp với ý kiến của J. Dewey (trong Experience and

Education, 1938), Carl Rogers (trong Freedom to learn, 1969) và J. Bruner khi cho
rằng mặc dù rất tôn trọng vai trò của vốn kiến thức, kinh nghiệm của HS cũng như
quyền được lựa chọn nội dung để tự tìm tòi, phát hiện nhưng trong quá trình ấy không
thể thiếu vai trò của giáo viên.
Trong [80], V.Ôkôn đã trình bày những luận điểm về cách dạy học phát hiện và
nêu lên quy trình áp dụng trong dạy học.
Trong [26], Geoffrey Petty đã đưa ra những lời khuyên cụ thể về việc sử dụng
các phương pháp dạy học phổ biến, trong đó nhấn mạnh những cách thức tiến hành
sao cho HS có thể tự mình phát hiện được tri thức mới.
Với câu hỏi: “Có nên đặt vấn đề để HS tự khám phá lại tất cả các tri thức của
môn học hay không?” thì Lecne cho rằng: “Một tổ chức dạy học trong đó HS phải
khám phá lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được quy định
trong chương trình học, là một điều ít nhất cũng là kỳ quái” và “Chỉ có một số tri thức
và phương thức hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành
đối tượng của dạy học nêu vấn đề...” (dẫn theo [60, tr. 149-150]).
Với bài viết “Tri thức và tư duy” [2, tr. 64 -119], M. Crugliac đã xem xét sự tìm
tòi trí tuệ về mặt tổ chức và cấu trúc, vạch ra các dạng của tình huống có vấn đề, giới
thiệu cách giải quyết vấn đề qua các ví dụ. Theo tác giả, dạy học nêu vấn đề là hình
thức tổ chức sự tìm tòi trí tuệ khi thu nhận tri thức bằng cách giải quyết vấn đề và để
điều khiển sự tìm tòi trí tuệ giáo viên cần vận dụng nhiều phương pháp dạy học.
J. Bruner trong “Fucus in Inquiry”, Alberta, Canada, (2004), đã đề xuất hai quy
trình dạy học phát hiện dựa theo thuyết kiến tạo như sau:


7
- Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo năm bước (quy trình 5E). Quy trình
này là một mẫu hướng dẫn, gồm các bước: tạo sự chú ý (Engage); khảo sát (Explore);
giải thích (Explain); phát biểu (Elaborate); đánh giá (Evaluation).
- Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo sáu bước: lên kế hoạch; thu thập thông
tin; tiến hành; sáng tạo; chia sẻ; đánh giá (dẫn theo [1, tr. 40]).

Ở trong nước
Hoạt động phát hiện trong dạy học đã và đang giành được sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu. Nguyễn Cảnh Toàn đã có những nghiên cứu sâu sắc về vấn đề
sử dụng triết học duy vật biện chứng để tìm tòi, phát hiện quy luật Toán học [112],
[113], [114]. Phạm Văn Hoàn và các cộng sự trong [39] đã tìm những biện pháp để tổ
chức một cách khoa học hoạt động giảng dạy của thầy và hoạt động học tập của trò
đảm bảo nâng cao hiệu suất lao động, tiết kiệm sức lực. Hiện nay, khi bàn về hoạt
động dạy học, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới các thuật ngữ: tìm tòi, phát hiện,
khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr. 162] đã phân biệt khám phá và phát hiện.
Trong [98, tr. 30], Đào Tam đã quan niệm: “Hoạt động phát hiện trong dạy học toán ở
trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được điều chỉnh bởi nền tảng tri thức đã
tích lũy thông qua các hoạt động khảo sát, tương tác với các tình huống để phát hiện tri
thức mới” và “Trong hoạt động phát hiện một khái niệm, một định lý, một mệnh đề
nào đó cần sử dụng các phương pháp tìm đoán, các hoạt động đặc biệt hóa, khái quát
hóa, chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác”. Nguyễn Hữu
Châu [8] cho rằng “phát hiện” và “giải quyết” là các khâu đan quyện với nhau trong
suốt quá trình giải quyết vấn đề, khi nói tới giải quyết vấn đề là đã có phát hiện vấn đề.
Trần Vui [123] đã quan tâm đến việc dạy HS tìm kiếm các quy luật Toán học xuất phát
từ tình huống thực tiễn. Nguyễn Bá Kim [60], Nguyễn Phú Lộc [66] đã thể hiện sự
quan tâm về vấn đề giúp HS phát hiện quy luật Toán học khi đề xuất quy trình dạy học
định lý theo con đường có khâu nêu giả thuyết. Nguyễn Anh Tuấn [118, tr. 11] đã
quan niệm: “Phát hiện là hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán
những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết
bài toán - vấn đề”. Dưới góc độ xem phát hiện và giải quyết vấn đề là một năng lực
cần bồi dưỡng cho HS, trong [118] tác giả đã quan tâm nghiên cứu cách thức bồi
dưỡng năng lực này cho HS trung học cơ sở trong dạy học khái niệm toán học; Từ
Đức Thảo [106] đã tìm cách bồi dưỡng năng lực này cho HS Trung học phổ thông
trong dạy học hình học. Gần đây, vấn đề tổ chức dạy học theo hướng tự phát hiện được
đề cập trong các công trình [1], [38], [45], [51] nhưng chỉ nghiên cứu ở chương trình
tiểu học. Trong [14] và [83], các tác giả đã quan tâm tìm hiểu một số vấn đề liên quan

đến cách thức hướng dẫn HS dự đoán, phát hiện quy luật Toán học trong dạy Toán ở


8
trường Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong [14], tác giả tập trung vào việc giúp HS
dự đoán nhờ tương tự và quy nạp từ một số trường hợp riêng; trong [83] tác giả xem
xét việc phát hiện quy luật toán học chủ yếu thông qua các biểu diễn toán. Trong [34],
đã nghiên cứu cách thức rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS trong
dạy học đại số và giải tích. Trong [35], đã khai thác và tập luyện cho HS các hoạt động
nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học đại số và giải tích ở bậc
Trung học phổ thông.
Như vậy, có thể thấy, mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực và
phát triển năng lực trong dạy học, tuy nhiên vấn đề bồi dưỡng năng lực phát hiện quy
luật toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học toán còn có phần tản mạn,
chưa thể hiện tính hệ thống.
Trong luận án này, chúng tôi sẽ làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực
phát hiện quy luật toán học, đồng thời làm sáng tỏ cơ sở phương pháp luận để thấy
được vai trò của các hoạt động cần thiết để phát hiện quy luật toán học. Từ đó, đề xuất
các biện pháp tổ chức hoạt động học tập hướng vào việc gợi nhu cầu nhận thức cho
người học; đặc biệt tập luyện cho HS các hoạt động quan sát, dự đoán, hình thành và
kiểm định các giả thuyết toán học - đây là những hoạt động nền tảng để bồi dưỡng
năng lực phát hiện quy luật toán học cho HS.
1.2. Quy luật và quy luật Toán học
1.2.1. Quy luật
Trong đời sống hàng ngày, có nhiều tình huống khiến con người dần dần nhận
thức được “tính có trật tự” và mối liên hệ có tính lặp lại ẩn sau các hiện tượng muôn
hình muôn vẻ, từ đó hình thành nên khái niệm quy luật.
Với tư cách là phạm trù của lý luận nhận thức, khái niệm quy luật là sản phẩm
của tư duy khoa học, phản ánh sự liên hệ của các sự vật và tính chỉnh thể của chúng.
Với tư cách là cái tồn tại ngay trong hiện thực, quy luật là mối liên hệ khách

quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc tính bên
trong mỗi sự vật, hiện tượng hoặc giữa các sự vật, hiện tượng với nhau.
Với tư cách là một khoa học về mối liên hệ phổ biến của sự phát triển, phép
biện chứng duy vật nghiên cứu những quy luật chung nhất, tác động trong toàn bộ các
lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy.
Theo [127], định nghĩa sau về quy luật đã được chấp nhận rộng rãi: “Các quy
luật chỉ ra những mối liên hệ giữa các biến, trong đó các biến là những khái niệm
có thể mang những giá trị khác nhau. Nếu a thì b, theo đó, a đại diện cho một hay
nhiều biến độc lập và b đại diện cho biến phụ thuộc. Về hình thức, đây là một phát
biểu về quy luật. Nếu mối quan hệ giữa a và b là không đổi, quy luật ở đây là tuyệt


9
đối. Nếu mối quan hệ giữa a và b lặp đi lặp lại nhiều lần, dù không phải là bất biến
thì quy luật đó được phát biểu như sau: Nếu a thì b với xác suất x. Một quy luật
không chỉ đơn thuần dựa vào mối quan hệ giữa các biến đã được tìm thấy, mà còn
phụ thuộc vào việc quan hệ đó có lặp đi lặp lại hay không”. Theo đó, các tác giả
cho rằng, quy luật xác định những mối tương quan có thể thay đổi hoặc không thay
đổi, mỗi thuật ngữ miêu tả trong từng quy luật liên quan chặt chẽ với những quy
trình quan sát hoặc thí nghiệm, và các quy luật chỉ được thiết lập khi chúng vượt
qua được những kiểm chứng bằng quan sát hoặc thí nghiệm. Nói về cách quy luật
được phát hiện, các tác giả cho rằng: “Các giả thuyết có thể được suy ra từ lý
thuyết. Nếu các giả thuyết đó được xác nhận, chúng được gọi là quy luật. Các giả
thuyết cũng có thể đạt được bằng cách suy luận. Một lần nữa, nếu được xác nhận,
chúng sẽ trở thành quy luật”.
Tuy nhiên, theo chúng tôi, nhiều khi sự xác nhận này không phải nhờ quan sát
hoặc thí nghiệm, mà lại bằng lập luận, chứng minh. Đó là trường hợp đối với lĩnh vực
các quy luật Toán học sẽ được đề cập ngay dưới đây.
1.2.2. Quy luật Toán học
Theo quan điểm phương pháp luận nghiên cứu khoa học, mỗi khoa học có đối

tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu riêng. Sản phẩm của hoạt động nghiên
cứu một ngành khoa học là khám phá ra quy luật vận động của thế giới khách quan có
liên quan đến đối tượng nghiên cứu của ngành khoa học đó.
Khoa học toán học có đối tượng là những cái vốn có trong thực tiễn, có trước
những người khám phá ra nó, tồn tại khách quan và không phụ thuộc vào cảm giác con
người. F. Ăngghen cho rằng: “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng
không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (theo [134]). Thông
qua hoạt động khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học, con người
đã làm cho Toán học ngày càng phát triển.
Trong quá trình hình thành và phát triển, mỗi ngành khoa học luôn tuân
theo những quy luật chung của triết học và lôgic học, đồng thời còn có những quy
luật riêng được quy định do tính đặc thù của ngành khoa học đó. Đối với toán học
cũng vậy.
Trong Toán học, tồn tại những mối liên hệ bản chất, ổn định, tất yếu, lặp đi lặp
lại giữa các phương diện, các yếu tố, các thuộc tính bên trong của các đối tượng và
quan hệ toán học. Ta sẽ gọi chúng là các quy luật toán học.
Từ đó, dựa trên quan niệm của triết học duy vật biện chứng về khái niệm quy
luật, kế thừa kết quả nghiên cứu của [127], đồng thời dựa vào đặc điểm về đối tượng
của ngành khoa học Toán học, chúng tôi quan niệm Quy luật Toán học là mối liên hệ


10
khách quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc
tính bên trong của các đối tượng và quan hệ toán học.
Với quan niệm đó, quy luật toán học chứa những thuộc tính cơ bản sau đây:
- Quy luật toán học là mối liên hệ chỉ liên quan đến các đối tượng và quan hệ
toán học;
- Quy luật toán học có tính bản chất, tất yếu, khách quan;
- Quy luật toán học là mối liên hệ phổ biến, lặp đi lặp lại;
- Quy luật toán học được xác nhận bằng lập luận chứng minh (trừ các tiên đề).

Sau đây là một số ví dụ.
1). Xét mệnh đề: “Đối với bất kỳ hai số tự nhiên a, b đều xảy ra a  b  b  a ”.
Đây là một quy luật toán học. Tính đúng đắn của nó đã được xác nhận. Nó có
tính phổ biến và lặp đi lặp lại đối với mọi cặp giá trị số tự nhiên của a và b. Nó là tất
yếu vì là vốn có, nó là bản chất của các số tự nhiên, không phụ thuộc vào hình thức
diễn đạt bởi các chữ a và b. Nó liên quan đến chỉ các đối tượng toán học là các số tự
nhiên và các quan hệ cộng (+) và bằng nhau (=).
2). Xét mệnh đề: “Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm”.
Đây là quy luật toán học. Nó chỉ liên quan đến các đối tượng toán học là các
tam giác, trung tuyến của tam giác, đường thẳng, điểm,…và quan hệ toán học là sự cắt
nhau của các đường thẳng. Nó là khách quan, tất yếu vì điều đó là vốn có như vây ; nó
có tính bản chất vì không phụ thuộc vào các yếu tố không bản chất như kích cỡ, hình
dạng cụ thể của tam giác. Nó có tính phổ biến, lặp đi lặp lại vì điều đó là có đối với
mọi tam giác. Nó đã được xác nhận (chứng minh) từ lâu.
Từ quan niệm đã nêu về khái niệm quy luật toán học và các thuộc tính cơ bản
của nó đã được trình bày ở trên, có thể nói rằng các quy luật toán học thực chất là
những mệnh đề toán học đúng phản ánh mối liên hệ giữa các đối tượng và quan hệ
toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lý, tính chất, công thức toán học, và
những quy tắc, quy luật suy diễn thường dùng trong suy luận toán học.
Trong luận án này chúng tôi xếp các quy luật Toán học thành hai nhóm:
Nhóm thứ nhất: Những mệnh đề toán học đúng phản ánh mối liên hệ giữa các
đối tượng và quan hệ toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lý, tính chất, công
thức toán học.
Nhóm thứ hai: Những quy tắc, quy luật suy diễn thường dùng trong suy luận
toán học.
Tuy không định nghĩa rõ nhưng đã có nhiều người sử dụng thuật ngữ quy luật
Toán học đúng theo nghĩa mà chúng tôi đã trình bày ở trên (xem chẳng hạn [95] tại
các trang 130, 182, 196, 213, 266). Nguyễn Cảnh Toàn (xem [113, tr. 107]) dùng cách
diễn đạt “Trong toán học, quy luật…” với nghĩa như là thuật ngữ quy luật Toán học.

11
1.3. Hoạt động học tập
1.3.1. Quan niệm về hoạt động học tập
Theo L. X. Vưgotxki, hoạt động học là một hoạt động đặc biệt, chú trọng đến
sự thay đổi của chính bản thân HS. Hoạt động học xảy ra một cách có chủ định, có
mục đích và không là yếu tố bổ sung cho bất kỳ hoạt động chủ đạo nào khác. Hoạt
động học có chủ định có bốn đặc điểm cơ bản, đó là: có đối tượng là tri thức, kỹ năng,
kỹ xảo tương ứng; nhằm phát triển trí tuệ, năng lực người học, làm thay đổi bản thân
người học; có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu cả phương pháp chiếm lĩnh tri thức;
được điều khiển một cách có ý thức.
Carol Blades cho rằng hoạt động học của HS bắt đầu với sự nhận thức, điều đó
được xuất phát từ sự trải nghiệm và việc tìm hiểu, khám phá khi HS sử dụng tất cả các
giác quan để quan sát, phát hiện thế giới xung quanh. Tiếp đó HS chuyển sang quá
trình điều tra, nghiên cứu, trong quá trình này HS suy nghĩ về việc học của mình, so
sánh với những điều đã phân tích và quan sát được, từ đó tiến gần tới những chuẩn
mực về văn hóa. Học tập giúp HS tìm kiếm và khám phá trong những trường hợp
tương tự (theo [38, tr. 9]).
Quá trình nhận thức trong học tập là quá trình nhận thức các vấn đề đã
được nghiên cứu, không mới đối với con người. Tuy nhiên trong học tập người
học phải tích cực, chủ động khám phá những điều chưa biết đối với bản thân.
Theo thời gian, đến một trình độ nhất định nào đó, sự học tập tích cực sẽ mang
tính nghiên cứu khoa học và chính người học lại tìm ra những tri thức mới cho
nhân loại (theo [38, tr. 11]).
Theo Bùi Văn Huệ [44, tr. 232]: - Hoạt động học là hoạt động có ý thức nhằm
thay đổi bản thân chủ thể của hoạt động,…
- Hoạt động học có đối tượng là các khái niệm khoa học, đây là hoạt động nhận
thức được tổ chức một cách chuyên biệt để chiếm lĩnh các khái niệm khoa học;
- HS bằng hoạt động học lĩnh hội những cái mà các nhà bác học đã khám phá ra
dưới sự tổ chức của giáo viên;

- Hoạt động học có các thành tố: nhiệm vụ học tập, các hành động học tập,
động cơ và nhu cầu học tập. HS thực hiện nhiệm vụ học tập bằng các hành động học.
Phan Trọng Ngọ [78, tr. 139] cho rằng: - Hoạt động học của người học có đối
tượng là kinh nghiệm xã hội hiện còn ở bên ngoài;
- Người học có chức năng cấu trúc lại, tái tạo lại các kinh nghiệm xã hội trong
hoạt động của bản thân, nhằm phát triển bản thân. Để thực hiện chức năng này, người
học phải thực hiện nhiều hành động học với các mục đích khác nhau;
- Trong hoạt động học tập có các hành động học phổ biến sau: hành động


12
định hướng cho việc học; hành động tiếp nhận và phân tích đối tượng học; các hành
động mô hình hóa đối tượng học với vật liệu mới; hành động phát triển mô hình
sang các dạng mới, với các vật liệu mới; hành động đối chiếu với vật mẫu của đối
tượng học.
Theo D. B. Enconin, cấu trúc của hoạt động học tập có mục đích gồm:
- Các động cơ học tập, nhận thức: Mọi hoạt động học tập có mục đích được
kích thích bằng những động cơ phù hợp. Đó có thể là những động cơ gắn liền với nội
dung học tập, hay là động cơ tự hoàn thiện mình.
- Các nhiệm vụ học tập: Nhiệm vụ học tập là mục tiêu mà HS ý thức được cho
mình dưới hình thức “bài toán” có vấn đề. Từ đó sẽ tạo ra tình huống có vấn đề, nếu
giải quyết nó thì HS thực hiện được mục đích đặt ra, chiếm lĩnh được tri thức cần thiết.
- Các hành động học tập: HS giải quyết được các nhiệm vụ nhận thức nhờ thực
hiện các hoạt động thành phần sau: tách các vấn đề nhờ các nhiệm vụ nhận thức; vạch
ra các phương thức chung để giải quyết vấn đề trên cơ sở phân tích các quan hệ chung
trong tài liệu học tập; mô hình hóa các quan hệ chung của tài liệu học tập và các phương
thức hành động chung; kiểm tra tiến trình và kết quả hoạt động học tập; đánh giá sự phù
hợp giữa tiến trình và kết quả hoạt động học tập với những nhiệm vụ nhận thức đã đặt ra
(dẫn theo [29, tr. 199]).
Trong quá trình xem xét những đặc trưng của hoạt động học, chúng tôi cho rằng

hoạt động học tập trong dạy học môn Toán có những đặc trưng sau:
- Hoạt động học tập là hoạt động hướng vào đối tượng: Đó là các khái niệm
toán học, các mối liên hệ, quan hệ, các quy luật cần khám phá.
- Hoạt động học tập gắn với động cơ: Đó là một nhiệm vụ nhận thức do giáo
viên chuyển giao cho HS hoặc tự HS đề ra cho bản thân, đó là đối tượng mang tính
nhu cầu, kích thích tư duy HS, vạch ra ý nghĩa của hoạt động.
- Hoạt động học tập gắn với nhiệm vụ nhận thức: Nói cách khác, hoạt động học
tập xảy ra khi HS đứng trước vấn đề toán học cần giải quyết, nếu giải quyết được vấn
đề thì HS thực hiện được nhiệm vụ, mục đích đặt ra, chiếm lĩnh được tri thức.
- Hoạt động học tập được thực hiện thông qua tổ hợp các hành động học tập:
Biến đổi vấn đề về dạng quen thuộc; huy động kiến thức đã có để giải quyết vấn đề;
thực hiện các bước lập luận; kiểm tra, đánh giá các bước lập luận; tổng quát hóa vấn đề.
Như vậy, đối với HS, hoạt động chủ đạo chính là hoạt động học tập. Hoạt động
học tập có chủ định là hoạt động có đối tượng (tri thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng);
mang tính động cơ (nhằm phát triển trí tuệ, năng lực của người học, làm thay đổi bản
thân người học); có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu phương pháp chiếm lĩnh tri thức;
được điều khiển một cách có ý thức.


13
1.3.2. Hoạt động phát hiện
Hiện nay, khi bàn về hoạt động dạy học, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới
các thuật ngữ: tìm tòi, phát hiện, khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr. 162] đã
phân biệt khám phá và phát hiện như sau: “…Phát hiện và khám phá đều là tìm cái
chưa biết, cái còn ẩn giấu. Nhìn chung, nếu việc tìm ra cái gì đó chợt thấy, hay một
cách tình cờ, người ta thường nói đó là phát hiện. Có khi tìm kiếm mãi chả được
nhưng tại một thời điểm nào đấy lại có được…” và “Nếu tìm ra được cái chưa biết, cái
còn ẩn giấu là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu người ta gọi đó là khám
phá”. Tác giả cũng cho rằng: “Trong quá trình dạy học, nếu việc tìm ra cái chưa biết,
cái ẩn giấu chỉ đòi hỏi người học cố gắng ở mức độ nhẹ nhàng, vừa phải, có thể xem

việc đó là phát hiện, nếu đòi hỏi ở mức độ cao hơn, có thể xem đó là khám phá”.
Trong việc phát hiện này, chủ thể là HS, HS chủ động, sáng tạo để phát hiện vấn đề,
phát hiện cách giải quyết vấn đề và đồng thời phát hiện ra tri thức cho bản thân.
Một số nhà nghiên cứu cho rằng phát hiện là một thuật ngữ sử dụng trong dạy
học các môn khoa học trong nhà trường, đề cập đến cách tìm kiếm kiến thức hoặc
thông tin, tìm hiểu về các hiện tượng. Đa số các nhà sư phạm hưởng ứng việc dạy học
cần chú trọng các loại hình khám phá, tìm tòi, phát hiện vì để nâng cao hiệu quả giảng
dạy cần sử dụng các kỹ thuật giống như kỹ thuật mà các nhà khoa học đã tìm tòi và
phát minh. Các nhà giáo dục luôn nhấn mạnh giá trị của sự phát hiện trong học tập.
Theo J. Bruner, F. Wittrock và Cronbach thì “phát hiện” xảy ra khi một người
nào đó sử dụng trí tuệ của mình để làm nảy sinh một khái niệm hay một nguyên lí mới.
Với cách hiểu này thì phát hiện sẽ là sự hấp thụ về mặt tinh thần một khái niệm hay
nguyên lí mà một cá nhân đã đúc kết được từ những hoạt động thể chất hay tinh thần.
Chẳng hạn, một HS có thể đọc một số tài liệu và cảm thấy khó hiểu, HS đó cũng nghe
người khác nói về đề tài này, nói chuyện với giáo viên và các bạn cùng lớp nhưng
không khả quan gì hơn. Sau thời gian dài trao đổi với người khác và đọc sách, HS ấy
thấy mọi việc sáng tỏ hơn. Như thế, HS này đã phát hiện ra một khái niệm hay một
nguyên lí mà điều này trước đây vượt quá sự hiểu biết của bản thân (theo [8, tr. 255]).
J. Bruner cũng cho rằng: “Phát hiện, về bản chất là việc tái sắp xếp hoặc chuyển dịch
các bằng chứng theo cách làm cho một người nào đó có thể từ những bằng chứng đã
được sắp xếp lại đó, hình thành những hiểu biết mới”. Học tập phát hiện là “lối tiếp
cận dạy học mà qua đó, HS được tương tác với môi trường của họ, bằng cách khảo sát
và sử dụng các đối tượng, giải đáp các thắc mắc và tranh luận hoặc là biểu diễn thí
nghiệm”. Dạy học phát hiện chỉ có thể diễn ra nếu người dạy và người học cùng nhau
làm việc một cách hợp tác, nói cách khác kiểu dạy học này luôn hướng tới việc thu hút
sự tham gia của HS chứ không phải chỉ là lối truyền thụ một chiều (theo [37], [38]).


14
Welch đã xác định năm đặc điểm nổi bật của quá trình phát hiện:

- Quan sát: Khoa học bắt đầu từ việc quan sát các hiện tượng tự nhiên. Đó là
điểm khởi đầu của một sự khám phá. Welch đã chỉ ra rằng việc đặt những câu hỏi
đúng để gợi ý cho người quan sát là một yếu tố quyết định trong quá trình quan sát;
- Đo lường: Mô tả định lượng sự vật, hiện tượng là một hoạt động thực hành
khoa học được chấp nhận và mong đợi vì nó thể hiện sự chính xác trong quá trình
quan sát;
- Trải nghiệm: Việc thiết kế các thí nghiệm là để trả lời các câu hỏi và để kiểm
nghiệm các ý kiến và là nền tảng của khoa học. Thí nghiệm bao gồm việc đặt câu hỏi,
quan sát và đo lường;
- Giao tiếp: Việc thông báo những kết quả tìm hiểu được với hội đồng khoa học
và cộng đồng là một nhiệm vụ của nhà khoa học và là một phần cần thiết của quá trình
phát hiện. Giá trị của những suy nghĩ độc lập và tính trung thực của báo cáo về kết quả
quan sát, đo lường sẽ được khẳng định nhờ hoạt động này;
- Các hoạt động trí tuệ: Welch đã mô tả một số thao tác trí tuệ không thể thiếu
đối với việc khám phá khoa học là: quy nạp, phát biểu thành giả thuyết và học thuyết;
thao tác diễn dịch cũng như thao tác phân tích, suy đoán, tổng hợp và đánh giá. Những
thao tác trí tuệ của hoạt động khám phá khoa học có thể còn nhiều hoạt động khác nữa,
chẳng hạn như tưởng tượng hoặc yếu tố trực giác.
J. Dewey đã nghiên cứu cách tiếp cận dạy học tìm tòi và giải quyết vấn đề.
Theo ông, HS cần phải phát triển năng lực trí tuệ và sự nhạy cảm để giải quyết các vấn
đề thông qua sự quan sát liên tục những gì xảy ra trong lớp. Các chiến lược dạy học
theo định hướng tìm tòi sẽ giúp tạo điều kiện cho HS tự phát hiện và làm rõ mục đích
của việc tìm tòi, hình thành giả thuyết, áp dụng những kết luận và các tình huống mới
với số liệu mới, đưa ra những tổng quát hóa có ý nghĩa. Sử dụng cách dạy học theo
hướng tìm tòi, phát hiện không có nghĩa là dẫn dắt HS hướng tới những kết luận mà cả
thầy và trò hiểu cặn kẽ, điều quan trọng là hướng HS sử dụng những phương pháp đã
được chấp nhận để thu thập số liệu, từ đó tìm hiểu về vấn đề đang tồn tại trong môi
trường học tập. Từ những kinh nghiệm này, HS có thể phát hiện ra một khái niệm hay
một nguyên lí và cũng có thể mở rộng hơn nữa sự hiểu biết của mình về khái niệm
cũng như nguyên lí. Bên cạnh đó, HS hiểu được rằng các nhận định về hiện tượng

không chỉ dựa vào phỏng đoán hoặc quan sát một cách tình cờ mà phải dựa trên kết
quả của việc điều tra nghiêm túc, HS cũng được tạo điều kiện để học hỏi các phương
pháp tìm tòi kiến thức mang tính khoa học.
Dựa trên những quan niệm của các nhà khoa học về hoạt động học tập và hoạt
động phát hiện, trong luận án này, chúng tôi quan niệm: Hoạt động phát hiện quy luật


15
Toán học ở trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được thực hiện nhằm tìm
kiếm những đối tượng toán học, những mối liên hệ toán học tất yếu, bên trong sự vật
hoặc giữa các sự vật với nhau.
1.3.3. Một số đặc điểm của hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện
Hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện có một số đặc điểm nổi bật:
1. Trong hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện thì học tập một kiến
thức là phải hiểu biết nó trên các phương diện:
(a) Nội dung và ý nghĩa của các kiến thức đó (tức là trả lời cho câu hỏi “là gì?”);
(b) Kiến thức đó được xác nhận dựa trên cơ sở nào (tức là trả lời cho câu hỏi
“tại sao?”);
(c) Có thể áp dụng kiến thức đó vào việc gì và áp dụng bằng cách nào (tức là
trả lời cho câu hỏi “để làm gì và làm như thế nào?”).
Theo Tâm lí học, hoạt động nhận thức được chia thành hai giai đoạn là nhận
thức cảm tính và nhận thức lí tính. Hoạt động hiểu biết là một hoạt động trí óc cơ bản
được xếp vào quá trình nhận thức lí tính. Hiểu biết một kiến thức tức là biến nó thành
kiến thức của chính mình. Muốn vậy HS phải tự chiếm lĩnh lấy nó, có thể là với sự trợ
giúp của thầy giáo.
Để chiếm lĩnh được kiến thức và biến nó thành cái của chính mình thì người
học không nên bỏ qua mặt nào trong các phương diện (a), (b), (c) nói trên.
Dưới đây là một ví dụ về những điều vừa được trình bày.
Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 là một kiến
b  b2  4ac

ứng với   0 . Về phương diện ý
2a
nghĩa, có vài điều cần được đề cập tới: biểu thức b 2  4ac nằm trong dấu căn bậc hai

thức. Nội dung công thức đó là x 

nên chấp nhận được khi nó không âm; trước dấu căn có các dấu
b2  4ac  0 thì với dấu



ta thu được một nghiệm và với dấu





nên khi

ta thu được

nghiệm thứ hai;… Công thức đó được xác nhận dựa trên cơ sở lập luận sau: Biến đổi
2

b



ax  bx  c  0 thành dạng  x 
 

2a
2





b  b2  4ac
b 2  4ac
x

và
suy
ra
ứng với
2a
4a 2

  0 . Công thức nghiệm này có thể áp dụng để giải bất cứ phương trình bậc hai nào

có dạng như trên bằng cách thay thế giá trị của a, b, c vào và tính toán.
2. Cách thức suy nghĩ trong quá trình học tập mang tính tìm tòi phát hiện có ảnh
hưởng quyết định đối với hiệu quả học tập.
Theo J. Bruner: “Chúng ta dạy không phải vì mục đích tạo ra một thư viện sống
về bộ môn đó mà vì muốn HS suy nghĩ một cách có cân nhắc và tham gia vào tiến


16
trình tìm tòi kiến thức” (theo [8, tr. 261]). Và G. Polya cho rằng nhiệm vụ chính của
dạy học toán ở trường phổ thông là dạy HS suy nghĩ, để việc dạy học có hiệu quả, HS

cần tự khám phá trong chừng mực có thể phần lớn tài liệu học tập (theo [109, tr. 42]).
Suy nghĩ là hoạt động nhằm giải quyết vấn đề đặt ra, cụ thể là để trả lời câu hỏi,
giải bài toán, tìm tòi, chứng minh, áp dụng,… những kiến thức nào đó.
Những vấn đề đặt ra đòi hỏi sự suy nghĩ thường bao gồm hai yếu tố: thứ nhất,
đó là những dữ kiện bao gồm những cái đã cho biết và những điều kiện cần thỏa mãn,
ta gọi chúng là các giả thiết; thứ hai, đó là một câu hỏi cần được trả lời, hoặc một vấn
đề đặt ra cần được giải quyết, nghĩa là cần phải tìm kiếm cái gì đó, phải chứng minh
hay bác bỏ một giả thuyết nhằm đưa đến quyết định cho một đề nghị hay một sự lựa
chọn nào đó,… Ta gọi chúng là những cái cần tìm hoặc là kết luận.
Để suy nghĩ, trước hết cần huy động các “ảnh” liên quan đến vấn đề đã và đang
tồn tại trong đầu, gợi lại (tái hiện) để nhận ra đâu là giả thiết, đâu là kết luận. Hãy hình
dung giữa giả thiết A và kết luận B còn có những chướng ngại chưa thể vượt qua. Suy
nghĩ nghĩa là tìm ra những chiếc cầu và con đường để vượt qua chướng ngại và nối
liền A với B. Tiếp đó cần gợi lại (nhớ lại) các kiến thức, huy động các kinh nghiệm đã
thu nhận và ghi nhớ được trước đây liên quan đến bài toán; nếu chưa đủ, phải thực
hiện thao tác tìm hiểu bổ sung để có thêm những kiến thức cần thiết khác. Cuối cùng
cần lựa chọn trong chuỗi các “ảnh” nói trên những cái thích hợp và kết nối chúng theo
một lôgic hợp lý để thu được kết quả, mà kết quả này cho phép ta trả lời câu hỏi hay
rút ra kết luận. Con đường đi từ giả thiết đến kết luận cần được xây dựng bằng những
vật liệu lấy từ kiến thức, kinh nghiệm đã có cùng với vật liệu lấy từ những “ảnh” gợi ra
của giả thiết, kết luận và những kết quả được gợi ra trong các bước trước đó.
Thông thường, quá trình suy nghĩ được diễn ra theo các con đường như sau:
- Từ những điều trong giả thiết, cùng với kiến thức, kinh nghiệm đã có, suy ra
điều biết thêm (1), từ đó lại kết hợp với kiến thức cũ để suy ra điều biết thêm (2),…
Cứ thế kéo dài những điều biết thêm cho đến khi chúng trở thành kết luận. Ta gọi đó là
sự phân tích đi xuống.
- Khi bắt đầu từ giả thiết gặp những bế tắc, không tìm thấy cầu nối đến kết luận,
lúc này đi ngược từ kết luận dựa theo các suy luận sau: Muốn có kết luận, nhờ vào
những kiến thức, kinh nghiệm đã có trước sẽ thu được điều cần có (1), rồi thì để thu
được điều cần có (1) ta phải tìm ra điều cần có (2),… Cứ tiếp tục đi ngược như thế cho

đến khi điều cần có cuối cùng có thể suy ra được một cách trực tiếp từ giả thiết nói
trên. Ta gọi đó là sự phân tích đi lên.
- Cũng có khi cần xuất phát từ hai phía. Từ giả thiết tìm ra các điều cần biết
thêm và từ kết luận suy ra điều cần có. Khi một điều biết thêm nào đó trùng với một
điều cần có chính là lúc ta đã tìm được con đường nối giả thiết với kết luận.


17
Trên thực tế, HS gặp khó khăn trong suy nghĩ có thể do các nguyên nhân sau:
- Không nhận ra (gợi lại) đầy đủ các giả thiết, kết luận của bài toán;
- Không tái hiện được (không huy động được) kiến thức cũ có liên quan;
- Tuy đã gợi ra được đầy đủ giả thiết, kết luận và các kiến thức có liên quan
nhưng không biết so sánh, đối chiếu, gắn kết để phát hiện được mối quan hệ giữa
những cái đã được gợi ra trong đầu.
3. Tưởng tượng và sáng tạo là những yếu tố không thể thiếu trong quá trình học
tập mang tính tìm tòi phát hiện.
Tưởng tượng không chỉ là phẩm chất riêng của nhà khoa học hay người nghệ sĩ
mà còn là một hoạt động trí óc cần có đối với mọi người. Đây là một hoạt động trí óc
nhằm tạo ra trong đầu những ảnh mới có thể là có thực hay không có thực, nhưng
trước đó chưa từng có, nghĩa là chưa ai biết đến, hoặc đã có nhiều người biết nhưng ít
nhất trong đầu của chủ thể chưa từng có. Muốn tưởng tượng sáng tạo chủ thể cần dựa
trên những hiểu biết cũ, những hình ảnh đã có trong đầu mà nay có thể gợi lại được,
tiếp đó chủ thể cần thêm bớt hoặc thay đổi những hình ảnh cũ để tạo ra đối tượng mới
mà trước đó trong họ chưa từng có. Cần lưu ý rằng:
- Tưởng tượng, sáng tạo chỉ nảy sinh khi chủ thể hướng tới những đối tượng, sự
việc, hoạt động,… nhất định nào đó.
- Muốn tưởng tượng ra cái gì mới trước hết phải tái hiện (gợi lại) được đầy đủ
cái đang tồn tại mà chủ thể đang quan sát hoặc đã quan sát trước, để trên cơ sở đó có
thể thay đổi, bổ sung.
- Người ta chỉ bắt đầu tưởng tượng sáng tạo khi đang quan sát sự vật, khi sự vật

đang hiện diện trước mắt hoặc đã được quan sát kỹ và có thể gợi lại đầy đủ trong đầu.
Khi tưởng tượng và sáng tạo, chủ thể tự đặt ra những bài toán để suy nghĩ, lấy những
thực tế đang tồn tại làm giả thiết, còn kết luận của bài toán là ý muốn chủ quan của chủ
thể, sau đó tạo ra cái mới nhờ thêm bớt, chỉnh sửa,…
Hoạt động tưởng tượng, sáng tạo và hoạt động suy nghĩ có liên quan chặt chẽ
với nhau. Khi tưởng tượng rất cần suy nghĩ, có như vậy mới tìm được mối quan hệ
hợp lý, từ những cái đã biết, đã có để tìm ra cái chưa biết, chưa có. Ngược lại, nếu có
óc tưởng tượng tốt thì suy nghĩ sẽ đạt hiệu quả hơn. Trong hoạt động học tập, HS
không thể chỉ học để hiểu, ghi nhớ, suy nghĩ mà còn phải học cách tưởng tượng và
sáng tạo. Có khả năng tưởng tượng thì HS mới có thể nhìn thấy những cái chưa phải là
hiển hiện trước mắt mình và có thể vượt ra khỏi khuôn khổ của bài toán để phát hiện ra
những quan hệ mới thuận lợi cho việc giải bài toán.
1.4. Một số vấn đề về năng lực phát hiện các quy luật Toán học
1.4.1. Quan niệm về năng lực
Các nhà khoa học đã dành nhiều sự quan tâm để nghiên cứu vấn đề năng lực.
Tuy nhiên cho đến nay vẫn còn nhiều quan niệm khác nhau về khái niệm này.


18
B. M. Chieplôv coi năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với
kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai yếu tố cơ
bản liên quan đến khái niệm năng lực. Thứ nhất, năng lực là những đặc điểm tâm lí
mang tính cá nhân, những cá thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh
vực và không thể nói rằng mọi người đều có năng lực như nhau. Thứ hai, khi nói đến
năng lực, không những chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà còn phải gắn với một
hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt.
Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của hoạt
động, ông coi năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng lực là
toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích
lợi xã hội nhất định”.

Theo Từ điển Tiếng Việt [82], năng lực là: - Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc
tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; - Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo
cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Theo Phạm Đức Quang [88], cho dù được diễn đạt dưới nhiều dạng khác nhau
nhưng có thể rút ra một số đặc điểm chung, cơ bản của năng lực, đó là:
- Nói đến năng lực là đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một
công việc cụ thể, do một con người cụ thể thực hiện;
- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối
tượng cụ thể để có một sản phẩm nhất định;
- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể. Năng lực chỉ tồn
tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể.
Trong luận án này, chúng tôi tiếp cận khái niệm năng lực theo Chuẩn đầu ra
(mô tả năng lực theo tiêu chí). Chúng tôi quan niệm: Năng lực là khả năng, điều kiện
chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó. Theo đó, năng lực
được xem là sự tích hợp của kiến thức - kỹ năng - thái độ để tạo thành khả năng thực
hiện một hoạt động đạt kết quả tốt. Năng lực của mỗi người được hình thành trên cơ sở
tư chất, những cá thể khác nhau có năng lực khác nhau trong cùng một lĩnh vực. Năng
lực được hình thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con người
dưới sự tác động của giáo dục và rèn luyện.
1.4.2. Một số quan niệm về năng lực toán học
Quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (2003) về
năng lực toán học (theo [36, tr. 54-55]): Năng lực toán học là khả năng của một cá
nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập
luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi, khám


19
phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó
Một định nghĩa khác cũng theo PISA: Năng lực toán học là khả năng của
một cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ

cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự
việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng.
Trần Luận [68] cho rằng: Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng
được nhu cầu hoạt động toán học và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong
lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Theo V. A. Cruchetxki: Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm
tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu của hoạt động học tập toán, và trong điều kiện vững
chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách
sáng tạo toán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ
dàng, sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học (theo [109, tr. 17]).
Qua các tìm hiểu trên cho thấy hai quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình
đánh giá HS quốc tế PISA thể hiện sự quan tâm rõ nét tới những hiểu biết toán học và
sự vận dụng nó trong đời sống. Trần Luận và V. A. Cruchetxki quan tâm nhiều hơn
đến thuộc tính tâm lí của năng lực toán học, việc vận dụng toán học vào đời sống
không được đề cập tới.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu tâm lí được tiến hành khá công phu nhằm
vạch ra cấu trúc các năng lực toán học của HS, sau đây là một số nghiên cứu nổi bật:
Theo V. A. Cruchetxki, cấu trúc năng lực toán học của HS gồm các thành
phần: thu nhận thông tin toán học, chế biến thông tin toán học, lưu trữ thông tin
toán học, thành phần tổng hợp chung (theo [11, tr. 167-168] và [39, tr. 129-130]).
Theo A. N. Kôlmôgôrôv, trong các thành phần của năng lực toán học có: năng lực
biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm các con đường giải phương
trình không theo quy tắc chuẩn; trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; nghệ
thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn, đặc biệt là hiểu và
có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học (theo [39, tr. 129]).
E. L. Thorndike đã đi sâu nghiên cứu lĩnh vực đại số và cho rằng những thành
tố của năng lực đại số gồm: năng lực hiểu và thiết lập công thức; năng lực biểu diễn
các tương quan số lượng thành công thức; năng lực biến đổi các công thức; năng lực
thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; năng lực giải các
phương trình; năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất; năng lực biểu

diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng (theo [109, tr. 18]).
Nhìn khái quát những quan niệm nói trên về năng lực toán học, ta thấy các tác
giả của những quan niệm ấy đã đề cập đến các bộ phận của năng lực toán học, đó là


20
năng lực lĩnh hội các tri thức toán học, năng lực áp dụng các tri thức toán học, và còn
có một bộ phận đáng chú ý, đó là năng lực phát hiện các định lý, công thức,... và các
quy tắc suy luận trong toán học (tức là các quy luật toán học).
1.4.3. Thuộc tính của năng lực phát hiện các quy luật toán học
Quan niệm về quy luật toán học, hoạt động phát hiện, năng lực đã được đưa
ra theo thứ tự tại các mục (1.2.2), (1.3.2), (1.4.1) của luận án.
Theo đó, tóm lại, chúng tôi quan niệm: Năng lực phát hiện các quy luật toán
học chính là khả năng quan sát có chủ định các đối tượng toán học, sử dụng thao tác
tư duy để đưa ra dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa chúng, trên cơ sở
đó hình thành nên giả thuyết toán học và kiểm định nó.
Quan niệm đó cho thấy năng lực phát hiện quy luật toán học có các thuộc tính
chính yếu sau:
1) Có thể quan sát có chủ định các đối tượng toán học;
2) Có thể sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra các dự đoán về các mối liên hệ
có tính quy luật giữa các đối tượng toán học đó;
3) Có thể hình thành được giả thuyết toán học về chúng;
4) Có thể kiểm định giả thuyết toán học ấy và đưa ra kết luận xác đáng. Trong
trường hợp giả thuyết đó được xác nhận là đúng thì biết khẳng định đó là một quy
luật toán học và biểu đạt thành định lý, công thức,...
Mỗi thuộc tính có thể mô tả theo các chuẩn mà người HS có năng lực phát
hiện quy luật toán học cần đạt được. Cụ thể như sau:
(1). Nói rằng có thể quan sát có chủ định các đối tượng toán học tức là muốn
nói rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(1a). Biết xác định đối tượng cần quan sát và mục đích của việc quan sát;

(1b). Biết kết hợp hai yếu tố “nhìn thấy” và tư duy không chỉ xuyên suốt quá
trình quan sát mà là cả trước và sau quá trình đó;
(1c). Biết đặt đối tượng cần quan sát trong mối liên quan với những đối tượng gần
gũi nó;
(1d). Biết sử dụng hợp lý các phương tiện và các giác quan trong quá trình quan sát.
(2). Nói rằng có thể sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra dự đoán về các mối
liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng toán học đang xem xét tức là muốn nói
rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(2a). Có những hiểu biết cơ bản về từng thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...
(2b). Có thể thực hiện được các thao tác tư duy ấy trong những tình huống cụ
thể ở mức hợp với trình độ toán học được quy định trong chương trình môn học;


21
(2c). Trên cơ sở đó, đối với những tình huống nhất định, có thể đưa ra những
dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng và quan hệ toán học
trong tình huống đó.
(3). Nói rằng có thể hình thành được giả thuyết toán học liên quan đến tình
huống toán học đang quan tâm tức là muốn nói rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(3a). Có sự hiểu biết về khái niệm giả thuyết toán học;
(3b). Ở những hoàn cảnh cụ thể nhất định, có thể thực hiện được việc đưa ra
các giả thuyết toán học có ích.
(4). Nói rằng có thể kiểm định giả thuyết toán học đã đưa ra tức là muốn nói
rằng có thể đạt được các chuẩn sau:
(4a). Có sự hiểu biết về những phương pháp khác nhau để kiểm tra tính đúng
đắn của giả thuyết;
(4b). Thực hiện được một số phương pháp kiểm định tính đúng đắn của giả
thuyết;
(4c). Biết đưa ra kết luận xác đáng đối với giả thuyết đó sau khi tiến hành

những biện pháp kiểm định phù hợp.
Một câu hỏi đặt ra là: Năng lực phát hiện các quy luật Toán học có hay không
có ở tầng lớp HS trung học phổ thông Việt nam? Câu trả lời là khẳng định rằng có.
Thực tiễn dạy học cho thấy năng lực này ở người HS trung học phổ thông nước ta vẫn
được hình thành và phát triển ở những mức độ nhất định trong các giờ học môn Toán.
Một câu hỏi khác nữa được đặt ra là: Trong trường hợp nào thì một HS được
xem là đạt yêu cầu về năng lực phát hiện quy luật toán học? Vấn đề này sẽ được
chúng tôi trình bày tại mục 1.4.5.
1.4.4. Một số biểu hiện của học sinh có năng lực phát hiện quy luật Toán học
Như đã được nhắc đến ở 1.4.2, năng lực phát hiện các quy luật Toán học là một
bộ phận đáng chú ý trong năng lực toán học. Do vậy, việc bồi dưỡng cho HS bộ phận
năng lực toán học này là một khâu quan trọng trong quá trình dạy học môn Toán ở
trường phổ thông. Trong mục này, chúng tôi sẽ đề cập đến các biểu hiện của HS có
năng lực phát hiện các quy luật Toán học để làm nền cho việc xây dựng hệ thống các
biện pháp sẽ đưa ra ở chương 3.
Hoạt động phát hiện các quy luật Toán học chính là hoạt động nhận thức các
quy luật Toán học. Nó cũng có hai mức độ khác nhau, đó là nhận thức cảm tính và
nhận thức lý tính (tư duy). Ở mức độ nhận thức cảm tính, khi đạt đến trình độ phát
triển cao của sự tri giác có mục đích, có kế hoạch, có biện pháp và đạt tới mức phản
ánh đối tượng tốt nhất thì tri giác trở thành hoạt động quan sát của con người, cung cấp
cho con người các thông tin cần thiết của hoạt động tư duy, tưởng tượng và sáng tạo