Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục và phép quay

1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng
∆
. Phép biến
hình biến mỗi điểm M thuộc
∆
thành M, mỗi điểmM
không thuộc
∆
thành M’ sao cho
∆
là trung trực của
MM’ gọi là phép đối xứng qua đường thẳng
∆
(gọi tắt phép đối xứng trục). Kí
hiệu là: Đ
∆
.
*Nhận xét 1: Đ
∆
(M) = M’
⇔
Đ
∆
(M’) = M.
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Khi đó Đ
AC
biến:
A thành A, C thành C, B thành D, D thành B vì AC
⊥

BD tại trung điểm của
mỗi đường.
1.2.Biểu thức véc tơ của phép đối xứng trục
*ĐỊNH LÍ 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
∆
: Ax + By +C = 0. Khi đó Đ
∆
biến
M(x;y) thành M(x’; y’) có biểu thức véc tơ xác định bởi:
nkMM 2' =
(IIIa)
trong đó k = -
( )
2
n
∆
, (
∆
) =
∆
(M) = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai ý:
'MM
cùng phương với
n
(1), và trung điểm của
MM’
∈

∆
nếu M
∉

∆
(2).Thật vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M
∈
∆
nghĩa là
∆
(M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIIa)
⇒
M’
≡
M.
- Nếu M
∉
∆
. Từ (IIIa) suy ra (1). Từ k = -
( )
2
n
∆
⇔
k
2
n
= -(
∆

) (3). Nhân vô hướng
hai vế của (IIIa) với
n
và so sánh với (3) ta có :
'MM
.
n
= -2(
∆
)
⇔
A(x’-x)
+B(y’-y) =-2( Ax + By +C)
⇔
A(
2
' xx +
)+B(
2
' yy +
)+C=0
⇒
(2) đúng.
1.3.Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
*HỆ QUẢ 1: Nếu Đ
∆
biến M(x;y) thành M(x’; y’) thì :




+=
+=
kByy
kAxx
2'
2'
(IIIb)
trong đó k = -
( )
2
n
∆
, (
∆
)=
∆
(M) = Ax + By +C.
(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên)
*Nhận xét 2
-Nếu
∆
≡
Ox có phương trình : y = 0 thì A = 0, B = 1 và k = - y nên từ
(IIIb)
⇒
x’ = x, y’ = - y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng Đ
Ox
.
-Nếu
∆

≡
Oy có phương trình : x = 0 thì A = 1, B = 0 và k = - x nên từ
(IIIb)
⇒
x’ = - x, y’ = y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng Đ
Oy
.
-Nếu là
∆
đường phân giác thứ nhất: x – y = 0 thì A = 1, B = - 1, 2k = y – x
nên (IIIb)
⇒
x’ = y, y’ = x. Ta có M(x; y) và M’(y; x) đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x quen thuộc.
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;2) và
∆
: 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ M’ đối xứng với
M qua
∆
.
Giải: Tính giá trị k
0
= -
( )
2
0
n
∆
= -
22

43
12.41.3
+
−+
= -
5
2
.
Đ
∆
biến M(1; 2) thành M(x’; y’)
⇔





−=−=
−=−=
5
6
4.
5
4
2'
5
7
3.
5
4

1'
y
x

⇔
M’(-
5
7
; -
5
6
).
Ví dụ 3: Cho điểm M(1; 5) và d: x – 2y + 4 = 0. Hãy tìm ảnh của M qua Đ
d
.
(Xem ví dụ 2 trang 12-SBT HH 11 NXBGD 2007)
Giải
Tính giá trị k
0
= -
( )
2
0
n
∆
= -
22
)2(1
45.21.1
−+

+−
= - 1.
Đ
d
biến M(1; 5) thành M(x’; y’)
⇔



=−−−=
=−−=
1)2).(2(5'
31).2(1'
y
x

⇔
M’(3; 1).
*ĐỊNH LÍ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
n
=( A; B). Khi đó Đ
∆
biến véc tơ
u

thành
'u
xác định bởi:
'u

=
u
- 2
λ
n
(IVa)
trong đó
λ
=
2
.
n
nu
.
Chứng minh
Chú ý rằng khái niệm hai véc tơ bằng nhau không phụ thuộc vị trí của
chúng, nên ta chứng minh hai ý: (
'u
+
u
)
⊥
→
n
(1), và
'u
=
u
(2). Thật vậy:
-Cộng cả hai vế của (IVa) với

u
rồi nhân vô hướng của biểu thức nhận được với
→
n
(Để ý định nghĩa
λ
) ta có (
'u
+
u
).
n
= 2
u
.
n
- 2
λ
n
2
= 2
u
.
n
- 2
u
.
n
= 0
suy ra (1) được chứng minh.

-Bình phương vô hướng (IVa) ta có:
'u
2
=
u
2
+4
λ
2
n
2
- 4
λ
u
.
n
=
u
2
+4
λ
2
n
2
- 4
λ
2
n
2
=

u
2
⇒
(2) đúng (đpcm).
Từ cách chứng minh ý (2) của định lí 2 ta có hệ quả sau
*HỆ QUẢ 2
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
(Phép đối xứng trục là một phép dời hình).
Từ nhận xét 1 và hệ quả 1 ta có nhận xét 3 sau đây
*Nhận xét 3
Đ
∆
(M(x; y)) = M’(x’; y’)
⇔
Đ
∆
(M’) = M
⇔



+=
+=
Bkyy
Akxx
'2'
'2'
(IIIc)
trong đó k’ = -
( )

2
'
n
∆
, (
∆
’) = Ax’ + By’ +C.
Bởi vậy, giả sử M(x; y)
∈
∆
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 thì từ (IIIc) ta có:
0 = A
1
x + B
1
y + C
1
=
∆
1
(M’) + 2k’(
nn .
1

) =
∆
1
(M’)- 2
λ
1
.
∆
(M’).
*ĐỊNH LÍ 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
∆
: Ax + By +C = 0 và
đường thẳng
∆
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0. Khi đó Đ
∆
biến
∆
1
thành
∆
’

1
có phương
trình :
∆
’
1
: 2
λ
1
(
∆
) - (
∆
1
) = 0 (IVb)
trong đó
λ
1
=
2
1
.
n
nn
,
n
1
=( A
1
; B

1
),
n
=( A; B).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho d: 3x – y + 2 = 0. Hãy viết phương trình
đường thẳng d’ = Đ
Oy
(d). (Xem BT2 SGK HH11 trang 11 NXBGD 2007)
Giải:Ta có phương trình Oy: x = 0,
n
1
=( 3;- 1) ,
n
=( 1; 0)
⇒
λ
1
=
2
1
.
n
nn
= 3.
Vậy theo định lí 3 phương trình d’ = Đ
Oy
(d) là:
2.3(x) – (3x – y + 2) = 0
⇔
d’: 3x + y – 2 = 0.

Ví dụ 5: Hãy tìm các đường thẳng d’
1
đối xứng với d
1
: 5x + y – 14 = 0, và d’
2
đối xứng với d
2
: 5x + 3y + 10 = 0 qua đường thẳng
∆
có phương trình :
∆
: 5x + 3y – 4 = 0.
Giải:Ta có:
n
1
=( 5; 1),
n
2
=(5; 3),
n
=( 5; 3) suy ra
λ
1
=
2
1
.
n
nn

=
17
14
và
λ
2
=
2
2
.
n
nn
= 1. Do đó theo định lí 3 ta có các phương trình d’
1
và d’
2
là:
d’
1
: 2.
17
14
.(5x + 3y – 4) – (5x + y – 14) = 0
⇔
d’
1
: 55x + 67y + 126 = 0.
d’
2
: 2.1.(5x + 3y – 4) – (5x + 3y + 10) = 0

⇔
d’
2
: 5x + 3y – 18 = 0.
(Có thể kiểm tra lại rằng
∆
song song và cách đều d
2
và d’
2
;
∆
là một
đường phân giác của góc tạo bởi d
1
và d’
1
).
Ví dụ 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết B(2; - 1), đường
cao và phân giác trong đi qua hai đỉnh A và C lần lượt có phương trình:
d
1
d
A
B
C
d
1
: 3x - 4 y + 27 = 0 ; d
2

: x + 2y - 5 = 0.
(Đề 84- Bộ đề thi tuyển sinh)
Giải: Phương trình đường thẳng BC đi qua B và
⊥
d
1
là:
4(x - 2) +3(y + 1) = 0
⇔
4x + 3y - 5 =0.
Do CA đối xứng với CB qua d
2
nên có phương trình:
2.
22
21
2.31.4
+
+
( x + 2y - 5) – (4x + 3y - 5) =0
⇔
CA: y – 3 = 0.
Do đó CA

d
1
= A(- 5; 3). Từ đó ta có phương trình AB: 4x +7y – 1 = 0.
1.4.Các hệ quả khác
*HỆ QUẢ 3
Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng giữa chúng.
Phép đối xứng trục biến tia thành tia, góc, đa giác, đường tròn thành hình
bằng nó.
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc
chúng. Hãy xác định các điểm C
∈
c và D
∈
d sao cho ABCD là hình thang cân có
AB là cạnh đáy (không cần biện luận).
Giải
Gọi a là trung trực của AB thì a cố định. ABCD là hình thang cân có AB là
cạnh đáy (Khi đó CD cũng là cạnh đáy)
⇔
Đ
a
(A) = B, Đ
a
(D) = C. Bởi vậy: D
∈

d
⇔
C
∈
d’ = Đ
a
(d), kết hợp C
∈
c ta có C = d’


c. Vậy C được xác định, và
do đó D = Đ
a
(C).
1.5.Phương pháp giải toán
Để vận dụng phép đối xứng trục trong giải toán ta phải xác định được trục
của phép đối xứng (Đặc điểm là: có sự xuất hiện hoặc tạo ra đường trung trực
của đoạn thẳng). Giả sử
∆
được xác định và
∆
là trung trực của MM’. Khi đó:
M thuộc (H)
⇔
M’ thuộc (H’) =Đ
∆
(H).