Biểu thức tọa độ của phép biến hình

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
Mục lục Trang
Mục lục...1
A. Đặt vấn đề .2
I. Lời nói đầu....2
II.Thực trạng của vấn đề...2
1. Thực trạng...2
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên.....2
B. Giải quyết vấn đề4
I. Các giải pháp thực hiện.4
Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình.4
1. Đại cơng về phép biến hình..4 2. Phép chiếu
theo phơng

v
lên đờng thẳng .5
3. Phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng..7
Chơng 2: Các phép dời hình11
1.Khái niệm phép dời hình11
2.Một số phép dời hình thờng gặp...11
2.1.Phép đối xứng trục.11
2.2.phép quay16
Phụ lục..20
C. kết luận...21
1. Kết quả nghiên cứu.21
2. Kiến nghị, đề xuất...24
Tài liệu tham khảo25
1
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
A. đặt vấn đề
I. lời nói đầu

Chủ đề về các phép biến hình trong mặt phẳng là một chủ đề rộng của
hình học, bao gồm: đại cơng về các phép biến hình, các phép dời hình (Phép
tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép dời hình), các phép
đồng dạng(Phép vị tự, phép đồng dạng). Trong đề tài này tác giả chỉ giới hạn
nghiên cứu sâu hơn về một số phép dời hình trong mặt phẳng (Không đề cập
các phép đồng dạng) dới góc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải
tích, véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT,
chúng ta không tiếp cận dới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện đại.
Nội dung tài này đợc chia thành hai chơng:
- Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình
Trong chơng này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình:
phép chiếu theo phơng

v
lên đờng thẳng ( Còn gọi là phép chiếu song song),
phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao)
- Chơng 2: Các phép dời hình
Trong chơng này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình:
phép đối xứng trục, phép quay.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chuyên môn đã tạo điều kiện thuận
lợi nhất để tác giả hoàn thành đề tài này, cũng nh các đồng nghiệp nhiệt tình
đóng góp ý kiến, giúp đỡ và động viên tác giả để đề tài hoàn thiện hơn. Mặc dù
tác giả đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và trình bày, song không
tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của độc giả!
II. thực trạng của vấn đề
1. Thực trạng:
Trong chơng trình Hình Học 10 (SGK chỉnh lí và hợp nhất năm 2000-
NXBGD) đã trình bày đại cơng về các phép biến hình (Chơng III), sau này
trong chơng trình Hình Học 11( Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD năm
2007) trong đó có trình bày về biểu thức tọa độ của các phép: tịnh tiến, đối

xứng trục (Với trục đối xứng là Ox hoặc Oy), không trình bày biểu thức tọa độ
của phép quay, trong SGV Hình Học nâng cao có nói đến biểu thức tọa độ của
phép đối xứng trục đi qua gốc tọa độ, nhng cha nói rõ cách xác định hay giá trị
của cos

và sin

. Ngoài ra trong giáo trình Toán tập 7 của tác giả Jean Marie
Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ của phép đối xứng
trục, nhng việc áp dụng nó vào trong chơng trình THPT không đơn giản. Cha đề
cập đến biểu thức tọa độ của phép quay.
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên cha đáp ứng đợc nhu cầu tìm tòi
sáng tạo của học sinh và giáo viên, cha tiếp cận đợc với Hình Học cao cấp và
Toán học hiện đại, một số chỗ còn cha nói lên rõ đợc bản chất (cốt lõi) của vấn
đề (Định lí thì không đợc nêu, còn hệ quả của nó thì đợc phát biểu thành định
2
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
lí), đặc biệt là cha tiếp cận đợc với xu hớng thi trắc nghiệm môn Toán. Chẳng
hạn ta xét một tình huống ''Tìm ảnh d' của đờng thẳng d: 2x + y - 2 = 0 qua
phép tịnh tiến theo véc tơ

v
= (3;-1)''. Thông thờng (theo phơng pháp cũ) để
giải quyết tình huống này ta làm nh sau:
+Lấy M(1;0) thuộc d và xác định ảnh M' = T
v
(M):

=
+=
10'
31'
y
x


M'(4;-1)
+Vì d' // d (hoặc trùng d) và d' đi qua M' nên phơng trình d' là:
2.(x- 4) +1.(y+1) = 0

d': 2x + y - 7 = 0.
Qua đó đòi hỏi học sinh phải nắm đợc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
và tính chất ''Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc
trùng với nó''. ở đây tác giả đã giải quyết tình huống trên nh sau:
+Lấy tích vô hớng của

n
= (2;1) và
v
= (3;-1):
513.2.
==
nv
+Phơng trình d' là: 2x + y - 2 - 5 = 0

2x + y - 7 = 0.
Vậy tình huống đợc giải quyết đơn giản hơn nhiều. Kết quả đợc trình bày

dạng tổng quát ở định lí 1 nh sau:
*định lí 1
Cho

v
= (a; b) và đờng thẳng

: Ax + By +C = 0. Khi đó T
v
biến

thành đờng thẳng
'

có phơng trình :
'

: (

) -

v
.

n
= 0
(

) - là vế trái của đờng thẳng

.
Về phép đối xứng tâm ta có định lí 2
*định lí 2
Cho I (a; b) và đờng thẳng

: Ax + By +C = 0. Khi đó Đ
I
biến


thành đờng thẳng
'

có phơng trình là:
'

: (

) -2

0
= 0 trong đó

0
= aa + Bb + C.
Một tình huống khác là " Ngoài các phơng pháp cộng đại số, (phơng
pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp thế, ph-
ơng pháp đồ thị, phơng pháp đoán nhận nghiệm Còn phơng pháp nào để giải
hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn một cách tơng đối ngắn gọn hay không?".
Trong chơng 1 chúng ta có một cách giải mới...

Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn tìm tòi, nghiên cứu và đa ra sáng kiến với
mục tiêu nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình trong mặt phẳng dới góc độ
của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt
phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dới góc độ
của hình học cao cấp hay toán học hiện đại . Trong đề tài này chúng ta cung cấp
một số kiến thức mới bổ xung về các phép biến hình trong mặt phẳng, đa ra một
số phơng pháp giải toán, rèn luyện t duy lôgic, t duy trừu tợng, tiếp cận với ph-
ơng pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo trong học tập, nghiên cứu của
giáo viên và học sinh trong đó có các ví dụ, các bài tập vận dụng nhằm minh
họa hay rèn luyện những kĩ năng nhất định. Đặc biệt có thể đáp ứng với nhu cầu
đổi mới phơng pháp dạy và học trong xu hớng tiếp cận với hình thức thi trắc
nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đúng đắn và chính xác các bài toán
với thời gian mỗi câu rất ngắn.
3
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
b. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện
Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng ta cần nắm đợc các kiến thức cơ
bản, tơng đối thành thạo những kĩ năng nhất định trong chơng trình Hình Học
10 (Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD 2006). Từ đó chúng ta đa ra các
bài toán nhỏ hay các ví dụ minh họa hay dẫn dắt tới các khái niệm, định nghĩa,
định líđợc trình bày trong các chơng 1 và chơng 2. Trong mỗi chơng có các
bài tập tự giải theo các phơng pháp đã nêu trong đề tài (có thể giải theo phơng
pháp cũ để kiểm chứng).
chơng 1: đại cơng về phép biến hình
1.đại cơng về phép biến hình
1.1.Ví dụ mở đầu
Trong mặt phẳng cho một đờng thẳng

cố định và

một véc tơ
v


0
sao cho
v
không là véc tơ chỉ phơng của

.Với mỗi điểm M , ta xác định M nh sau: vẽ d đi qua M
nhận
v
làm véc tơ chỉ phơng và M = d


Nh vậy theo cách trên với bất kì điểm M đều xác định
đợc M duy nhất.
1.2.Định nghĩa 1
Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tơng ứng mỗi điểm M xác
định điểm M duy nhất thuộc mặt phẳng đó .
Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)
Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M.
Ta còn nói phép biến hình biến M thành M. Nếu ký hiệu phép biến hình là F
thì ta viết: F(M) = M hoặc M = F(M) hoặc F: M

M.
Ví dụ 1
Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo phơng

v

lên đờng thẳng

.Ta có thể kí hiệu là:

v
F
(M) = M.
Ví dụ 2
Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu

v
là véc tơ pháp tuyến của

thì ta gọi
phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng

( Còn gọi là
phép chiếu trực giao). Kí hiệu là:

F
M


M'
*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình
Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M=F(M) với M

H} gọi là ảnh
của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H.

1.4.Tích của hai phép biến hình
4
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
Cho hai phép biến hình f và g, g(M) = M và f(M) = M. Khi đó phép
biến hình biến M thàmh M là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép
biến hình g và f đợc gọi là tích (hay: hợp thành) của f và g.Ký hiệu là f

g.
*Định nghĩa 2
Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình f và g là phép biến hình
h có đợc bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình g và f.Ký hiệu
là:H = f

g.
Nh vậy, theo định nghĩa:H(M) = f

g(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng
cho tích của một số phép biến hình).
Sau đây chúng ta nghiên cứu kĩ hơn về phép chiếu theo phơng

v
lên đ-
ờng thẳng

và phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng


2.phép chiếu theo phơng

v

lên đờng thẳng
Trong ví dụ mở đầu ta mô tả về phép chiếu theo phơng

v

0
lên đờng
thẳng

. Sau đây ta định nghĩa chính xác về phép biến hình này.
2.1.Định nghĩa 3
Trong mặt phẳng cho đờng thẳng

và véc tơ

v

0
không là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

. Phép biến hình
biến mỗi điểm M thành M sao cho:






=
'

'
M
vkMM
(I)
gọi là phép chiếu theo phơng

v
lên đờng thẳng

. Kí hiệu là:

v
F
.
Ký hiệu
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

: Ax + By + C = 0. Ký hiệu
n
=
(A;B) là véc tơ pháp tuyến của

và
u
= (B;-A) là véc tơ chỉ phơng của

.
-Với mỗi điểm M(x
M
; y

M
), ta ký hiệu

(M) = Ax
M
+ By
M
+ C là số thực
khi thay tọa độ của M vào vế trái

;
-Nếu M
0
(x
0
;y
0
) thì
0

= Ax
0
+ By
0
+ C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (

): =

(M): = Ax + By + C .

Bài toán 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng d: x = x
0
+ at , y = y
0
+ bt và đ-
ờng thẳng

: Ax + By +C = 0. Hãy xác định tọa độ giao điểm d và

biết
rằng aa +Bb

0.
Giải
Đặt

v
= (a;b) là véc tơ chỉ phơng của d, tacó

v
.

n
= aa +Bb

0.Ta cần
xác định giá trị t
0
thỏa mãn : A(x

0
+ at) +B(y
0
+ bt) + C =0

(aa +Bb)t
0
+ (Ax
0
+ By
0
+ C) = 0

t
0
= -
bBaA
CByAx
+
++
00
= -
nv.
0

.
Thay giá trị t
0
vào phơng trình d ta xác định đợc tọa độ giao điểm:
x

0
= x
0
+ at
0
, y
0
= y
0
+ bt
0
.
2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phơng

v

Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau
5
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
*Định lí 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

: Ax + By +C = 0 và

v
= (a;b) sao
cho

v
.

n
= aa +Bb

0. Khi đó

v
F
có biểu thức véc tơ là:
vkMM
=
'

(Ia)
trong đó k = -
( )
nv.

, (

) = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định

n
= (A;B) theo phơng trình của

và giữ nguyên nó trong
mệnh đề 1. Chẳng hạn :

: 6x 9y +2 = 0 thì ta lấy

n
=(6; - 9) mà không lấy

n
=(2; - 3). Muốn lấy

n
=(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng

:
0
3
2
32
=+
yx
.
2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phơng

v
Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau
*hệ quả : Nếu

v
F
biến M(x;y) thành M (x ;y ) thì :

+=
+=
kbyy
kaxx
'
'
(Ib)
trong đó k = -
( )
nv.

, (

) = Ax + By +C và

v
= (a;b).
Ví dụ 1
Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đờng thẳng có phơng trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và

: 2x y + 3 = 0.
Giải
Kí hiệu

v
=
d
u
=(1;-2) và

n
=(2; - 1) ta có:

v
.

n
=4

0. Lấy M
0
(0;1)
trên d



0
= 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k
0
=-
nv.
0

= -
2
1
Vậy

==
==
2)2(
2
1
1'
2
1
1.
2
1
0'
0
0
y
x
hay d


= (-
2
1
; 2).
*ý nghĩa
Từ nay ta có thêm một phơng pháp mới để giải hệ hai phơng trình bậc
nhất hai ẩn. Nó khác với các phơng pháp đã biết nh: phơng pháp cộng đại số,
(phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp
thế, phơng pháp đồ thị Hiển nhiên mỗi phơng pháp có u điểm và nhợc điểm

riêng và đều phải cho cùng một kết quả, vì về bản chất chúng phải tơng đơng
nhau.
Ưu điểm của phép chiếu theo phơng

v
là: Ta có thể chọn điểm M
0
(x
0
;y
0
)
bất kì

d sao cho việc tính toán
0

= Ax
0
+ By
0
+ C là thuận tiện và dễ dàng
nhất: Nếu

v
.

n
= aa +Bb = 0 và
0

0 thì hai đờng thẳng song song tức là hệ
vô nghiệm ; Nếu

v
.

n
= aa +Bb = 0 và
0

= 0 thì hai đờng thẳng trùng nhau,
tức là hệ có vô số nghiệm.
Ngoài ra phần sau ta sẽ có một ứng dụng quan trọng của phép chiếu theo
phơng

v
.
6
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đờng thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và

: 4x+5 y -6 = 0.
Giải
Xét

v
=

d
u
=(3;-2) và

n
=(4; 5)



v
.

n
=2

0. Lấy M
0
(1;-1)

d


0
=
-7. Khi đó k
0
=-
nv.
0

=
2
7
.Vậy





=+=
=+=
8)2(
2
7
1'
2
23
3.
2
7
1'
0
0
y
x
hay d


= (
2

23
;-8).
*nhận xét
Từ phép chiếu theo phơng

v
lên đờng thẳng

, chúng
ta có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trợt với trục
đối xứng

.
3.phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng
3.1.Định nghĩa 4
Trong mặt phẳng cho đờng thẳng

và véc tơ pháp
tuyến

n
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao
cho:




=
'
'

M
nkMM
(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng

. Kí hiệu là:

F
.
*Lu ý : ta thờng vẫn sử dụng H thay cho M
3.2.Biểu thức véc tơ
*Định lí 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

: Ax + By +C = 0. Khi đó

F
biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi:
nkMH
=
(IIa)
trong đó k = -
( )
2
n

, (

) = Ax + By +C.
Chứng minh

Ta cần chứng minh hai điều:
MH
cùng phơng với
n
(1), và H


(2).Thật vậy: Xét hai trờng hợp
- Nếu M


nghĩa là

(M) = 0 suy ra k = 0.Khi đó từ (IIa) dễ dàng suy ra H

M.
- Nếu M



. Khi đó hiển nhiên (IIa) suy ra (1).
Từ k = -
( )
2
n


k
2
n

= - (

) (3). Nhân vô hớng hai vế của (IIa) với
n
và
so sánh với (3) ta có :
MH
.
n
= - (

)

A(x
H
- x) +B(y
H
- y) = - ( Ax + By +C)

Ax
H
+ By
H
+C=0 suy ra (2) đúng (đpcm).
*Chú ý : Trong định lí 3 chọn

v
=

n

ta có ngay định lí 4.
3.3.Biểu thức tọa độ
Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ sau
*hệ quả 1:
7
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
Nếu

F
biến M(x;y) thành H(x
H
;y
H
) thì :



+=
+=
kByy
kAxx
H
H
(IIb)
trong đó k = -
( )
2
n

, (

) = Ax + By +C.
Ví dụ 1
Cho điểm M(1;2) và

: 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông
góc H của M trên

.
Giải: Tính giá trị k
0
=-
( )
2
0
n

=-
22
43
12.41.3
+
+
=-
5
2
.

F
biến M(x;y) thành H(x

H
;y
H
)






==
==
5
2
4.
5
2
2
5
1
3.
5
2
1
H
H
y
x

H(-
5
1
;
5
2
).
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân
đờng cao AH của tam giác.
Giải
Phơng trình đờng thẳng BC:
59
5
24
2


=
+
+
yx



: 2x-3y+19 =0.
M
0

A(0;1) suy ra k
0
=-
( )
2
0
n

=-
( )
2
2
32
193
+
+
=-
13
16
.
Suy ra tọa độ của H :





==
==
13
61

)3.(
13
16
1
13
32
2.
13
16
0
H
H
y
x


H(
13
61
;
13
32

).
3.4.Các hệ quả khác
*hệ quả 2
Hai điểm M
1
và M
2

cùng phía đối với đờng thẳng

:


(M
1
).

(M
2
) > 0.
*hệ quả 3
Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M,

) =MH =
( )
n

=
22
BA
CByAx
+
++
.
Từ các hệ quả trên và phép chiếu theo phơng

v
lên đờng thẳng ta chứng

minh đợc định lí 5 sau đây. Nội dung và ý nghĩa của định lí 5 là : khi biết phơng
trình ba cạnh của tam giác, ta dựa vào véc tơ pháp tuyến để viết đợc phơng trình
đờng phân giác trong của một góc trong tam giác mà không cần giải tìm tọa độ
ba đỉnh để xét dấu.
ký hiệu
Với
a
= (a
1
, a
2
) và
b
= (b
1
, b
2
) ta ký hiệu T =
b
a
=
21
21
bb
aa
= a
1
b
2
-

a
2
b
1
là định thức cấp hai tạo bởi
a
và
b
.
*Định lí 5
Cho một tam giác mà ba cạnh có phơng trình :
8
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
D
1
: A
1
x +B
1
y+C
1
=0; D
2
: A
2
x +B
2
y +C
2
=0; D

3
: A
3
x +B
3
y +C
3
=0. Gọi d
1
là đ-
ờng phân giác trong của góc đối diện cạnh

1
. Khi đó
a)Nếu T
1
=
2
1
n
n
.
3
1
n
n
< 0 thì phơng trình d
1
là :
( ) ( )

3
3
2
2
n
D
n
D
+=
;
b) Nếu T
1
=
2
1
n
n
.
3
1
n
n
> 0 thì phơng trình d
1
là :
( ) ( )
3
3
2
2

n
D
n
D
=
.
Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:
Cho D
1
: 3x + 4y 6 = 0 ; D
2
: 4x +3y 1 = 0 ; D
3
: y = 0 . Gọi A = D
1


D
2
;
B = D
2


D
3
; C = D
3

D
1
. Hãy viết phơng trình đờng phân giác trong của góc
A. (Đề 16 Bộ đề thi tuyển sinh)
Ta sẽ giải ví dụ 3 trớc và chứng minh định lí 5 sau:
Giải : Do A đối diện với D
3
nên ta xét T
3
=
2
3
n
n
.
1
3
n
n
=
43
10
.
34
10
= 12 > 0.
Do đó phơng trình đờng phân giác trong của góc A là
d
3
:

2222
43
643
34
134
+
+
=
+
+
yxyx


d
3
: x + y 1 = 0.
(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phơng trình d
3
theo phơng pháp cũ).

Bây giờ ta chứng minh định lí 5
Gọi A, B, C lần lợt là các đỉnh của tam giác đối diện
với các cạnh D
1
, D
2
, D
3
và d
1

là đờng phân giác trong của
góc A.
- Phép chiếu theo phơng
);(
333
ABu
=
lên D
2
biến B thành
A, ta có:







=
=
)(
.
)(
.
)(
3
23
2
3
23

2
A
nu
BD
yy
B
nu
BD
xx
BA
BA
nhân các vế lần lợt với A
1
, B
1
cộng
lại và cộng thêm C
1
, và do B thuộc D
1
ta có:
D
1
(A) = -
)(
.
2
23
1331
BD

nu
BABA

= -
)(
.
.
2
32
31
BD
un
un
(a)
- Tơng tự (đối với C):
D
1
(A) = -
)(
.
.
3
23
21
CD
un
un
(b)
- Với chú ý rằng
2332

.. unun
=
thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:
(D
1
(A))
2
= -
)()(
).(
).).(.(
32
2
32
2131
CDBD
un
unun
> 0

T
1
.D
2
(B)D
3
(C) < 0. (c)
- Ta giả thiết M thuộc d
1
và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng),

khi đó: d(M, D
2
) = d(M, D
3
) (d)
đồng thời



>
>
0)().(
0)().(
33
22
CDMD
BDMD
hoặc



<
<
0)().(
0)().(
33
22
CDMD
BDMD

D
2
(M)D
3
(M)D
2
(B)D
3
(C) > 0 (e)
9