123doc de thi hoc sinh gioi toan lop 11 pps (1)

Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

PHẦN 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
THUẦN GIÁO KHOA:
1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghòch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến
của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y   2 x  4 x  5

x2
5

b) y 
x
4
4

c) y  x 2  4 x  3

d) y  x 3  2 x 2  x  2

e) y  (4  x )( x  1)2

f) y  x 3  3 x 2  4 x  1

1 4
x  2x2 1
4
2x 1
k) y 
x5

h) y   x 4  2 x 2  3

i) y 

2

g) y 

l) y 

x 1
2 x

2 x 2  x  26
1
o) y   x  3 
x 2
1 x
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
n) y 

a) y  6 x 4  8 x 3  3 x 2  1
d) y 

2x 1
x2

b) y 
e) y 

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
x2 1
x2  4
x

x2  3x  2

1 4 1 2
x  x 2

10
10
1
m) y  1 
1 x
p) y 

c) y 

4 x 2  15 x  9
3x
x2  x  1
x2  x  1

f) y  x  3  2 2  x

1


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

g) y  2 x  1  3  x

h) y  x 2  x 2

i) y  2 x  x 2

 


k) y  sin 2 x    x  
 2
2

 

l) y  sin 2 x  x    x  
 2
2

Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số y  f ( x, m ) , m là tham số, có tập xác đònh D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:
 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
 a  0
   0

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   

 a  0
   0

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
b
)
2a
 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a,
ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:
  0

 x1  x2  0   P  0
S  0

  0

 0  x1  x2   P  0
S  0

 x1  0  x2  P  0

MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP
1. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác
định).

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
 Nếu y '  ax 2  bx  c (a  0) thì:
+ y '  0, x  R  a  0


  0

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
+ y '  0, x  R  a  0


  0

2


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

 '  0
 y '  0, x  
a  0
y '  ax 2  bx  c
 '  0
 y '  0, x  

a  0

y'

ad  bc
(cx  d )2

 d
 y '  0, x     ad  bc  0
 c
 d
 y '  0, x     ad  bc  0
 c

2. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
Ta có: y  f ( x )  3ax 2  2 bx  c .

Cách 1:
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b )  y  0, x  (a ; b ) và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
 Nếu bất phương trình f ( x)  0  h( m)  g( x )
(*)
thì f đồng biến trên (a ; b )  h(m )  max g( x )
(a ; b )

 Nếu bất phương trình f ( x)  0  h( m)  g( x )

(**)

thì f đồng biến trên (a ; b )  h(m )  min g( x )
(a ; b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x )  0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t  x a .
Khi đó ta có: y  g(t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a  0


– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ; a)  g(t )  0, t  0  a  0    0
  0
S  0
 P  0
a  0


– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( a; )  g(t )  0, t  0  a  0    0
  0
S  0
P  0
b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b )  y  0, x  (a ; b ) và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .

Trường hợp 1:
 Nếu bất phương trình f ( x)  0  h( m)  g( x )

(*)

thì f nghịch biến trên (a ; b )  h(m )  max g( x )
(a ; b )

 Nếu bất phương trình f ( x)  0  h( m)  g( x )

(**)

thì f nghịch biến trên (a ; b )  h(m )  min g( x )
(a ; b )

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
3


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x )  0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t  x a .
Khi đó ta có: y  g(t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a  0
  0
a  0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ; a)  g(t )  0, t  0  
 
  0
S  0
 P  0
a  0
  0
a  0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( a; )  g(t )  0, t  0  
 
  0

S  0
 P  0

Cách 2: dùng phương pháp hàm số (cho bài toán có m bậc 1)
h(m)  g ( x)  h(m)  g ( x ) min
h(m)  g ( x)  h(m)  g ( x ) max

Cách 3: tổng quát

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
4


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304
  '  0

 a  0
(;  ]    '  0

 af ( )  0
  S  2



a0

  '  0


 a  0
[ ; )    '  0

 af ( )  0
  S  2

  '  0

 a  0
(;  ]  [  ; )    '  0

af ( )  0
 af (  )  0


 af ( )  0
 [ ;  ]  
 af (  )  0
  '  0

 a  0
(;  ]    '  0

 af ( )  0
 S  2



a0

  '  0

 a  0
[ ; )    '  0

af ( )  0
  S  2

 '  0

a  0
(;  ]  [  ; )     '  0

  af ( )  0
  af (  )  0


af ( )  0
 [ ;  ]  
af (  )  0

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
5


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
3. Tìm điều kiện để hàm số y 

Võ Thanh Bình:0917.121.304

ax  b
đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
cx  d

d
c
: ad  bc  0
d
(a; )    
c
d
(; )    
c
: ad  bc  0
d
(a; )    
c
(; )    

4. Tìm điều kiện để hàm số y 

ax 2  bx  c
(2), ( a, d  0)
dx  e

a) Đồng biến trên ( ; ) .
b) Đồng biến trên ( ; ) .
c) Đồng biến trên ( ;  ) .

 e 
adx 2  2aex  be  dc
f ( x)
,
y
'



2
2
d
 
 dx  e 
 dx  e 

Tập xác định: D  R \ 

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
6


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Nếu: f ( x )  0  g( x )  h(m) (i)
Nếu bpt: f ( x )  0 khơng đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t  x   .

Khi đó bpt: f ( x )  0 trở thành: g(t )  0 , với:
g(t )  adt 2  2a( d  e)t  ad 2  2 ae  be  dc

a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )
 e

  d 
 g( x )  h( m), x  
 e
 
 d
h( m)  min g( x )
( ; ]


a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )
 e

  d 
 g(t )  0, t  0 (ii)
a  0
  0
a  0
(ii )  
 
  0
S  0
P  0

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )

 e

  d 
 g( x )  h(m ), x  

 e

  d 
 g(t )  0, t  0 (iii)

 e
 
 d
h( m)  min g( x )
[ ;  )


a  0
  0
a  0
(iii )  
 
  0
S  0
 P  0

c) (2) đồng biến trên khoảng ( ;  )

 e

  d   ;  
 g( x )  h(m ), x  ( ;  )
 e
   ;  
 d
 h(m )  min g( x )
[ ;  ]


5. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k
cho trước.

 f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 )  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  a  0

  0

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2

(1)

(2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
BÀI TẬP 1
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập

xác đònh) của nó:

a) y  x 3  5 x  13

b) y 

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
x3
 3x 2  9 x  1
3

c) y 

2x 1
x2

7


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
2
x  2x  3
x 2  2mx  1
d) y 
e) y  3 x  sin(3 x  1)
f) y 
x 1
xm
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập
xác đònh) của nó:

a) y  5 x  cot( x  1)

b) y  cos x  x

c) y  sin x  cos x  2 2 x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh)

của nó:
a) y  x 3  3mx 2  (m  2) x  m b) y 

mx  4
xm
Bài 4. Tìm m để hàm số:
d) y 

e) y 

x 3 mx 2

 2x 1
3
2

c) y 

xm
x m

x 2  2mx  1

xm

f) y 

x 2  2mx  3m 2
x  2m

a) y  x 3  3 x 2  mx  m nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

1 3 1 2
x  mx  2 mx  3m  1 nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2
1
c) y   x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
Bài 5. Tìm m để hàm số:
b) y 

x3
a) y 
 (m  1) x 2  (m  1) x  1 đồng biến trên khoảng (1; +).
3
b) y  x 3  3(2m  1) x 2  (12 m  5) x  2 đồng biến trên khoảng (2; +).

mx  4
(m  2) đồng biến trên khoảng (1; +).
xm
xm
d) y 

đồng biến trong khoảng (–1; +).
x m
c) y 

e) y 

x 2  2mx  3m 2
đồng biến trên khoảng (1; +).
x  2m

f) y 

2 x 2  3 x  m
nghòch biến trên khoảng
2x 1

 1

  ;   .
 2


BÀI TẬP 2
Bài 1.

1
3

Cho hàm số y  (m  1) x 3  mx 2  (3m  2) x (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m  2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  4
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0) .
Bài 3.

Cho hàm số y  2 x 3  3(2m  1) x 2  6m( m  1) x  1 có đồ thị (Cm).

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
8


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )

Võ Thanh Bình:0917.121.304

Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m ) x  m  2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K  (0; ) .

Bài 4.

Bài 5.

1

3

Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  ( m  1) x 2  2 x  1 (1) ( m  1) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K  ( ;2) .
Bài 6.

1
3

Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  ( m  1) x 2  2 x  1 (1) ( m  1) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K  (2; ) .
Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài 8. Cho hàm số y  2 x 3  3mx 2  1 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1  1 .
Bài 7.

Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  3m  1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

Bài 9.

Bài 10. Cho hàm số y 

mx  4
xm

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1) .
Bài 11. Cho hàm số y 

2 x2  3x  m
(2).
x 1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng ( ; 1) .
Bài 12. Cho hàm số y 

2 x2  3x  m
(2).
x 1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; ) .
Bài 13. Cho hàm số y 

2 x2  3x  m
(2).
x 1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .
Bài 14. Cho hàm số y 

x 2  2mx  3m 2
(2).
2m  x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( ;1) .
Bài 15. Cho hàm số y 

x 2  2mx  3m 2
(2).
2m  x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; ) .
Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
9


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác
đònh do đề bài chỉ đònh.
 Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
 Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp

tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

x3
a) x 
 sin x  x , với x  0
b)
6

c) x  tan x, với 0  x 
d)
2
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
tan a a

a)
 , với 0  a  b 
b)
tan b b
2

c) a  tan a  b  tan b, với 0  a  b 
2
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

2x

a) sin x 

, với 0  x 

2

2
1

sin x  tan x  x, với 0  x 
3
3
2

sin x  tan x  2 x, với 0  x 
2

a  sin a  b  sin b, với 0  a  b 


2

x3
x3 x5
b) x 
 sin x  x  
, với x  0
6
6 120


2

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
c) x sin x  cos x  1, với 0  x 

a) e x  1  x , với x  0

b) ln(1  x )  x, với x  0

1
, với x  0
d) 1  x ln x  1  x 2  1  x 2
1 x
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
7
a) tan 550  1, 4
b)  sin 20 0 
c) log 2 3  log3 4
3
20
1 x
HD: a) tan 550  tan(450  10 0 ) . Xét hàm số f ( x ) 
.
1 x
c) ln(1  x )  ln x 





b) Xét hàm số f ( x )  3 x  4 x 3 .

 1 1
 1 1
1
7
f(x) đồng biến trong khoảng   ;  và ,sin 200 ,    ;  .
 2 2
3
20  2 2 
c) Xét hàm số f ( x )  log x ( x  1) với x > 1.
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
10


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

PHẦN 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
THUẦN GIÁO KHOA:
I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D  R) và x0  D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trò của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
(a; b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
11

Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
a) y  3 x 2  2 x 3

x4
 x2  3
2
 x2  3x  6
g) y 
x2
d) y 

b) y  x 3  2 x 2  2 x  1
e) y  x 4  4 x 2  5

3x 2  4 x  5
h) y 
x 1

Võ Thanh Bình:0917.121.304
1
c) y   x 3  4 x 2  15 x
3
x4
3
f) y  
 x2 
2
2
2

x  2 x  15
i) y 
x 3

Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:

4x2  2x 1

a) y  ( x  2)3 ( x  1)4

b) y 

d) y  x x 2  4

e) y  x 2  2 x  5

2x2  x  3

c) y 

3x 2  4 x  4
x2  x  1

f) y  x  2 x  x 2

Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
3

3

2

x2
2x 1

a) y  x  1

b) y 

d) y  x 2  5 x  5  2 ln x

e) y  x  4sin 2 x

c) y  e x  4e  x
f) y  x  ln(1  x 2 )

Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:

 Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d có cực trò  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x0) bằng hai cách:
+ y ( x0 )  ax03  bx0 2  cx0  d
+ y ( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.

ax 2  bx  c
P( x )
=

(aa 0) có cực trò  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
a' x  b'
Q( x )
b'
phân biệt khác  .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x0) bằng hai cách:
P ( x0 )
P '( x 0 )
hoặc y ( x0 ) 
y ( x0 ) 
Q ( x0 )
Q '( x 0 )

 Hàm số y 

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí
Vi–et.
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
A. Kiến thức cơ bản
 Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt.
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
12


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304

 Hoành độ x1 , x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y  0 .
 Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích y  f ( x ).q( x )  h( x) .
– Suy ra y1  h( x1 ), y2  h( x2 ) .
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y  h( x ) .
 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1 : y  k1 x  b1 , d2 : y  k2 x  b2 thì tan a 

k1  k2
1  k1k2

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc)
với đường thẳng d : y  px  q .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1
p

– Giải điều kiện: k  p (hoặc k   ).
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
d : y  px  q một góc a .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:

kp
 tan a . (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: k  tan a )
1  kp

3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại
hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện S IAB  S .
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S
cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện S IAB  S .
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
13


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304


– Giải điều kiện:   d .
I  d

5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: d ( A, d )  d ( B, d ) .
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm
A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1  (; ) hoặc K2  ( ; ) .
y '  f ( x )  3ax 2  2bx  c .

Đặt t  x a . Khi đó: y '  g(t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2 b  c
Hàm số có cực trị thuộc K1  (; )
Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )
 f ( x )  0 có nghiệm trên ( ; ) .
 g(t )  0 có nghiệm t < 0

Hàm số có cực trị thuộc K2  ( ; )
Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )
 f ( x )  0 có nghiệm trên ( ; ) .
 g(t )  0 có nghiệm t > 0

P  0

  '  0
 
S  0
  P  0

P  0
  '  0
 
S  0
  P  0

9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả:
a) x1    x2

b) x1  x2  

c)   x1  x2

y '  f ( x )  3ax 2  2bx  c .

Đặt t  x a . Khi đó: y '  g(t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2 b  c

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
14


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

a) Hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả x1    x2
 g(t )  0 có hai nghiệm t1 , t2 thoả t1  0  t2  P  0
b) Hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả x1  x2  
 '  0

 g(t )  0 có hai nghiệm t1 , t2 thoả t1  t2  0  S  0
 P  0
c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả   x1  x2
 '  0

 g(t )  0 có hai nghiệm t1 , t2 thoả 0  t1  t2  S  0
 P  0

x  0

Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y  f ( x )  ax 4  bx 2  c  y '  0  

2
x  

A. Kiến thức cơ bản
 Hàm số ln nhận x  0 làm 1 điểm cực trị.
 Hàm số có 1 cực trị  phương trình y  0 có 1 nghiệm.   0
 Hàm số có 3 cực trị  phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt.   0



 

 Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A  0; c  , B   ; a 2  b  c , C



 ; a 2  b  c thì ABC cân

tại A.
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác
- tam giác vng (cân)
- tam giác đều
- tam giác có góc
- tam giác nội tiếp đường tròn bán kính
- tam giác ngoại tiếp đường tròn bán kính
- tam giác có diện tích
- … làm sao điều kiện đề bài tạo ra biểu thức có chứa các tọa độ cực trị

BÀI TẬP 1
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu :

a) y  x 3  3mx 2  3(m2  1) x  m 3
c) y 

x 2  m(m 2  1) x  m 4  1
xm

b) y  2 x 3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1
d) y 

x 2  mx  m  2

x  m 1

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) y  (m  2) x 3  3 x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
b) y  x 3  3(m  1) x 2  (2 m2  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu.
c) y  x 3  3mx 2  (m 2  1) x  2 đạt cực đại tại x = 2.
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
15


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

1
d) y  mx 4  2(m  2) x 2  m  5 có một cực đại x  .
2
2
x  2mx  2
e) y 
đạt cực tiểu khi x = 2.
xm
x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
f) y 
có cực đại, cực tiểu.
x 1
x2  x  m
g) y 

có một giá trò cực đại bằng 0.
x 1
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:

a) y  x 3  3 x 2  3mx  3m  4
c) y 

 x 2  mx  5
x 3

b) y  mx 3  3mx 2  (m  1) x  1
d) y 

x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
x 1

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y  ax 3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng

4
1
tại x =
27
3

b) y  ax 4  bx 2  c có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x =

3.

x 2  bx  c
đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.
x 1
ax 2  bx  ab
d) y 
đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
bx  a
ax 2  2 x  b
e) y 
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
x2 1
Bài 5. Tìm m để hàm số :
c) y 

a) y  x 3  2(m  1) x 2  (m 2  4 m  1) x  2(m2  1) đạt cực trò tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 1 1

 (x  x ) .
x1 x2 2 1 2

1 3
x  mx 2  mx  1 đạt cực trò tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  x2  8 .
3
1
1
c) y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  đạt cực trò tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  2 x2  1 .
3
3
b) y 

Bài 6. Tìm m để hàm số :

x 2  mx  m  2
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
x  m 1
x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
b) y 
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực tiểu
x 1
đạt giá trò nhỏ nhất.
x2  3x  m
c) y 
có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả M  m  4 .
x4
a) y 

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
16


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
2 x2  3x  m  2
d) y 
có yCĐ  yCT  12 .
x2

Võ Thanh Bình:0917.121.304

Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số :

a) y   x 3  mx 2  4 có hai điểm cực trò là A, B và AB 2 

900m 2
.
729

b) y  x 4  mx 2  4 x  m có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O
làm trọng tâm.
x 2  mx  m  2
c) y 
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai
xm
điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.

x 2  mx
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
1 x
 x 2  2 mx  5
e) y 
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng
x 1
y = 2x.
x2  2x  m  3
f) y 
có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
xm
d) y 

Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số :

a) y  2 x 3  mx 2  12 x  13 có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b) y  x 3  3mx 2  4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
c) y  x 3  3mx 2  4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng
(d): 3 x  2 y  8  0 .

x 2  (2m  1) x  m 2  1
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d):
x 1
2 x  3y  1  0 .

d) y 

Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số :

x 2  (m  1) x  2 m  1
a) y 
có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng
xm
toạ độ.
2 mx 2  (4m 2  1) x  32 m2  2m
b) y 
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ hai và
x  2m
điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
mx 2  (m 2  1) x  4m 2  m
c) y 
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất và
xm

điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d) y 

x 2  (2m  1) x  m 2  1
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung).
x 1

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
17


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
Bài 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a) y  x 3  2 x 2  x  1

b) y  3 x 2  2 x 3

2x2  x 1
d) y 
x3

x2  x  1
e y
x2

c) y  x 3  3 x 2  6 x  8

Bài 11. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò

của đồ thò hàm số:
3

2

2

a) y  x  3mx  3(m  1) x  m

3

c) y  x 3  3(m  1) x 2  (2m 2  3m  2) x  m(m  1)

x 2  mx  6
b) y 
xm
2
x  mx  m  2
d) y 
x  m 1

Bài 12. Tìm m để hàm số:

a) y  2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với
đường thẳng y = –4x + 1.
b) y  2 x3  3(m  1) x 2  6 m(1  2m ) x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c) y  x 3  mx 2  7 x  3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.

d) y  x 3  3 x 2  m 2 x  m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
(): y 

1
5
x .
2
2

BÀI TẬP 2
Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3(1  m 2 ) x  m3  m 2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 2. Cho hàm số y   x 3  (2m  1) x 2  (m 2  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Bài 1.

Bài 3.

1
3

Cho hàm số y  x 3  mx 2  (2m  1) x  3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Bài 4. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1 .

Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài 6. Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3m  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau
Bài 5.

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
18


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
qua đường thẳng d: x  8y  74  0 .

Võ Thanh Bình:0917.121.304

Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x  2 y  5  0 .

Bài 7.

Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  9 x  m  2 (1) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau

Bài 8.

1
2

qua đường thẳng d: y  x .
Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .

Bài 9.

Bài 10. Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m ) x  m  2 , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
1
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  .
3
1
Bài 11. Cho hàm số y  x 3  mx 2  mx  1 , với m là tham số thực.
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  8 .
1
1
Bài 12. Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  , với m là tham số thực.
3
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  2 x2  1 .

Bài 13. Cho hàm số y  4 x 3  mx 2  3 x .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2 .
1
Bài 14. Cho hàm số y  x 3  ax 2  3ax  4 (1) (a là tham số).
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1.
2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:
x12  2ax2  9a
a2



a2
x2 2  2ax1  9a

2

(2)

Bài 15. Cho hàm số y  2 x 3  9mx 2  12 m2 x  1 (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x 2CÑ  xCT .
Bài 16. Cho hàm số y  (m  2) x 3  3 x 2  mx  5 , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là

các số dương.
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
19


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

1
1
Bài 17. Cho hàm số y  x 3  mx 2  ( m 2  3) x
3
2

(1), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1 , x2 với x1  0, x2  0 và
x12  x22 

5
.
2

Bài 18. Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m ) x  m  2 (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành

độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Bài 19. Cho hàm số y 

m 3
x  ( m  2) x 2  ( m  1) x  2
3

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1  x2  1 .
Bài 20. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2

(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3 x  2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị
nhỏ nhất.
Bài 21. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  m 3  m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ
O.
Bài 22. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: y  4 x  3 .
Bài 23. Cho hàm số y  x 3  mx 2  7 x  3 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 5.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông

góc với đường thẳng d: y  3 x  7 .
Bài 24. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với
đường thẳng d: x  4 y  5  0 một góc a  450 .
Bài 25. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2

(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có
phương trình ( x  m)2  ( y  m  1)2  5 .

Bài 26. Cho hàm số y  x 3  3mx  2

(Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .
2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của  Cm  cắt đường tròn tâm I (1;1) , bán
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
20


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất .
Bài 27. Cho hàm số y  x 3  6 mx 2  9 x  2m (1), với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

4
5

.

Bài 28. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  ( m  6) x  m  2 (1), với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1; 4) đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

12
265

.

Bài 29. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  1 (1), với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
 1 11 
 đến
2 4 

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I  ;

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất.
Bài 30. Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  3m(m  2) x  m3  3m 2
(Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2
điểm cực trị là không đổi.
Bài 31. Cho hàm số y  2 x 2  3( m  1) x 2  6mx  m3 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB  2 .
Bài 32. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3( m 2  1) x  m3  4m  1
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O.
Bài 33. Cho hàm số y  2 x 2  3( m  1) x 2  6mx  m3
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại
C, với C(4;0) .
Bài 34. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m

(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  4 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho 
AOB  120 0 .
Bài 35. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m 2  m  1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ).
Bài 36. Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  12mx  3m  4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0.


9





2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C  1;   lập
2
thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
21


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
3
2
Bài 37. Cho hàm số y  f ( x )  2 x  3(m  3) x  11  3m ( Cm ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Tìm m để (Cm ) có hai điểm cực trị M1 , M2 sao cho các điểm M1 , M2 và B(0; –1) thẳng hàng.
1
Bài 38. Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m 2  1) x  1 (Cm ) .
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2 .
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCÑ  yCT  2 .
1
4
Bài 39. Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  (m  1)3
3

3

(1) (m là tham số thực).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía
ngoài) của đường tròn có phương trình (C): x 2  y 2  4 x  3  0 .
Bài 40. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  m3 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  2 .
2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường
thẳng cố định.
1
Bài 41. Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m  1 (Cm ) .
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.
Bài 42. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 (1) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
Bài 43. Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng ( ;1) .

Bài 44. Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1; ) .
Bài 45. Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả mãn x1  1  x2 .
Bài 46. Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả mãn x1  x2  1 .
Bài 47. Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả mãn 1  x1  x2 .
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
22


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Võ Thanh Bình:0917.121.304
4
2
2
Bài 48. Cho hàm số y  x  2( m  m  1) x  m  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
Bài 49. Cho hàm số y 

1 4
3
x  mx 2 
2
2

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  3 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 50. Cho hàm số y   x 4  2mx 2  4
(Cm ) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  2 .

2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (Cm ) đều nằm trên các trục toạ độ.
Bài 51. Cho hàm số y  x 4  (3m  1) x 2  3 (với m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân
sao cho độ dài cạnh đáy bằng

2
lần độ dài cạnh bên.
3

Bài 52. Cho hàm số y  f ( x )  x 4  2( m  2) x 2  m 2  5m  5 (Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.
Bài 53. Cho hàm số y  x 4  2( m  2) x 2  m 2  5m  5
 Cm 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Bài 54. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  2m  m 4 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có diện tích S  4 .
Bài 55. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m 2  m có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –2.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 .
Bài 56. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m  1 có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .
Bài 57. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2
(Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .
2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại
3 9
5 5

tiếp đi qua điểm D  ;  .
Bài 58. Cho hàm số y  x 4  2(1  m2 ) x 2  m  1

(Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  0 .
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
23


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số
Bài 59. Cho hàm số y 

Võ Thanh Bình:0917.121.304

1 4
x  (3m  1) x 2  2( m  1) (Cm).
4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  0 .
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ
O.

PHẦN 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
THUẦN GIÁO KHOA:
1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).
 f ( x )  M , x  D
a) M  max f ( x )  
D
 x 0  D : f ( x 0 )  M
 f ( x )  m, x  D
b) m  min f ( x )  
D
x 0  D : f ( x0 )  m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (b), min f ( x )  f ( a) .
[ a;b ]

[ a;b ]

b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (a), min f ( x )  f ( b) .
[ a;b ]

[ a;b ]

Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a; b ]

m  min f ( x)  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a; b ]

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y  x 2  4 x  3

b) y  4 x 3  3 x 4

d) y  x 2  x  2

e) y 

x 1
x2  2 x  2
x2  x  1

1

( x  0)
h) y 
x
x2  x  1
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
g) y  x 2 

22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
c) y  x 4  2 x 2  2
f) y 
i) y 

2 x2  4 x  5
x2  1
x4  x2  1
x3  x

( x  0)

24


Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số

Võ Thanh Bình:0917.121.304

a) y  2 x3  3 x 2  12 x  1 trên [–1; 5]

b) y  3 x  x 3 trên [–2; 3]

c) y  x 4  2 x 2  3 trên [–3; 2]

d) y  x 4  2 x 2  5 trên [–2; 2]

3x  1
trên [0; 2]
x 3
4 x2  7x  7
g) y 
trên [0; 2]
x2

x 1
trên [0; 4]
x 1
1  x  x2
h) y 
trên [0; 1]
1  x  x2

e) y 

f) y 

i) y  100  x 2 trên [–6; 8]
k) y  2  x  4  x
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
2 sin x  1
1

a) y 
b) y 
c) y  2sin 2 x  cos x  1
2
sin x  2
cos x  cos x  1
d) y  cos 2 x  2sin x  1

e) y  sin 3 x  cos3 x

g) y  4 x 2  2 x  5  x 2  2 x  3

f) y 

x2 1
x4  x2  1

h) y   x 2  4 x  x 2  4 x  3

PHẦN 4 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
THUẦN GIÁO KHOA:
1. Đònh nghóa:
Điểm U  x0 ; f ( x0 )  đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)
chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thò tại
điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thò
2. Tính chất:
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f(x0) = 0 và f(x)
đổi dấu khi x đi qua x0 thì U  x0 ; f ( x0 )  là một điểm uốn của đồ thò hàm số.
 Đồ thò của hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) luôn có một điểm uốn và đó là
tâm đối xứng của đồ thò.

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:

a) y  x 3  6 x 2  3 x  2

b) y  x 3  3 x 2  9 x  9

c) y  x 4  6 x 2  3

x4
 2x2  3
e) y  x 4  12 x 3  48 x 2  10 f) y  3 x 5  5 x 4  3 x  2
4
Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
x3
8
a) y  x 3  3 x 2  3mx  3m  4 ; I(1; 2). b) y    (m  1) x 2  (m  3) x  ; I(1; 3)
3
3
2

c) y  mx 3  nx 2  1 ; I(1; 4)
d) y  x3  mx 2  nx  2 ; I  ; 3 
3

d) y 

x3
e) y    3mx 2  2 ; I(1; 0)
f) y  mx 3  3mx 2  4 ; I(–1; 2)
m

Bài 3. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ
/>
25