21 bai tap tich phan ham so huu ti co loi giai tran si tung

Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức

2

Câu 1.

x2

I 

2
1 x  7 x  12

dx

2

2

16
9 

 I   1 
dx =  x  16 ln x  4  9 ln x  3  1 = 1  25ln2  16ln3 .
x 4 x 3

1

2

Câu 2.

I 

1

 Ta có:

dx
5

x  x3
1
x 3 ( x 2  1)



 I    ln x 


5

Câu 3.

I 

4

Câu 4.



I 

1 1
x


x x3 x2  1

2
1
3
1
3
 ln( x 2  1)   ln 2  ln 5 
2
2
2
8
2x
1
1

2

3x 2  1

3

2

x  2 x  5x  6

dx

2 4 13 7 14
 I   ln  ln  ln 2
3 3 15 6 5

xdx

1

0

( x  1)3
x
x 11
1
1

 ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx 
 Ta có:
3
3
0
8

( x  1)
( x  1)

Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.

I 
1

Câu 6.

I 

( x  1)2
(2 x  1)4

dx

 7 x  199

101
0  2 x  1

1

 7x  1 
 I  

 2x  1 
0

99

1  x 1 
 Ta có: f ( x )  . 

3  2x  1 

I 

Câu 8.

I 

0 (x

1

5x
2

2

 4)

x7

0 (1 

x 2 )5

99

 7x  1 
1 1  7x  1 
 
d


 2 x  12 9 0  2 x  1   2 x  1 
dx

100

Câu 7.

3
 x  1 
1  x 1 
.
 I  
 C
9  2x  1 
 2x  1 

dx

1 1  7x  1 
 



9 100  2 x  1 
1

2

1  100 
1

2  1
0 900

1
8

dx

 Đặt t  x 2  4  I 

dx

 Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx  I 
Trang 1

1 2 (t  1)3
1 1
dt  .

2 1 t5
4 25

Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng

1

Câu 9.

I   x 5 (1  x 3 )6dx
0

 Đặt t  1  x 3  dt  3x 2dx  dx 
4

Câu 10. I 

3



1

1

2

x.( x10  1)2

1
2

2

 I 

dx
7
x
(1

x
)
1

Câu 13. I 

3



1
2

3

1

t



1

3

  t  t 2  1 dt  4 ln 2

1





x 4 .dx

5

1 128 1  t
dx . Đặt t  x 7  I  
dt
7
7
7
t
(1

t
)

x
.(1

x
)
1
1

1  x7

Câu 12. I  

11 6
1  t 7 t8 
1
t
(1

t
)
dt

  

30
3  7 8  168

1 32
dt
 I   5 10

. Đặt t  x  I  
2
2
5 1 t(t  1)2
1 x .( x  1)

dx

Câu 11. I  

3x 2

I 

 Đặt t  x 2  I 

dx
x ( x 4  1)

2

dt

(1  x 7 ).x 6

dx
6

x (1  x 2 )

1

 Đặt : x 

1
 I 
t

3
3



1

t6

dt 
t2  1

1

 4 2
1 
117  41 3 

t  t 1 2
 dt =
135
12

t

1


3



3

2

x 2001

Câu 14. I  

1 (1 

2

 I 

1

x 2 )1002

.dx
2

x 2004
x 3 (1  x 2 )1002

Cách 2: Ta có: I 

1

1
2
.dx . Đặt t 

1

dt


dx .
1002
2
3
x
x

1 3 1
x  2  1
x


.dx  

11
x 2000 .2 xdx
. Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx

2
2000
2
2
2 0 (1  x )
(1  x )
1000

1 2 (t  1)1000
1 2 1
 I   1000 2 dt    1  
21 t
2 1 t 
t
2

Câu 15. I  

1  x2

4
1 1 x

 Ta có:
3
2

1 x

2

1  x4

 1
1
d 1   
 t  2002.21001

dx
1



1

x 2 . Đặt t  x  1  dt   1  1  dx

2
1
x
2
x


x  2
x

3
2

3
 2 1 

1
t 2
1


dt

.ln

ln
 I 2


2


2 2 1t  2 t  2 
2 2
t  2 1 2 2  2  1 
1 t 2
dt

1

1

1

Trang 2


Trần Sĩ Tùng
2

Bài tập Tích phân

1  x2

Câu 16. I  

1 1

x4

1 x

dx
1

2

5
2

1


dt
1
1 
 x
. Đặt t  x   dt   1  2  dx  I    2
.
1
x
2
x
t

2
1 x


2
x  2
x
du
5
5
Đặt t  2 tan u  dt  2
; tan u  2  u1  arctan 2; tan u   u2  arctan
2
2
2

cos u

 Ta có:

2

4

u2

2
 I
2
2

Câu 17. I  

u1

1 x

2

3
1xx

1

Câu 18. I  

x4  1

0

x6  1

1

1

1
2
1
4
x
dx . Đặt t  x   I  ln
 Ta có: I  
1
x
5
1
x
x
2

dx

dx

x6  1

x4  1

 Ta có:


2
2
5
(u2  u1 ) 
 arctan  arctan 2 
2
2 
2


 du 



( x 4  x 2  1)  x 2
x6  1



x4  x2  1
( x 2  1)( x 4  x 2  1)



x2
x6  1



1
x2  1



x2
x6  1

1 1 d( x3 )
 1  
 I   2 dx   3 2 dx   . 
3 0 (x )  1
4 3 4 3
0 x 1
Câu 19.

1

3
3

x2



I

x4 1

0

I

3
3



0

x

2

( x  1)( x  1)
1
0

xdx
4

2

x  x 1

1 5
2



 Ta có:

1
0t

dx 

x2  1

2

x 1
4

2

x  x 1



0

1
1 
1



 2
 dx  ln(2  3) 
2
4
12
 x 1 x 1 
1 1 dt
11

2 0 t 2  t  1 2 0

2

1

2
 1  3

t    
 2  2 

x2 

1
x2
1
x2

. Đặt t  x 

1


1
1 
 dt   1   dx
x
x2 



dt

dt

dx
1



1
2

3
3 

 Đặt t  x 2  I 

.

x4  x2  1

1

 I 

2

2

Câu 20. I  

Câu 21. I 

dx

. Đặt t  tan u  dt 

4

du
2

cos u

 I   du 

Trang 3

0


4

2




6 3