Phương pháp tính tích phân các hàm số lượng giác và vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (879.96 KB, 33 trang )
Netschool.edu.vn
Phương pháp tính tích phân CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ VÔ TỶ
TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC
1. Thuộc các nguyên hàm :
1
a/ sin ax+b dx cos ax+b
a
sin ax+b
dx
ln
c
os
ax+b
cos ax+b
b/
1
c / cos ax+b dx sin ax+b
a
cos ax+b
d/
dx ln sin ax+b
sin ax+b
2. Đối với : I f ( x)dx
a/ Nếu f(x)= R sin m x; cos n x thì ta chú ý :
- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )
- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )
- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức
lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi ....
3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một
số yếu tố sau :
- Biến đổi lượng giác thuần thục
- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm .
II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
2
a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I
sin 2x sin x
1 3 cos x
0
dx
sin 2x cos x
dx
1
cos
x
0
2
b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . I
KQ: 2 ln 2 1
Giải
2
2cos x 1 s inx dx
sin 2 x sin x
dx
a. I
1 3cos x
1 3cos x
0
0
2
1
t2 1
2
c
osx=
;s inxdx=- tdt
3
3
Đặt : t 1 3cos x
x 0 t 2; x t 1
2
2
t 1
2
1
1
2
3
2t 2 1
2 1
2
2 34
Khi đó : I
tdt
2
dt t 3 t
t
9
9 3
3
1 27
2
1
2
sin 2 x cos x
2sin x cos x
cos 2 x
dx
dx 2
s inxdx
1 cos x
1 cos x
cosx+1
0
0
0
2
b. I
2
2
1
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Netschool.edu.vn
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 2 t 1
Đặt : t 1 cosx
2
f ( x)dx t 1 dt t 2 1 dt
t
t
1
1
Do đó : I 2 f ( x)dx 2 t 2 dt 2 t 2 2t ln t
t
2
0
2
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
1
2
2
1 2ln 2 1
sin 2x
2
a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 . I
0
cos2 x 4sin 2 x
dx
KQ:
2
3
cos 3x
dx
sin x 1
0
2
b. CĐ Bến Tre – 2005 .
I
KQ: 2 3ln 2
Giải
sin 2x
2
a. I
dx . Đặt : t cos2 x 4sin 2 x t 2 cos2 x 4sin 2 x
cos x 4sin x
2
2
tdt
2sin
x
cos
x
8sin
x
cos
x
dx
3sin
2
xdx
sin
2
xdx
tdt
3
Do đó :
x 0 t 1; x t 2
2
2
0
2
2
Vậy : I f ( x)dx
0
2
2
2 tdt 2
2 2 2
dt t
31 t
31
3 1 3
cos 3x
dx .
sin x 1
0
2
b. I
Ta có : cos3x=4cos3 x 3cos x 4cos2 x 3 cosx= 4-4sin 2 x 3 cosx= 1-4sin 2 x cosx
1 4sin x cosxdx 1
cos3x
dx
1+sinx
1 s inx
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2 t 2
Đặt : t 1 s inx
1 4 t 12
dt 8 4t 3 dt
f ( x)dx
t
t
2
Cho nên : f ( x)dx
2
3
Vậy : I f ( x)dx 8 4t dt 8t 2t 2 3ln t 2 3ln 2
1
t
0
1
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
2
2
2
a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 .
I
0
sin xdx
sin 2 x 2 cos x.cos 2
x
2
Trang 2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
b. CĐ Y Tế – 2006 . I
2
sin x cos x
1 sin 2x
dx
KQ: ln 2
4
Giải
2
2
2
sin xdx
s inx
a. I
2
dx ln 1 cosx 2 ln 2
x
sin x cos x. 1 cosx 0 1+cosx
0 sin 2 x 2 cos x.cos 2
0
0
2
b. I
2
sin xdx
sin x cos x
1 sin 2x
2
dx
4
4
2
sin x cos x
s inx+cosx
2
sin x cos x
dx
s
inx+cosx
dx
1
4
Vì : s inx+cosx= 2 sin x ; x x 3 sin x 0
4 4
2
2
4
4
4
Do đó : sinx+cosx sinx+cosx
Mặt khác : d sinx+cosx cosx-sinx dx
d s inx+cosx
1
Cho nên : I
ln s inx+cosx 2 ln1 ln 2 ln 2
sinx+cosx
2
4
4
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
2
cos2x
2
I
a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 .
0
dx
KQ:
KQ:
1
ln 3
4
sin x cos x 3
3
1
32
cos2x
dx
1 2sin 2x
0
4
I
b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .
Giải
cos2x
2
a. I
0
sin x cos x 3
Cho nên : f ( x)dx
3
dx . Vì : cos 2 x cos2 x sin 2 x cosx+sinx cosx-sinx
cos2x
sinx-cosx+3
3
dx
cosx-sinx cosx+sinx dx
3
sinx-cosx+3
dt= cosx+sinx dx; x 0 t 2, x 2 t 4
Đặt : t s inx-cosx+3
f ( x)dx t 3 dt 1 3 1 dt
2
t3
t3
t
4
2
1
1
1 314 1
Vậy : I f ( x)dx 2 3 3 dt 2
t
t
t 4 t 2 32
0
2
1
dt 4 cos 2 xdx cos2xdx= dt
cos2x
4
dx . Đặt : t 1 2sin 2 x
b. I
1
2sin
2x
0
x 0 t 1; x t 3
4
4
Trang 3
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3
3 1
cos2x
1 dt 1
Vậy : I
dx ln t ln 3
1 2sin 2x
41 t 4
1 4
0
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :
4
4sin3 x
dx
1 cos x
0
2
I
a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .
b. CĐ Bến Tre – 2006 . I
KQ: 2
6
sin3x sin3 3x
0 1 cos3x dx
Giải
2 1 cos2 x
2
4sin3 x
1
2
a. I
dx 4
s inxdx=4 1 cosx s inxdx=4. 1 cosx 2 2
1 cos x
1 cosx
2
0
0
0
0
2
6
sin3x sin3 3x
dx .
1
cos3x
0
b. I
Ta có : sin 3x sin 3 3x sin 3x 1 sin 2 3x sin 3x.cos 2 3x .
1
dt=-3sin3xdx sin3xdx=- 3 dt
Đặt : t 1 cos3x
x 0 t 2; x t 1
6
6
Vậy :
0
1 t 1
1
1
1 1
f ( x)dx
dt t 2 dt t 2 2t ln t
32 t
31
t
3 2
1
2
2
1 1
2
1 ln 2
6 3
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
a. I =
2 3
3
sin 3 x sin x
cot gx dx
sin x
2
c. I =
b. I =
2
2
x)
4
dx
sin(
x)
4
sin(
2
sin x dx
4
d. I =
cos 2 x(sin
4
x cos 4 x)dx
0
0
Giải
a. I =
2 3
3
2
1
s inx 3 1
sin x sin x
sin 2 x
cot gx dx
cot xdx
sin x
s inx
2
3
3
2
3
2
3 1 sin 2 x cot xdx cot x cot xdx
3
1
3
Trang 4
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
b. I =
x)
4
dx
sin(
x)
4
sin(
2
2
cosx-sinx
cosx+sinx dx
2
d cosx+sinx
ln cosx+sinx 2 0
cosx+sinx
2
2
2
2
2
1 cos2x
1
1 cos4x
dx 1 2cos 2x
dx
2
4
2
0
0
4
sin x dx
c. I =
2
2
0
2
1
1
1
3
3 1
3
cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x 2
8
4
32
8
0 16
08 2
2
d. I =
cos 2 x(sin
4
x cos 4 x)dx . Vì : sin 4 x cos4 x 1 1 sin 2 2 x
2
0
Cho nên :
12
1
1
1
I 1 sin 2 2 x cos2xdx= cos2xdx- sin 2 2 x cos 2 xdx sin 2 x 2 sin 3 2 x 2 0
2
20
2
3
0
0
0
0
2
2
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau
2
a. I = sin
5
4
b. I =
xdx
6
0
3
c. I =
1
sin 2 x cot gx
2
tg 2 x cot g 2 x 2dx
d. */I = (
6
3
dx
cos x 3 sin x )dx
0
Giải
2
a. I = sin
0
5
2
2
xdx 1 cos 2 x sinxdx=- 1 2cos 2 x cos 4 x d cosx
2
0
0
2
1
2
cosx+ cos3 x cos5 x 2
3
5
0 15
4
b. I =
6
1
sin 2 x cot gx
dx .
Trang 5
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
1
2tdt 2 dx 2 dx 2tdt
sin x
sin x
Đặt : t cot x t 2 cot x
x t 3; x t 1
6
4
1
3
2tdt
3
Vậy : I
2 dt 2t
2
t
1
1
3
3
3 1
3
3
t anx-cotx 2 dx t anx-cotx dx
tg 2 x cot g 2 x 2dx
c. I =
6
6
Vì : tanx-cotx=
6
sinx cosx sin 2 x cos 2 x
cos2x
2
2cot 2 x
cosx sinx
sinxcosx
sin2x
t anx-cotx<0;x ;
3 3
6 4
Cho nên : x ; 2 x ; 2 cot 2 x
;
3 3
6 3
3 3
t anx-cotx>0;x ;
4 3
4
3
4
6
4
6
Vậy : I t anx-cotx dx t anx-cotx dx
3
cos2x
cos2x
1
dx
dx
sin2x
2
sin2x
4
ln sin 2 x 4 12 ln sin 2 x 3 ln 2
6
2
d. I = ( 3
0
Đặt : x
4
cos x 3 sin x )dx
2
(1)
t dx dt , x 0 t
2
;x
2
t 0
Do đó : I 3 cos t 3 sin t dt
2
2
0
0
2
3
2
sin t 3 cost dt
3
sin x 3 cosx dx
2
0
2
Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I 0 I 0
Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau
a.
3
4
4
tan xdx (Y-HN-2000)
b.
cos2x
0 sinx+cosx+2 dx (NT-2000)
cos 6 x
4 dx (NNI-2001)
sin x
2
c.
4
4
sin 2 x
0 cos6 x dx ( GTVT-2000) e.
2
4
d.
1 2sin 2 x
0 1 sin 2 x dx (KB-03)
4
sin 2 x
0 4 cos2 x dx
f.
Giải
2
sin 4 x 1 cos x
1
1
2
1
a. tan xdx . Ta có : f ( x) tan x
4
4
4
cos x
cos x
cos x
cos 2 x
2
3
4
4
4
Trang 6
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3
Do đó : I
4
3
1
dx
1
3
f ( x)dx
2
1
dx
1 tan 2 x
2 tan x x
4
2
2
cos x
cos x
cos x
4
4
4
3
1
4
2
3
t anx+ tan 3 x 2 3 2 2 3 2 3 2
3
12
3
12 3 12
4
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
f ( x) tan 4 x tan 2 x tan 2 x 1 1 tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x 1 1
3
3
3
4
4
4
4
3
dx
dx
Vậy : I tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x 1 1 dx tan 2 x.
dx
cos 2 x cos 2 x
1
2
1
3 1
I tan 3 x t anx+x 3 3 3 1
3 3
4 3 12
3
3
4
4
b.
cos2x
sinx+cosx+2 dx .
0
Ta có : f ( x)
sinx+cosx+9
cos x sin x cosx-sinx cosx+sinx
2
cos2x
3
2
sinx+cosx+9
sinx+cosx+9
3
3
4
cosx+sinx cosx-sinx dx 1
Do đó : I f ( x)dx
3
0
0 sinx+cosx+2
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 4 t 2 2,
Đặt : t s inx+cosx+2
dt cosx-sinx dx f ( x)dx t 2 dt 1 2 1 dt
2
t3
t3
t
Vậy :
2 2
1
1
1
1
1 1 22
1 1 2 1 2
I 2 2 3 dt 2
2
t
t
t t 3
3
2 2 2 2 3 9 3 2 2
sin t cost sin t cost dt sin t cost cost sin t dt f ( x)
sin t cost+9
sin t cost+9
4
2
cos 6 x
4 dx
sin x
2
c.
4
2
cos6 x 1 sin x 1 3sin 2 x 3sin 4 x sin 6 x
1
1
3 2 3 sin 2 x
Ta có : f ( x)
4
4
4
4
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
3
Trang 7
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Vậy : I 1 cot 2 x
2
2
dx
dx
1 cos2x
3
3
dx
dx
2
2
sin x sin x
2
4
2
2
4
4
4
1
1
5 23
1
cot 3 x 3cot x 3 x x sin 2 x 2
2
4
8 12
3
4
d.
4
sin x
1 cos x
1
1
1
dx
1
2
dx
dx
dx
dx
0 cos6 x 0 cos6 x
0 cos6 x cos4 x 0 cos4 x cos2 x 0 1 tan x cos2 x
4
2
2
4
4
4
1 tan 2 x
4
0
2
4
4
4
1
1
2
2
4
dx
1
tan
x
dx
1
2
tan
x
tan
x
d
tan
x
1 tan 2 x d t anx
2
2
cos x
cos x
0
0
0
2
1
1
1
8
1
t anx+ tan 3 x tan 5 x t anx- tan 3 x 4 tan 3 x tan 5 x 4
3
5
3
5
0 3
0 15
2
2
2
2
d 7 cos2x
sin 2 x
sin 2 x
2sin 2 x
3
e.
dx
dx
dx
ln 7 cos2x 2 ln
2
1 cos2x
4 cos x
7 cos2x
7 cos2x
4
0
0 4
0
0
0
2
1 2sin x
cos2 x
1 4 d 1 sin 2 x 1
1
f.
dx
dx
ln 1 sin 2 x 4 ln 2
1 sin 2 x
1 sin 2 x
2 0 1 sin 2 x
2
2
0
0
0
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :
2
4
4
2
2
a. sin 3 x cos 4 xdx
b.
0
sin 3 x
1 2cos3x dx
0
6
sin 2 x
cos 2 x
dx J
dx K
c. I
s
inx+
3
c
osx
s
inx+
3
c
osx
0
0
6
5
3
cos2x
dx
3 s inx
cosx-
3
2
Giải
a. sin x cos xdx 1 cos x cos x.s inxdx cos 6 x cos 4 x d cosx
2
2
3
2
4
2
0
4
0
0
1
2
1
cos7 x cos5 x 2
5
7
0 35
2
2
sin 3x
1 3sin 3x
1 2 d 1 2 cos 3x
1
1
dx
dx
ln 1 2 cos 3x 2 ln 3
b.
1 2cos3x
6 0 1 2 cos 3x
6 0 1 2 cos 3 x
6
6
0
0
sin x cos x
1
1
16
1
dx
dx
dx
c. Ta có : I J
201
20
3
0 s inx+ 3cosx
sin x
s inx+
cosx
3
2
2
6
2
2
6
Trang 8
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
x
d tan
1
1
1
1
2 6
Do :
.
x
x
x
x
sin x 2sin cos x+ tan 2cos 2
tan
3
2 6
6
2 6
2 6
2 6
x
d tan
6
1
1
1
x
2 6 1
Vậy : I
ln tan 6 ln 3 ln 3 (1)
20
2
4
x
2 6 0 2
tan
2 6
6 sin x 3cosx
sin x 3cosx
sin x 3cos x
dx
dx
s inx+ 3cosx
0 s inx+ 3cosx
0
6
- Mặt khác : I 3J
2
2
6
Do đó : I 3J s inx- 3cosx dx cosx- 3 s inx 6 1 3 (2)
0
0
3
3 1
1
I ln 3
I
J
ln
3
16
4
4
Từ (1) và (2) ta có hệ :
I 3J 1 3
J 1 ln 3 3 1
16
4
Để tính K ta đặt t x 3
Vậy : K
cos2t
1
3 1
dt I J ln 3
8
2
0 sint+ 3cost
6
cos t+3 3 sin t+3
2
2
Ví dụ 10. Tính các tích phân sau .
0
dt
4
2
1
a.
dx ( CĐ-99)
1 sin 2 x
0
b.
dx
2 s inx+cosx (ĐH-LN-2000)
0
10
10
4
4
sin x cos x sin x cos x dx (SPII-2000)
3
2
c.
dt dx x 3 ; t 0.x 5 t
2
2
3
6
cos 2t+3
6
3
0
d.
1
dx (MĐC-2000)
s inxsin x+
6
6
Giải
4
4
4
1
1
dx
dx
a.
2
0
1 sin 2 x
0
0 s inx+cosx
1
dx tan x 4 1
4
2 cos 2 x
0
4
2
b.
dx
2 s inx+cosx
.
0
x
1
1
x
2dt
dt
dx 1 tan 2 dx; dx
; x 0 t 0, x t 1
2
x
2
2
2
1 t
2
2 cos 2
2
1
1
1
1
2
2dt
2dt
.
dt
2
Vậy : I
2
2
2
2t
1 t 1 t
t 2t 3 0 t 12 2
0
0
2
1 t2 1 t2
Đặt : t tan
Trang 9
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
2
du; t 0 tan u
; t 1 tan u 2
dt 2
2
cos u
2
Đặt : t 1 2 tan u
2dt
2
2
f (t )dt
du 2du
2
2
cos 2u
2
1
tan
u
t
1
2
u2
u
2
Vậy : I 2du 2u 2 2 u2 u1 2 arxtan
arctan 2
u1
2
u1
sin
2
c.
10
x cos10 x sin 4 x cos 4 x dx
0
Ta có : sin10 x cos10 x sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x cos4 x sin 4 x cos6 x sin 6 x
cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos4 x sin 4 x cos 2 x sin 2 x
1
1 cos4x 1 cos8x 15 1
1
1
cos 2 2 x 1 sin 2 2 x cos 2 2 x sin 2 4 x
cos4x+ cos8x
16
2
32
32 2
32
4
1
15 1
1
15
15 1
Vậy : I cos4x+ cos8x dx
sin 4 x 2
sin 8 x 2
32 2
32
32 2 8
32.8
64
0
0
0
2
3
1
dx .
s inxsin x+
6
6
1
Ta có : x x sin x x sin x cosx-sinxco x = *
6
6
6
6
6 2
1
sin x cosx-sinxco x
1
6
6
2
2
2
Do đó : f ( x)
s inxsin x+
s inxsin x+
s inxsin x+
6
6
6
cos x+
cos x+
3
3
cosx
6 I f ( x)dx 2 cosx
6 dx 2 ln s inx ln sin x+
sinx
6
sinx
sin x
sin
x
6
6
6
6
d.
s inx
3
1 2
3
3
I 2 ln
ln
ln .
2 ln
2
2 3
2
sin x+
6 6
* Chú ý : Ta còn có cách khác
1
1
f(x)=
3
sin 2 x
1
s inxsin x+ s inx
s inx+ cosx
6
2
2
3
3
Vậy : I
2
1
dx
2
3 cot x sin x
6
6
2d
3 cot x
3 cot x
2
3 cot x
2 ln
3 cot x
3
2 ln
3
2
6
Ví dụ 11. Tính các tích phân sau
Trang 10
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
3
6
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
s inxcos3 x
a.
dx (HVBCVT-99)
1 cos 2 x
0
2
2
b.
cos x cos
2
2
2 xdx ( HVNHTPHCM-98)
0
4
4
sin 4 x
c.
dx (ĐHNT-01)
6
cos x sin 6 x
0
d.
dx
cos x
4
(ĐHTM-95)
0
Giải
s inxcos3 x
1 2 cos 2 x
dx
(sin 2 x)dx
0 1 cos2 x
2 0 1 cos 2 x
2
a.
1
dt 2sin x cos xdx sin 2 xdx
Đặt : t 1 cos x 2
cos x t 1; x 0 t 2; x t 1
2
1
2
2 ln 2 1
1 t 1
1 1
1
Vậy : I
dt 1 dt ln t t
1
22 t
2 1t
2
2
2
2
b.
cos x cos
2
2
2 xdx .
0
1 cos2x 1 cos4x 1
.
1 cos2x+cos4x+cos4x.cos2x
2
2
4
1
1
1
1
1 3
1 cos2x+cos4x+ cos6x+cos2x cos2x+ cos4x+ cos6x
4
2
4
8
4 8
Ta có : f ( x) cos 2 x cos 2 2 x
1
1
3
1
1
1 3
1
Vậy : I cos2x+ cos4x+ cos6x dx x sin 2 x sin 4 x sin 6 x 2
4 8
4
8
16
16
48
4
0 8
0
2
4
c.
sin 4 x
cos x sin
6
6
0
x
dx .
Vì : d sin 6 x cos6 x 6sin 5 x cos x 6cos5 x sin x dx 6sin x cos x sin 4 x cos 4 x
d sin 6 x cos6 x 3sin 2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x dx 3sin 2 x cos 2 xdx
3
2
sin 4 xdx sin 4 xdx d sin 6 x cos 6 x
2
3
6
6
sin 4 x
2 4 d sin x cos x
2
4
6
6
dx
ln sin x cos x 4 ln 2
Vậy :
6
6
6
6
cos x sin x
3 0 sin x cos x
3
3
0
0
4
4
dx
1
dx
1
4
1 tan 2 x d t anx t anx+ tan 3 x 4
d.
4
2
2
cos x 0 cos x cos x 0
3
0 3
0
4
4
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .
4
b. sin 2 x cos 4 xdx (NNI-96)
a. sin11 xdx ( HVQHQT-96)
0
0
4
c.
2
cos x cos 4 xdx (NNI-98 )
d.
0
1 cos2x dx (ĐHTL-97 )
0
Giải
Trang 11
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a. sin11 xdx
0
Ta có :
sin11 x sin10 x.sinx= 1-cos2 x sinx= 1-5cos 2 x 10cos3 x 10cos 4 x 5cos5 x cos6 x sinx
5
Cho nên : I 1-5cos 2 x 10cos3 x 10cos 4 x 5cos5 x cos 6 x s inxdx
0
5
5
5
1
118
cos7 x cos6 x 2cos5 x cos 4 x cos3 x cosx
6
2
3
21
7
0
4
b.
sin
2
x cos 4 xdx
0
Hạ bậc :
1 cos2x 1 cos2x 1
2
sin x cos x
1 cos2x 1 2cos 2 x cos 2 x
2
2
8
1
1 2cos 2 x cos 2 2 x cos2x-2cos 2 2 x cos3 2 x
8
1
1
1+cos4x
1+cos4x
1 cos2x-cos 2 2 x cos3 2 x 1 cos2x cos2x
8
8
2
2
2
2
4
1
1
cos6x+cos2x
1 cos2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 cos2x-cos4x+
16
16
2
1
2 3cos 2 x cos6x-cos4x
32
1
3
1
1
1
Vậy I 2 3cos 2 x cos6x-cos4x dx x sin 2 x
sin 6 x
sin 4 x 4
32
64
32.6
32.4
32
0
0
4
2
2
d. 1 cos2x dx 2 cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx
0
0
0
0
2
2 s inx 2 s inx 2 1 1 2 2
0
2
III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2.
* Sử dụng công thức :
b
b
0
0
f ( x)dx f (b x)dx
Chứng minh :
x 0 t b
Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,
x b t 0
Do đó :
b
0
0
b
b
b
0
0
f ( x)dx f (b t )(dt ) f (b t )dt f (b x)dx . Vì tích phân không phụ
thuộc vào biến số
Ví dụ : Tính các tích phân sau
Trang 12
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
a/
2
4sin xdx
s inx+cosx
0
3
3
dx
0
sin 6 x
0 sin 6 x cos6 x dx
4
c/
5cos x 4sin x
s inx+cosx
b/
2
log 2 1 t anx dx
d/
0
1
e/
x 1 x
m
n
sin 4 x cos x
f/ 3
dx
sin x cos3 x
0
2
dx
0
Giải
2
a/ I
0
4sin xdx
s inx+cosx
.(1) . Đặt :
3
dt dx, x 0 t 2 ; x 2 t 0
4sin t
t x x t
4 cos t
2
2
2
f ( x)dx
dt
dt f (t )dt
3
3
cost+sint
sin 2 t cos 2 t
Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :
0
2
0 sinx+cosx
4cosx
I f (t )dt
3
2
dx
2
2
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 2 I
0
4 s inx+cosx
s inx+cosx
3
2
dx I 2
0
1
s inx+cosx
2
dx
1
I 2
dx tan x 2 2
4
0 2 cos 2 x
0
4
2
2
b/ I
0
5cos x 4sin x
s inx+cosx
3
dx . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
2
I
0
5cos x 4sin x
s inx+cosx
3
0
dx
5sin t 4 cos t
cost+sint
3
2
dt
0
5sin x 4cosx
s inx+cosx
3
dx
2
2
2
Vậy : 2 I
0
s inx+cosx
2
1
1
1
dx
dx tan x 2 1 I
2
4
2
0 2 cos 2 x
0
4
2
1
Trang 13
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4
c/
log 1 t anx dx . Đặt :
2
0
dx dt , x 0 t ; x t 0
4
4
t x x t
4
4
f ( x)dx log 2 1 t anx dx log 2 1 tan t dt
4
2
1 tan t
Hay: f (t ) log 2 1
dt log 2 2 log 2 t
dt log 2
1 tan t
1 tan t
0
4
4
Vậy : I f (t )dt dt log 2 tdt 2 I t 4 I
4
8
0
0
0
4
sin 6 x
dx (1)
sin 6 x cos6 x
0
2
d/ I
sin 6 t
2
cos6 x
2
d
t
6 6
0 cos6 x sin 6 x dx I (2)
sin t cos t
2
2
2
0
2
cos x sin x
Cộng (1) và (2) ta có : 2 I
dx
dx x 2 I
6
6
cos x sin x
2
4
0
0
0
6
2
6
1
e/
x 1 x
m
n
dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
0
0
1
1
Do đó : I 1 t t (dt ) t (1 t ) dt x n (1 x) m dx
m n
1
n
0
m
0
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2
2
4
4sin x
dx
1.
1 cosx
0
2.
3
2
3
s inxcos x
0 1 cos2 x dx
1
5.
x 1 x
4.
x s inx
dx ( HVNHTPHCM-2000 )
cos 2 x
x sin x
0
2 cos x dx ( AN-97 )
5
3 6
dx (ĐHKT-97 )
6.
2
0
1 s inx
8. ln
dx ( CĐSPKT-2000 )
1+cosx
0
2
s inx+2cosx
0 3sin x cosx dx ( CĐSPHN-2000)
9.
0
4
7.
(XD-98 )
0
3.
cosx+2sinx
4 cos x 3sin x dx
x sin x
0 9 4 cos2 x dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) 10.
sin 4 x cos x
0 sin 3 x cos3 x dx
2
Trang 14
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Dạng : I
asinx+bcosx+c
dx
a 's inx+b'cosx+c'
Cách giải :
B a ' cosx-b'sinx
asinx+bcosx+c
C
Ta phân tích :
dx A
a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'
a 's inx+b'cosx+c'
- Sau đó : Quy đồng mẫu số
- Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C .
- Tính I :
B a ' cosx-b'sinx
C
dx
I A
dx
Ax+Bln
a
's
inx+b'cosx+c'
C
a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'
a 's inx+b'cosx+c'
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ . Tính các tích phân sau :
2
a.
4
s inx-cosx+1
0 s inx+2cosx+3 dx ( Bộ đề )
b.
cosx+2sinx
4 cos x 3sin x dx
( XD-98 )
0
2
c.
s inx+7cosx+6
0 4sin x 3cos x 5 dx
d. I = 2 4 cos x 3sin x 1
4 sin x 3cos x 5 dx
0
Giải
B cosx-2sinx
sinx-cosx+1
C
A
sinx+2cosx+3
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
0
Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :
1
A 5
A 2B 1
A 2 B s inx+ 2A+B cosx+3A+C
3
f ( x)
2 A B 1 B . Thay vào (1)
s inx+2cosx+3
5
3 A C 1
4
C 5
2
a.
s inx-cosx+1
s inx+2cosx+3 dx . Ta có :
2
2
f ( x)
1
3 d s inx+2cosx+3 4 2
1
3
4
1
I dx
dx ln s inx+2cosx+3 2 J
5
5 0 s inx+2cosx+3
5 0 s inx+2cosx+3
10 5
5
0
0
3 4 4
I ln J 2
10 5 5 5
- Tính tích phân J :
1 dx
; x 0 t 0, x t 1
dt 2
x
2
cos 2
1
x
2dt
2
Đặt : t tan
. (3)
J
2
1
2dt
2dt
2
t
1
2
0
f ( x)dx
2t
1 t2
1 t 2 t 2 2t 3
2
3
1 t2
1 t2
Trang 15
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
du
2
.t 0 tan u
u1; t 1 tan u 2 u2
dt 2
2
c
os
u
2
Tính (3) : Đặt : t 1 2 tan u
1
2du
2
du
f (t )dt
2
2 cos u
2
cos 2u
2
u2
2
2
3 4 4 2
tan u1
Vậy : j=
du
u2 u1 I I ln
u2 u1
2
2
2
10 5 5 5 2
u
tan u 2
2
B 3cos x 4sin x
cosx+2sinx
C
A
1
4cos x 3sin x
4cos x 3sin x
4cos x 3sin x
0
2
1
Giống như phàn a. Ta có : A ; B ;C=0
5
5
4
b.
cosx+2sinx
4cos x 3sin x dx;
f ( x)
2 1 3cos x 4sin x
1
1 4 2
2
Vậy : I
dx x ln 4 cos x 3sin x 4 ln
5 5 4 cos x 3sin x
5
7
5
0 10 5
0
Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .
4
BÀI TẬP
2 3
1.
sin 3 x s inx cot x
dx
sin 3 x
3cosx 4sin x
2
2.
3sin x 4 cos
2
0
2
x
dx
3
cos x sin x dx
3.
5
1 sin 2 x sin x
dx
sin 2 x
2
2
5
4.
0
6
4
5.
2
s inx-cosx
dx
1 sin 2 x
0
4
3x cos 3xdx
2
2
7.
15sin
6.
s inxcosx
a cos x b sin x
2
0
2
2
2
dx
3
a, b 0
8.
tan
6
xdx
0
ln s inx
cos2 x dx
0
3
9.
6
2
sin x
4
dx . (KB-08)
12.
sin
2
x
2
1
s
inx+cosx
0
6
4
4
tan x
dx . ( KA-08)
c
os2x
0
11.
cos x 1 cos xdx . (KA-09 )
2
13.
cos4x.cos2x.sin2xdx
10.
2
2
0
4
14.
0
x sin x x 1 cosx
dx . (KA-2011 )
x sin x cosx
1 x sin x
dx . (KB-2011)
15.
2
c
os
x
0
3
2
16.
0
sin 2 x
cos 2 x 4sin 2 x
dx . (KA-06)
Trang 16
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
3
17.
sin 2004 x
0 sin 2004 x cos2004 x dx .( CĐSPHN-05)
2
x sin x
0 sin 2 x cos2 x dx . CĐST-05)
18.
sin 3x sin 3 x
19.
dx . ( CĐHY-06)
1
c
os3x
0
6
3
20.
dx
. CĐSPHN-06)
s inxsin x+
6
3
21. sin 2 x 1 sin 2 x dx . ( CĐKT-06)
2
3
0
Bài 5. ( Tiết 3)
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
I. KIẾN THỨC
1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :
f '( x)
-
dx f ( x) C
2 f ( x)
1
-
dx ln x x 2 b C
2
x b
u '( x)
- Mở rộng :
du ln u ( x) u 2 ( x) b C
2
u ( x) b
2. Rèn luyện tốt kỹ năng phân tích hàm số dưới dấu tích phân , nhất là kiến thức về căn thức
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1
1. Tích phân dạng : I
dx a 0
2
ax
bx
c
a. Lý thuyết :
b
x
u
2
b
2a
2
du dx
Từ : f(x)=ax bx c a x 2
2a 4a
K
2a
Khi đó ta có :
- Nếu 0, a 0 f ( x) a u 2 k 2
f ( x) a . u 2 k 2 (1)
a 0
2
b
- Nếu : 0 f ( x) a x
(2)
b
2a
f ( x ) a x 2a a . u
- Nếu : 0 .
+/ Với a>0 : f ( x) a x x1 x x2
f ( x) a .
x x1 x x2 (3)
a . x1 x x2 x (4)
+/ Với a<0 : f ( x) a x1 x x2 x
f ( x)
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b. Cách giải .
*. Trường hợp : 0, a 0 f ( x) a u 2 k 2
f ( x) a . u 2 k 2
Khi đó đặt :
Trang 17
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
t2 c
2
x
; dx
tdt
b2 a
b2 a
bx c t 2 2 ax
2
ax bx c t a .x
x t t0 , x t t1
t2 c
t
a
.
x
t
a
b2 a
a 0
2
b
*. Trường hợp : 0 f ( x) a x
b
2a
f ( x ) a x 2a a . u
a x
1
b
b
ln x : x
0
2a
2a
a
1
dx
1
b
b
b
x
ln x : x
0
2a
2a
2a
a
1
Khi đó : I
b
2a
1
a
dx
*. Trường hợp : 0, a 0
x x1 t
ax 2 bx c a x x1 x x2
x x2 t
*. Trường hợp : 0, a 0
- Đặt :
x1 x t
ax 2 bx c a x1 x x2 x
x2 x t
3. VÍ DỤ MINH HỌA
1
dx
Ví dụ 1. Tính tích phân sau : I
. ( a>0 )
2
x
2
x
5
1
Giải
-Ta có : ' 4 0, a 1 0
- Đặt :
x2 2 x 5 t x t x x2 2x 5 t 1 x 1 x 2 2x 5 .
x 1
t
dt
dx
dt 1
dx
dx
2
2
2
t 1
x 2x 5
x 2x 5
x 2x 5
- Đặt :
- Khi : x=-1,t= 8 1 ,x=1,t=3
1
x2 2 x 5
1
3
3
dx
Do đó: I
dt
t 1 Vậy I ln t 1 2
2 2 1
2
1
Ví dụ 2. Tính tích phân sau . I
1 2 x x2
0
2 1
ln
2
2
2 1
ln
2 1
dx . ( a<0 )
Giải
Ta có : f ( x)
1
1 2x x
2
1
2 x 1
2
(*)
* Nếu theo phương pháp chung thì :
- Đặt :
2 1 x
2 1 x
2 1 x
2 1 x
2 1 t 2 1 . ...
x
2 1 x
2 1 x t
1
2 1 x t
2 1 x
.
2 1 x t 2
2 1 x
2
2
1 t2
- Nói chung cách giải này dài . Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn )
* Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1.
Trang 18
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
2
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
dx 2costdt.x=0 t=- 4 ; x 2 t 4
- Đặt : x 1 2 sin t
. Vì : t ; cost>0
1
4 4
2costdt=dt
f ( x)dx
2
2 1 sin t
4
- Vậy : I
dt t
4
4
4 4 2
4
mx n
2. Tích phân dạng : I
ax 2 bx c
Phương pháp :
mx n
a 0
dx
A.d
ax 2 bx c
B
1
ax 2 bx c
ax 2 bx c
ax 2 bx c
b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
b.1 : Phân tích f ( x)
b.4. Tính I = 2 A
ax 2 bx c
1
a 0 đã biết cách tính ở trên
Trong đó
ax 2 bx c
dx
1
B
dx (2)
2
ax
bx
c
VÍ DỤ MINH HỌA
x2
Ví dụ 1. Tính tích phân sau I
dx . (a>0)
x2 2 x 5
1
Giải
A 2 x 2
x2
B
2 Ax B 2 A
- Ta có : f ( x)
1
x2 2x 5
x2 2x 5
x2 2x 5
x2 2x 5
- Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
1
1
2x 2
2
A
1
A
1
2
3
2 f ( x)
2
2
x 2x 5
x 2x 5
B 2 A 2
B 3
1
1
1
- Vậy : I f ( x)dx
x 1 dx
1
1
3
dx .
2
2
x
2
x
5
x
2
x
5
1
1
1
Theo kết quả trên , ta có kết quả :
1
I x2 2x 5
3ln 2 1 2 2 2 3ln 2 1
1
2x 3
2
Ví dụ. 2 Tính tích phân sau I
0
- Ta có :
2x 3
1 2x x2
1 2 x x2
A 2 2x
dx
Giải
B
2 Ax 2 A B
1 2x x2
1 2x x2
1 2x x2
2 A 2
A 1
- Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :
2 A B 3 B 1
Trang 19
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 x dx
2
- Vậy : I 2
2
1 2 x x2
0
0
1
1 2 x x2
dx 2
Theo kết quả đã tính ở ví dụ trên ta có : I
1
Ví dụ 3. Tính tích phân sau I
0
x 4 dx
1 2x x
2
2 2
1
dx
0 0 1 2x x2
2
2
x2 4 x 5
.
Giải
- Học sinh tự giải theo hướng dẫn .
- Sau đây là cách giải nhanh .
x 4 x 2
2
+/ Ta có : f ( x)
x2 4x 5
x2 4x 5
x2 4x 5
1
1
x 4 dx 1 1 2 x 2 dx 2 1
1
1
+/ Vậy : I
dx ln x 2 4 x 1 2 J (1)
2
0
2
x2 4x 5 2 0 x2 4 x 5
0
0
x 2 1
2
1
x
2
1
dt
+/ Tính J : Đặt t x 2
Hay :
dt
t
dx
x 2
3 10
+/ Do đó : J
2 5
2
1
x 2 dx
t
dx
2
2
x 2 1
x 2 1
. Khi x=0, t=2+ 5 ; x=1, t=3+ 10 .
3 10
3 10
dt
ln t
ln
. Thay vào (1) ta tìm được I
t
2 5
2 5
3 10
I 10 5 2ln
2 5
3. Tích phân dạng : I
1
mx n
ax 2 bx c
a 0
dx
Phương pháp :
b.1. Phân tích :
1
1
. (1)
n
2
m x ax bx c
m
1
n
1
y x t t m dy x t dx
1
n
b.2 Đặt : x
2
y
m
1
1
1
2
x t ax bx c a t b t c
y
y
y
mx n
ax bx c
2
'
b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I
'
dy
Ly My N
2
. Tích phân này chúng ta đã biết cách
tính .
3
Ví dụ 1. Tính tích phân sau
x 1
2
VÍ DỤ MINH HỌA
dx
x2 2 x 3
Giải
Trang 20
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
1
x 1 ; dx 2
1
y
y
- Đặt : x 1
y
x 2 y 1; x 3 y 1
2
- Khi đó :
2
4 y2 1
1
1
1
4 y2 1
2
x 2 x 3 1 2 1 3 2 4
x 2x 3
y
y
y2
y
y
2
1
2
- Vậy : I
1
1
dy
1
4 y2 1 2 1
2
1
Ví dụ 2. Tính tích phân sau
1
1
1
1
2
ln y y 1 ln 2 3
4
2
1 2
y2
2
4
3x 2 dx
dy
x 1
0
x 2 3x 3
Giải
- Trước hết ta phân tích :
3 x 1
3x 2
1
3
1
2
2
2
2
x 1 x 3x 3 x 1 x 3x 3 x 1 x 3x 3 x 3x 3 x 1 x 2 3x 3
* Học sinh tự tính hai tích phân này .
5 2 7
2 7
ln
Đáp số : I 3ln
3 2 3
3 2 3
x
4. Tích phân dạng : I R x; y dx R x; m
dx
x
( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và , , , là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
x
b.1 Đặt : t= m
(1)
x
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x t
b.3. Tính vi phân hai vế : dx= ' t dt và đổi cận
x
b.4. Cuối cùng ta tính : R x; m
x
2
Ví dụ 1. Tính tích phân sau
1
1
'
dx R t ; t ' t dt
'
VÍ DỤ MINH HỌA
x
dx
x 1
Giải
x t 1; dx 2tdt ; x 1 t 0, x 2 t 1
- Đặt : x 1 t
t 2 1
t3 t
2
f
(
x
)
dx
2
tdt
2
dt t 2 t 2
dt
1 t
t 1
t 1
2
1
x
2
11
- Vậy :
dx t 2 t 2
dt 4ln 2
t 1
3
x 1
1 1
0
2
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :
3
2
a.
x
1 x x 1 dx
b.
x3 1 x 2 dx
9
c.
0
x
3
1 xdx
1
Trang 21
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3
d.
x5 2 x3
x2 1
0
4
dx
e.
1
2dx
x5 4
2
f.
0
x4
x5 1
GIẢI
2
a.
x
dx .
x 1
Đặt :
x
1
1
1
dx 2tdt
t 2 1
1
t x 1 x t 1
I 2
2tdt 2 t dt
t 1 1
t
x 1 t 0, x 2 t 1
0
0
1
1
Vậy : I 2 t 2 ln t 1
2
0
2
3
b.
3
x3 1 x 2 dx
0
x
2
1 x 2 xdx .
0
2
xdx tdt
Đặt : t 1 x 2 x 2 t 2 1
I t 2 1 t 2 dt
1
x 0 t 1, x 3 t 2
2
1 2 58
1
Vậy : I t 4 t 2 dt t 5 t 3
3 1 15
5
1
9
c.
x
3
1 xdx .
1
2
dx 2tdt
Đặt : t 1 x x 1 t
I 1 t 2 t. 2tdt
x 1 t 0, x 9 t 2
0
0
1 0
112
1
Vậy : I 2 t 2 t 4 dt 2 t 3 t 5
5 2
15
3
2
2
3
d.
0
x5 2 x3
x2 1
Đặt :
3
dx
0
x 2 x 2 2 xdx
x2 1
2
2
t 2 1 t 2 1 t.2tdt
x 2 t 2 1; xdx tdt
t x 1
I
2 t 4 1 tdt
t
x 0 t 1, x 3 t 2
1
1
1 2 59
1
Vậy : I 2 t 5 t 2
2 1 5
5
2
4
e.
1
3
3
x t 2 5, dx 2tdt
2.2tdt
4
Đặt : t x 5
I
4 1
dt
t4
t4
x 1 t 2, x 4 t 3
2
2
3
6
Vậy : I 4 t 4ln t 4 4 4 ln 6 ln 7 4 4ln
2
7
2
f.
2dx
.
x5 4
0
5
2
2 2
1 d x 1 2 5
dx
x 1
0 5
5 0 x5 1
5
x5 1
x4
33 1
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau :
Trang 22
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
dx
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3
1
5
2
x 1 x dx
a.
b.
1 x 2 .x3dx
0
0
2
x
c.
0
2
d.
1
1
f.
4 x 2 dx
2
x
0
xdx
2 x 2 x
3
x
e.
1 xdx
1
x 2 3dx
0
GIẢI
1
a.
x
1
5
0
1 x 2 dx x 4 1 x 2 xdx
0
Đặt :
0
1
2
x 2 1 t 2 ; xdx tdt
t 1 x2
I 1 t 2 t. tdt t 2 t 4 2t 2 1 dt
x 0 t 1, x 1 t 0
1
0
2
1 1 8
1
Vậy : I t 7 t 5 t 3
5
3 0 105
7
3
b.
3
1 x .x dx
2
3
0
x
2
1 x 2 xdx
0
2
2
x 2 t 2 1; xdx tdt
2
I t 1 t.tdt t 4 t 2 dt
Đặt : t 1 x
x 0 t 1, x 3 t 2
1
1
1 2 58
1
Vậy : I t 5 t 3
3 1 15
5
2
2
c.
x
2
4 x 2 dx .
0
dx 2costdt; 4 x 2 cost
2
2
2
I
4sin
t
.2
cos
t
.2
cos
tdt
4sin 2 2tdt
Đặt : x 2sin t
0
0
x=0 t=0.x=2 t= 2
2
d.
1
1
Vậy : I 1 cos4t dt t sin 4t 2
4
0 2
0
2
2
xdx
1
2 x 2 x 2 1
- Vậy : I
1
1
1
2 x 2 x dx 2 x 2 2 x 2 dx
2 1
2
3
3
1 2
2
2 22
2
2
2
x
2
x
1 9 3
2 3
3
0
e.
x
1 xdx
1
1
1
x t 2 1; dx 2tdt
I t 2 1 t.2tdt 2 t 4 t 2 dt
Đặt : t 1 x
x 1 t 0, x 0 t 1
0
0
1 1
4
1
1 1
Vậy : I 2 t 5 t 3 2
3 0
15
5
5 3
Trang 23
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
x
f.
1
x 3dx x 2 x 2 3.xdx
3
2
0
0
x 2 t 2 3; xdx tdt
Đặt : t x 2 3
I
x 0 t 3, x 1 t 2
1 2 56 12 3
1
Vậy : I t 5 t 3
3 3
15
5
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau :
3
x 3
a.
dx
1 3 x 1 x 3
x x
1
x 1
0 3
2
t 1 t.tdt
3
b.
2
t
4
t 2 dt
3
10
dx
x 1
x2
5
3
2
c.
2
d.
dx
2
x
5
x 2 1dx
0
1
x
e.
3
1 x 2 dx
0
GIẢI
x 3
dx
x 1 x 3
3
a.
3
1
dx 2tdt
Đặt : t x 1 x t 2 1
x 1 t 0; x 3 t 2
Vậy :
2
2
2
t t 2 t 2
t2 4
3
1 2
2
I 2
2tdt 2
dt 2 t 3
dt 2 t 3t 3ln t 2 0
t 3t 2
t 1 t 2
t2
2
0
0
0
Do đó : I 6ln 2 8
10
10
10
dx
dx
dx
b.
2
5 x 2 x 1
5 x 1 2 x 1 1
5
x 1 1
x t 1; dx 2tdt.x 5 t 2; x 10 t 3
1
dx
2tdt
1
- Đặt : t x 1
f ( x)dx
2
dt
2
2
t 1 t 12
t 1
x
1
1
2
10
3
1
1
1 3
- Vậy : I f ( x)dx 2
dt 2 ln t 1
2 2ln 2 1
2
t
1
t
1
t
1
5
2
c.
1
x2 x
0 3
x 1
2
1
x x 1 dx
0
x 1
dx
3
2
1
x 3 x 1 dx
0
x 1
3
3
2
1
x 3 x 1dx (1)
0
3
2
3
x t 1, dx 3t dt.x 0 t 1; x 1 t 2
- Đặt : t x 1
3
2
6
3
3
f ( x)dx x x 1dx t 1 t.3t dt 3t 3t dt
3
3
3 7 3 4 3 2 33 2 9
- Vậy : I f ( x)dx 3t 3t dt t t
4 1
14 28
7
0
1
1
2
6
3
d.
x
3
3
5
0
x 1dx
2
x
4
x 2 1xdx
1 .
0
Trang 24
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
xdx tdt.x 0 t 1, x 3 t 2
- Đặt : t x 2 1 x 2 t 2 1
2
4
2
2
5
3
f ( x)dx x x 1xdx t 1 .tdt t 2t t dt
3
2
1
1 2 9
1
- Vậy : I x 4 x 2 1xdx t 5 2t 3 t dt t 6 t 4 t 2
2
2 1 2
6
0
1
1
1
0
0
3
2
2
2
x 1 x dx x 1 x xdx
e.
1 .
2
2
x 1 t ; xdx tdt.x 0 t 1, x 1 t 0
- Đặt : t 1 x
2
2
2
2
4
f ( x)dx x 1 x xdx 1 t t tdt t t dt
1
0
1
1 1 2
1
- Vậy : I x 2 1 x 2 xdx t 2 t 4 dt t 2 t 4 dt t 3 t 5
5 0 15
3
0
1
0
2
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau
1
1.
0
7
3
3.
0
1
1.
0
x2 1
dx ( ĐHXD-96)
x 1
2
2.
2
3
dx
2
x 1
dx (GTVT-98 )
3
3x 1
4.
( BK-95)
x x2 1
x2 1
x x2 1
Giải
dx ( HVBCVT-97 )
2
x 2 1 x 1 x 1
x2 1
dx . Ta có : f ( x)
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1 x x x x 1
2
1
2
1 1
Vậy : I f ( x)dx x x x x 1 dx x 2 x x x x 2 x
3
2
5
0 15
0
0
1
2
2.
x
2
3
1
2
dx
x 1
2
x
2
3
xdx
2
x2 1
1
2
1
2 2
x t 1, xdx tdt.x 3 t 3 , x 2 t 1
- Đặt : t x 2 1
xdx
tdt
dt
f ( x)dx
2
2
x 2 x 2 1 t 1 t t 1
1
2
1
dx
dt
2
acr tan t 1
-Vậy : I
2
4 6 12
2 x x 1
1 t 1
3
3
3
7
3
3.
0
t3 1
7
x
, dx t 2 dt , x 0 t 1; x t 2
x 1
3
3
dx . Đặt : t 3 3x 1
3
3
3x 1
f ( x)dx x 1 dx t 2 t 2 dt 1 t 4 2t dt
3
3t
3
3x 1
7
3
2
x 1
1
11
2 46
dx t 4 2t dt t 5 t 2
- Vậy : I 3
3
3 5
3x 1
1 15
0
1
Trang 25
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
