BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (512.57 KB, 21 trang )
Netschool.edu.vn
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I.
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
x 4 x3 y xy 3 y 4
3 y x2 y 2 3
1
: x y
a. D
x y 1
2
2
x x y
x 2 xy y
4a 9a 1 a 4 3a 1
b. B 1
1
1
1
2
2
2
2
a a
2a 3a
( đáp số : D=1 )
2
Giải
a/
1
x3 y 3 x y 2
x 4 x3 y xy 3 y 4
3 y x2 y 2 3
x y x y
1
D
x
y
:
x
y
3
xy
1
2
2
2
x x y
x y
x
y
x 2 xy y
1
3
1
x y 3 : x y 1
2
4a 9a 1 a 4 3a 1
1
b/ B 1
1
1
2
a2 a 2
2a 3a 2
2
2
a 2 4a 3 2a 3 a 3
4a 2 9
9a
1
2a 3
a 1
2
a
a
a
1
1
2
2
a
a
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a n b n a n b n
a. A n n n n ab 0; a b
a b
a b
a 1 x 1 a 1 x 1
1
b. B xa 1 ax -1 1 1 1 1
4
a x
a x
Giải
a n bn a n bn
a. A n n n n
a b
a b
a n bn bn a n
a n bn
bn a n
4a n b n
bn a n
a n bn
a n bn bn a n b2n a 2n
a nb n n n a nb n n n
ab
ab
2
2
2
2
1
1
x 1 a 1 x 1 1 x 2 a 2 x a x a 1 2 x a 1 x 2 a 2
1
-1 a
b/ B xa ax 1 1 1 1
4
a x 4 ax x a x a 4
ax
2 ax
a x
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
Netschool.edu.vn
1
3
1
x y
Netschool.edu.vn
1
a b 12
a. 1 2
: a b 2
b a
1
2
b.
2
2
1
a b 12
a
a. 1 2
: a b 2 1
:
b a
b
1
b/
9
1
4
a a
5
4
b
1
2
1
4
1
a b
1
2
5
4
b a
3
b2
1
2
b b
1
2
2
.
1
a b
b. a 3 b 3 : 2 3
a 3b
b
a
b
2
1
.
b
1
2
a 1 a 2 b 1 b 2
1
1
1 a 1 a 2
2
a 4 1 a b 2 b 1
3
b2
b2 b
2
b
1
4
a a
Giải
a4 a4
9
a4 a4
1
2
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :
a.
a/
3
2
2
a 3 b a 3 b 3 3 ab
1
1
Giải
3
a 3 b a b 3 ab
2
3
2
3
3
a
a3b
3
2
3 a3b
b a b
3
2
3
3
3
3
a b
1
1
13
13 13 13
13 13
3
3
1 1
a b a b
a b a b
1
3 3
13
a
b
a
b
b/ a b 3 : 2 3 3 1 1 2 2
2
1
1
1
b
a
13
3
3
3
2a 3 b 3 a 3 b 3
a
b
a b
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
2
3 32
1
a b a 14
4
:
a
b
a. A 3
b a a b3
b. B
a2 4
2
a2 4
a
4
2a
Giải
a/
2
32 12
3 32
1
1
a
b
a
: a 4 b 4 a b
A 3
3 1
b a
3
a
b
b 2 a 2
B
a2 4
2
a 4
a
4
2a
2
a
1
1
1
1
a 2b 2 1
a : a4 b4 a 1 : a4 b4
3
1
1
a 2b3
b ab
ab3 a 4 b 4
2
2 a 2 : a 0
a 4
2
a
2
2 : a 0
a 4
4a
2
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
1 x x2
1 x x2
a. A
2
2
2x x2
2x x
1
5 2 x . Với x
2
3,92
5
3
32
5
2
27
y
2
2
10
3 32 y 2 .3 . Với y = 1,2
b. B
2 35 y
Giải
4 x3 10
4 x2 2 5 2 x2
2
8 2 x2
5 2 x x 4 x2 5 2 x
2
5 2x
Với x= 3,92 x2 3,92 4 x2 0,08 2 4 x2 0,16
1 x x2
1 x x2
2
a/ A
2
2x x2
2x x
1
1
2
5
3
32
5
2 27 y
2
2
B
310 32 y 2 .3
2 35 y
5
1 3 1 3
2 2 3. y 5
1 1
3.2 2 y 5 2 32
1
1
22 3y 5
5
1
2
1
1 1
2 52
2 5
5
2
2 5
2 2 .3 y 3 y 3.2 y 2 3 y y 2 . Với y=1,2 suy ra y 2 1, 44
5
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
4
1
4
3
1
3
1
2
b
3
3
a. A 2
ĐS: A=0
.
1
2
a
2
a
3
a 3 2 ab 4b 3
1 1
1
1
8b a a 3 b 3
a 3 2b 3
b. B
1
2
1
1
2
6 13
3
4a 3 2a 3 b 3 b 3
2a b
a 3 8a 3 b
Giải
1
1
1
2
2
a 3 a 8b
a 8a b
b
a3
3
3
a/ A 2
. 1 2
. 1
a3
a 2
2
1 1
2
1
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 3 2a 3 b 3 4b 3 a 3 2b 3
2
2
a 3 a 8b
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
a 3 a 8b
a
a3 0
a 8b
2
3
1
3
1
3
2
3
a 2a b 4a b 2a b 4a b 8b
8b a a b
a 2b
b/ B
1
1
2
1
1
2
6 3
3
3
3
3
3
2
a
b
4
a
2
a
b
b
1
3
1
3
1
3
1
3
1
13
23 23
3
2 2
a
2
b
a b
3 3
8b a a b
1
1
2
1 1
2
6
2b 3 a 3 4b 3 2a 3 b 3 a 3
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
1 1
2
1 2
2
13
3
3
3
3
4b 2a b a a 2b 3 2 2
8b a
a 3 b 3 8b a 6ab ab
3
3
1
1
6
6 8b a
3 3
2b a
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
1
5
1 1 1
3
7
2
2 3 4 3 4 2
a. A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3 ( đáp số : A= 15/2 )
b. B 0,5 625
4
0,25
1
2
4
1
1
2
19. 3
3
Giải
3
5
7
1
1
1
1
2
a/ A= 32 .5 3 : 2 4 : 16 : 5 3.2 4.3 2
32 53 74 13 14 14
3 5 2 .5 2 3
24
1
1
2
2 2 2
15
35
22
2
b/
B 0,5
4
1
6250,25 2
4
1
1
2
19. 3
3
4
1
1
3
54 4
2
2
2.
3
2
19
1
3
3
16 5
8 19
10
27 27
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
1 1
a b
a b 14
1
: a b4
a. A 3
1 1
1
a 4 a 2 b 4 a 4 b 4
1
2
1
2
3
3
34
34
4
4
a
b
a
b
ab
b. B
1
1
a2 b2
Giải
a/
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2
2
2
2
a b
a b
a b
a b
a b a a 2b 2
1
4
4
4
4
A 3
:
a
b
:
a
b
. 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
2 4
4
4
4
4
2
4
2
4
4
a b
a a b a b
a a b
a a b a b
1
12
b a b2
b
1
1
1
a
a 2 a 2 b 2
1
2
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
3
3
3
1 1
1
1
34
32
34
12
12
4
4
2
2 2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
ab
b/ B
a b
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
3
1
32
12
1
2
x a
x a2
2
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau : C 1
(đáp số C=1)
ax
1
xa
2
2
x a
b. Chứng minh :
.
a 2 3 a 4b 2 b 2 3 b 4 a 2
3
a 2 3 b2
3
Giải
3
1
32
12
1
2
2
x
a
x
a
a/ C 1
ax 2
1
xa
2
2
x a
2
1
1 1
12
2
2 2
1
1
x
a
x
x
a a
1 1
x2 a2
2 2
x a
1
1
1
1
1
1
x2 a2
x 2 a 2 x 2 a 2
2
2
1
12
2
x
a
1
1
1 2
2
2
x a
a 2 3 a 4b 2 b 2 3 b 4 a 2
b. Chứng minh :
3
a 2 3 b2
3
a 2 3 a 4b2 b2 3 a 2b4 2 2a 2b 2 a 2 3 a 2b 4 b 2 3 a 4b 2 a 2 3 3 a 4b 2 3 3 a 2b 4 b 2
2a 2b2 a 2 3 a 2b4 b2 3 a 4b2 3 a 2b4 3 a 4b2 2a 2b 2 3 a8b 4 3 a 4b8 3 a8b 4 2 3 a 6b6 3 a 4b8
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
b. Chứng minh rằng :
1
8
3 8 2
8
38 2
4
3
847 3
847
6
( đáp số : =3 )
27
27
6
3 4 2
3 2
Giải
a/ Đặt y=
12 3 y 3
3
6
847 3
847
847
847
847
6
y 3 12 3 y 3 6
6
12 3 y 3 36
27
27
27
27
27
125
12 5 y y 3 5 y 12 0 y 3 y 2 3 y 4 0 y 3
27
b/ 1
8
3 8 2
8
38 2
4
3 4 2
3 2 ;VP
4
34 2
Netschool.edu.vn
4
3 4 2
3 2
Netschool.edu.vn
3 2
3 2 3 2 1 VT
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
11
x 0
c. C 4 x 2 3 x
a 0
b. B a a a a : a16
a. A 5 2 3 2 2 .
d. D 5
b3a
a b
ab 0
Giải
1
1 3
5
a. A 2 3 2 2 2 2.2 .2
1
5
1
1
1
5
31
3
1
3 3
5
2 2 .2 2 2.2 2 2 5 210
1
1
1
2
1
15
1
1
2
3 2 2 11
11
11
7
11
1
3 2
2
16
1
1
4
a
16
16
6
8
16
2
b/ B a a a a : a a a .a : a a .a : a a : a 11 a 4
a 16
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
2 1
1
b. a . 4 a 2 : a 4
a. a 2 .
a
3
3
c. a
d. a 2. .a1,3 : 3 a3
2
Giải
3
c/ a
3
1
2 1
1
a. a 2 .
a
a
a
2
a
1
2 1
a 2 a1
a3
3. 3
2
a . b/ a . 4 a 2 : a 4
d/ a 2. .a1,3 : 3 a3
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
a2
a
2
b
a
c.
a
a/
b2
2
2 5
3
a2
a
a
b/
3
2
a b
b2
1 a
b
2 3
3
3
a
2
a
b.
1
b
5
3
3
2
2
3
7
7
3
b
a
1
2 3
4 3
a
a
(đáp số : a
2 7
3
3
3
2
b
a
a3
3
5
3
b
7
3
2 3
2
a 2. .a1,3
a1,3
2
a
1 a2 3 a
a
a
4 3
b
b 3 a
2
b
3
2
3
d.
3
b
(đáp số : a 3 1)
3
)
a
a3
3
2
1
4 ab (đáp số : a b
Giải
2
2
1 a
3
3
b
3
2
2a
a
a b
a 1 a 1 a a 1 a a
a a 1 a 1 a
2
3
a
1
a2
a a 2 a
a
3
3
3
3
3
3
2
b
2 3
2 3
Netschool.edu.vn
2
3
3
1
Netschool.edu.vn
a
c/
a
2 5
3
a
d/
5
b
3
7
7
a 3 b 3 b
2
b
2 7
3
7
5
3
3
a b
a
3
7
2 7
2 5
3
3
3
a a b b 3
2 5
3
3
7
a 3 b 3 b
2 7
3
1
4 ab a 2 b 2 2a b 4a b
a
a
5
3
7
b 3
b a b
2
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy
thừa dạng bất đẳng thức .
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
a. 3 30
b. 4 5 3 7
c. 17 3 28
5 20
3
1
e.
3
d. 13 23
5
4
1
3
2
f. 4 5 4
7
Giải
15
15
5
5
3
30 30 243.10
3 30 5 20
5 20 . Ta có
15
15
3
3
5
20 20 8.10
4 5 12 53 12 125
3
4
3745
b/ 5
7 . Ta có :
4
3 7 12 7 12 2401
17 6 173 6 4913
3
17 3 28
c/ 17
28 . Ta có :
6
2
3
6
28 28 784
20
5
20
4
13 13 371.293
5
4
4 13 5 23
d/ 13 23 . Ta có :
20
4
5
20
23 23 279.841
a/
3
30
1
e/
3
3
2
1
. Vì
3
f/ 4 5 4 7 ;
1
3 2
3
7 54
5
4
3
1
3
2
7
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
1,7
a. 2 2
1,7
0,8
1
b.
2
1
2
0,8
1,2
3
c.
2
Netschool.edu.vn
3
2
2
Netschool.edu.vn
5
d.
7
5
2
1
e. 2
12
1
2
2,5
5
Giải
b/
a/ 2 2 ; vi :1,7 0,8 2 2 .
1,7
0,8
1,7
1
0, 7 3
f. 0, 7 6
0,8
1, 7 0,8
0,8
1,7
0,8
1
1
1
; do :
1
0
1
2
2
2
2
1, 2 2
1,2
2
1,2
2
3
3
3
3
c/ ; do :
3
2
2
2
0
1
2
2
5
5
5
0
0
2
5
5 2
5
2
d/ 1; do :
1;
7
7
0 5 1 7
7
2,5
2
2,5
12 6, 25
1
e/ 2 12 ; do :
2 12 2
2
2
2 1
2
5 5 4 1 2
5
1
5
1
6 36 36 3
0, 7 6 0, 7 3
f/ 0, 7 6 0, 7 3 ; do :
0 0, 7 1
1,7
1
2
6,25
Bài 3. Chứng minh : 20 2 30 3 2
Giải
2 1 1
20
20
Ta có :
30
30
3 1 1
20 2 30 3 2
Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a. y 3 x
b. y 0,5
x
sin 2 x
Giải
a/ y 3 x x .
Đặt t x 0 y x x t 2 t t 0 y ' 2t 1 0 t
1
1 1
maxy=y
2
2 4
1
Do vậy : y 3 x x 34 4 3 GTLNy 4 3
b/ y 0,5
sin 2 x
. Vì : 0 sin 2 x 1 0 0,5sin x 0,51 y 0,5sin x
2
2
1
1
GTLNy
2
2
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
x
a. y 2x 2x
b. y 2x1 23 x
c. y 5sin x 5cos x
Netschool.edu.vn
2
2
e. y e1 x
2
Netschool.edu.vn
Giải
GTNNy 2
a/ y 2 x 2 x 2
x
x
2 2
x x x 0
2 x 1 23 x
b/ y 2 x 1 23 x 2 2 x 13 x 2 22 4 min y 4
x 1 3 x
sin x
5cos x
5
2 min y 2
cos2x=0 x= k
2
2
4
2
sin x cos x
2
c/ y 5
sin 2 x
5
cos2 x
x
x
sin 2 x cos2 x
2 5
x2
2
1
e/ y e1 x e 2 x e 2 e x 1
2
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
1
1
b. y x5 y x 5
a. y x 4 y x 4
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
c. y x 2 y x 2
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
y
2 x 2 x
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
2
Giải
2 2 1
2 x1 2 x2 1
2 x1 2 x2 1
x
x
Giả sử : x1 x2 1 1 1 2 x1
x2
x1
x2
2 2
2 2 2
2
2
2 x1 2 x1 2 x2 2 x2
x1 x2
. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
y
x
y
x
2
2
1
2
x1
x2
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
x
x
x
x
3
1
2
x
a. y
b. y
c. y
d. y 3
3
3 2
e
3 2
Giải
a/ y . Do 1 y . Là một hàm số đồng biến
3
3
3
x
x
x
x
2
2
2
b/ y . Do 0 1 y Là một hàm số nghịch biến
e
e
e
x
3
c/ y
. Do
3 2
3
3
3 2
x
3
3 2 1 y
là một hàm số nghịch biến
3 2
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
x
1
x
d/ y 3
3 2 3
x
x
3 2 là một hàm số đồng biến (
3
3 2
1
3 2 3 )
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a. y log 1
2
x 1
x5
d. y log 1
2
b. y log 1 log5
5
x 1
log 2 x 2 x 6
x 1
x2 1
x3
x 3
x 1
c. y log 2
e. y lg x 2 3x 4
f. y log 0,3 log3
1
x2 x 6
g. y log
x2 2
x5
x 1
2x 3
Giải
x 1
x 1
log 1
0
x 1
2
x 1 1
1 0
0 x 1
x 1
2 x 1
a/ y log 1
. Điều kiện :
x 1
x 1
2 x5
x 1 0
x 1 0
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
x 1
Vậy D= 1;
x2 1
x2 x 2
log 1 log 5
0
x3 0
x3
x2 1
3
2
x 3 1
x2 1
x2 1
x 5 x 14
1
0
b/ y log 1 log5
. Điều kiện : 0 log 5
2
x3
x3
x3
5
0 x 1 5
x 3
x2 1
x3
0
5
x3
3 x 1 x 2
x 3; 2 2;7
x 3 2 x 7
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
14 12 log9 4
log125 8
log7 2
81
25
.49
a.
1
c. 72 49 2
log7 9 log 7 6
5
log
3
4
1 log 4 5
b. 16
d.
36log6 5 101lg2 3log9 36
Giải
a/ 81
1 1
log9 4
4 2
4 1 1 log 4 2log 23
25log125 8 .49log7 2 3 4 2 9 5 53 7 2log7 2
Netschool.edu.vn
4
1
log 2 33log5 5
2
Netschool.edu.vn
= 31log 4 5
3
1
2 .3log5 2
3
1 log4 5
b/ 16
4
log7 4 3
4 4 19
7
4
1
log2 33log5 5
2
421log4 5 2log2 36log5 5 16.25 3.26 592
12 log7 9log7 6 log 5 4
9 1
log7 9 2log7 6
c/ 72 49
5
52log5 4 72 18 4,5=22,5
72 7
36 16
log6 5
d/ 36
101lg2 3log9 36 6log6 25 10log5 25 5 30
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. A log9 15 log9 18 log9 10
1
2
b. B 2log 1 6 log 1 400 3log 1 3 45
3
1
c. C log36 2 log 1 3
2
6
3
3
d. D log 1 log3 4.log 2 3
4
Giải
15.18
1
3
log 9 33 log 3 33
10
2
2
1
36.45
2
4
b/ B 2log 1 6 log 1 400 3log 1 3 45 log 1
log 1 9 log 3 3 4
2
3
3
3
3 20
3
1
1
1
1
1
c/ C log36 2 log 1 3 log 6 2 log 6 3 log 6 2.3
2
2
2
2
2
6
1
1
d/ D log 1 log3 4.log 2 3 log 4 log 2 3.log3 4 log 4 log 2 4 log 2 2
2
2
4
a/ A log9 15 log9 18 log9 10 log9
Bài 2. Hãy tính
a. A log 2 2sin
log 2 cos
12
12
b. B log 4
3
7 3 3 log 4
3
49 3 21 3 9
1
3
c. log10 tan 4 log10 cot 4
d. D log 4 x log 4 216 2log 4 10 4log 4 3
Giải
1
log 2 cos log 2 2sin .cos log 2 sin log 2 1
12
12
12
12
2
6
b/ B log 4 3 7 3 3 log 4 3 49 3 21 3 9 log 4 3 7 3 3 3 49 3 21 3 9 log 4 7 3 1
c/ C= log10 tan 4 log10 cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0
a/ A log 2 2sin
1
3
1
3
d/ log 4 x log 4 216 2log 4 10 4log 4 3 log 4 63 log 4 102 log 4 34 log 4
Bài 3. Hãy tính :
a. A
1
1
1
1
..........
log 2 x log3 x log 4 x
log 2011 x
x 2011!
Netschool.edu.vn
6.34
35
x
102
50
Netschool.edu.vn
b. Chứng minh :
log a b log a x
1 log a x
log ax bx
k k 1
1
1
1
.........
log a x log a2 x
log ak x 2log a x
Giải
a/ A
1
1
1
1
..........
log x 2 log x 3 ... log x 2011 log x 1.2.3...2011
log 2 x log3 x log 4 x
log 2011 x
log x 2011!. Nếu x=2011! Thì A= log 2011! 2011! 1
log a b log a x
1 log a x
log bx log b log a x
Vế trái : log ax bx a a
VP dpcm
log a ax
1 log a x
k k 1
1
1
1
Chứng minh :
.........
log a x log a2 x
log ak x 2log a x
b/ Chứng minh : log ax bx
VT= log x a log x a 2 ...log x a k 1 2 3 ... k log x a
k 1 k
VP
2log a x
Bài 4. Tính :
b. B log a a 3 a 2 5 a a
a. A log a a3 a 5 a
c. log 1
a
d. log tan1 log tan 2 log tan 3 .... log tan89
e. A log3 2.log 4 3.log5 4......log15 14.log16 15
0
0
0
a 5 a3 3 a 2
a4 a
0
Giải
1 1 37
3
2 5 10
1
1
1 1 1 2 3
3
27 3
3 25
2 5
1 1 3
b/ B log a a a a a log a a
10
10
1 53 23
5 3 3 2
a a a
a
91
34 3
log a 1 1
c/ log 1
4
60
a a
15 4
a 24
a
a/ A log a a3 a 5 a log a a
1 1
3
2 5
d/ log tan10 log tan 20 log tan 30 .... log tan 890 log tan10 tan 890.tan 20.tan 870...tan 450 0
( vì : tan890 cot10 tan10 tan890 tan10 cot10 1 ; Tương tự suy ra kết quả
e/ A log3 2.log 4 3.log5 4......log15 14.log16 15 log16 15.log15 14....log5 4.log 4 3.log3 2 log16 2
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu : a2 b2 c2 ; a 0, b 0, c 0, c b 1 , thì :
Netschool.edu.vn
1
4
Netschool.edu.vn
logcb a logcb a 2logcb a.logc b a
b. Nếu 0
log a N log a N logb N
a, b, c 1
log c N logb N log c N
c. Nếu : log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
logb y
2log a x.log c z
0 x, y, z, a, b, c 1
log a x log c z
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : a2 b2 7ab . Chứng minh : ln
a b ln a ln b
3
2
Giải
a/ Từ giả thiết : a c b c b c b 2 log a c b log a c b
2
2
2
2
1
1
2log c b a.log c b a log c b a log c b a
log c b a log c b a
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2 ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
1
1
1
1
logb N log a N log c N logb N
log a N logb N logb N log c N
log a N log a N logb N
. ( đpcm )
log a N .logb N
log c N .logb N
log c N log b N log c N
c/ Nếu : log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a log z c 2log y b
2log N b log N a log N c
2log a x.log c z
1
1
2
logb y
log a x log c z logb y
log a x log c z
ab
d/ Nếu : a b 7ab a b 9ab
ab . Lấy lê be 2 vế ta có :
3
ab
a b ln a ln b
2ln
ln a ln b ln
2
3
3
2
2
2
2
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1. Tính
a. A log6 16 . Biết : log12 27 x
b. B log125 30 . Biết : log3 a;log 2 b
c. C log3 135 . Biết: log 2 5 a;log 2 3 b
d. D log6 35 . Biết : log27 5 a;log8 7 b;log 2 3 c
e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 a
Giải
a/ A log6 16 . Từ : log12 27 x
(*)
Do đó : A log 6 16
log3 27
3
3
3 x
3 x
x log3 4 1
log3 2
log3 12 1 log3 4
x
x
2x
2 3 x .2 x 12 4 x
log3 24
4log3 2
. Thay từ (*) vào ta có : A=
x x 3
x3
log3 6 1 log3 2
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
log 2 5
a
a 3b
3 3
log 2 3
b
b
1
1
d/ Ta có : a log 27 5 log3 5 log3 5 3a; b log8 7 log 2 7 log 2 7 3b (*)
3
3
log 5.7 log 2 5 log 2 7 log 2 3.log3 5 log 2 7 b.3a 3b 3b a 1
Suy ra : D log 6 35 2
log 2 2.3
1 log 2 3
1 log 2 3
1 b
b 1
e/ Ta có : log2 14 a 1 log 2 7 a log 2 7 a 1
c/ Từ : C log3 135 log3 5.33 log3 5 3
Vậy : log 49 32
log 2 25
5
5
2
log 2 7
2log 2 7 2 a 1
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a. A log a b logb a 2 log a b log ab b logb a 1
1
log 22 x 4
2
c. C log a p log p a 2 log a p log ap p log a p
b. B log 2 2 x 2 log 2 x x log log
x
2
x 1
Giải
2
log b 1
a/ A log a b logb a 2 log a b log ab b logb a 1 a
1 log ab a 1
log a b
2
2
2
log a b 1
log a b 1
log a b 1 log a b
log a a
1
1
1
1
1
1
log a b log a ab
log a b 1 log a b
log a b 1 log a b
log a b 1
1
1
logb a
log a b
log a b
1
1
2
b/ B log 2 2 x 2 log 2 x xlog x log2 x1 log 22 x 4 1 2log 2 x log 2 x log 2 x 1 4log 2 x
2
2
2
2
2
1 3log 2 x log 2 x 8 log 2 x 9 log 2 x 3log 2 x 1
c/ C log a p log p a 2 log a p log ap p log a p
log a p 1
log a p
log 2a p
log a p
1 log a p
log a p 1
2
a
log p
2
log a p
log a p
log a p
1
log
p
a
3
log a p
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính log a x , biết log a b 3;log a c 2 :
b. x
a. x a3b2 c
a4 3 b
c3
c. x
a 2 4 bc 2
3
ab 4 c
Giải
1
2
a/ Ta có : log a x log a a3b2 c 3 2log a b log a c 3 2.3 1 8 23
a4 3 b
1
1
2 28
b/Ta có : log a x log a 3 4 log a c 3log a c 4 2 6 10
3
3
3 3
c
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
c/ Ta có :
a 2 4 bc 2
1
1
1
3
1
161
log a x log a 3 4
2 log a b 2log a c 4log a b log a c 2 4 12 1
4
3
2
4
3
12
ab c
Bài 4. Chứng minh
a. log a 3b log 2
1
log a log b với : a 3b 0; a2 9b2 10ab
2
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
log 2a
c
b
log 2a
Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c
log a b.logb c.logc a 1
;
b
c
b
c
a
c
a
b
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
a
Giải
a/ Từ giả thiết : a 3b 0; a 9b 10ab a 2 6ab 9b2 4ab a 3b 4ab
2
2
2
Ta lấy log 2 vế : 2log a 3b 2log 2 log a log b log a 3b log 2
b/ Chứng minh : log 2a
1
log a log b
2
b
c
log 2a .
c
b
1
2
b
c
b
c
c
c
* Thật vậy : log a log a log a log a2 log a log a2
c
b
c
b
b
b
* loga b.logb c.logc a 1 log a b.logb a log a a 1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
c
a
b
b
c
a
log log 2b log 2c log a .log b log c 1 Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
b
c c
a a
c a
a b
bc
2
a
b
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
1
. Ta có :
3
1
1
log3 4 log3 3 1;log 4 log 4 4 1 log 3 4 log 4
3
3
log6 1,1
log6 0,99
7
Ví dụ 2. So sánh : 3
. Ta có :
log6 1,1
log6 1
log6 0,99
log6 1
3
3
1; 7
7
1 3log6 1,1 7log6 0,99
Ví dụ 1: so sánh hai số : log3 4 log 4
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a. log0,4 2 log0,2 0,34
3
2
b. log 5 log 3
3 4
4 5
c. 2
log5 3
log5
3
Netschool.edu.vn
1
2
d. log3 2 log2 3
Netschool.edu.vn
2log 2 5 log 1 9
e. log2 3 log3 11
log3 2 log 1
h. 9
9
8
9
f. 2
1
k.
6
5
8
2
1
log 6 2 log
2
6
g. 4
log 2 3 log 4
5
11
18
5
3 18
Giải
2 1 log 0,4 2 log 0,4 1 0
log 0,2 0,3 log 0,4 2
0,3
1
log
0,3
log
1
0
0,2
0,2
a/ log0,4 2 log0,2 0,34 . Ta có :
3
3
5
3 1 0 4 1 log 5 4 log 5 1 0
3
2
2
3
3
3
b/ log 5 log 3 . Ta có :
log 3 log 5
4 5
3 4
3 4
4 5
0 3 1, 0 2 1 log 2 log 1 0
3
3
4
5
4 5
4
log5 3
log5 1
0
log 5 3 log 5 1 2
2
2 1
1
log5
1
log5 3
2
1
c/ 2
. Ta có :
log 5 3 log 5
3
log5
1
log 1
0
2
log 5 log 5 1 3 2 3 5 3 1
2
log 1 log 3 2 log 3 3 0 log 3 2 1
d/ log3 2 log2 3 . Ta có : 3
log 2 3 log3 2
log 2 2 log 2 3 log 2 4 1 log 2 3 2
1 log 2 3 2
log3 11 log 2 3
log3 11 log3 9 2
e/ log2 3 log3 11 . Ta có :
2log 2 5 log 1 9
f/ 2
8 . Ta có : 2log 2 5 log 1 9 log 2 25 log 2 9 log 2
2
2
2log 2 5 log 1 9
25
25
625
648
2
8
2
8
9
92
81
81
2
Nhưng :
g/ 4
log 2 3 log 4
5
11
log3 2 log 1
h/ 9
9
9
8
2 log 1
9
1
k/
6
18 . Ta có : 4
log 2 3 log 4
5
11
2
1
5
2log 2 3 log 2
2
11
2
log 2 9 log 2
5
11
2
log 2
5
log 2 3 log 4
81.11
891
90
11
18 4
18
5
5
5
Nhưng :
log3
25
2log 2 5 log 1 9
log 2
25
25
2
2
2 9
9
9
9
8
9
5 . Ta có :
2log3 2 log9
3
1
log 6 2 log
2
1
Ta có :
6
6
8
9
log3 2 log3
3
8
9
2.3
log3
8
3
6
36
40
5
8
8
8
5
3 18 .
1
log6 2 log
2
6
5
6
log6 2 log6 5
6
log6 10
6
log6
1
10
1 3 1
3 18
10
1000
Bài 2. Hãy so sánh :
Netschool.edu.vn
9 11
5
9 11
81.11
5
5
Netschool.edu.vn
a. log 2 10 log5 30
b. log3 5 log7 4
c. 2ln e3 8 ln
1
e
Giải
log 2 10 log 2 8 3
log 2 10 log 5 30
log5 30 log 5 36 3
a/ log 2 10 log5 30 . Ta có :
log3 5 log3 3 1
log3 5 log 7 4
log 7 4 log 7 7 1
b/ log3 5 log7 4 . Ta có :
2 ln e3 2.3 6
1
8 ln 2 ln e3
1
e
8 ln 8 1 9
e
1
c/ 2ln e3 8 ln . Ta có :
e
Bài 3. Hãy chứng minh :
1
2
b. 4log 7 7log
a. log 1 3 log3 2
2
d. 3log 5 5log
2
5
23
e.
c. log3 7 log7 3 2
54
1
log 3 log19 log 2
2
f. log
5 7
2
log 5 log 7
2
Giải
1
2
a/ log 1 3 log3 2 . Ta có : log 1 3
2
2
1
2
1
2
Nhưng : log3 0 log 3
1
1
log3
2
b/ 4log 7 7log 4 . Ta có : 4log 7 7log
5
5
5
7
1
1
log 3
2
log 3
2 log 3
4 log5 7
1
2
1
1
log 3
2
2
2
2
5
log 2 5
*
1
1
2
2 log 1
3
2
7log5 7.log7 4 7log5 4 . Vậy 2 số này bằng nhau
c/ log3 7 log7 3 2 . Ta có : log3 7 0 log3 7 log 7 3 log 3 7
d/ 3log 5 5log 3 . Ta có : 3log 5 5log 3
2
1
2
log3 7
5log2 5.log5 3 5log2 3
1
2 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900
1
e/ log 3 log19 log 2 . Ta có :
2
log19 log 2 log 19 log 361
2
4
361
1
log 900 log
log 3 log19 log 2
4
2
f/ log
5 7
2
log 5 log 7
5 7
5 7
log 5 log 7
5. 7 log
log 5. 7
. Ta có :
2
2
2
2
Bài 4. Hãy so sánh :
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
6
5
a. log3 log3
log 2
5
6
c. log 1 e log 1
b. log 1 9 log 1 17
3
3
2
d.
2
5
3
log 2
2
2
Giải
6
5
log
log
0
6 5
3
3
6
5
6
5
5
5
a/Ta có :
log 3 log3 . Hoặc : 5 6 log 3 log 3
5
6
5
6
log 5 log 6 0
3 1
3
3 6
6
1
0 1
b/ log 1 9 log 1 17 . Ta có : 3 log 1 9 log 1 17
3
3
3
3
9 17
1
0 1
c/ log 1 e log 1 . Ta có : 2 log 1 e log 1
2
2
2
2
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a. y x 2 2 x 2 e x
b. y sinx-cosx e2 x
d. y ln x 2 1
e. y
ln x
x
c. y
e x e x
e x e x
f. y 1 ln x ln x
Giải
a/ y x 2 x 2 e y ' 2 x 2 e x 2 x 2 e x x 2 e x
2
x
x
2
b/ y sinx-cosx e2 x y ' cosx+sinx e2 x 2 sinx-cosx e2 x 3sin x cosx e2 x
e x e x e x e x e x e x e x e x
e x e x
4
c/ y x x y '
2
2
e e
e x e x
e x e x
ln x
1 1
2x
1 ln x
y ' 2 .x ln x
e/ y
x
x x
x2
x 1
ln x 1 ln x 1 2ln x
f/ y 1 ln x ln x y '
x
x
x
d/ y ln x 2 1 y '
2
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a. y x 2 ln
x2 1
x4
d. y log 2
x4
b. log 2 x 2 x 1
c. y 3 ln 2 x
x2 9
e. y log3
x5
f. y log
Giải
Netschool.edu.vn
1 x
2 x
Netschool.edu.vn
a/ y x 2 ln
x 2 1 y ' 2 x.ln
b/ y log 2 x 2 x 1 y '
2
x2 1
x2 x
2 x.ln
2 x 2 1
x2 1
x3
2 x 2 1
2x 1
x x 1 ln 2
2
1
2
2
1
ln x 3 3
3
x 3x ln x
1 16
x4
16
x4
d/ y log 2
y
'
:
2
2
ln 2 x 4 x 4 x 4 ln 2
x4
2
x2 9
1 2 x x 5 x 9 x 2 9
x 2 10 x 9
e/ y log3
:
y'
2
ln 3
x 5 x 5 x 2 9 ln 3
x 5
x5
c/ y 3 ln 2 x y ' ln x 3 '
x 1
1 x
1 x 1 1 x
y
'
:
ln10 16 x x 2 x 8 x ln10 1 x
2 x
f/ y log
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
ln 3x 1 ln 2 x 1
x 0
x
b. lim
e 5 x 3 e3
x 0
2x
e. lim
a. lim
d. lim
ln 3x 1
x 0
sin 2 x
x 0
ex 1
x 1 1
ln 4 x 1
x 0
x
ln 1 x3
f. lim
x 0
2x
c. lim
Giải
ln 3x 1 ln 2 x 1
ln 3x 1
ln 2 x 1
lim
lim
3 2 1
x
0
x
0
3
2
x
x
x
3
2
ln 3x 1
3x
ln 4 x 1
ln 4 x 1
ln 3x 1
3
3x
lim 4
4
b/ lim
c/ lim
lim
,
x 0
x 0
x 0
x 0
sin 2 x
x
4
x
sin 2 x
2
2x
2x
5
x
e 1 5e3 ,
ex 1
ex 1
e 5 x 3 e3
lim
x 1 1 1.2 2
lim e3 5
d/ lim
e/ lim
x 0
x 0
x 0
2x
2. 5 x
2
x 1 1 x 0 x
a/ lim
x 0
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
ln 2 x 1
x 0
tan x
1x
d. lim xe x
x
a. lim
e 2 x e3 x
x 0
5x
sin 3x
e. lim
x 0
x
b. lim
Giải
Netschool.edu.vn
e3 x 1
x 0
x
1 cos5x
f. lim
x 0
x2
c. lim
Netschool.edu.vn
ln 2 x 1
2x
ln 2 x 1
2x
a/ lim
b/
lim
2
x 0
x
0
tan
x
tan x
x
x
2x
3x
2x
e e
e 1
e3 x 1 2 3
1
lim
lim
lim3
x 0
x
0
x
0
5
5x
5 3x 5 5
5
.2 x
2
c/ lim
x 0
1
e x 1
d/ lim xe x lim x e 1 lim
1
x
x
x 1
x
5x
2sin 2
1 cos5x
2 25
lim
f/ lim
2
2
x 0
x 0
x
2
4 5x
25 2
e 1
e 1
lim3
3
x
0
x
3x
3x
1
x
3x
sin 3x
sin 3x
lim3
3
x 0
x 0
x
3x
e/ lim
1
x
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
cosx cos3x
x 0
sin 2 x
1
c. lim x 2 sin
b. lim
t anx
x cosx
2
a. lim
x
3
x
2 2 cos x
d. lim
x
4
sin x 4
Giải
2sin 2 x sin x
cosx cos3x
4cos x.sin 2 x
lim
lim
4
x 0
x 0
x 0
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
1
b/ lim
t anx .
x cosx
a/ lim
2
1
1 cost
tan t
cot t
2
2
sint
2 sin t
cos t
2
t
t
2sin 2
tan
2 tan t . Khi x ; t 0 lim 1 t anx lim 2
2
t 0
t
t
t
2
2
t
x cosx
2sin cos
2
2
2
2
x ; t 0
1
3
3
lim x 2 sin lim 6t 3 3
c/ lim x 2 sin . Đặt : t
3
1
x
x
x
x t 0
x
x 2 x 2 t 3t 6t 3
Đặt : t
xx
t
1
t anx=
cosx
1
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
x t ; x ;t 0
4
4
2 2 cos x
. Đặt : x t
d/ lim
2 2 cos t
4
x
4 2 1 cost+sint
2 2 cos x
4
sin x 4
sin t
sint
sin x 4
t
t
t
t
t
2sin 2 2sin cos
sin cos
2 1 cost+sint
2
2
2 2
2
2 2 tan t 2
Do đó :
2
t
t
t
sint
2
2sin cos
cos
2
2
2
2 2 cos x
t
lim 2 tan 2 2
Vậy : lim
t o
2
x
4
sin x 4
Netschool.edu.vn
