ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH HÌNH học 11

ĐS & GT 11

FB: />
LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LG VÀ PTLG
CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) :
 sin luôn xác đònh  R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác đònh  R và cos( + k2) = cos
 - 1  sin  1 (sin 1).

 - 1  cos  1 (cos  1).



 tan xác đònh khi    k và tan(k) = tan;
2

cot xác đònh khi   k và cot( + k) = cot.
 Dấu của các giá trò lượng giác của góc 
Phần tư
Giá trò lượng giác
sin
cos
tan
cot

I

II

III

IV

+
+
+
+

+
-

+
+

+
-

2. Bảng các giá trò lượng giác đặc biệt:


0 (00)

sin

0

cos

1

tan

0

cot

kxđ


(300)
6

1
2
3
2
1


(450)
4
2
2
2
2


(600)
3
3
2
1
2


(900)
2

1

3

kxđ

3

3

1

1
3

3. Công thức lượng giác cơ bản:
 sin2 + cos2 = 1


1
1  cot 2  
sin 2 

(  k, k  Z).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 1  tan 2  

1
0

0

1
cos 2 



(   k , k  Z).

2

 tan.cot = 1 (   k , k  Z).
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-) và  Cung bù:(-) và  Cung phụ:(  -) và  Cung hơn kém :
2
(+) và 
sin(-) = -sin
sin( - ) = sin

sin( -) = cos
sin( + ) = -sin
2
cos(-) = cos
cos(-) = -cos


cos( - ) = sin
cos( +) = -cos
2
tan(-) = -tan
tan(-) = -tan

tan( - ) = cot
tan( + ) = tan
2
cot(-) = -cot
cot(- ) = -cot

cot( - ) = tan
cot( + ) = cot
2

5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a tan b

Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a - sin2a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2sin2a

tan( a  b) 

Công thức biến tích thành tổng:

1
2
1
sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)]
2
1
sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
2

cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]

 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin3a
 Công thức sina + cosa:


4

2 cos(a - )
4

sina + cosa = 2 sin(a + )
sina + cosa =

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

tan 2a 

2tana
1  tan 2 a

Công thức hạ bậc:
1  cos 2a
2
1

cos
2a
sin 2 a 
2
1  cos 2a
tan 2 a 
1  cos 2a
cos 2 a 

Công thức biến đổi tổng thành tích:
uv
uv
cos
2
2

uv
uv
cosu - cosv = -2sin
sin
2
2
uv
uv
sinu + sinv = 2sin
cos
2
2
uv
uv
sinu - sinu = 2cos
sin
2
2

cosu + cosv = 2cos

cos3a = 4cos3a - 3cosa


)
4

sina - cosa = - 2 cos(a + )
4

sina - cosa = 2 sin(a -

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
y

y
B

sinx

M'

sinx

M

x
A'

O

A

x

O

x

x

B'

 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R  R
x  y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
 Tập xác đònh của hàm số sin là: D = R.
b) Hàm số côsin:
y

y
B

M''

cosx

M

x

A'

O

cosx

A

x

O

x

x

B'

 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R  R
x  y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx
 Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang: Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức
y=

sin x
cos x

(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.

 Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{


+ k, k  Z}.
2

b) Hàm số côtang:
 Hàm số côtang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =

cos x
sin x

(sinx ≠ 0), kí

hiệu là y = cotx.
 Tập xác đònh của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z}.
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó
suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:

 Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
 Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
 Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì .
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
 Hàm số y = sinx xác đònh với mọi x  R và -1  sinx  1;
 Là hàm số lẻ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]:
x3
x4

y

y

B

1
x2

sinx2
sinx1

A'

O

sinx2

x1

sinx1

A x

O

x1

x2



x3

x4



x

2

B'

Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
Bảng biến thiên:
x

0


2



] và nghòch biến trên [ ; ].
2
2



1
y = sinx
0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

0
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy
đối xứng đồ thò hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc
tọa độ O, ta được đồ thò hàm số trên đoạn [-; 0].

y

1
-

-


2

O





2

x

-1

b) Đồ thò hàm số y = sinx trên R:
y
-

5
2

-2

-

-
-

1



3



2

3

O

2

2



2

2

x

5
2

-1

2

c) Tập giá trò của hàm số y = sinx:
Tập giá trò của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
 Hàm số y = cosx xác đònh với mọi x  R và -1  cosx  1;
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;
 Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghòch biến trên [0; ].
 Bảng biến thiên:
x

-

0
1



y = cosx
-1

-1

 Đồ thò hàm số y = cosx:

y
-

1

5
2

-

-2
-

3

-





2

O

2


2

-1

3
2

2

5
2

x

 Tập giá trò của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
3. Hàm số y = tanx:


2

 Tập xác đònh: D = R\{  k , k  Z};
 Là hàm số lẻ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;


):
2

y

B

M2

T2

tanx2

T1

tanx1

A

O

M1

A'

O

x1 x2

x


2

B'

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
Bảng biến thiên:
x


4

-


).
2


2

+
y = tanx

1

0

* Nhận xét: Khi x càng gần



thì đồ thò hàm số y=tanx càng gần đường thẳng x= .
2
2

b) Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

 

 Đồ thò hàm số y = tanx trên ( ; ) :
2 2
y

-

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


2

O


2

x

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
 Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

-3

-

2

-

y

3


2

O

2





x

2

 Tập giá trò của hàm số y = tanx là T = (-; +).
4. Hàm số y = cotx:
 Tập xác đònh: D = R\{k, k  Z};
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx trên khoảng (0; ):
Hàm số y = cotx nghòch biến trên khoảng (0; ).

2

0

x



+
y = tanx

0
-
y


O


2

x

b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D:
y

-2

-3

-

2

O
-



2





3

2

2

2

x

 Tập giá trò của hàm số y = cotx là T = (-; +).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a  R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a  1:

sin
1
M'

 x    k 2

sinx= sin  
(k  Z )
 x      k 2

B
M

a K

A' -1

1 A
côsin

O

 x  arcsin a  k 2

sinx=a  
(k  Z )
 x    arcsin a  k 2

-1
B'

* Chú ý:
sin u( x )  sin 
[sin u( x )  sin  0 ]

 u( x )    k 2 [ 0  k 360 0 ]

 

(k  Z )
0
0
0
u
(
x
)





k
2

[
180



k
360
]


 sinu(x) = a
(-1  a  1)
sin u( x )  a
(sin u( x )  a)

 u( x )  arcsin a  k 2 [arcsin a  k 360 0 ]

 

(k  Z )
0
0
u
(
x
)



arcsin
a

k
2

[
180

arcsin

a

k
360
]

 f ( x )  g( x )  k 2
(k  Z )
 f ( x )    g( x )  k 2

 Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]  


+ k2, k  Z
2

sin[f(x)] = -1  f(x) = - + k2, k  Z
2

 Đặc biệt: sin[f(x)] = 1  f(x) =

sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z.
2. Phương trình cosx = a:
Xét phương trình cosx = a (a  R) (2)
Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm
Trường hợp a  1:
 x    k 2

cosx = cos  
(k  Z )

 x    k 2

sin
1

B
M

A' -1

a

O

1 A
côsin

H

 x  arccos a  k 2

cosx = a  
(k  Z )
 x   arccos a  k 2

M'

-1
B'

* Chú ý:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
cos u( x )  cos 

u( x )    k 2 [ 0  k 360 0 ]

[cos u( x )  cos  0 ]

 

(k  Z )
0
0
 u( x )    k 2 [   k 360 ]

 cosu(x) = a
(-1  a  1)
cos u( x )  a
[cos u( x )  a]

u( x )  arccos a  k 2 [arccos a  k 360 0 ]

 

0
 u( x )   arccos a  k 2 [ arccos a  k 360 ]

(k  Z )

 f ( x )  g( x )  k 2
(k  Z )
 f ( x )   g( x )  k 2

 Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)]  

 Đặc biệt: cos[f(x)] = 1  f(x) = k2, k  Z
cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z
cos[f(x)] = 0  f(x) =


+ k, k  Z.
2

3. Phương trình tanx = a:
tanx = tan  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z]
tanx = a x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z]
* Chú ý: tan[u(x)] = tan  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]
 tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [ux) = arctana + k1800, k  Z]
 Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.
 Đặc biệt: tan[u(x)] = 0  u(x) = k, k  Z.
4. Phương trình cotx = a:

cotx = cot  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z]
cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k1800, k  Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cot  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]
 cot[u(x)] = a
cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [ux) = acrcota + k1800, k  Z]
 Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.
 Đặc biệt: cot[u(x)] = 0  u(x) =

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


+ k, k  Z.
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG at 2  bt  c  0 ( a  0 ), với t là một hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, …)
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
DẠNG a sin x b cos x c ( a 2  b 2  0 )
- Chia hai vế của phương trình cho a 2 b2 , phương trình trở thành
a
a

2

b

2

b

sin x
a

2

b

2

a

2

a

2

b
b

b

a2

2

a

b2

;

2

b

2

1

nên có góc

sao cho

a
a2

, ta có phương trình tương đương : sin x cos

sin

b2

2

2

a

- Vì

c

cos x

và

cos

b2

cos x sin
c

- Áp dụng công thức cộng, ta được phương trình sin x
a

2

b2

c

a2

b2

;

.

Nhận xét
- Phương trình a sin x b cos x c có nghiệm khi và chỉ khi a 2 b2 c 2 .
- Các phương trình a sin x b cos x c , a cos x b sin x c cũng được giải tương tự.
III. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x
DẠNG a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x 0
- Xét xem x
- Với x

2

k

2
k

( a 2  b2  c2  0 )

có thỏa phương trình không ;

( cos x 0 ), chia hai vế của phương trình cho cos 2 x để đưa về phương

trình theo tan x .

Chú ý: Đồi với các phương trình a sin 2 x b sin x cos x 0 , b sin x cos x c cos 2 x 0 ta có thể
giải bằng cách đưa về phương trình tích.
- Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai
được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x .
- Với hằng đẳng thức d

d sin 2 x

d cos 2 x ,

phương trình a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d

cũng được xem là phương trình thuần nhất.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
 Tập rỗng:  là tập hợp không chứa  A = B  A  B và B  A
phần tử nào.
 Tính chất:
 Tập con:
a) A  A với mọi tập hợp A.

b) Nếu A  B và B  C thì A  C.
B
A
c)   A với mọi tập hợp A.
 Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập
A  B  x : x  A  x  B )
hợp số không có phần tử 0.
 Số tập con của tập có n phần tử là 2n.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao

Hợp

Hiệu

Phần bù
B

A

A

B

 A  B ={xx  A
và x  B}
x  A
x  B

 x A B  

A

B

A

 A  B ={xx  A
hoặc x B}
x  A
x  B

 x A B  

B

 A\ B ={xx  A
và x B}
x  A
x  B

 x A\ B  

Khi B  A thì A\B
gọi là phần bù của
B trong A, kí hiệu
C AB .

3. Dấu hiệu chia hết:
 Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

 Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
 Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
 Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
4. Số và chữ số:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§1. QUY TẮC ĐẾM
I- Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành
động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với
bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
* Chú ý:  Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
 Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu
hạn không giao nhau. Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì
n(A  B) = n(A) + n(B).
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m
cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành
động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

§2. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I- HOÁN VỊ:

1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp
thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó.
* Nhận xét: Hai hoán vò của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
2. Số các hoán vò: Kí hiệu Pn là số các hoán vò của n phần tử. Ta có:
Pn = n(n - 1)(n - 2)...2.1 = n!
II- CHỈNH HP:
1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Kết quả của việc lấy k phần
tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
2. Số các chỉnh hợp:
Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n). Ta có:
Ank = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
* Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank =

n!
(1
(n  k )!

 k  n)(n, k  N)

b) Mỗi hoán vò của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần

tử. Vì vậy Pn = Ann .
III- TỔ HP:
1. Đònh nghóa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0  k  n.
2. Số các tổ hợp: Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:
C nk 

n!
(0
k!(n  k )!

 k  n) (n, k  N)

3. Tính chất của các số Cnk :
a) Tính chất 1: Cnk  Cnnk (0  k  n)
b) Tính chất 2: Cnk11  Cnk1  Cnk (1 k < n) - công thức Pascal

§3. NHỊ THỨC NEWTON
I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
(a  b)n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2 b 2  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn1ab n1  Cnn b n

Hệ quả:
 Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = Cn0  Cn1  ...  Cnn
 Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = Cn0  Cn1  ...  (1)k Cnk  ...  (1)n Cnn
* Chú ý: Vế phải trong khai triển nhò thức NewTon:
a) Số các hạng tử là n + 1;
b) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0 = 1).
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Nhận xét

- Số hạng tổng qt trong khai triển là Cnk a nk bk ;
- Trong cùng một số hạng, số mũ của a và b có tổng bằng n ;
- Trong khai triển (*) có n + 1 số hạng ;
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
- Trường hợp đặc biệt,

1  x 

n

 Cn0  Cn1 x  ...  Cnk x k  ...  Cnn x n
n

  Cnk x k
k 0

II- TAM GIÁC PASCAL:

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:
1. Phép thử:
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc
dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu:
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của
phép thử và kí hiệu là .
II- BIẾN CỐ:
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

A

* Chú ý:
i) Các biến cố thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C,... Khi nói : "cho
các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến
một phép thử.
ii) Các biến cố thường được cho bởi mệnh đề mô tả biến cố hoặc mệnh đề xác
đònh tập con của không gian mẫu.
 Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được
gọi là biến cố chắc chắn.
* Chú ý: Biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của
phép thử đó là một phần tử của tập A (hay thuận lợi cho A).
III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
a) Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập \A được gọi là biến cố
đối của biến cố A, kí hiệu là A .
b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:

 Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B; A  B xảy ra khi và chỉ
khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
 Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B (còn được viết tắt là A.B);
A  B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.
 Nếu A  B =  thì ta nói A và B xung khắc; A và B xung khắc khi và chỉ khi
chúng không khi nào cùng xảy ra.
Kí hiệu
A
A=
A=
C=AB
C=AB
AB=
B= A

Ngôn ngữ biến cố
A là biến cố
A là biến cố không
A là biến cố chắc chắn
C là biến cố "A hoặc B"
C là biến cố "A và B"
A và B xung khắc
A và B đối nhau.

A

B

§5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I- ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:

Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng
khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n( A )
n( )

là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).

P(A) =

n( A )
n( )

* Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến
cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

II- TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
Đònh lí: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu
hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó:



 P(P
P với mọi biến cố A.
 Nếu A và B xung khắc, thì P(A  B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)
Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có:
P( A ) = 1 - P(A)

III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT:
1

Quy tắc cộng xác xuất
Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B. Biến cố A  B được gọi là hợp của hai biến cố

A và B. Biến cố A  B có nghĩa là “A hoặc B xảy ra”.
Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A  B   .
Đối với hai biến cố xung khắc, nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.
Định lý Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P  A  B   P  A   P  B  .
2

Quy tắc nhân xác xuất
Biến cố giao Cho hai biến cố A và B. Biến cố “cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là

AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay khơng
xảy ra của biến cố này khơng ảnh hưởng tới xác xuất xảy ra của biến cố kia.
Định lý Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P  AB   P  A  P  B  .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tính chất chia hết của một tổng:
 Nếu tất cả các số hạng trong một tổng chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết
cho số đó.
 Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng
khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
2. Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương:
a, b  Q, m, n  Z+, ta có:
a0 = 1
m n

a1 = a
m.n

(a ) = a

n

am.an = am + n
n n

(ab) = a b

3. Tính chất của bất đẳng thức:
 a < b  a + c < b + c;
 Với c > 0 thì a < b  ac < bc;
 Với n  Z+ thì a < b  a2n + 1 < b2n + 1;
a  b
a
c  d



+ c < b + d;

 Với a > 0 thì a < b  a < b ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

a n an
( )  n
b
b

am
an

= am – n

(b ≠ 0)

 Với c > 0 thì a < b  ac > bc;
 Với n  Z+ thì 0 < a < b  a2n < b2n;

0  a  b


 ac < bd;
0  c  d
 a < b  3 a < 3 b , a  R.

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

I– PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1 (gọi là giả
thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
* Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là
một số tự nhiên) thì:
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k  p và
phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun
dương n, ta thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh
rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số ngun dương n  p
thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương bất kì n = k  p và phải
chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§2. DÃY SỐ
I– ĐỊNH NGHĨA:
1. Đònh nghóa dãy số: Mỗi hàm số u xác đònh trên tập các số nguyên dương N*
được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N*  R
n  u(n).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, trong đó un = u(n)
hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng
quát của dãy số.
2. Đònh nghóa dãy số hữu hạn:
Mỗi hàm số u xác đònh trên tập M={1, 2, 3, …, m} với m  N* được gọi là một
dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số
hạng cuối.

II– CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ:
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát:
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:
III– BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ:
Ví dụ: Các số hạng của dãy số cho bởi công thức un=

n 1
n

được biễu diễn trên trục

số như sau:
0

1

5

4

4

3

u4 u3

3
2

2

u2

u1

u(n)

IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN:
1. Dãy số tăng, dãy số giảm:
 Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n N*.
 Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n N*.
* Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3n , tức là dãy số: -3, 9, -27, 81,… không tăng và
cũng không giảm.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
2. Dãy số bò chặn:
 Dãy số (un) được gọi là bò chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M, n  N*.
 Dãy số (un) được gọi là bò chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n  N*.
 Dãy số (un) được gọi là bò chặn nếu nó vừa bò chặn trên vừa bò chặn dưới, tức là tồn
tại các số m, M sao cho m  un  M , n  N*.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Dãy số

u: *
n u(n)

Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …

2. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.

 un+1 – un > 0 với nN*

un1

 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.
 un+1 – un< 0 với  n  N* 
3. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên
 (un) là dãy số bị chặn dưới
 (un) là dãy số bị chặn

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

un

1

un1
un

với n  N* ( un > 0).

1

với n N* (un > 0).

 M  R: un  M, n  N*.
 m  R: un  m, n  N*.
 m, M  R: m  un  M, n  N*.

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§3. CẤP SỐ CỘNG

I– ĐỊNH NGHĨA:
 Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
 Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
 Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi:
un+1= un + d với n  N*
 Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng
đều bằng nhau).
II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:
Đònh lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng
quát un được xác đònh bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n  2
III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG:
Đònh lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghóa là
uk =

uk 1  uk 1
với k  2
2

IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG:
Đònh lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un. Khi đó:
Sn =

n(u1  un )
2

* Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết:
Sn = nu1 +

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

n(n  1)
d
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
§4. CẤP SỐ NHÂN

I– ĐỊNH NGHĨA:
 Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
 Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
 Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un 1  un .q với n  N*.

* Đặc biệt:
Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…,0,…
Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…
Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,…
II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:
Đònh lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un
được xác đònh bởi công thức:
un  u1.q n 1

với n  2

III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN:
Đònh lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghóa là:
uk2  uk 1.uk 1

(hay uk  uk 1.uk 1 ) với k  2 .

IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN:

Đònh lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q  1. Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó:
Sn 

u1 (1  q n )
1 q

 Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… Khi đó Sn = n.u1.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
1. Đònh nghóa:
 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể
nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: nlim
un  0 hay un 0 khi n   .
 
 Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n   ,
nếu nlim
(vn – a) = 0. Kí hiệu: nlim

vn = a hay vn a khi n   .
 
 
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
Từ đònh nghóa ta suy ra các kết quả sau:
1
1
 0 ; lim k  0 với k nguyên dương;
n   n
n
n
b) lim q  0 nếu q  1 ;

a) nlim
 

n  

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì nlim
un = nlim
c = c.
 
 
* Chú ý: Từ nay về sau thay cho nlim
un = a, ta viết tắt là limun = a.
 
II– ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN:
Đònh lí:
a) Nếu limun = a và limvn = b thì:
 lim(un + vn) = a + b;

 lim(un.vn) = a.b;

 lim(un – vn) = a – b;
 lim

un a

vn b

(nếu b  0).

b) Nếu un  0 với mọi n và limun = a thì a  0 và lim un  a .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
 Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với q<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô
hạn.
 Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) hay S=u1+u2+u3+…+un+…. Khi đó:
S=

u1
1 q

 q  1 .

IV– GIỚI HẠN VÔ CỰC:
1. Đònh nghóa:
 Ta nói dãy số (un) có giới hạn   khi n   , nếu un có thể lớn hơn một số
dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun =   hay un =   khi n   .
 Dãy số (un) được gọi là có giới hạn   khi n   nếu lim  un    .
Kí hiệu: limun =   hay un   khi n   .
* Nhận xét: limun =    lim un    .
2. Một vài giới hạn đặc biệt: Ta thừa nhận các kết quả sau:
a) lim n k   với k nguyên dương
b) lim q n   nếu q > 1.
3. Đònh lí:
a) Nếu limun = a và limvn =   thì lim

un
 0.
vn

b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim

un
  .
vn

c) Nếu limun =   và limvn = a > 0 thì limunvn =   .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ