Giáo Án Không Gian Vector Và Các Phép Toán Trên Vector; Hệ Vector hệ vector độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính

GIO N S: 01

Thi gian thc hin: 3 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI: KHễNG GIAN VECTOR V CC PHẫP TON TRấN VECTOR;
H VECTOR Độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính
I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- hiu c th no l mt khụng gian vector. Nhn bit c mt khụng gian
vector
- T ú khỏi quỏt lờn c mt khụng gian vector n chiu.
- V nm c cỏc phộp toỏn trờn vector cú th bin i c.
- Kiểm tra đợc một hệ vector khi nào là độc lập tuyến tính khi nào là phụ thuộc
tuyến tính.
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..
- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:

+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy

Phơng pháp giảng dạy Thờ
i
gian
I. Nờu nh ngha khụng gian vector:
- Trỡnh by trờn bng,
- Gi s cho tp V khỏc rng v trng K (trng K ny vn ỏp
cú th l trng s thc (R), trng s hu t (Q) hay l - HS lng nghe lm
trng s phc (C)).
quen vi nh ngha
uu
r uu
rr
- Gi s cỏc phn t , , V Trờn V i trang b hai phộp khụng gian vector
toỏn:
+ Phộp cng: V.V ---> V (phộp cng hai vector)

(

uu
rur
ur ur
, a +

)

+ Phộp nhõn: K.V ---> V(phộp nhõn mt s vi mt
vector

(

ur
ur
k , a k

)

Sao cho hai phộp toỏn ny tho món 8 iu kin sau:
1


T1:
T2:
T3:
T4:

ur ur ur ur
ur ur
+ = + ;
, V
ur ur r ur ur r
uu
r uu
rr
+ + = + + ; , , V
ur

ur
ur
ur
, à K ; V
( + à ) = + à ;
ur ur
ur
ur
ur ur
+ = + ;
K ; , V
ur
ur
ur
à = (à ) ;
, à K ; V
r
r ur ur r ur
ur
0 V : 0 + = + 0 = ;
V
ur
uu
r ur uu
r uu
r ur r
V , ' : + ' = ' + = 0
ur ur ur
ur
1 = 1 = ;

V

(

)

(

(

)

- HS lng nghe ghi
chộp bi

)

T5:
( )
T6:
T7:
T8:
Khi ú V cựng hai phộp toỏn cng v nhõn (V, +, *) l mt
khụng gian vector trờn trng K, hay gi l K_khụng gian
vector V.
- T nh ngha khụng gian vector khỏi quỏt lờn nờu nh
ngha khụng gian vector n chiu.
+ Cho trng K , n 1 . Xột tớch cỏc:
K n = { x = ( x1 , x2 ,K , xn ) | xi R, i = 1, 2,K , n} , vi hai phộp
toỏn cng v phộp toỏn nhõn

+Phộpcng:
( x1 , x2 ,K , xn ) + ( y1 , y2 ,K , yn ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,K , xn + yn )
+ Phộp nhõn: k ( x1 , x2 ,K , xn ) = (kx1 , kx2 ,K , kxn )

- Quy np lờn cho
khụng gian vector
Thỡ K n cựng hai phộp toỏn cng v phộp toỏn nhõn trờn l n_chiu
mt khụng gian vector n chiu trờn trng K
Vớ d: Xột K = R , vi:
n=1: Thỡ R1 _ l khụng gian vector 1 chiu: Hỡnh nh
l trờn trc s.
n=2: Thỡ R 2 _ l khụng gian vector 2 chiu: Hỡnh
nh l ton b mt phng.
n=3: Thỡ R3 _ l khụng gian vector 3 chiu: Hỡnh nh
l ton b khụng gian thc 3 chiu.
* Cỏc phộp toỏn vector:
Phộp
cng:
( x1 , x2 ,K , xn ) + ( y1 , y2 ,K , yn ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,K , xn + yn )
- HS quan sỏt tho
- Phộp nhõn vector vi mt s: lun lm vớ d.
k ( x1 , x2 ,K , xn ) = (kx1 , kx2 ,K , kxn )

- Tớch vụ hng ca hai vector:

( x1 , x2 ,K , xn ) ì( y1 , y2 ,K , yn ) = x1 ìy1 + x2 ìy2 + K + xn ìyn
r
u
r
Trongú: x = ( x1 , x2 ,K , xn ), y = ( y1 , y2 ,K , yn ) K n ; k K

II. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ
phụ thuộc tuyến tính
- Xõy dng cỏc phộp
1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính.
toỏn trờn khụng gian
vector
2


Định nghĩa
Cho K_không gian vectơ V

r r
a, Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 ... n V là một
biểu thức dạng:

r

n


i =1

i

i

r
r

r
= 1 1 + 2 2 + ... + n n

trong

đó

1 , 2 ,..., n K .
r
r
r
r
r
b, Với V , nếu = 11 + 2 2 + ... + n n thì ta nói
r
r
r
vectơ đợc biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ vectơ (1 ,...., n )
r
r
r
r
và đẳng thức = 11 + 2 2 + ... + n n gọi là một biểu thị
r
r
r
tuyến tính của vectơ qua các vectơ 1 ,...., n .

- HS chỳ ý lng nghe
nh ngha hỡnh thnh

mt h vector khi no
thỡ LTT

c, (định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ
phụ thuộc tuyến tính)
r
r
* Hệ vectơ (1 ,...., n ) đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính
nếuhệ thức
r
r
r
r
11 + 2 2 + ... + n n = 0 chỉ xảy ra khi và chỉ khi
- T ú suy ra mt h
1 = 2 = n = 0
vector khi no thỡ
r
r
* Hệ vectơ (1 ,...., n ) đợc gọi là hệ vectơ phụ thuộc PTTT
tuyến tính nếu hệ vectơ đó không độc lập tuyến tính .
Ví dụ
Trong không gian vectơ thực R2 cho hệ 3 vectơ :
r
r
r
1 = (2,0), 2 = (0,4), 3 = (4,4)
r r
thì hệ (1 , 2 ) là hệ vectơ độc lập tuyến tính vì :
- HS da vo cỏc

r
r
r
r
11 + 2 2 = 0 (21 ,0) + (0,4 2 ) = 0 (21 ,4 2 ) = (0,0)nh
1ngha
= 2 = 0 trờn
r r r
Còn hệ (1 , 2 , 3 ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính vì cũng kim tra xem h
vector no LTT,
r
r
r r
nh trên ta biểu diễn đợc 21 + 2 3 = 0 .
no PTTT
- Lờn bng trỡnh by
2. Một số tính chất.
ý tng ca mỡnh
r
r
a, Hệ ( 1 ,...., n ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và - GV cha bi.
chỉ khi có các vô hớng 1 , 2 ,..., n không đồng thời bằng 0
r
r
r
r
- T nh ngha qua
sao cho : 11 + 2 2 + ... + n n = 0 .
vớ d xõy dng mt
r

b, Hệ gồm 1 vectơ ( ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính s tớnh cht ca h
r r.
vector
khi và chỉ khi
=0
- HS chỳ ý lng nghe
3


r
r
c, Với n >1 hệ n vectơ (1 ,...., n ) là hệ vectơ phụ thuộc - Gv ỳc kt li
tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó biểu thị tuyến tính
qua các vectơ còn lại của hệ.
d, Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ
vectơ độc lập tuyến tính.
r
r
Ví dụ : Giả sử hệ vectơ (1 ,...., n ) độc lập tuyến tính
r
r
thì hệ vectơ con (1 ,...., n i ) là độc lập tuyến tính , với i =
1,2,..n-1.

V. Tng kt bi:
- Nm chc nh ngha v khụng gian vctor. Khỏi quỏt lờn nh ngha khụng gian
vector n chiu
- Nm cỏc phộp toỏn trờn vector, kim tra c mt h vector khi no LTT, khi no
PTTT
VI.

Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
1. Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính :
r

r

r

r

a, 1 =( -1,-2,1,2), 2 =(0,-1,2,3), 3 =(1, ,3)4,1,2), 4 =(-1,0,1)
r

r

r

b, 1 =(-1,1,0,1), 2 =(1,0,1,1), 3 =(-3,1,-2,-1).
r

r

r

2. Trong K - không gian vectơ cho hệ vectơ ( 1 , 2 ,.., n ) Xét xem hệ này có độc lập
tuyến tính hay không trong mỗi trờng hợp sau :
a, Có một vectơ của hệ bằng vectơ không.
b, Có hai vectơ của hệ bằng nhau.
r r
r r

r
r r
r
r r r
r
c, 1 = 1 , 2 = 1 + 2 ,..., n = 1 + 2 + ... + n mà hệ ( 1 , 2 ,..., n ) độc lập tuyến tính.
VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

4


GIO N S: 02

Thi gian thc hin: 5 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI:
MA TRN
I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Hiu c th no l mt ma trn. Nm c cỏc dng ca ma trn
- Lm c cỏc phộp toỏn trờn ma trn
- Tớnh c nh thc ca ma trn
II. n nh lp:

Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..
- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:
+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy
Phng phỏp ging
Th
i
gia
n
I. Định nghĩa.
Cho K là một trờng tuỳ ý .Một bảng gồm m.n - HS chỳ ý lm quen vi
nh ngha ca ma trn
phần tử aij thuộc trờng K có dạng:
- GV trỡnh by lờn bng
a11 a12 L a1n

ữ
a 21 a 22 L a 2n ữ
(1)
M
M L
Mữ

ữ
a m1 a m2 L a mn
đợc gọi là một ma trận kiểu (m,n) . Mỗi aij đợc gọi
là một thành phần của ma trận , vectơ dòng

( a i1

a i2 L

a in )
- HS ý mt s c bit
ca ma trn

đợc gọi là dòng thứ i của ma trận .
5


Vectơ cột:
a1j

ữ
a

2j ữ
Mữ

ữ
a mj ữ


đợc gọi là cột thứ j của ma trận .
Ta thờng kí hiệu các ma trận bằng các chữ cái
A,B,C,.. Ma trận (1) có thể kí hiệu đơn giản bởi
A=(aij)mxn. Ta cũng nói ma trận A có m dòng , n cột.
-Khi m = n thì ma trận A=(aij)nxn đợc gọi là ma
trận vuông cấp n.
Tập hợp các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử
thuộc trờng K đợc kí hiệu là Mat(m x n,K).
II. Các loại ma trận thờng gặp.
1.Ma trận không : Là ma trận mà các phần tử đều
bằng không.
0 L

O= M O
0 L


0

ữ
Mữ
0ữ

2. Ma trận đối :
Ma trận đối của ma trận A là ma trận mà các pgần
tử của nó là đối của các phần tử tơng ứng của ma trận
A.
Đối của ma trận A kí hiệu là -A.
a11 K a1n
a11 K a1n

ữ
A= M O
M ữ A = M O
M ữ
ữ.
a
ữ
a
ữ
m1 L a mn
m1 L a mn
3. Ma trận vuông : Là ma trận có số dòng bằng số cột
(m=n)
a11 K
A= M O
a
n1 L

a1n
Mữ
ữ

a nn ữ


Chú ý :
+ Các phần tử a11 ,a 22 ,...,a nn của ma trận vuông
cấp n đợc gọi là các phần tử chéo . Tổng
6

- Gii thiu hs cỏc loi ca
ma trn cỏc bn lm
quen.


a11 + a 22 + ... + a nn . gọi là vết của ma trận
+ Từ nay dùng kí hiệu Ai,Aj lần lợt là hàng thứ i và
cột thứ j .
- HS nm rừ cỏc dng c
4. Ma trận đơn vị.
Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đờng bit ca ma trn ỏp dng
chéo đều bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0. I lm bi tp
1
0
=
M

0

0
Mữ
ữ.

0ữ
ữ
1
5. Ma trận chéo : Là ma trận mà các phần tử nằm
ngoài đờng chéo đều bằng 0
0
1
M
L

L
L
O
0

1 0

0 2
M M

0 L

0
ữ
Mữ
A=
0 ữ
ữ
n
6. Ma trận tam giác trên , ma trận tam giác dới.

- Ma trận vuông mà các phần tử nằm dới đờng
chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác trên.
L
L
O
0

a11 a12

0 a 22
A=
M M

0
0

L
L
O
L

a1n
ữ
a 2n ữ
Mữ
ữ
a nn

- Ma trận vuông mà các phần tử nằm trên đờng
chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác dới.

a11 0 L

a
a 22 L
B = 21
M M O

a n1 a n2 L

0
ữ
0 ữ
.
Mữ
ữ
a nn

III. Các phép toán:
1. Ma trận bằng nhau :
- GV trỡnh by cỏc phộp
Hai ma trận A=(aij)mxn và B=(bij)mxn đợc gọi là toỏn trờn ma trn.
bằng nhau nếu
- HS chỳ ý lng nghe
7


thc hnh lm cỏc phộp
aij= bij với i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n.
toỏn trờn ma trn
Kí hiệu A = B

2.Phép cộng ma trận
a. Định nghĩa:
Cho A=(aij)mxn và B=(bij)mxn là hai ma trận thuộc
Mat(mxn,K) và K .Ta gọi tổng của hai ma trận A và
B là ma trận C =(cij)mxn xác định bởi :
cij= aij + bij i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n.
Kí hiệu C = A + B.
b. Các tính chất:
A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
3. Tích của ma trận với một số.
a. Định nghĩa:
Ta gọi tích của ma trận A với vô hớng là một ma
trận D= (dij)mxn xác định bởi:
dij = aij ,

i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n.

b. Các tính chất:
( A+B) = A + B
1.A = A
(-1).A = -A
0.A = 0
.0 = 0
( A) = ( )A
4. Tích của hai ma trận .
a. Định nghĩa:
Cho ma trận A=(aij)mxn thuộc Mat(m x n, K) và
B=(bj k)nxp thuộc Mat(nxp, K) . Ta gọi tích của ma trận - Hs chỳ ý phộp nhõn hai
A với ma trận B là một ma trận C=(c jk)m x p thuộc Mat ma trn

(m x p , K) mà các phần tử đợc xác định bởi :
n

c ik = a ij b jk i = 1..m , k = 1... p,
j =1

Điều kiện để có tích
Kí hiệu C=A.B
A.B là số cột của A bằng số
Có thể mô tả cách tìm thành phần c ik của ma trận dòng của B .Nh vậy có thể
tích A.B bằng sơ đồ sau:
có tích A.B nhng cũng có
thể không có tích B.A
8


Cột k

cột k


Dòng thứ i a i1





L

L

M
M
c ik L
M
M

a i2 L




a in ữ
ữ.
ữ



b k1
bk2
M
b kn


ữ
ữ

L ữdòng i
ữ
ữ
ữ


Trờng hợp đặc biệt khi
cả A và B đều là ma trận
vuông thì có cả tích A.B và
ữ B.A nhng nói chung là A.B
ữ= khác B.A (không có tính
ữ chất giao hoán)
ữ
:
vídụ
1 0 0 1 0 1
0 0 ữ. 0 0 ữ = 0 0 ữ




còn
0 1 1 0 0 0
0 0 ữ. 0 0 ữ = 0 0 ữ





Tớnhcht:(A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CB; (AB)= ( A)B=A( B)
IV. Ma trận chuyển vị.
1. Định nghĩa :
a11 a12

a
a 22
Cho A=(aij)mxn = 21
M
M

a m1 a m2

... a1n
ữ
... a 2n ữ
... M ữ
ữ
... a mn

a11 a 21

a12 a 22
M M

a1n a 2n

... a m1
ữ
... a m2 ữ

thì ma trận
... M ữ
ữ
... a mn
đợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A,
Kí hiệu là At .
Rõ ràng , At nhận đợc bằng cách đổi các dòng của
ma trận A thành các cột. Ta có tính chất sau:
(At)t = A
(A+B)t = At+Bt
(A.B)t = Bt..At
2. Ma trận đối xứng :
Ma trận vuông cấp n đợc gọi là đối xứng nếu At =
A hay aịj = aji i, j
9

- Gv trỡnh by ma trn
chuyn v
- HS nm th no c gi
l ma trn chuyn v
- p dng lm bi tp


1 3 4
A= 3 6 5 ữ
ữ
4 5 7ữ


3. Ma trận phản đối xứng :

- HS nm cỏc tớnh cht ca
Ma trận vuông cấp n đợc gọi là phản đối xứng nếu ma trn chuyn v
At = -A
0 3 4
A= 3 0 5 ữ
ữ
4 5 0 ữ


Nhận xét: các phần tử trên đờng chéo của ma trận phản
- p dng ma trõn chuym
đối xứng đều bằng 0.
v kim tra mt ma trn
V. NH THC CA MA TRN
l i xng hay phn i
1. Định nghĩa
xng
Cho A=(aij)nxn . Ta gọi định thức của ma trận A là
một phần tử thuộc trờng K , kí hiệu là detA , gọi là định
thức cấp n và còn đợc kí hiệu là |A| hay :
a11 a12
a
a 22
detA = |A| = 21
L
L
a n1 a n2

L
L

L
L

a1n
a 2n
.
L
a nn

+ Định thức cấp 1: det(a) = a.
+ Định thức cấp 2 :
a a
a
a
Det 11 12 ữ = 11 12 = a11 .a 22 a12 .a 21
a 21 a 22 a 21 a 22
+ Định thức cấp 3 :

- GV trỡnh by nh gnha
v nh thc ma trn lờn
bng
- Hs chỳ ý lng nghe ghi
bi

a11 a12 a13 a11 a12 a13
a a a ữ= a a a =
det 21 22 23 ữữ 21 22 23
a31 a32 a 33 a 31 a 32 a33
= a11a 22 a 33 + a 21a 32a13 + a 31a12a 23 a 31a 22a13 a 21a12a 33 a11a 32a 23
2. nh thc cp cao:

- Cỏc dng nh thc va
cỏch tớnh
Định nghĩa .
Định thức con : định thức con úng với phần tử
nào đó của định thức |A| là định thức cấp nhỏ hơn 1
10


đơn vị suy ra từ |A| bằng cách bỏ hàng và cột chứa
phần tử đó .
tử aij

Kí hiệu : Dịj là định thức con ừng vời phần
Từ đó ta có cách tính định thức nh sau:

=

|A|

n

(1)i+ j .a ij .D ij

i,j=1

3. Hng ca ma trõn:
-Định nghĩa .
Cho ma trận A = (aij )n x n . Hạng của ma trận A
bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của
A . Kí hiệu R(A) = r .Nghĩa là nếu có một định thức

con cấp r của A khác 0 con các định thức con khác của
A cấp >r đều bằng 0.

- GV nờu cỏch tớnh nh
thc cp cao hn 3
- HS chỳ ý lng nghe
lnh hi.
-Nh vậy ta có cách tính
định thức bằng cách khai
triển theo hàng hoặc cột
của định thức
- p dng hng ca ma
trn: Chứng minh độc lập
tuyến tính và phụ thuộc
tuyến tính :
r
r
Cho hệ vectơ (1 ,...., n )
.Ta viết các vectơ theo dạng
cột , và đa vào thành ma
trận A.Ta tìm hạng của ma
trận A : R(A) = r.
Nếu r= n thì hệ vectơ
r
r
(1 ,...., n ) độc lập tuyến
tính
Nếu r < n thì hệ vectơ
r
r

(1 ,...., n ) phụ thuộc tuyến
tính

V. Tng kt bi:
- Nm chc nh ngha ma trn, cỏc dng c bit ca ma trn
- Cỏc phộp toỏn trờn ma trn. ma trn chuyn v,
- Cỏch tớnh nh thc ma trn bt k, tỡm hng ca ma trn
VI.
Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
Bi 1. Cho các ma trận với các phần tử thuộc trờng số thực R:
11


1 0
0 2 ữ
1 3 2 0
ữ;C=
A =
; B=
ữ

1 1 ữ
2 1 1 3

ữ
2 1
Hãy tìm các ma trận :
a, 2A - 3BT và 3CT + 2D .
b, A.B và B.A .
c, C.D và D.C .

Bi2. Tính hạng của ma trận sau:

1 0 1 1
2 1 0 1 ữ ;D =

ữ
0 1 1 0ữ



25 67 35 2001 155
5 6 3

ữ
a, 26 98 23 234 66 ữ b, 2 8 5 ữ
ữ
24 56 32 45 66 ữ
3 7 4 ữ




Bi 3. Tính các định thức sau:
5 6
8
4 5
a,
b, 5 4 6
2 6
2 4 6

1 2 5
c, a b c
4 6 5

2 5 4
3 5 4
d,
8 2 6
4 5 6

1
3

0

1

2 1
0 1ữ
ữ
1 0ữ
ữ
0 1

4 5 5 6
c, 3 8 4 12 ữ
ữ
2 5 3 8 ữ

3
6
5
8

5 4 6 4
2
5 7 6
e,
6
3 6 5
4 6 4 6

VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

12


GIO N S: 03

Thi gian thc hin: 3 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.

Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI:
MA TRN NGHCH O
I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Hiu c th no l mt ma trn nghch o
- Bit cỏch tỡm mt ma trn nghch o
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..
- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:
+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy
Phng phỏp ging dy Thi
gian
- GV trỡnh by cỏc nh
I. Các định nghĩa

ngha lờn bng
Định nghĩa 1
- Hs chỳ ý lng nghe v
Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử hàng i lnh hi
và cột j aij của |A| là định thức con ứng với phần tử ấy
- Aij=(-1)i+j|Aij|
kèm theo dấu (+ ) nếu ( i+j) chẵn và dấu(-) nếu (i+j ) lẻ
Kí hiệu Aij là phần bù đại số của aij
Định nghĩa 2:
Ma trận phụ hợp :
Cho ma trận A = (aij )n x n và Aij là phần bù đại số của
aij . Lập ma trận
A11

A
B = 21
M

A n1

A12 L A1n
ữ
A 22 L A 2n ữ
M L
Mữ
ữ
A n2 M A nn
Thì Bt đợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.
13

Kí hiệu PA = Bt
Định nghĩa 3: Ma trận nghịch đảo :
Định lý :
Cho ma trận A = (aij )n x n thì phơng trình ma trận - GV nờu nh ngha
AX=I và XA=I có nghiệm thì nghiệm cho bởi công thức
ngha ca ma trn
nghch o
P
X = A nếu |A| 0.
|A|
Định nghĩa 4
Ma trận A đợc gọi là khả nghịch nếu |A| 0.
Định nghĩa 5
Ma trận X tìm đợc của 2 phơng trình trên là ma trận
nghịch đảo của ma trận A.
Kí hiệu : Ma trận nghịch đảo của A là A-1 .
cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A :
Tính |A|.

- Cỏch tỡm mt ma trn
nghch o

Nếu |A| = 0 thì kết lụân không có ma trận nghịch
đảo . Nếu |A| 0 thì chuyển sang bớc tiếp theo
Tìm PA
Kết luận : A-1 =

- GV a vớ d:

PA
|A|

cos -sin
Vớ d:,
ữ
sin cos

- HS tho lun lm bi
- Lờn bng trỡnh by bi
lm
V. Tng kt bi:
Nm chc nh ngha ma trn nghch o
Cỏch tỡm mt ma trn nghch o
VI.
Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
Bi 1. Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :
cos -sin
a,
ữ
sin cos
14


2 5 7 
b,  6 3 4 ÷
÷
 5 −2 −3 ÷



1 1 1 1 
 1 1 −1 −1 ÷
÷d,
c, 
 1 −1 1 −1 ÷

÷
 1 −1 −1 1 

1
1

1

L
1


1
0
1
L
1

1
1
0
L
1

L
L
L
L
L

1
1÷
÷
1 ÷ e,
÷
L ÷
0÷


0
1

1

1
1


1
0
1
1
1

1
1
0
1
1

L
L
L
L
L

1
1÷
÷
1÷
÷
1÷
0÷


VII. Rút kinh nghiệm: …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Trưởng khoa / Tổ trưởng bộ môn
Ngày …… tháng ….. năm…….
Chữ ký giáo viên

Bùi Văn Trường

……………………………*****************……………………………..

15


GIO N S: 04

TấN BI:

Thi gian thc hin: 5 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010

Hệ phơng trình tuyến tính.

I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Nm c khỏi nim v mt h phng trỡnh tuyn tớnh
- Bit cỏch gii mt h phng trỡnh tuyn tớnh, tỡm c nghim
- Nm c phng phỏp gii Cremar, v phng phỏp Gauss
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..

- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:
+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy
Phng phỏp ging dy
Th
i
gian
I . Khái niệm Hệ phơng trình tuyến
tính tổng quát:
1. Định nghĩa 1 :
Một hệ thống m phơng trình tuyến tính với n - GV trỡnh by khỏi nim v
h phng trỡnh tuyn tớnh
ẩn có dạng :
tng quỏt lờn bng cho hs.
a11x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
- Hs chỳ ý lng nghe v lnh

hi
(1)
M
a x + a x + L + a x = b
m2 2
mn n
m

m1 1
Các aij là các số cho trớc thuộc trờng K, xj là
các ẩn .

16


a11 a12

a
a 22
Các ma trận A = 21
M
M

a m1 a m2

... a1n
ữ
... a 2n ữ
;
... M ữ
ữ
... a mn

a11 L a1n b1

ữ
a
L

a
b
21
2n
2
ữ
AB =
M M M Mữ

ữ
a m1 L a mn b m
Lần lợt là ma trận hệ số , ma trận hệ số tự do
, ma trận mở rộng của hệ phơng trình tuyến tính
(1).
Nếu viết theo công thức theo ma trận thì ta có
b1
B = Mữ
ữ;
b ữ
m

- Gv vit li h pttt di dng
ma trn.
- HS chỳ ý theo dừi

x1
ữ
x
: AX = B . với X = 2 ữ .
Mữ

ữ
xn
2. Định nghĩa 2. hệ phơng trình tuyến tính
(1) đợc gọi là thuần nhất nếu các bi = 0
(i=1,2,..,n). Ngợc lại thì không là thuần nhất.
II. Nghiệm của hệ phơng trình tuyến
tính .
1. Định nghĩa 1. Bộ n số 1 ,.., n với i K gọi
là 1 nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính nếu
thay x i = i thì ta đợc mệnh đề đúng. Tức là
- GV trỡnh by v nghim ca
1
h phng trỡnh tuyn tớnh
ữ
A = B với = Mữ,
ữ
n
2. Định nghĩa 2: Hệ (1) đợc gọi là tơng thích nếu
nó co nghiệm , ngợc lại gọi là không tơng thích .
Nếu (1) tơng thích và có nghiệm duy nhất thì
gọi là hệ xác định., ngợc lại gọi là hệ vô định.
Chú ý : Mọi hệ thuần nhất luôn là hệ tơng
thích vì luôn có nghiệm x=0 là nghiệm tầm thờng.
III. Hệ n phơng trình và n ẩn :
1. Dạng phơng trình: AX = B với
17


a11 a12

a
a 22
A = 21
M M

a n1 a n2

... a1n
x1
ữ
ữ
... a 2n ữ
x
, X = 2 ữ , B =
Mữ
... M ữ
ữ
ữ
... a nn nxn
xn

- GV trỡnh by phng phỏp
tỡm nghim ca HPTTT bng
phng phỏp Cramer
b1
Mữ.
Chứng minh :
ữ
Ta có AX = B
b ữ

n
A 1AX = A 1B do |A|
2. Hệ phơng trình tuyến tính Cramer : là hệ ph- khác 0 nên A khả nghịch .
ơng trình tuyến tính với A không suy biến .
Khi
đó
3. Nghiệm của hệ Cramer : Hệ Cramer có
A (i)

, X = A 1B = PA B
A
A
i=1,2, ... n . với A(i) là ma trận nhận đợc từ A bằng
A11 A 21 L A n1 b1
cách thay cột thứ i bằng cột ma trận B.
M
ữ Mữ
M
M
M

ữ ữ
IV. Giải hệ phơng trình tuyến tính .
A
ữ ữ
A
L
A

1n

2n
nn b n
1. Điều kiện tơng thích của hệ phơng trình
=
A
tuyến tính .
Định lý Kronecker - Capelly.
1
x i = (A1j b1 + A 2 j b 2 + ... + A nj b n )
Cho hệ phơng trình tuyến tính (1) , Điều kiện
A
cần và đủ để (1) có nghiệm là R(A) = R(AB).
|A (i) |
2. Biện luận :
=
A
Hệ phơng trình tuyến tính (1 ) có nghiệm duy
Ta có điều phải chứng minh.
nhất khi và chỉ khi R(A)=R(AB)= n .
Hệ phơng trình tuyến tính (1 ) có vô số
nghiệm khi và chỉ khi
- GV nờu cỏch bin lun v
R(A)=R(AB) < n .
Hệ phơng trình tuyến tính (1 ) vô nghiệm khi nghim ca h PTTT da vo
hng cuar ma trn.
và chỉ khi R(A)R(AB).
3. Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất.
Dạng AX = 0
- Luôn có nghiệm tầm thờng X=0 .
- Nếu R(A) = n thì đó là nghiệm duy nhất.

Định lý : Điều kiện cần và đủ để AX = 0 có nghiệm
không tầm thờng là
R(A) < n .
- SV chỳ ý lng nghe lnh hi
Hệ quả 1 : Điều kiện để hệ phơng trình tuyến tính
nghiệm duy nhất cho bởi công thức x i =

18


n ẩn , n phơng trình co nghiệm không tầm thờng
là |A| = 0 .
Hệ quả 2 : Cho hệ phơng trình tuyến tính AX = 0 .
A Mat (m,n) co mthờng.
4. Giải hệ phơng trình tuyến tính bằng phơng
pháp Gauss.
Giả sử ta giải hệ phơng trình tuyến tính sau:
a1x1 + a 2 x 2 + a 3x3 = a 4

b1x1 + b2 x 2 + b3x 3 = b 4
c x + c x + c x = c
2 2
3 3
4
1 1
Với điều kiện hệ tơng thích dùng các biến đổi - GV trỡnh by phng phỏp
tơng đơng đa về dạng:
gii h pt tuyn tớnh bng
phng phỏp Gauss

x1 + 12 x 2 + 13x3 = 14
Ví dụ :

x 2 + 23x3 = 24

Giải hệ phơng trình sau:

x
=

3
34

4x1 + 2x 2 + x 3 = 7
Ta giải hệ này thay cho hệ ban đầu .

x1 + x 2 + 3x 3 = 5
Định lý :
3x + 2x + x = 6
2
3
Tập nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính 1
không thay đổi nếu thực hiện các phép biến đỏi
Lời giải : Ta có ma trận
sau đây:
mở rộng :
a, Đổi chỗ hai phơng trình của hệ.
4 2 1 7 (1)

ữ

b, Nhân một phơng trình của hệ với một vô hAB = 1 1 3 5 ữ =
ơng khác 0.
3 2 1 6ữ


c, Cộng vào một phơng trình một tổ hợp tuyến
tính các phơng trình khác của hệ.
5
1 1 3

Do đó khi giải hệ bằng phơng pháp Gauss ta viết
= 0 -2 -11 -13 ữ
ữ
hệ phơng trình đề bài , sau đó viết ma trận mở
0 -1 -8 -9 ữ
rộng . áp dụng các biến đổi trên để đa về dạng ma


trận tam giác trên.
Bớc (1) : Ta đổi dòng 1
cho dòng 2
Bớc (2) : Ta nhân dòng 1
với -4 rồi cộng vào dòng 2,
nhân dòng 1 với -3 rồi cộng
vào dòng 3.
Bớc (3) : Ta nhân dòng 2
với rồi cộng vào dòng 3.
Cuối cùng ta đợc ma trận
tam giác trên. Nên có x3 = 1
19

1 1 3 5

4 2 1 7
3 2 1 6

1 1
(3)
= 0 -2

0 0


,thay vào phơng trình thứ 2 có
x2 = 1 .Thay vào phơng trình
1 thì nhận đợc x1 = 1.
Vậy nghiệm của hệ là
( 1;1;1).

V. Tng kt bi:
- Nm chc c phng phỏp gii mt h phng trỡnh tuyn tớnh bng phng
phỏp Cramer, phng phỏp Gauss.
- Cỏch bin lun s nghim ca h phng trỡnh
VI.
Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
Bi1. Giải hệ phơng trình sau bằng các phơng pháp đã học ( Cramer, Gauss):
2x + 2y + 3z = 7

a, x y + z = 1
2x y + 3z = 4

2x + 6y + 3z + 4t = 17
4x 5y + 2z + t = 6

b,
x + y + z 3t = 3
x + y 5z + 3t = 1

3x + 4y + z + 2t + 3 = 0
3x + 5y + 3z + 5t + 6 = 0

c,
3x + 5y + 3z + 7t + 8 = 0
6x + 8y + z + 5t + 8 = 0

2x + 2y z + t 4 = 0
4x + 3y z + 2t 6 = 0

d,
8x + 5y 3z + 4t 12 = 0
3x + 3y 2z + 2t 6 = 0

VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

20


GIO N S: 05

TấN BI:

Thi gian thc hin: 3 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010

GII TCH T HP.

I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Nm c khỏi nim v giai tha, hoỏn v, chnh hp, t hp
- Bit cỏch ỏp dng gii bi tp
- p dng vo lm cỏc bi tp v xỏc sut
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..

- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:
+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy
Phng phỏp ging dy
Th
i
gian
1. Tính giai thừa .
Định nghĩa : Giai thừa : Cho n N thì n giai - GV nhc li kin thc v t
hp
thừa kí hiệu là n! và
- HS chỳ ý lng nghe lnh hi
n! = 1.2....n.
Ví dụ: Có bao nhiêu số có 3
Quy ớc 0! = 1
chữ số đợc lập từ các số
{1,2,3} ?
2. Hoán vị .
Lời giải .
Định nghĩa:
Số các số đợc lập là hoán
Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp
vị
của

3 phần tử của tập
của n phần tử của tập M theo một thứ tự nhất định
{1,2,3} = 3! =6.
đợc gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho.
Nhận xét : Hai hoán vị là
Kí hiệu Pn và Pn = n!
khác nhau nếu thứ tự của các
21


phần tử là khác nhau.
3. Chỉnh hợp đơn .
Định nghĩa:
Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp
k phần tử của n phần tử của tập M theo một thứ tự
nhất định đợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử .

Ví dụ : Có bao nhiêu sốcó 2
chữ số và các chữ số khác
nhau đợc lập từ các số
{1,2,3}?
Số các số là chỉnh hợp
đơn chập 2 của 3 chữ số : P32
n!
= 6 số .
Kí hiệu Pnk và P kn =
với 0 k n
(n k)!
Nhận xét : Hai chỉnh hợp

là khác nhau nếu nếu chúng
có thứ tự khác nhau hoặc
phần tử khác nhau.
Ví dụ . Cho tập M ={1,2} .
4. Chỉnh hợp lặp .
Lập số chỉnh hợp lặp chập 3
của 2 phần tử ?
Định nghĩa:
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử trong tập Số các chỉnh hợp lặp là : 111,
Mlà một tập hợp có thứ tự gồm k phần tử lấy từ tập 112, 121, 211, 122, 212, 221,
222.
M mà mỗi phần tử có thể có mặt k lần .
Ví dụ : Có bao nhiêu
Nhận xét : số chỉng hợp lặp chập k của n phần
k
cách phân ngẫu nhiên 12 tặng
tử là : n
phẩm cho 3 ngời ?
Số cách là chỉnh hợp lặp
chập 12 của 3 tức là có 312
cách

5. Tổ hợp .
Định nghĩa:
Cho tập M gồm n phần tử . Một tập con của
M ( không kể thứ tự ) gồm k phần tử là một tổ hợp
chập k của n phần tử .

Ví dụ 1 . Có bao nhêiu
cách chọn 5 ngới trong 50 ngời đi lao động ?

Số cách là một tổ hợp chập 5
của 50 phần tử tức là C 550 =

50!
n!
.
với 0
5!(50 5)!
k!(n k)!
kn
Ví dụ 2 . Có bao nhiêu
cách
phân 12 hành khách lên
Nhận xét : Hai tổ hợp khác nhau nếu có một
3 toa tàu , mà toa 1 có đúng 3
phần tử khác nhau .
hành khách ?
Đầu tiên chọn 3 hành
3 cách
khách lên toa 1 : C12
Công thức nhị thức Newton : (a+b)n =
Kí hiệu là C nk và

C nk =

22


chọn .
Còn lại phân lên 2 toa là

chỉnh hợp lặp chập 9 của 2 :
29 cách .

n

C nk a nk b k .

k =0

Xét các trờng hợp đặc biệt :
Chứng minh :
a, 0 =

3
Vậy có C12
. 29 cách
phân chia .

n

(1)nk C nk

k =0

n

b, 2 n = C nk
k =0

Chứng minh :

a, Từ công thức (a+b)n =

n

C nk a nk b k

. Đặt a

k =0

= -1 ; b = 1
thì ta có 0 = ( -1 +1) =
n

n

(1)nk C nk .

k =0

b, lấy a=b=1 thì ta có 2n = (1+1)n =

n

C nk .

k =0

V. Tng kt bi:
- Nm chc c cỏc cụng thc tớnh ca gii tớch t hp.

- bit ỏp dng vo lm bi tp
VI.
Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
1. Chứng minh :
a,

C nr = C nn r

và

b,

C nr +1 = C nr 1 + C nr

2. Chứng minh :

C nr

=

n

C nk m C mr k

k =0

3. Tìm n từ các phơng trình :
a,

C 2n

Pn4
= 45 b, 3 = 60 c, C 8n = C12
n
C n 1

4. a, Có mấy cách phân ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 ngời .
23


b, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 ngời sao cho ngời thứ nhất
có đúng 3 tặng phẩm .
c, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 ngời sao cho môI ngời có
5 tặng phẩm .
5. Trên mặt phẳng có 20 điểm ( không có ba điểm nào cùng nằm trên một đờng thẳng .
Qua mỗi điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng . Hỏi có bao nhiêu đờng thẳng nh vậy?
6. Một học sinh phảI thi 4 môn trong 10 ngày ( mỗi ngày thi một môn ). Có mấy cách
lập chơng trình thi?
9.?

7. Có bao nhiêu chữ số có 5 chữ số ( chữ số đầu tiên khác 0 ) đ ợc lập từ các số 0,1, ...
8. Có mấy cách lập một hội đồng gồm 3 ngời lấy trong số 4 cặp vợ chồng nếu :

VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

GIO N S: 06

Thi gian thc hin: 5 tit
24

Lp:CKT36(ý yờn)


S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI:

BIN C NGU NHIấN V XC SUT.

I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Nm c khỏi nim nh ngha v bin ngu nhiờn, nh ngha tớnh cht ca xỏc sut
- Hiu c xỏc sut ch ỏp dng trờn cỏc hin tng ngu nhiờn
- p dng vo lm cỏc bi tp v xỏc sut, tỡm cỏc quy lut t nhiờn
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..

- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:
+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy
Phng phỏp ging dy
Th
i
gian
- GV gii thiu cỏc khỏi
1. Ngẫu nhiên và tất nhiên.
- Ngẫu nhiên : là hiện tợng có thể xảy ra hoặc nim v s ngu nhiờn v tt
nhiờn.
không thể xảy ra .
- HS chỳ ý theo dừi lng nghe
- Tất nhiên : là hiện tợng chắc chắn xảy ra .
Ví dụ 1 . Gieo một đồng tiền
- Đối tợng nghiên cứu của xác suất là các hiện xu : ta đã thực hiện một phép
tơng ngẫu nhiên
thử và có thể cho kết quả là
- Mục đích và nhiệm vụ : Dự báo tơng lai giúp sấp (S) hoặc ngửa (N) .
nhà nớc , cơ quan , gia đình , cá nhân hoạch định
Ví dụ 2: Gieo một lần
kế hoạch chính sách .
con xúc xắc đợc xem nh tiến
hành một phép thử gieo xúc

2. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên .
xắc . kết quả của phép thử
- Phép thử : Việc thựcc hiện một nhóm các này là tập hợp các sự kiện
điều kiện xác định thì gọi là một phép thử
={ E1 , ... E6 } với Ei
- Phép thử có thể lặp lại nhiều lần và kết quả
là sự kiện mặt trên con xúc
không biết trớc đợc .
xắc có i chấm .
- Kí hiệu các biến cố ngẫu nhiên là các chữ
Ví dụ 3 : Một bà mẹ sinh
25