Chuyên đề ĐỊNH lý PITAGO

Chuyên đề - Định lí Pitago (Cơ bản)
Các em thân mến,
Để học tốt chuyên đề này, các em hãy làm theo các bước sau đây:
Bước 1: Đọc và hiểu rõ phần “A. Kiến thức cơ bản”.
Bước 2: Xem các bài tập trong phần “B. Ví dụ minh họa”. Hiểu rõ cách giải các bài tập này.
Bước 3: Làm bài kiểm tra chuyên đề trong phần "C. Kiểm tra chuyên đề".

A. Kiến thức cơ bản
Định lí Pi-ta-go: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình
phương hai cạnh góc vuông."
Đảo lại, nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh
kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC,A^=900⇔BC2=AB2+AC2.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các độ dài sau, ba số đo nào là số đo của ba cạnh của một tam giác
vuông?
a) 6cm; 10cm; 8cm.

b)6cm; 9cm; 11cm.

Giải:
a) Ta có: 62=36;102=100;82=64


Mà 36 + 64 = 100 nên 62+82=102, suy ra tồn tại một tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 6cm;
10cm; 8cm.
b) Ta có: 62=36;92=81;112=121
Mà 36+81≠121 nên không tồn tại tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 6cm; 9cm; 11cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC (AB = AC), A^<90o. Kẻ BH vuông góc với AC. Chứng minh
rằng AB2+AC2+BC2=3.BH2+2.AH2+CH2

Giải:

Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho các tam giác vuông ABH, BCH vuông tại H, ta có:

AB2=BH2+AH2 (1)
BC2=BH2+CH2 (2)
AC2=BH2+AH2 (3) (vì AB = AC)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

AB2+AC2+BC2=3.BH2+2.AH2+CH2
Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AH ⊥ BC. Tính chu vi tam giác ABC biết AC =
20cm, H = 12 cm, BH = 5 cm.
Giải:


Ta có: AB2=BH2+AH2=52+122=132 nên AB = 13 cm.
HC2=AC2−AH2=202−122=162 nên HC = 16 cm.
Khi đó ta có chu vi tam giác ABC là AB+BC+CA=AB+BH+CH+CA=54cm.
Ví dụ 4: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết tỉ số các cạnh góc vuông là 3 : 4
và chu vi của tam giác đó là 36.
Giải:
Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền. Ta có:
a3=b4⇒(a3)2=(b4)2=a2+b29+16=(c5)2.
Từ đây suy ra: a3=b4=c5=a+b+c3+4+5=3612=3
⇒a=9,b=12,c=15.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tai A, điểm H thuộc AC sao cho BH vuông góc với
AC. Tính độ dài AH biết AB = 15cm, BC = 10cm.
Giải:

Tam giác ABC cân tại A suy ra: AB=AC=15 (cm)
Tam giác AHB vuông tại H nên: AH2+BH2=AB2⇒AH2=AB2−BH2

(1)

Tam giác BHC vuông tại H nên:
BH2+CH2=BC2⇒BH2=BC2−CH2=BC2−(AC−AH)2

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:
AH2=AB2−BH2=AB2−[BC2−(AC−AH)2]
=AB2−BC2+(AC−AH)2
=AB2−BC2+AC2−2AC.AH+AH2
=2AB2−BC2−2AB.AH+AH2(doAB=AC)
⇒2AB2−BC2−2AB.AH=0
⇒AH=2AB2−BC22AB=2.152−1022.15=353.
Vậy AH = 353 (cm).
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AC. Kẻ DE⊥BC.
Chứng minh EB2−EC2=AB2.
Giải:


Trong tam giác vuông ABD có: BD2=AB2+AD2
hay BD2=AB2+AC24
Trong tam giác vuông DBE có:
EB2=BD2−DE2
=AB2+AC24−DE2

(1)

Trong tam giác vuông CDE có:
EC2=DC2−DE2=AC24−DE2 (2)
Từ (1) và (2) có: EB2−EC2=AB2.

Chuyên đề - Định lí Pitago (Nâng cao)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các góc B, C nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết
AB = 20cm, BH = 16cm, HC = 5cm. Tính AH, AC.
Giải:

Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lý Py-ta-go, ta có:


AH2+BH2=AB2⇒AH2+162=202
Vậy AH2=144. Do đó AH = 12cm.
Tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Py-ta-go, ta có:
AC2=AH2+HC2⇒AC2=122+52
Vậy AC2=169 do đó AC = 13cm
Ví dụ 2: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài
51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Giải:
Giả sử ΔABC có A^=90o;AB8=AC15 và BC = 51 (cm)
Ta có: AB264=AC2225=AB2+AC264+225=BC2289=2601289=9
Suy ra: AB2=9.64⇒AB=3.8=24 (cm);
AC2=9.225⇒AC=3.15=45 (cm)
Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẩngC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại O. Chứng minh
rằng: AB2+CD2=AD2+BC2
Giải:

Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho các tam giác vuông AOB, BOC, COD, DOA vuông tại O, ta có:

AB2=AO2+OB2 (1)
BC2=BO2+OC2 (2)
CD2=CO2+OD2 (3)
DA2=DO2+OA2 (4)
Cộng từng vế của (1) với (3), ta có: AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2


Cộng từng vế của (2) với (4) ta có: BC2+AD2=OB2+OC2+OD2+OA2
Suy ra: AB2+CD2=BC2+AD2

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E lần lượt là các điểm trên hai cạnh
AB và AC (D và E không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh
rằng: BE2+CD2=BC2+DE2.
Giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các tam giác vuông ADC, ABE, ADE, ABC lần lượt ta
có:
CD2=AD2+AC2

(1)

BE2=AE2+AB2

(2)

DE2=AD2+AE2

(3)

BC2=AB2+AC2

(4)

Từ (1) và (2) suy ra: CD2+BE2=AD2+AC2+AE2+AB2

(5)

Từ (3) và (4) suy ra: DE2+BC2=AD2+AE2+AB2+AC2

(6)

Từ (5) và (6) ta có: CD2+BE2=DE2+BC2. (đpcm)


Ví dụ 5: Cho O là điểm tùy ý trong tam giác ABC. Vẽ OA1,OA2,OA3 lần lượt vuông
góc với BC,CA,AB. Chứng minh rằng:
AB12+BC12+CA12=AC12+BA12+CB12.
Giải:

Tam giác ΔOAB1 vuông tại B, theo định lí Pi-ta-go ta có: AB12=OA2−OB12
Tương tự: BC12=OB2−OC12
CA12=OC2−OA12
Suy ra: AB12+BC12+CA12=(OA2+OB2+OC2)−(OA12+OB12+OC12).
Tương tự ta có:
AC12+BA12+CB12=(OA2+OB2+OC2)−(OA12+OB12+OC12).
Từ đây suy ra: AC12+BA12+CB12=AC12+BC12+CA12.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và điểm D nằm giữa A và H.
Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH

tại D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB vuông góc với EF.
Giải:


Vì AD=HE (theo giả thiết) nên AH=DE.
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các tam giác vuông ABF, ABH, ADF, BHE, DEF ta
được:
BF2=AB2+AF2 =(BH2+AH2)+(AD2+DF2)
=BH2+DE2+HE2+DF2(do:AH2=DE2,AD2=HE2)
=(BH2+HE2)+(DE2+DF2)=BE2+EF2.
Theo định lí Pi-ta-go đảo suy ra tam giác BEF vuông tại E, hay EB vuông góc với EF.