De thi HSG dong nai

Câu 6. (Đề thi HSG Lớp 12 – NH: 2016 – 2017)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b và ab  bc  ca  c2  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
768
432
432
P


1
2
2
2
 a  b   a  c  b  c 
Giải
ab  bc  ca  c 2   a  c  b  c   1

x  a  c
 xy  1
Đặt 
(*)

y  b  c
x  y
Khi đó

P

768

 x  y

2

2
 16

 16

 3 3
432 432
2
 2  2  1  48 



18

1

48

9
x

y

18


 1





2
2
x
y
  x  y   y x 

  x  y 


Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương

P  48.  2



16

 x  y

và 9  x  y  ta có:
2

2


2

.9  x  y   18   1  289

 x  y

16

2

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi

x  3
16
2

 9 x  y   x  y   x  y 

2
3 (do (*))
9
3
 x  y
y 
3


a  3  c

3

Vậy GTNN của P bằng 289 khi b 

c
3


3
0  c 
3

16

2

4