Hướng dẫn tự học môn toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1 đại học kinh tế quốc dân

23-Nov-16

ĐạI HọC KINH Tế QUốC DÂN

BàI GIảNG ĐIệN Tử
TOáN CAO CấP cho các nhà kinh tế 1
Giảng viên: ABCD EFGH IJKML
Mobile: 09XX-XXX-XXX
Email:

Ti liu hc tp:
Toỏn Cao Cp cho cỏc nh kinh t - Lờ ỡnh Thỳy Nguyn Qunh Lan
(Nh xut bn H KTQD 2015)

1


23-Nov-16

Một số quy định về học tập:
• Trên lớp:

Trật tự, ghi bài đầy đủ…

• Về nhà:

Học bài, làm bài tập…

Đánh giá kết quả học tập
• 10%: Đi học đầy đủ, đúng giờ, học và làm bài tập về nhà…, điểm chẵn;
• 20%: Là điểm kiểm tra (45 – 60 phút) trên lớp (vào tuần thứ 12), điểm chẵn;

• 70%: Thi hết học phần (lấy lẻ đến 0,5).
Ví dụ: Một SV đạt điểm 10% là 8, 20% là 7, 70% là 9 thì điểm TB là:
ĐTB = 0,1*8 + 0,2*7 + 0,7*9 = 8,5
Điều kiện dự thi hết môn: Sinh viên phải tham gia ít nhất 80% số tiết học
(Chỉ được phép nghỉ tối đa là 3 buổi ~ 20% số tiết học)

NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TẾ
học phần 1

2


23-Nov-16

Chương 1. Không gian vectơ
số học n chiều

1

Hệ PTrTT và PP khử Gauss

2

Vectơ n chiều và KGVT

3

Các mối liên hệ tuyến tính…

4

Cơ sở của không gian vectơ

5

Hạng của một hệ vectơ

Chương 2. Ma trận - Định thức

1

Ma trận và các phép toán

2

Định thức

3

Phương pháp tính định thức

4

Ma trận nghịch đảo

5

Hạng của ma trận

3


23-Nov-16

Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính

1

PP ma trận & định thức

2

Hệ PTrTT tổng quát

3

Hệ PTrTT thuần nhất

4

Một số MHTT trong kinh tế

Chương 1
KHÔNG GIAN VECTƠ
SỐ HỌC N CHIỀU

4

23-Nov-16

Hệ phương trình tuyến tính và
phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss)

Bài 1.

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về Hệ phương trình tuyến tính và
phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính và
phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss)

Bài 1.

I.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
1.

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

3.

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

4.

Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

5.

Các phép biến đổi sơ cấp

6.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang)

II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

III.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

5


23-Nov-16

I.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
1.

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

ĐN:

Hệ phương trình tuyến tính của n ẩn số x1 , x 2 ,

 a11x1  a12 x 2 
a x  a x 
22 2
 21 1


 a m1x1  a m2 x 2 

 a1n x n
 a 2n x n

 b1
 b2

 a mn x n

 bm

, x n là hệ có dạng:

Trong đó: a ij là hệ số của ẩn x j trong phương trình thứ i;

b i là hệ số tự do của phương trình thứ i.

Ví dụ: Xét hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình, 4 ẩn số:

 2x1

  x1
 3x
 1

 3x 2
 2x 2
 x2

a12  3

II.

 4x 3
 5x 3
 2x 3

 x4
 2x 4
 3x 4

a 34  3

 2
 3
 1

b 2  3

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

ĐN:

Xét hệ phương trình tuyến tính:

 a11x1
a x
 21 1


a m1x1




a12 x 2
a 22 x 2







 a m2 x 2



 a mn x n

a1n x n
a 2n x n




b1
b2

 bm

Ma trận:

 a11 a12
a
a 22
21
A

 a m1 a m2


a1n 
a 2n 


và

a mn 
 mn

 a11 a12

a
a 22
A   21


 a m1 a m2

a1n b1 

a 2n b 2 


a mn b m  m(n 1)

được gọi tương ứng là ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ phương trình

6


23-Nov-16

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình

 2x  3y  4z  2

 5
 x  2y
 3x  y  2z  3

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ này là:

 2 3 4 
A   1 2 0 
 3 1 2 



và

 2 3 4 2 
A   1 2 0 5 
 3 1 2 3 



Ví dụ 2: Viết hệ phương trình có ma trận mở rộng là:

Hệ này là:

II.

 2 1 3 1
A   2 1 2 3 
 3 2 1 4 


2x  y  3z  1

 2x  y  2z  3
 3x  2y  z  4


Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

Nhận xét:

Một hệ phương trình tuyến tính được xác định nếu biết
ma trận mở rộng của nó.
Điều tương tự là không đúng đối với ma trận hệ số,
nghĩa là nếu biết ma trận hệ số thôi thì hệ phương trình
vẫn chưa được xác định.

7


23-Nov-16

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
3.

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

ĐN:

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số x1 , x 2 ,

, xn

là bộ gồm n số thực có thứ tự 1 ,  2 ,

x1  1 , x 2   2 ,

,  n sao cho khi gán
, x n   n vào các phương trình thì ta được m

đẳng thức đúng (m là số phương trình của hệ).
Ký hiệu: Có 3 cách viết nghiệm của hệ:

II.

Cách 1:

 x1  1 , x 2  2 ,

Cách 2:

 1 , 2 ,

Cách 3:

 x1
x
 2


 x n

, x n  n 

, n 




1
2



n

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
4.

Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

ĐN:

Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau được gọi
là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

?:

Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau và đều vô
nghiệm có tương đương với nhau không?

Trả lời: Có tương đương, vì tập nghiệm bằng nhau (là tập rỗng).
ĐN:

Một phép biến đổi biến một hệ phương trình thành một hệ khác
tương đương với nó được gọi là phép biến đổi tương đương.

8


23-Nov-16

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

5.

Các phép biến đổi sơ cấp

ĐN:

Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình tuyến
tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
Phép 1: Đổi chỗ hai phương trình của hệ;
Phép 2: Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số

  0;

Phép 3: Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách “cộng vào
nó bội của một phương trình khác”.
Ví dụ:

Với hệ phương trình:

 y  3z  5
x 
 x


pt(2)  2pt(1)
2x  3y  2z  1  
3x 
 3x  y  z  2



NX:

 3z

y

 5

5y  4z  9
y  z  2

Các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính cũng
tương tự như các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận.

Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương.

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
6.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

HỆ TAM GIÁC
ĐN:
Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác của n ẩn số x1 , x 2 ,

, xn

là hệ có dạng:

 a11x1  a12 x 2 

a 22 x 2 




trong đó a ii  0, i  1,2, ,n.

 a1n x n
 a 2n x n
a nn x n

 b1
 b2


bn

Đặc điểm của hệ tam giác:
• Số phương trình bằng số ẩn;
• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;
• Phương trình cuối cùng có 1 ẩn. (Rút ra từ 2 đặc điểm trên)
Cách giải: Thế từ dưới lên trên, ta tìm được nghiệm duy nhất.
NX:

Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm duy nhất.

9

23-Nov-16

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
6.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

HỆ TAM GIÁC
Ví dụ:

Giải hệ tam giác:

2x  y  3z  4

3y  2z  9


2z  6


z3

Từ phương trình cuối cùng tính được:
Thế z  3 vào phương trình thứ 2 ta được:

y 1

Thế y  1, z  2 vào phương trình thứ 2 ta được: x  2
Vậy nghiệm của hệ là:

II.

 x  2, y  1,z  3

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
6.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

HỆ HÌNH THANG
Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang của n ẩn số x1 , x 2 ,
ĐN:

, xn

là hệ có dạng:

 a11x1  a12 x 2 

a 22 x 2 




trong đó a ii  0,

i  1,2,

 a1m x m



 a1n x n

 b1

 a 2m x m



 a 2n x n

 b2

a mm x m



 a mn x n

 bm

,m.

Đặc điểm của hệ hình thang:
• Số phương trình nhỏ hơn số ẩn (m < n);

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;
• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn.

10


23-Nov-16

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

6.

HỆ HÌNH THANG
Cách giải: Xét hệ hình thang:

a11x1  a12 x 2

a 22 x 2








 a1m x m

 a 2m x m




 a1n x n
 a 2n x n




a mm x m



 a mn x n

 bm

b1
b2

Trong hệ hình thang trên:
Các ẩn x1 , x 2 ,

, x m được gọi là các ẩn chính;

Các ẩn x m1 , x m 2 ,

, x n được gọi là các ẩn tự do.

Bước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực bất kỳ;
Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ
tam giác này.

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
6.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

HỆ HÌNH THANG
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

 x  2y  3z  t  3

y  2z  3t  1

Bước 1: Đặt z  , t  ;

,  ; Đưa hệ về dạng tam giác:

 x  2y  3    3

y  2  3  1

Bước 2: Giải hệ tam giác này ta được nghiệm:

 x  7  7  1


 y  2  3  1
Vậy nghiệm của hệ hình thang trên là:

 x  7  7  1, y  2  3  1,z  , t    ;
NX:

, 

Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vô số nghiệm.

11


23-Nov-16

II.

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
6.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

HỆ HÌNH THANG
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

 x  3y  2z  4t  2

z  3t  3


?

Hệ phương trình trên có phải là hệ hình thang không?

TL:

Không là hình thang, nhưng có thể đưa về hình thang.

Viết lại hệ thành:

 x  2z  3y  4t  2

z

3t  3

Giải hệ hình thang này ta được nghiệm:

 x  3  10  4, y  ,z  3  3, t   ;

III.

, 

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
CC: Biến đổi sơ cấp

Hệ Bất kỳ

PP: Khử Gauss

Hệ TG/ HT

Xét hệ phương trình:

 a11x1
a x
 21 1


a m1x1




a12 x 2
a 22 x 2




 a m2 x 2






a1n x n
a 2n x n




b1
b2

 a mn x n  b m
a
Khử a i1 bằng cách nào? Lấy pt(i) cộng vào nó  i1 lần pt(1), i = 2,…,n.
a11
Trong quá trình khử trên nếu xuất hiện PT:

0.x1  0.x 2 

a11x1








 0.x n  b

Nếu b = 0 thì loại khỏi hệ;
Nếu b ≠ 0 thì PT Vô nghiệm.

a12 x 2

a 22 x 2







a m2 x 2



 a mn x n

a1n x n
a 2n x n




b1
b2

 bm

12


23-Nov-16

III.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Quá trình cứ tiếp tục…, ta có 1 trong 3 khả năng sau sẽ xảy ra:
• Hệ nhận được vô nghiệm (ứng với b ≠ 0 ở trên);

0

• Hệ nhận được có dạng tam giác;

1

• Hệ nhận được có dạng hình thang.



Một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ có khả năng có mấy nghiệm?
Một hệ phương trình tuyến tính hoặc vô nghiệm, hoặc có 1 nghiệm,
hoặc vô số nghiệm.

NX:

Chú ý: Thay vì thực hiện khử Gauss trực tiếp trên hệ, ta sẽ làm việc đó trên
ma trận mở rộng của hệ đó. Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp
trên hệ sẽ được thay bằng thực hiện các phép biến đổi sơ cấp tương
ứng trên ma trận mở rộng tương ứng của nó. Cụ thể:

III.

Đổi chỗ 2 phương trình của hệ;

Đổi chỗ 2 dòng tương ứng của ma
trận;

Nhân một phương trình với số
α ≠ 0;

Nhân dòng tương ứng với số α;

Cộng vào phương trình (i) bội k
lần phương trình (j);

Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j);

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

 x  3y  2z  1

 2x  y  3z  9
3x  y  z  2

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ trên là:

 1 3 2 1 
A   2 1 3 9 
 3 1 1 2 



Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A ta được:

 1 3 2 1  (2) 3
A   2 1 3 9 1
 3 1 1 2 1



3 2 1 
 1


  0  7 7 7   17 

 1
 0 10 5 5   5



 1 3 2 1
 1 3 2 1 
 0 1 1 1
  0 1 1 1   B
2 




 0 2 1 1 1

0 0
1 3 




Ma trận B có
dạng tam giác
Giải hệ TG được
nghiệm là:

 x  1, y  2,z  3

13


23-Nov-16

III.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

2y  3z  5


2x  y  z  3
3x  y  3z  10

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ trên là:

0 2 3 5 
A   2 1 1 3 
 3 1 3 10 


Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A ta được:

0 2 3 5 
đổi chỗ
A   2 1 1 3  

 3 1 3 10  d1 và d2



 2 1 1 3  (3)
 2 1 1 3 
0 2 3 5 

 0 2 3 5 




 3 1 3 10  2
 0 1 9 29 






 2 1 1 3 
 0 2 3 5  1 



 0 1 9 29 2



III.

 2 1 1 3 
0 2 3 5   B


 0 0 21 63 



Ma trận B có
dạng tam giác
Giải hệ TG được
nghiệm là:

 x  1, y  2,z  3

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

 2x  y  3z  4t  3

3x  2y  7z  9t  7
 5x  2y  5z  7t  5

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ trên là:

 2 1 3 4 3 
A   3 2 7 9 7 
 5 2 5 7 5 


Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A ta được:

 2 1 3 4 3  3 (5)
A   3 2 7 9 7  2


 5 2 5 7 5  2



 2 1 3 4 3 

 (1)

 0 1 5 6 5 
 0 1 5 6 5  1



Ma trận B có
Giải hệ HT được
 2 1 3 4 3 
dạng hình thang
nghiệm là:
 0 1 5 6 5 

  B x      1, y  5  6  5,z  , t   ;


0 0 0 0 0 


, 
trong đó:

14


23-Nov-16

III.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

 2y  z  2t  5
 x

3x  6y  3z  5t  12
 2x  4y  3z  4t  8

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ trên là:

5 
 1 2 1 2
A   3 6 3 5 12 
 2 4 3 4
8 

Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A ta được:

5  3 (2)  1 2 1 2 5 
 1 2 1 2

 đổi chỗ


  0 0 0 1 3  

A   3 6 3 5 12 1
c2
và

c4


 2 4 3 4

8  1
 0 0 1 0 2 

x

t

z

y

 1 2 1 2 5 
0 1 0 0 3   B


 0 0 1 0 2 



III.

Ma trận B có
dạng hình thang

Giải hệ HT được

nghiệm là:

 x  2  1, y  ,z  2, t  3;



Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

 x
 2x


 3x
4x

 3y  z  2t
 y  3z  t
 y  z  2t
 3y  z  5t






0
5
2
2

Giải: Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A :

 1 3 1 2
 2 1 3 1
A
 3 1 1 2

 4 3 1 5
 1
0


0

0

3
5
0
0

0  23(4)
5  1



2  1

2  1

 1 3
 0 5

 0 10

 0 15

1 2 0 
 1

0
1
3 5



0
4 2 8  2


8 4 17 1
0

3
5
0
0

1

0
1
3 5  (2) 3
2 8 2  1

5 13 2  1
1
1
4
0

2

2
3
2
0

0
5

8 

1

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

15

23-Nov-16

IV.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
ĐN:
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của n ẩn số x1 , x 2 ,
hệ có dạng:

 a11x1
a x
 21 1


a m1x1
Chú ý:




a12 x 2
a 22 x 2







a1n x n
a 2n x n




0
0

 a m2 x 2



 a mn x n



0

, x n là

Khi giải hệ thuần nhất bằng khử Gauss ta chu ý các đặc điểm sau:

• Hệ luôn có nghiệm  x1  0, x 2  0, , x n  0  , gọi là nghiệm không (nghiệm
tầm thường), vậy:
 Hệ có duy nhất nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc ở
dạng tam giác)


Hệ có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang)

• Mọi hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn đều có vô
số nghiệm;
• Khi khử Gauss để giải hệ thuần nhất ta chỉ cần thực hiện trên ma trận hệ số.

IV.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ví dụ: Giải hệ thuần nhất:

 2x
 3x


5x
 8x

 3y  z  2t  0
 2y  3z  t  0
 12y  11z  t  0
 y  5z  4t  0

Giải: Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận hệ số A:

 2
 3
A
 5

8

2
0

 
0

0

3 1
2 3
12 11
1 5
3 1
13 9
0
0
0
0

2  (3)5(4)
2

0
1 2



0
1  2
 1


4
0
2
4 
 2 3 1
 

0
 0 13 9

0

3
1 2 
13 9 4  3 (1)

39 27 12  1

13 9 4  1
2
Hệ đưa về dạng hình
4  thang, nghiệm là:

7
7
9
4



 x     , y    , z  , t    ; , 
13
13
13
13



16


23-Nov-16

Các thuật ngữ cơ bản
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận hệ số
Ma trận mở rộng
Biến đổi sơ cấp trên ma trận
Biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính
Hệ tam giác
Hệ hình thang
Phương pháp khử Gauss
Hệ thuần nhất

Bài 2.

Vectơ n chiều và không gian vectơ

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về vectơ số học n chiều, các phép
toán trên vectơ và khái niệm ban đầu về không gian vectơ

17


23-Nov-16

Bài 2.

Vectơ n chiều và không gian vectơ

I.

Khái niệm vectơ n chiều

II.

Các phép toán vectơ

III.

I.

1.

Định nghĩa phép cộng và phép nhân với số

2.

Vectơ không và vectơ đối

3.

Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân vectơ với số

4.

Phép trừ vectơ

Không gian vectơ số học n chiều. Khái niệm không gian con
1.

Không gian vectơ số học n chiều

2.

Khái niệm không gian con

Khái niệm vectơ n chiều
1.

Định nghĩa

ĐN:

Vectơ n chiều là một bộ gồm n số thực có thứ tự  x1 , x 2 ,

, x n .

Trong đó x i là thành phần tọa độ thứ i của vectơ
Ký hiệu: Vectơ thường được ký hiệu bởi những chữ cái IN HOA

Cách biểu diễn:

X  x1 , x 2 ,

, xn 

X   x1 , x 2 ,

, xn 

Ví dụ 1: X  3,5, 4,6, 1 là một vectơ 5 chiều

 x1 
x 
X 2
 
 
 xn 

18


23-Nov-16

I.

Khái niệm vectơ n chiều
2.

Đẳng thức vectơ

ĐN:

Hai vectơ n chiều

X   x1 , x 2 ,

, xn ,

Y   y1 , y 2 ,

, yn 

được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần ở vị trí tương
ứng của chúng đôi một bằng nhau:

x i  yi , i  1,2,

,n

Ký hiệu: X = Y
Ví dụ 2:

I.

X   2, 5,3

Y   2, 5, 37 

Khái niệm vectơ n chiều

3.

Vectơ không và vectơ đối

Vectơ không: Là vectơ có tất cả các thành phần bằng 0.

0n   0,0,
n

Vectơ đối của vectơ n chiều X   x1 , x 2 ,

,0 
, x n  là vectơ n chiều:

X    x1 ,  x 2 ,
Ví dụ 3:

X   4, 1,6, 5

, x n 

X   4,1, 6,5

19


23-Nov-16

II.

Các phép toán vectơ
1.

Định nghĩa phép cộng và phép nhân vectơ với số

ĐN:

Tổng của hai vectơ n chiều:

X   x1 , x 2 ,

, xn ,

Y   y1 , y 2 ,

, yn 

là một vectơ n chiều, ký hiệu là X + Y và được xác định như sau:

X  Y   x1  y1 , x 2  y 2 ,
ĐN:

, x n  y2 

Tích của vectơ n chiều X   x1 , x 2 ,

, x n  với số thực 

là một vectơ n chiều, ký hiệu là X và được xác định như sau:

X     x1 ,   x 2 ,

,   xn 

Ví dụ 4: Cho 2 vectơ 4 chiều

X   4, 1,5,3 ;

Y   9,4, 7,1

X  Y  13, 3, 2, 4 ;
3X   12, 3, 15, 9  ;
2Y   18, 8, 14, 2 ;

3X  2Y  30, 5, 1, 11 ;

II.

Các phép toán vectơ
2.

Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân với số

Với X, Y, Z là các vectơ n chiều, ,  là các số bất kỳ
TC1:

Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán

XY  YX
TC2:

Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp

 X  Y   Z  X   Y  Z
TC3:

Với mọi vectơ X:

X  0n  0n  X

TC4:

Với mọi vectơ X:

X   X   0n

TC5:

Với mọi vectơ X:

1.X  X

TC6:

Tính phân phối:

  X  Y   X  Y

TC7:

    X  X  X
Với mọi vectơ X:    X   X 

20


23-Nov-16

II.

Các phép toán vectơ
3.

Phép trừ vectơ

ĐN:

Hiệu của hai vectơ n chiều X và Y là một vectơ n chiều, ký hiệu là
X – Y và được xác định như sau:

X  Y  X   Y 
NX:

Ta có thể thực hiện phép trừ theo tọa độ:

X   x1 , x 2 ,

, xn ,

Y   y1 , y 2 ,

X  Y   x1  y1 , x 2  y2 ,
Chú ý:

, yn 

, x n  yn 

Từ các tính chất suy ra: Ta có thể thực hiện các phép tính toán trên
vectơ như đối với biểu thức đại số (chuyển vế thì đổi dấu)…

Ví dụ 5: Cho các vectơ

X1   4, 3,1,2  ,X 2   3,7,4,5  ,X3   2,7,9, 4 
Tìm vectơ X thỏa mãn:

2X  3X 2  4  X  X1   2X3
Từ hệ thức trên suy ra:

2X  4X1  3X 2  2X3
Ta tính riêng các đại lượng ở vế phải:

4X1  16, 12,4,8 
3X 2   9, 21, 12, 15 
2X3   4,14,18, 8
2X   29, 19,10, 15
Đáp số là:

15 
 29 19

X   ,  ,5,  
2
2
 2

21


23-Nov-16

III.

Không gian vectơ số học n chiều. Không gian con
1.

Không gian vectơ số học n chiều

ĐN:

Không gian vectơ số học n chiều là tập hợp tất cả các vectơ n chiều,
trong đó phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số được và thỏa
mãn 8 tính chất đặc trưng ở trên.

Ký hiệu: Không gian vectơ số học n chiều được ký hiệu là

III.

n

Không gian vectơ số học n chiều. Không gian con

2.

Khái niệm không gian con

Xét tập L   - là tập các vectơ n chiều, ta nói:
1.

L được gọi là KÍN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG VECTƠ nếu:

X,Y  L  X  Y  L
2.

L được gọi là KÍN ĐỐI VỚI PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI SỐ nếu:

X  L,  
ĐN:

 X  L

Một tập hợp không rỗng L 
không gian

n

n

được gọi là không gian con của

nếu nó kín đối với phép cộng vectơ và phép nhân

vectơ với số
NX:

+) Mọi không gian con L đều chứa vectơ không 0n ;
+) Với mọi vectơ X  L

  XL

22


23-Nov-16

Ví dụ 6: Với mọi không gian vectơ

n

thì 0n  và

n

chính là các không

gian con của nó;
Ví dụ 7: Xét L 
2

2

;L   x, y  2x  5y  0, L có là một không gian con của

hay không?

Lời giải:
Thứ nhất: L  
Thứ hai:

L kín đối với phép cộng vectơ

Với mọi

 x1 , y1  ,  x 2 , y2   L ta phải chứng minh
 x1 , y1    x 2 , y2    x1  x 2 , y1  y2   L

 x1 , y1   L
 x 2 , y2   L
Thứ ba:

 2x1  5y1  0 
  2  x1  x 2   5  y1  y 2   0
 2x 2  5y 2  0

L kín đối với phép nhân vectơ với số

Với mọi  x1 , y1   L,  

 x1 , y1   L

ta phải chứng minh   x1 , y1    x1 , y1   L

 2x1  5y1  0

 2x1  5y1  0

Các thuật ngữ cơ bản
Vectơ số học n chiều
Phép cộng hai vectơ
Phép nhân vectơ với số
Không gian vectơ
Không gian vectơ con

23


23-Nov-16

Bài 3. Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về khái niệm hệ vectơ độc lập
tuyến tính, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Bài 3. Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

I.

II.

III.

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

1.

Tổ hợp tuyến tính

2.

Phép biểu diễn tuyến tính

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
1.

Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2.

Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

3.

Một số ví dụ

Một số kết quả cơ bản về sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

24


23-Nov-16

I.

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính
1.

Tổ hợp tuyến tính
n

Trong không gian

cho m vectơ

và m số thực bất kỳ

X1 ,X 2 ,

,X m

1 ,  2 ,

, m

1X1   2 X 2 
ĐN:

Mỗi tổng ( ) , trong đó 1 ,  2 ,

*

 m Xm 

n

( )

*

,  m là các số thực cho trước

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1 ,X 2 ,
Các số 1 ,  2 ,

,X m

,  m được gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính đó.

Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ n chiều

X1 ,X 2 ,

I.

,X m cho trước là một không gian con của không gian

n

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính
2.

Phép biểu diễn tuyến tính

ĐN:

Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1 ,X 2 ,

,X m

nếu vectơ là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này
Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ X1 ,X 2 ,
Nếu tồn tại bộ m số 1 ,  2 ,

,X m

,  m sao cho:

X  1X1   2 X2 

 m Xm

Ví dụ 1: Cho các vectơ

X1   2, 4 
X 2   3,5
X   5,1



  X  1.X1  1.X 2


Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ X1 , X 2  hay không?
Trả lời: Biểu diễn được

25