Một số quy trình suy diễn trong hệ mờ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

HỒ KHÁNH LÊ

MỘT SỐ QUY TRÌNH SUY DIỄN
TRONG HỆ MỜ

Ngành:

Công nghệ thông tin

Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
Mã số:

60.48.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. Bùi Công Cƣờng

Hà Nội – 2009

MỤC LỤC


ii
Trang
Trang bìa phụ
LỜI CAM ĐOAN
Error! Bookmark not defined.

LỜI CẢM ƠN Error! Bookmark not defined.
MỤC LỤC i
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv
DANH MỤC CÁC BẢNG iv
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
iv
MỞ ĐẦU
6
CHƢƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ 8

1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ ....................................................................... 8
1.2. Các phép toán về tập mờ ............................................................................................ 9
1.2.1. Phép phủ định .................................................................................................... 9
1.2.2. T - chuẩn ............................................................................................................ 9
1.2.3. T - đối chuẩn .................................................................................................... 14
1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ ....................................... 18
1.3.1. Phép đối ngẫu .................................................................................................. 18
1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn. ....................................................... 19
1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển ................................................... 19
1.4. Phép kéo theo ........................................................................................................... 20
1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo ............................................................................... 20
1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể .................................................................. 22
1.4.3. Đồ thị một số hàm kéo theo đƣợc quan tâm ................................................. 26
1.5. Quan hệ mờ và phép hợp thành ............................................................................... 27
1.5.1. Quan hệ mờ ...................................................................................................... 27
1.5.2. Phép hợp thành ............................................................................................... 27
CHƢƠNG 2 – LUẬT MỜ VÀ HỆ SUY DIỄN MỜ Error! Bookmark not defined.

2.1. Hệ mờ trên cơ sở các luật mờ .................................. Error! Bookmark not defined.
2.1.1. Định nghĩa luật mờ ............................................. Error! Bookmark not defined.

2.1.2. Định nghĩa hệ mờ trên cơ sở các luật mờ ......... Error! Bookmark not defined.
2.2. Hệ suy diễn mờ ........................................................ Error! Bookmark not defined.
2.2.1. Kiến trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ ................ Error! Bookmark not defined.
2.2.3. Các bƣớc suy diễn mờ ......................................... Error! Bookmark not defined.
2.2.4. Một số phƣơng pháp suy diễn trong hệ mờ ...... Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG III - LẬP LUẬN XẤP XỈ TRONG HỆ MỜ TRÊN CƠ SỞ CÁC LUẬT MỜ Error!
Bookmark not defined.

3.2. Mô hình ngôn ngữ - Linguistic models (LM) .......... Error! Bookmark not defined.
3.3. Suy diễn với mô hình mờ ......................................... Error! Bookmark not defined.
3.4. Mô hình Mamdani (Constructive) và Logical (Destructive) ..Error! Bookmark not
defined.
3.4.1. Phƣơng pháp lập luận Mandani ........................ Error! Bookmark not defined.
3.4.2. Phƣơng pháp lập luận logic ................................ Error! Bookmark not defined.
3.5. Mô hình ngôn ngữ với tập hợp các đầu ra ............... Error! Bookmark not defined.
3.6. Mô hình Takagi – Sugeno – Kang (TSK) ................ Error! Bookmark not defined.
3.6.1. Mô hình ................................................................ Error! Bookmark not defined.


iii
3.6.2. Một số ví dụ mô hình TSK đơn giản ................. Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 4 – BỘ CÔNG CỤ LOGIC MỜ CỦA MATLAB VÀ CÀI ĐẶT THỬ THUẬT
TOÁN Error! Bookmark not defined.

4.1. Giới thiệu chung môi trƣờng MATLAB ................. Error! Bookmark not defined.
4.2. Bộ công cụ Logic Mờ (Fuzzy logic toolbox) .......... Error! Bookmark not defined.
4.2.1. Giới thiệu.............................................................. Error! Bookmark not defined.
4.2.2. Các tính năng cơ bản của FLT .......................... Error! Bookmark not defined.
4.2.3. Xây dựng hệ suy diễn bằng GUI của FLT ........ Error! Bookmark not defined.
4.2.4. Cấu trúc của hệ suy diễn mờ trong Matlab ...... Error! Bookmark not defined.

4.3. Bài toán ví dụ và cài đặt thử thuật toán 1, 2 ............ Error! Bookmark not defined.
4.3.1. Bài toán điều khiển tín hiệu đèn giao thông ..... Error! Bookmark not defined.
4.3.2. Tiêu chí và ràng buộc .......................................... Error! Bookmark not defined.
4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển giao thông mờ ............... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

Error! Bookmark not defined.


iv

BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
LM
TSK
FIS
FLT

Tên đầy đủ
Linguistic Model
Takagi – Sugeno – Kang Model
Fuzzy Inference System
Fyzzy Logic Toolbox

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1: Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x ....................................................................... 17
Bảng 2.1: Phƣơng pháp giải mờ trung bình tâm với m = 2 ............................................... 39

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Trang
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0 11
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez
11
Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2 12
Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y 12
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min 12
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent
12
Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4 13
Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích
14
Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min
14
Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN 16
Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM
16
Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP
16
Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2
16
Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4
16
Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL
17
Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0
17
Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max 18

Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez 18
Hình 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y
24
Hình 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x) 24
Hình 1.20: Đồ thị I(x,y)=max(1-x,min(x,y)) 26
Hình 1.21: Đồ thị hàm I(x,y) - Godeh
26
Hình 1.22: Đồ thị hàm I(x,y) - Goguen
27
Hình 2.1: Động cơ điều khiển tốc độ không khí.
Error! Bookmark not defined.
Hình 2.2: Cấu trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ
Error! Bookmark not defined.
Hình 2.3: Giải mờ bằng phƣơng pháp cực đại
Error! Bookmark not defined.
Hình 2.4: Giải mờ bằng phƣơng pháp trung bình
Error! Bookmark not defined.
Hình 2.5: Giải mờ theo phƣơng pháp trung bình tâm Error! Bookmark not defined.


v
Hình 2.6: Hàm thuộc hợp thành dạng đối xứng
Error! Bookmark not defined.
Hình 2.7: Giải mờ trung bình tâm với m=2 Error! Bookmark not defined.
Hình 3.1: Phân phối kết hợp luật R1(x,y): IF U là Bi THEN V là Di Error! Bookmark not
defined.
Hình 3.2: Phƣơng pháp lập luận Mamdani/Constructive
Error! Bookmark not defined.
Hình 3.3: Kết quả tính toán đầu ra bằng hình phƣơng pháp Mamdani
Error! Bookmark

not defined.
Hình 3.4: Sơ đồ khối của phƣơng pháp lập luận lôgic
Error! Bookmark not defined.
Hình 3.5: Tính toán kết quả đầu ra bằng hình của phƣơng pháp logic
Error! Bookmark
not defined.
Hình 3.6: Biểu diễn các quan hệ mờ R tƣơng ứng với phƣơng pháp Mamdani
Error!
Bookmark not defined.
Hình 3.7: Sơ đồ khối của cơ chế suy diễn đơn giản Error! Bookmark not defined.
Hình 3.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn ở ví dụ 2
Error! Bookmark not defined.
Hình 4.1: Cửa sổ soạn thảo phân lớp Mờ- Neuron thích nghi
Error! Bookmark not
defined.
Hình 4.2: Hệ thống suy diễn Mờ đƣợc thiết kế bằng Simulink
Error! Bookmark not
defined.
Hình 4.3: Mô hình cấu trúc GUI trong Matlab
Error! Bookmark not defined.
Hình 4.4: Cấu trúc FIS
Error! Bookmark not defined.
Hình 4.5: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Arrival Error! Bookmark not defined.
Hình 4.6: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Queue Error! Bookmark not defined.
Hình 4.7: Hàm thuộc biến mờ của biến ra Extention Error! Bookmark not defined.
Hình 4.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng Mamdani
Error! Bookmark not
defined.
Hình 4.9: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng lập luận logic Error! Bookmark not
defined.

6

MỞ ĐẦU
Từ những năm đầu của thập kỷ 90 cho đến nay, hệ điều khiển mờ và mạng nơron
(Fuzzy system and neuron network) đƣợc các nhà khoa học, các kỹ sƣ và sinh viên
trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật đặc biệt quan tâm nghiên cứu và ứng dụng
vào sản xuất. Tập mờ và logic mờ (Fuzzy set and Fuzzy logic) dựa trên các suy
luận của con ngƣời về các thông tin “không chính xác” hoặc “không đầy đủ” về hệ
thống để hiểu biết và điều khiển hệ thống một cách chính xác. Điều khiển mờ
chính là bắt chƣớc cách xử lý thông tin và điều khiển của con ngƣời đối với các đối
tƣợng, do vậy, điều khiển mờ đã giải quyết thành công các vấn đề điều khiển phức
tạp trƣớc đây chƣa giải quyết đƣợc.
Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong những lĩnh vực nghiên
cứu phát triển mạnh mẽ nhất, đƣợc đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt phƣơng
pháp kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các kỹ thuật
logic mờ với các phƣơng pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ. Logic
mờ đƣợc ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng
dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều
khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học,
thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ
liệu, chuẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức, …
Đặc biệt trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng hiệu
quả. Do tri thức con ngƣời thƣờng đƣợc biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ,
bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lý tri
thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà
còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Logic hình thức cổ điển cho phép
chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên,
trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không

muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể
tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là
đúng hay sai là rất khó do các từ “cao”, “nhỏ” hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất
mơ hồ. Từ đó Zadeh đã mở rộng logic mệnh đề thành logic mờ, trong đó, mỗi
mệnh đề P sẽ đƣợc gán cho 1 trị chân lý (P), một giá trị trong đoạn [0, 1], biểu
diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó.
Luận văn với mục tiêu chính là tìm hiểu các quy trình suy diễn mờ sẽ tập trung vào
các nội dung nhƣ sau:
Chƣơng I tìm hiểu về cơ sở của logic mờ, nhắc lại các khái niệm, định nghĩa cơ
bản của các toán tử trong logic mờ nhƣ t-chuẩn, t-đối chuẩn, phép phủ định, phép
kéo theo, hàm thuộc, phép hợp thành…


7
Chƣơng II của luận văn tìm hiểu về khái niệm, định nghĩa của luật mờ và hệ mờ
trên cơ sở các luật mờ. Giới thiệu kiến thức cơ bản về kiến trúc, các bƣớc suy diễn
của hệ suy diễn mờ và tìm hiểu một số phƣơng pháp suy diễn trong hệ mờ.
Chƣơng III đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn về các phƣơng pháp lập lập xấp xỉ trong
hệ mờ. Tìm hiểu lại các mô hình ngôn ngữ, mô hình Mamdani và đặc biệt là mô
hình Takagi – Sugeno – Kang với đầu ra của hệ suy diễn không phải là biến mờ
đơn mà là một hàm đầu ra.
Chƣơng IV giới thiệu lại bộ công cụ logic mờ của phần mềm Matlab – bộ công cụ
với đầy đủ các tính năng để thiết kế và xây dựng các hệ suy diễn mờ rất hữu ích.
Đồng thời giới thiệu bài toán thiết kế hệ suy diễn điều khiển tín hiệu đèn giao
thông, sử dụng để cài đặt thử kết quả cho các thuật toán giới thiệu trong chƣơng III
của luận văn.


8

CHƢƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ
Để có thể tiến hành các phép toán logic trên các mệnh đề, chúng ta cần phải có các
phép toán logic mờ. Đó chính là các phép toán phủ định, t - chuẩn tƣơng ứng với
phép hội, t - đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ.
Trong chƣơng này, chúng ta sẽ nhắc lại các khái niệm về cơ sở logic mờ và tìm
hiểu hệ suy diễn mờ. Do giới hạn của luận văn nên có nhiều khái niệm, chứng
minh sẽ không đƣợc trình bày hết trong nội dung bài viết. Kiến thức cơ sở của
logic mờ có thể đƣợc xem thêm ở các tài liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 18]. Trƣớc hết,
chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc
trƣng của chúng.

1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ
Logic rõ (logic thông thƣờng) ta đã quá quen thuộc hàng ngày với những khái
niệm rất rõ ràng và từ đó cho ta các kết luận dứt khoát [9].
Chẳng hạn một cơ quan cần tuyển dụng ngƣời làm việc, trong các tiêu chuẩn tuyển
chọn có một tiêu chuẩn nhƣ sau:
Nếu ngƣời cao từ 1,6m trở lên thì thuộc loại ngƣời cao và đƣợc chấp nhận, còn
dƣới 1,6m thì thuộc loại ngƣời thấp và bị loại. Nhƣ vậy nếu có một ngƣời nào đó
có đủ tất cả các tiêu chuẩn khác nhƣng chỉ cao 1,59m thì sẽ bị loại. Logic suy nghĩ
đó rất rõ ràng theo sơ đồ “máy tính” nhƣ sau:
Nhƣ vậy, điểm 1,6m là điểm tới hạn để ra quyết định, cứ 1,6m trở lên là thuộc loại
ngƣời cao, còn dƣới 1,6m là loại ngƣời thấp.
Những suy nghĩ về logic mờ (logic không rõ): trong
cuộc sống hàng ngày, đặc biệt là rất nhiều hiện
tƣợng (nếu không nói là tất cả) đƣợc thể hiện bằng
≥1.6m
ngôn ngữ đã đƣa ta đến một khái niệm logi không
rõ, logic mờ, chẳng hạn:
Anh này trông rất cao.
Loại

Nhận
Cô này trông được đấy.
Hay nhƣ có nhà thơ viết:
Trời thì không nắng không mưa,
Chỉ hiu hiu mát cho vừa lòng nhau.
Các khái niệm nhƣ: trông rất cao, được đấy, không nắng không mưa, hiu hiu mát,
… thật khó cho ta đƣa ra một con số cụ thể. Tuy vậy khi nghe các từ này ta vẫn
hình dung đƣợc một đặc tính cụ thể rõ rệt về đối tƣợng.
Những suy nghĩ này đƣa đến khái niệm về logic mờ, chính logic mờ đã xóa đi
đƣợc khái niệm cứng nhắc của logic rõ, vì rằng logic mờ đã:


9
- Cho phép mô tả các trạng thái sự việc khi sử dụng các mức độ thay đổi giữa đúng
và sai.
- Có khả năng lƣợng hóa các hiện tƣợng nhập nhằng hoặc là thông tin hiểu biết về
các đối tƣợng không đủ hoặc không chính xác.
- Cho phép phân loại các lớp quan niệm chèn lấp lên nhau.

1.2. Các phép toán về tập mờ
1.2.1. Phép phủ định
* Định nghĩa 1.1: Hàm n: [0, 1]  [0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) =
1, n(1) = 0 gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định).
* Định nghĩa 1.2:
a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt.
b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x, ∀x∈[0,1]
* Ví dụ 1:
- Hàm phủ định thƣờng dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh
- Hàm n(x) = 1-x2. Đây là một phủ định chặt nhƣng không mạnh.
1 x

- Họ phủ định (Sugeno) N ( x) 
,   1 . Với họ Sugeno này ta có mệnh
1 x
đề sau:
* Mệnh đề 1.3: Với mỗi   1 , N ( x) là một phủ định mạnh.
* Chứng minh:
Thật vậy, do 1 +>0 với x1  x2 ,  x1  x1   x2  x2 . Điều này tƣơng đƣơng với
N ( x1)  N ( x2 ) .
(1   x)  (1  x)
 x với mỗi 0  x  1 .
Hơn nữa, N ( N ( x)) 
(1   x)   (1  x)
Để thuận lợi ta cần thêm định nghĩa sau:
Một cách định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho  là không gian nền, một tập
mờ A trên  tƣơng ứng với hàm thuộc A: →[0,1].
* Định nghĩa 1.4: Cho n là hàm phủ định, phần bù AC của tập mờ A là một tập mờ
với hàm thuộc cho bởi AC (a)  n( A(a)) , với mỗi a∈.
Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1 là trƣờng hợp riêng khi n(x) là hàm
phủ định thƣờng dùng.

1.2.2. T - chuẩn
1.2.2.1. Phép hội


10
Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND - Conjunction) là một trong mấy phép toán
logic cơ bản nhất, nó cũng là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ. Phép
hội cần thoả mãn mãn các tiên đề sau:
C0: v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2).
C1: Nếu v(P1) =1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) với mọi mệnh đề P2.

C2: Giao hoán v(P1 AND P2) =v(P2 AND P1).
C3: v(P1)  v(P2) thì v(P1 AND P3)  v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3.
C4: Kết hợp: v(P1 AND (P1 AND P3)) = v((P2 AND P2) AND P3).
Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) nhƣ một hàm T: 0, 1  0, 1, thì
chúng ta có thể cần tới hàm sau:
* Định nghĩa 1.5:
Hàm T: 0, 12  0, 1 là một t - chuẩn (t-norm), khi và chỉ khi thoả các điều kiện
sau:
C5: T(1, x) = x với  x  [0, 1].
C6: T có tính giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với  x, y  [0, 1]
C7: T không giảm theo nghĩa T(x, y)  T(u, v), với  x  u, y  v
C8: T có tính kết hợp, tức làT(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z), với  0 x, y, z 1.
Từ các tiên đề trên chúng ta suy ra ngay T(0, x) = 0. Hơn nữa, tiên đề C8 đảm bảo
tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.
1.2.2.2 Một số t - chuẩn thông dụng
1) T - chuẩn yếu nhất (drastic product)
min{x, y} khi max{x, y}  1
Z(x, y) = T0(x, y) = 

khi max{x, y}  1
0
2) T - chuẩn LukasiewiczTL (x, y) = max(0, x+y-1)
xy
3) T2(x, y)=
2  ( x  y  xy )
4) Dạng tích TP (x, y) = x.y
xy
5) T4(x, y) =
x  y  xy
6) Dạng min (Zadeh, 1965) TM(x, y) = min(x, y)

7) Dạng Min Nilpotent (Fordor)
min{x, y} khi x  y  1
TN(x, y) = min0(x, y) = 

khi x  y  1
0
* Định lý 1.6:
Với T là một t - chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y  [0, 1]
T0(x, y)  T(x, y)  TM(x, y)
T0  TL  T2  TP  T4  TN  TM


11
Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [7]
* Định nghĩa 1.7: Cho T là t - chuẩn. Khi ấy
a) T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]2.
b) T là Archimed nếu T(x, x)  x, với  x (0, 1).
c) T gọi là chặt nếu T là hàm tăng chặt trên [0, 1]2.
* Ví dụ:
xy
1) T2 (x, y) =
là Archimed vì: T2(a, a) = a2/(2 - (2a - a2)).
2  ( x  y  xy )
a2
Do a2 - 2a + 2 = (a - 1)2 + 1 > 1 
< a2  a
2  (2a  a 2 )
Vậy T2(a, a)  a, với  a (0, 1).
2) TP(x, y) = xy là chặt vì 0  x1 < x2, 0  y1 < y2, ta có x1y1 < x2y2.
3) TM(x, y) = min(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - chuẩn T là liên tục.

Hơn thế nữa, ta luôn có TM(x, x) = min(x, x) = x.
1.2.2.3 Đồ thị của một số hàm t - chuẩn:

min{x, y} khi max{x, y}  1
T0(x, y)= 

khi max{x, y}  1
0

Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0

TL(x, y) = max(0, x+y-1)
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez


12

T2(x, y) =

xy
.
2  ( x  y  xy )

Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2

TP(x, y) = xy

Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y

TM(x, y) = min(x, y)

Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min

min{x, y} khi x  y  1
TN(x, y)= 

khi x  y  1
0

Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent


13

T4(x, y) =

xy
x  y  xy

Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4
1.2.2.4. Định nghĩa tổng quát phép giao của 2 tập mờ.
Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền  với hàm thuộc tƣơng ứng là
A(x), B(x). Cho T là một t - chuẩn.
* Định nghĩa 1.8:
Ứng với t - chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (ATB) trên X
với hàm thuộc cho bởi: (ATB)(x) = T(A(x), B(x)), với xX
Việc lựa chọn phép giao, tƣơng ứng với t - chuẩn T nào tuỳ thuộc vào bài toán
đƣợc quan tâm.
* Ví dụ: Hamacher(1978) đề nghị dùng
A(a).B(a)

( A  p B)(a) 
p  (1  p)( A(a)  B(a)  A(a).B(a))
với p  0, với mỗi a  ,
còn Yager (1980) xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc cho bởi
(A p B)(a)= 1 - min{ 1, ((1- A(a))p +(1- B(a))p) 1/p }, p 1, với mỗi a [0, 1].
Cùng thời, Dubois và Prade cũng đề nghị một họ toán tử phụ thuộc tham số t, đó là
phép giao (A tB) với hàm thuộc
(At B)(a)=A(a).B(a)/ max{ A(a), B(a), t }, với 0 t1, với mỗi a[0, 1].
* Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] - thời gian sống;
A = Những ngƣời ở tuổi trung niên;
B = Những ngƣời ở tuổi thanh niên
Khi đó giao của hai tập mờ A và B với T(x, y) = min(x, y) và T(x, y) = xy chúng
đƣợc biểu diễn trên hình vẽ nhƣ sau:


14
Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích

Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min

1.2.3. T - đối chuẩn
1.2.3.1. Phép tuyển
Giống nhƣ phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR thông thƣờng cần thỏa mãn
các tiên đề sau:
D0: v(P1 OR P2), chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2).
D1: Nếu v(P1) = 0, thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mỗi mệnh đề P2.
D2: Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1).
D3: Nếu v(P1)  v(P2), thì v(P1 OR P3)  v(P2 OR P3), với bất kỳ P3.
D4: Kết hợp v(P1 OR(P2 OR P3)) = v((P1 OR P2) OR P3).
Khi ấy ta có thể nghĩ tới các phép tuyển đƣợc định nghĩa bằng con đƣờng tiên đề

nhƣ sau:
* Định nghĩa 1.9:
Hàm S: [0, 1]2  [0, 1] gọi là một hàm tuyển (OR suy rộng) hay là t - đối chuẩn (tconorm) nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
D5: S(0, x) = x, với x  [0, 1].
D6: S có tính chất giao hoán: S(x, y) = S(y, x), với x, y  [0, 1].
D7: S không giảm: S(x, y)  S(u, v) với  0  x  u  1; 0  y  v  1.
D8: S có tính kết hợp: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z), với x, y  [0, 1].
Từ định nghĩa ta thấy: S(0, 1)  S(x, 1)  1  S(x, 1)  1  S(x, 1) = 1.
1.2.3.2. Một số hàm t - đối chuẩn thông dụng
Chọn phép phủ định n(x) = 1- x ta có các hàm t - đối chuẩn thông dụng nhƣ sau:
1) SM(x, y) = max (x, y).
2) SP(x, y) = x + y - xy.
x  y  2 xy
3) S2(x, y) =
.
1  xy
x y
4) S4(x, y) =
.
1  xy


15
5) SL(x, y) = min(1, x+y).

max{x, y} khi (x  y )  1
6) SN(x, y) = max1(x, y) = 

khi (x  y )  1 
0

max{x, y} khi min(x, y )  0
7) S0(x, y) = 

khi min(x, y )  0 
0
* Định lý 1.10:
Với S là một t - đối chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y  [0,
1].
a) SM(x, y)  S(x, y)  S0(x, y).
b) SM SP  S2  SL  S4  S0
c) SM  S2 SL  S4 SN S0
Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [2, 6]
* Chú ý: SP và SN không so sánh đƣợc với nhau, bởi vì khi x + y  1 ta có:
SN(x, y) = max(x, y)  x + y - xy = SP(x, y).
Khi x + y > 1 ta có: SN(x, y) =1 > x + y - xy = SP(x, y).
* Định nghĩa 1.11:
Cho S là t - đối chuẩn. Khi ấy:
S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]2.
Hàm S gọi là Archimed nếu S(x, x)  x với  0  x  1.
S gọi là chặt nếu S là hàm tăng trên [0, 1]2
* Ví dụ:
- SP(x, y) = x + y - xy, là chặt vì: Giả sử x1 < x2, ta có SP(x1, y) = x1 + y - x1y < x2 +
y - x2y = SP(x2, y), với y(0, 1). Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên ta có
SP(x1, y1) < SP(x2, y2), với mọi 0 < x1 < x2 < 1; 0< y1 < y2 < 1.
- SM(x, y) = max(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - đối chuẩn S là liên
tục. Hơn thế nữa, ta luôn có SM(x, x) = max(x, x) = x.
- SL(x, y) = min{1, x + y} là Archimed vì
SL(x, x) = min(1, x + x) = min(1, 2x) > x
1.2.3.3. Đồ thị của một số hàm t - đối chuẩn

max{x, y} khi (x  y )  1
SN(x, y)= 

khi (x  y )  1 
0


16
Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN

SM(x, y) = max (x, y)

Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM

SP(x, y) = x + y - xy

Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP

S2(x, y)=

x  y  2 xy
1  xy
Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2

S4(x, y) =

x y
1  xy

Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4

17

SL(x, y) = min(1, x+y)

Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL

max{x, y} khi min(x, y )  0
S0(x, y)= 

khi min(x, y )  0 
0

Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0
1.2.3.4. Định nghĩa tổng quát phép hợp của 2 tập mờ
* Định nghĩa 1.12:
Cho A và B là 2 tập mờ trên không gian nền , với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng
ứng. Cho S là một t - đối chuẩn. Phép hợp (ASB) là một tập mờ trên X với hàm
thuộc cho bởi biểu thức:
(ASB)(x) = S(A(x), B(x)), với x X.
Việc lựa chọn phép hợp, tƣơng ứng với t - đối chuẩn S nào tuỳ thuộc vào bài toán
ta quan tâm.
* Ví dụ:
Hamacher, 1978, đã cho họ phép hợp hai tập mờ với hàm thuộc theo tham số q,
(q ) A(a).B(a)  A(a)  B(a)
( A  q B)(a) 
với q -1, a  
1  a( A(a).B(a)
Còn họ phép hợp (Ap B) tƣơng ứng của Yager cho bởi hàm thuộc với tham số p,

(A p B)(a)=min {1, (A(a)p+ B(a)p) 1/p}, với p 1, a  .
Tƣơng tự, họ phép hợp do Dubois và Prade đề nghị với các hàm thuộc với tham số
t, có dạng:
A(a)  B(a)  A(a).B(a)  min{ A(a), B(a), (1  t )}
( A t B)(a) 
max{(1  A(a)),(1  B(a)),t}


18
với t [0, 1], a.
* Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] là thời gian sống.
A={Những ngƣời ở tuổi trung niên}; B ={Những ngƣời ở tuổi thanh niên}.
Khi đó hợp của hai tập mờ A, B với T(x, y) = max(x, y) và T(x, y)= max(1, x+y).
Biểu diễn trên hình vẽ nhƣ sau:

Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max

Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez

1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ
1.3.1. Phép đối ngẫu
Trong logic cổ điển, ta có thể đƣa công thức của logic mệnh đề về dạng chỉ chứa
các phép toán , , . Trong logic mờ cũng vậy, ta có thể đƣa các công thức về
dạng chỉ chứa: n, S, T.
* Định nghĩa 1.13:
Giả sử N(P, Q, R,...) là các công thức chỉ chứa các phép toán n, S, T. Nếu trong
N(P, Q, R,...), ta thay S, T tƣơng ứng bởi T, S thì công thức mới nhận đƣợc sau
phép thay thế đó gọi là công thức đối ngẫu của công thức N(P, Q, R,...). Kí hiệu
bởi N*(P, Q, R,...). Phép biến đổi từ công thức N thành công thức N* gọi là phép
đối ngẫu.

* Ví dụ:
- Công thức đối ngẫu của S(x, y) là T(x, y).


19
- Công thức đối ngẫu của công thức n(S(T(x, y))) là n(T(S(x, y))).

1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn.
Giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn ta có thể biểu diễn thông qua nhau theo định lý sau:
* Định lý 1.14: Cho n là phép phủ định mạnh, S là một t - đối chuẩn. Khi đó hàm T
xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
T(x, y) = n(S(n(x), n(y))), với  0  x, y  1 là một t - chuẩn.
Tƣơng tự, chúng ta có định lí sau:
* Định lý 1.15: Cho n là phép phủ định mạnh, T là một t- chuẩn, khi ấy hàm S xác
định trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
S(x, y) = n(T(n(x), n(y))), với  0  x, y  1là một t - đối chuẩn.
Dùng hai định lí trên chúng ta có thể chọn nhiều cặp (t - chuẩn, t - đối chuẩn) đối
ngẫu tƣơng ứng.
Sau đây là mấy cặp đối ngẫu:
Chọn n(x) = 1 - x, chúng ta có:
T(x, y)
S(x, y)
min(x, y)
max(x, y)
x.y
x + y - x.y
maxx + y - 1, 0
minx + y, 1
min0(x, y)=
max1(x, y) =

min{x, y} víi (x  y )  1
max{x, y} víi (x  y )  1




víi (x  y )  1
víi (x  y )  1 
0
0
Z(x, y) =
Z’(x, y) =
min{x, y} víi max(x, y )  1
max{x, y} víi min(x, y )  0




víi max(x, y )  1
víi min(x, y )  0 
0
0
Bảng 1.1 : Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x

1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển
Trong lí thuyết tập mờ và suy luận với logic mờ, một số tính chất trong lí thuyết
tập hợp theo nghĩa thông thƣờng không còn đúng nữa. Chẳng hạn trong lí thuyết
tập hợp, với bất kỳ tập rõ A  X, thì ta có:
A  AC = ;A  AC = X.
Nhƣng sang tập mờ thì hai tính chất trên không còn đúng nữa.

Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định. Ta có một số tính chất
sau:
- Tính luỹ đẳng (idempotency):
* Định nghĩa 1.16:


20
Chúng ta nói T là luỹ đẳng (idempotency) nếu T(x, x) = x, với x0, 1, và S là
luỹ đẳng nếu S(x, x) = x, với x  0, 1.
* Mệnh đề 1.17:
T là luỹ đẳng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), vớix, y0, 1, và cũng nói S là
luỹ đẳng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với x, y0, 1.
- Tính nuốt (absorption):
* Định nghĩa 1.18:
Có hai dạng định nghĩa nuốt suy rộng từ lí thuyết tập hợp:
T(S(x, y), x) = x, với x, y0, 1.
(a)
S(T(x, y), x) = x, với x, y0, 1.
(b)
* Mệnh đề 1.19:
(a) đúng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với x, y0, 1,
(b) đúng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với x, y0, 1.
- Tính phân phối (distributivity):
* Định nghĩa 1.20:
Có hai biểu thức xác định tính phân phối:
S(x, T(y, z)) = T(S(x, y), S(x, z)), với x, y, z  0, 1.
(c)
T(x, S(y, z)) =S(T(x, y), T(x, z)), với x, y, z  0, 1.
(d)
* Mệnh đề 1.21:

(c) đúng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với x, y  0, 1,
(d) đúng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với x, y 0, 1.
- Luật De Morgan.
Luật De Morgan trong lí thuyết tập hợp:
(A  B)C = A C B C
(A  B) C = A C  B C
Trong logic mờ luật De Morgan đƣợc suy rông:
* Định nghĩa 1.22:
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định chặt. Ta nói bộ ba (T, S,
n) là một bộ ba De Morgan nếu: n(S(x, y)) = T(n(x), ny).
Ta nói bộ ba là liên tục nếu S, T là hai hàm liên tục.

1.4. Phép kéo theo
1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo
Cho đến bây giờ đã có khá nhiều nghiên cứu về phép kéo theo (implication). Điều
đó cũng tự nhiên vì đây là công đoạn chốt nhất của quá trình suy diễn trong mọi
lập luận xấp xỉ, bao gồm cả suy luận mờ.


21
Phép kéo theo đƣợc xét nhƣ một mối quan hệ, một toán tử logic. Các tiên đề cho
hàm v(P1  P2):
I0: v(P1  P2) chỉ phụ thuộc vào giá trị v(P1), v(P2).
I1: Nếu v(P1)  v(P3) thì v(P1  P2)  v(P3  P2), với mọi mệnh đề P2.
I2: Nếu v(P2)  v(P3) thì v(P1  P2)  v(P1  P3), với mọi mệnh đề P1.
I3: Nếu v(P1) = 0 thì v(P1  P) = 1, với mỗi mệnh đề P.
I4: Nếu v(P1) = 1 thì v(P  P1) = 1, với mỗi mệnh đề P.
I5: Nếu v(P1) = 1 và v(P2) = 0 thì v(P  P1) = 0.
Tính hợp lí của các tiên đề này chủ yếu dựa vào logic cổ điển và những tƣ duy trực
tiếp về phép suy diễn. Từ tiên đề I0 ta khẳng định sự tồn tại của hàm I(x, y) xác

định trên [0, 1]2, với giá trị chân lí qua biểu thức sau:
v(P1  P2) = I(v(P1), v(P2)).
* Định nghĩa 1.23:
Phép kéo theo là một hàm số I: 0, 12  [0, 1], thoả mãn các điều kiện sau:
I6: Nếu x  z thì I(x, y)  I(z, y), với y[0, 1].
I7: Nếu y  u thì I(x, y)  I(x, u), với x[0, 1].
I8: I(0, x) =1, với x[0, 1].
I9: I(x, 1) =1, với x[0, 1].
I10: I(1, 0) = 0.
Tiếp tục, chúng ta xem xét thêm một số tính chất khác của phép kéo theo, những
tính chất này nhận đƣợc nhờ những bài báo của Dubois và Prade:
I11: I(1, x) = x, với x[0, 1].
I12: I(x, I(y, z)) = I(y, I(x, z)).
Đây là qui tắc đổi chỗ, cơ sở trên sự tƣơng đƣơng giữa hai mệnh đề “if P1 then (if
P2 then P3)” và “if P2 then (if P1 then P3)”.
I13: x  y nếu và chỉ nếu I(x, y) =1 (phép kéo theo xác lập một thứ tự).
I14: I(x, 0) = N(x). (là một phép phủ định mạnh).
Nhƣ vậy I14 phản ánh mệnh đề sau từ logic cổ điển (P  Q) =P, nếu v(Q) = 0
(nếu Q là sai).
I15: I(x, y)  y với x, y.
I16: I(x, x) = 1, với x.
I17: I(x, y) = I(N(y), N(x)). Điều kiện này phản ánh phép suy luận ngƣợc trong
logic cổ điển hai giá trị: (P  Q) = (Q  P). Đây là điều kiện mạnh.
I18: I(x, y), là hàm liên tục trên [0, 1].
Để tìm hiểu thêm các điều kiện này ngƣời ta đã đƣa ra định lý sau:
* Định lý 1.24:
Mỗi hàm số I: 0, 12  0, 1 thoả mãn các điều kiện I7, I12, I13, thì hàm I sẽ thoả
mãn các điều kiện I6, I8, I9, I10, I11, I15, I16.

22
1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định mạnh
1.4.2.1. S - Implication
* Định nghĩa 1.25: Hàm IS(x, y) xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
IS(x, y) = S(n(x), y)
Rõ ràng ẩn ý sau định nghĩa này là công thức từ logic cổ điển
(PQ)  (PQ)
* Định lý 1.26:
Với bất kỳ t - đối chuẩn S và phép phủ định mạnh n nào, IS đƣợc định nghĩa nhƣ
trên là một phép kéo theo.
* Chứng minh: (Ta kiểm chứng IS từng tiên đề của định nghĩa 1.23).
a) Tiên đề I6: Cho x  z. Vì IS(x, y) = S(n(x), y). Ta chỉ xét trƣờng hợp x  z, khi ấy
n(x)  n(z). Do t - đối chuẩn không giảm theo hai biến
IS(x, y) = S(n(x), y)  S(n(z), y) = IS(z, y).
b) Tiên đề I7: Cho y  t, khi đó IS(x, y) = S(n(x), y)  S(n(x), t) = IS(x, t), với x
c) Tiên đề I8: IS(0, x) = S(n(0), x) = S(1, x)  max(1, x) =1, vậy IS(0, x) =1, với x
d) Tiên đề I9: IS(x, 1) = S(n(x), 1)  max(n(x), 1) =1, vậy IS(x, 1) =1, với x.
e) Tiên đề I10: IS(1, 0) = S(n(1), 0) = S(0, 0) = 0, vậy IS(1, 0) = 0,
IS là một phép kéo theo của logic mờ thoả mãn định nghĩa 1.23.
1.4.2.2. R - Implication
* Định nghĩa 1.27: Cho T là một t - chuẩn, hàm IT(x, y) xác định trên [0, 1]2 bằng
biểu thức:
IT(x, y) = supu:T(x, u)  y 
* Định lý 1.28:
Với bất kỳ t - chuẩn T nào, IT đƣợc định nghĩa nhƣ trên là một phép kéo theo.
* Chứng minh: (ta kiểm chứng IT từng tiên đề của định nghĩa 1.23)
a) Tiên đề I6: Cho x  z. Vì IT(x, y) = sup{u: T(x, u)  y}. Do t - chuẩn T không
giảm theo hai biến, nên T(x, u)  T(z, u) và do vậy:
{u: T(z, u)  y}{u: T(x, u)  y}.

sup{u: T(z, u)  y}  sup{u: T(x, u)  y}.
Hay IT(z, y)  IT(x, y), với mọi y. Đó chính là điều kiện I6.
b) Tiên đề I7: cho y  t, khi đó với mỗi cặp (x, u) ta có T(x, u)  y  t.
{u: T(x, u)  y}{u: T(x, u)  t}.
sup{u: T(x, u)  y}  sup{u: T(x, u)  t}.
Hay IT(x, y)  IT(x, t), với mọi x. Đó chính là điều kiện I7.
c) Tiên đề I8: T(0, x) = x với bất kỳ u nào ta có 0  u  1. Do vậy T(0, u)  x, suy
ra sup{u: T(0, u)  x} = 1, với x. Hay IT(0, x) = 1. Đó chính là điều kiện I8.
d) Tiên đề I9: IT(x, 1) = 1 là hiển nhiên với x.


23
e) Tiên đề I10: Do IT(1, 0) = sup{u: T(1, u)  0}, điều này dẫn tới T(1, u) = 0. Sử
dụng tính chất T(1, u) = u của t - chuẩn, chỉ có u = 0 thoả mãn đẳng thức, tức là
T(1, 0) = 0. Vậy I10 thoả mãn.
Vậy IT là một phép kéo theo của logic mờ thoả mãn định nghĩa 1.23.
Nhƣ đã nhận xét từ đầu, có rất nhiều con đƣờng muốn xác định phép kéo theo.
Phép kéo theo sau đây, nói chung không thoả mãn tiên đề 1, nhƣng đƣợc nhiều tác
giả sử dụng, ý chính của phép kéo theo này bắt nguồn từ biểu diễn phép P  Q
theo lý thuyết tập hợp.
Nếu P, Q biểu diễn dƣới dạng tập hợp trong cùng một không gian nền thì (P  Q)
= (P  (P  Q)).
Sử dụng T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định, thì có thể nghĩ tới
dạng: I(x, y) = S (T(x, y), n(x))
Lập luận tƣơng tự khi cho P và Q trên các không gian nền khác nhau cũng có thể
dẫn tới cùng dạng hàm I(x, y) này.
1.4.2.3. QL - Implication
Nhƣ đã nhận xét từ đầu, có rất nhiều con đƣờng muốn xác định phép kéo theo.
Phép kéo theo sau đây nói chung không thỏa mãn tiên đề thứ nhất nhƣng đƣợc
nhiều tác giả sử dụng, ý chính của phép kéo theo này bắt nguồn từ biểu diễn phép

P Q theo lí thuyết tập hợp.
Nếu P, Q là các mệnh đề trong logic cổ điển hay ta biểu diễn dƣới dạng tập hợp
trong cùng một không gian nền thì (PQ) = (P(PQ).
Sử dụng T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định, thì có thể nghĩ tới
dạng: I(x, y)=S(T(x, y), n(x))
* Định nghĩa 1.29: Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phép phủ định
mạnh, phép kéo theo thứ ba IQL(x, y) (từ Logic lƣợng tử - Quantum Logic) xác định
trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
IQL(x, y)=S(T(x, y), n(x)),  0  x, y  1 .
* Ví dụ: Chọn T(x, y)= xy, S(x, y) = x+y-xy, ta đƣợc:
IQL(x, y) = S(xy, (1-x)) = xy+(1-x)-xy(1-x).
Từ đó IQL(x, y) = 1-x+x2y. Ta có hình vẽ sau:


24
Hình 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y
Chọn n(x)-1-n, T  x, y   max x  y 1,0 ; S  x, y   min x  y, 1 có:
I QL  x, y   S max  x  y 1, 0  , 1 x
 min  max  x  y 1, 0   1 x  ,1
 min max  y, 1 x  , 1

Do y  1 nên luôn có: max( y,1- x)  1 . Khi đó ta đƣợc IQL  x, y   max  y, 1 x  .
Hình vẽ nhƣ sau:

z

1

0.5

1
0.8

0
0

0.6
0.4

0.2
0.4

0.2

0.6
0.8
1

0

y

x

Hình 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x)
Chọn T(x, y)=Z(x, y), S(x, y)=Z’(x, y). Xét lần lƣợt các trƣờng hợp:
+ Nếu max( x, y)  1 thì ta có T(x, y) = Z(x, y) = 0, khi đó:

IQL  x, y   S T  x, y  , n  x  
 Z ’ 0,1 x 

do min(0, 1-x)=0)
 max(0,1 x) 1 x
+ Nếu x = 1, ta có T(x, y) = Z(1, y) = min(1, y) = y, khi đó
IQL(x, y) = S(T(x, y), n(x)) = Z’(y, 1-1) = Z’(y, 0) = y
+ Nếu y =1; x < 1 ta có: T(x, y) = Z(x, 1) = min(x, 1) = x, khi đó
IQL(x, y) = S(T(x, y), n(x)) = Z’(1, 1-x) = Z’(y, 0) = y= 1
(vì x <1 nên min(1, 1-x) =1-x >0)
Tóm lại ta có:
 y nÕu x  1

I QL ( x, y )  1 nÕu y  1
1  x kh¸c ®i

1.4.2.4. A-implication
Có nhiều toán tử kéo theo mờ đã đƣợc đƣa ra. Hầu hết chúng đều thuộc vào một
trong hai loại: các phép toán kéo theo đƣợc dựa trên biểu diễn rõ của phép kéo theo
A  B dƣới dạng &, ,  (Ví dụ: S- kéo theo đƣợc biểu diễn bằng công thức B
  A ), và R - kéo theo dựa trên một biểu diễn ẩn của kéo theo A  B. Tuy nhiên
một vài toán tử kéo theo mờ (nhƣ ba) không đƣợc biểu diễn một cách tự nhiên dƣới


25
dạng này. Để miêu tả thao tác này, ta đƣa ra một lớp mới (lớp thứ ba) của toán tử
kéo theo gọi là A-implication có mối liên quan với &, ,  đƣợc miêu tả bởi một
tiên đề của Elsevier.
Xét toán tử kéo theo f (a, b)  ba và f (0, 0)  1 xuất hiện đối với toán tử & đơn
giản nhất ( f& (a, b)  a.b ) nếu thêm vào S- và R- kéo theo. Ta đƣa ra một loại mới
của toán tử kéo theo mà ta gọi là A- kéo theo bởi chúng đƣợc xác định duy nhất
bằng một số tiên đề phù hợp. Ta mô tả tiên đề này nhƣ sau:
* Các tiên đề: Trong phần này, ta giả sử rằng có hai hàm đƣợc đƣa ra:

f  : [0, 1]×[0, 1]  [0, 1] và f  : [0, 1]  [0, 1].
+) (I0): Với mỗi a, b  {0, 1}, phép  đƣợc phù hợp với phép kéo theo cổ điển.
Ví dụ: a  b =1 trừ khi a =1, b = 0, trong các trƣờng hợp khác thì a  b = 0
* Định nghĩa 1.30: Ta nói hàm f  : [0, 1]×[0, 1]  [0, 1] thỏa mãn tiên đề (I0) nếu
f  (0, 0) = f  (0, 1) = f  (1, 1) = 1 và f  (1, 0) =0.
+) (I1): a  (b&c)  (ab) & (ac)
* Định nghĩa 1.31: Ta nói rằng hàm f  : [0, 1]x[0, 1] →[0, 1] thỏa mãn tiên đề
(I1) nếu f  (a, f & (b, c))  f & ( f  (a, b), f  (a, c)) với mọi a, b và c
*Kết quả:
Cho f&(a,b)=a.b; f(a)=1 f& (a, b)  a.b ; f (a)  1  a .Ta giả sử rằng một
f  (a, b) là liên tục tại mọi điểm của (a, b), có thể trừ điểm (0, 0) và điểm (1, 1).
Khi đó:
Nếu f thỏa mãn (I0) và (I1) thì hàm f có dạng sau:
f (a,b)= bp(a) ; a,b(0,1)
* Chứng minh:
Trƣớc tiên chúng ta nhìn những gì ta kết luận từ (I0) và (I1). Với mọi a  (0, 1), ta
biểu thị f (a, b) bằng fa(b). Khi đó, theo (I1) thì hàm fa thỏa mãn tính chất fa(b.c)
= fa(b) fa(c). Vì f liên tục, hàm fa cũng liên tục do đó kết quả của các hàm này là:
Hoặc fa(b)= 0
Hoặc fa(b) = bp(a) với p phụ thuộc vào a.
Chúng ta chỉ ra rằng trƣờng hợp fa(b) =f (a, b) = 0 với mọi a, b (0, 1) là không
thể xảy ra.
Thật vậy, trong trƣờng hợp này từ giả thiết tính liên tục của hàm f ta nhận đƣợc
f (0, 1)= lim f ( ,1   ) =lim 0 = 0. Trái với (I0)
s0

Vậy f  (a, b) = b p ( a ) với p(a).
Từ b < 1 và f (a, b)  1 ta kết luận rằng p(a)  0. Do f liên tục, hàm p(a) cũng
liên tục.