tổng hợp trắc nghiệm nguyên hàm tích phân ứng dụng của nguyên hàm

Trắc nghiệm nguyên hàm

TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM
Mức độ nhận biết.
2

Câu 1:Nguyên hàm của hàm số f(x) = x – 3x +
.
A

x 3 3x 2 1
−
+ +C
C.
3 2 x2

x3 3x 2
−
+ ln x + C
B.
3 2

1
x là:

x3 − 3x 2 + ln x + C D.

x3 3x 2
−
− ln x + C
3 2

f ( x) = x 2 − 2 x + 1 là

Câu 2: Họ nguyên hàm của
A.

1
F ( x) = x3 − 2 + x + C
3

C.

1
F ( x) = x3 − x 2 + x + C
D.
3

B.

Câu 3:Nguyên hàm của hàm số
A.

2

ln x - ln x + C

B. lnx -

Câu 4:Nguyên hàm của hàm số

1 2x x
e −e +C
A. 2
quả khác

B.

Câu 5:Nguyên hàm của hàm số
A.

1
sin 3x + C
3

B.

F ( x) = 2 x − 2 + C
1
F ( x) = x 3 − 2 x 2 + x + C
3
1 1
f ( x) = − 2
x x là :

1
x + C C. ln|x| +

1
x +C

D. Kết quả khác

f ( x) = e 2 x − e x là:

2e 2 x − e x + C

C.

e x (e x − x ) + C

C.

− sin3x + C

D. Kết

f ( x ) = cos3x là:
1
− sin 3x + C
3

D.

−3sin3x + C
Câu 6: Nguyên hàm của hàm số
A.2ex + tanx + C
quả khác

f ( x) = 2e x +

B. ex(2x 1

1
cos2 x là:

e− x
)
cos 2 x

C. ex + tanx + C

D. Kết


Trắc nghiệm nguyên hàm

∫ sin(3x − 1)dx , kết quả là:

Câu 7: Tính

1
− cos(3 x − 1) + C
A.
B.
3
quả khác

C.

− cos(3 x − 1) + C

-

A.

1
1
sin 6 x + sin 4 x +C
6
4

B.

1
1
sin 6 x - sin 4 x + C
6
4

C.

Câu 9:Tính nguyên hàm

6sin6 x - 5sin4 x + C

- 6sin6 x + sin4 x +C

D.

1

∫ 2 x + 1dx ta được kết quả sau:

1
ln 2 x + 1 + C
2

B.
D.

− ln 2 x + 1 + C

1
∫ xdx = ln x + C

B.

xα + 1
+ C (α ≠ −1)
α +1

ax
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1)
x

C.

D.

2
+C

(1 − 2 x)2

1
∫ 1 − 2 xdx ta được kết quả sau:

1
− ln 1 − 2 x + C
ln
1
−
2
x
+
C
−
2
ln
1
−
2
x
+
C
A.
B.
C.
2
Câu 11: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?

α

∫ x dx =

C.

1
− ln 2 x + 1 + C
2

ln 2 x + 1 + C

Câu 10:Tính nguyên hàm

A.

D. Kết

ò(cos6 x - cos4 x)dx là:

Câu 8: Tìm

A.

1
cos(3 x − 1) + C
3

Câu 12: Tính

D.

∫ (3cos x − 3 )dx , kết quả là:
x

2

1
∫ cos2 xdx = tan x + C


Trắc nghiệm nguyên hàm

3x
3sin x −
+C
ln 3

A.

B.

3x
−3sin x +
+C
ln 3

C.

3x
3sin x +
+C

D.
ln 3

3x
−3sin x −
+C
ln 3
Câu 13: Trong các hàm số sau:
(I)

2

f ( x) = tan x + 2

f ( x) =

(II)

2
cos 2 x

(III)

f ( x) = tan 2 x +1
Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx
A. (I), (II), (III)

B. Chỉ (II), (III)

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (II)

Câu 14: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai
A.

f 3 ( x)
ò f '( x) f ( x)dx = 3 +C

B.

ò[ f ( x).g ( x)] dx =ò f ( x)dx.ò g ( x)dx

C.

ò[ f ( x) + g ( x)] dx =ò f ( x)dx +ò g ( x)dx

D.

ò kf ( x)dx =k ò f ( x)dx (k là hằng số)

2

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số

1
(2 x + 1)4 + C
2

A.

B.

Câu 16: Nguyên hàm của hàm số

1
− (1 − 2 x)6 + C
2

A.

B.

f ( x) = (2 x + 1)3 là:
(2 x + 1)4 + C

C.

2(2 x + 1)4 + C D. Kết quả khác

C.

5(1 − 2x)6 + C D.

f ( x) = (1 − 2 x)5 là:
(1 − 2x)6 + C

5(1 − 2x)4 + C
Câu 17: Chọn câu khẳng định sai?

1

A.

∫ ln xdx = x + C

B.

3

∫ 2xdx = x

2

+C


Trắc nghiệm nguyên hàm

C.

∫ sin xdx = − cos x + C

D.

1
∫ sin 2 xdx = − cot x + C

2x +

Câu 18:Nguyên hàm của hàm số f(x) =

3
x2 − + C
B.
x

A.

C.

x 2 + 3ln x 2 + C

C.

D. Kết quả khác

f ( x) nào?

f ( x) = e x −

1
sin 2 x

B.

f ( x) = e x +

1
cos2 x

D.Kết quả khác

Câu 20: Nếu
A.

3
+C
x2

F ( x) = e x + tan x + C là nguyên hàm của hàm số

Câu 19:Hàm số
A.

x2 +

3
x 2 là :

ò f ( x)dx = e

x

e + cos 2 x

B.

x

+ sin 2 x + C thì

x

e - cos 2 x

f ( x) = e x +

1
sin2 x

f ( x) bằng
x

e + 2cos 2 x

C.

D.

Câu 21. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của

1
e x + cos 2 x
2

f ( x) = sin 2 x

1
−1

cos 2 x
cos 2 x
A. 2cos2x
B. − 2cos2x
C. 2
D.
2
Câu 22. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của

f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1
A.

3x + 6 x − 2
2

B.

1 4 3 2
x +x −x +x
4

C.

1 4 3 2
x +x −x
D.
4

3x 2 − 6 x − 2
Câu 23. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của

A.

ln 2 x + 2016 B.

1
ln 2 x + 2016
C.
2
4

1
− ln 2 x + 2016
2

D.2

f ( x) =

1
2 x + 2016

ln 2 x + 2016


Trắc nghiệm nguyên hàm

Câu 24. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của

e

A.

3 x+ 3

e

B. 3

3 x+ 3

1 3 x+ 3
e
D. -3
3

C.

e3 x + 3

1 
J = ∫  + x ÷dx
 x  là:

Câu 25. Nguyên hàm của hàm số:

ln x + x 2 + C

A. F(x) =

f ( x ) = e3 x + 3

B. F(x) =

1
ln ( x ) + x 2 + C
2
1
ln x + x 2 + C
2

C. F(x) =

D. F(x) =

ln ( x ) + x 2 + C .
Câu 26. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x là:
A. cos5x+C

B. sin5x+C

C.

(

x

B. F(x) =

)

C. F(x) =

−2 3
+
+C
ln 2 ln 3

x

x

2
3
+
+C
ln 2 ln 3

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số:

x

x

x

A.

B. F(x)

D.

F ( x) của hàm số

2x3 3
F ( x) =
- +C
3 x

2x + 3x + C

I = ∫ (x 2 + 3x + 1)dx là:

1
3
= x3 − x 2 − x + C
3
2

Câu 29. Nguyên hàm

D. F(x) =

2
3
−
+C
ln 2 ln 3

1
3

= x3 + x 2 + C
A. F(x)
3
2
1
3
= x3 + x2 + x + C
3
2
C. F(x)

D.

1
sin 5 x
+C
5

J = ∫ 2x + 3x dx là:

Câu 27. Nguyên hàm của hàm số:
A F(x) =

1
sin 6 x
+C
6

B.

3
1
F(x) = x 3 − x 2 − x + C
.
2
2

2x4 + 3
f ( x) =
x2

x3 3
F ( x) = - +C
3 x
5

( x ¹ 0) là


Trắc nghiệm nguyên hàm

2x3 3
F ( x) =
+ +C
3 x

3
F ( x) = - 3x - +C
D.
x

3

C.

f ( x) = e x + cos x

Câu 30. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của

e x + sin x

A.

e x − sin x

B.

C.

− e x + sin x

D.

− e x − sin x

P = ∫ (2x + 5)5 dx

Câu 31. Tính:
A.

(2x + 5)6

P =
+C
6

C.

(2x + 5)6
P =
+C
2

B.

1 (2x + 5)6
P = .
+C
2
6

D.

(2x + 5)6
P =
+C
.
5

Câu 32: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của sin2x
A.

sin 2 x

B. 2cos2x

C. -2cos2x

D. 2sinx

dx

∫ 3x + 1 ta được

Câu 33. Tìm

A.

−

3

( 3x + 1)

Câu 34. Tìm
A.

2

+C

1

ln 3x + 1 + C
C.
3

B.

∫ ( 2x + 1)

1
6
( 2x + 1) + C
12

5

dx ta được
B.

1
6
( 2x + 1) + C C.
6

Câu 35. Nguyên hàm của hàm số
A.

x2 x3
x− + +C
2 3

ln ( 3x + 1) + C

ln 3x + 1 + C D.

B.

( 2x + 1) 4 + C

D.

5 ( 2x + 1) + C

− 1 + 2x + C

D.

x − x2 + x3 + C

D.

I = sin 5 x + C

4

f ( x ) = 1 − x + x 2 là

x2 x3
− + +C
2 3

C.

Mức độ thông hiểu.
Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số:
A.

sin 5 x
I=
+C
B.
5

cos5 x
I=
+C
5

I = ∫ sin 4 x cos xdx là:
C.

sin 5 x
I= −
+C
5

Câu 37. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
6

f ( x) =

1
cos (2 x + 1)
2


Trắc nghiệm nguyên hàm

1
sin (2 x + 1)
2

A.

B.

−1
sin (2 x + 1)
2

F ( x) của hàm số

Câu 38. Nguyên hàm

A.

3 1
F ( x) = x - 3ln x + + 2 +C
x 2x

C.

3 1
F ( x) = x - 3ln x + - 2 +C
x 2x

Câu 39.

C.

f ( x)

( x - 1)
=
x

3
+2
x

A.

C.

3
F ( x) = 2x + - 4
x

F ( - 1) = 1,

1

+4
x

A.

F ( x) = x2 -

C.

x2 1 7
F ( x) = - +
2 x 2

D.

f ( x) =

2x + 3
x2

D.

F ( x) = 2ln x -

f ( 1) = 0.

A.

f ( x) = ax +

B.

D.

x2 1 5
F ( x) = + +
2 x 2

C.

ex
f ( x) =
2x

f ( x) = e2x

D.

f ( x) = x2.ex - 1

2

2

7

b
x2

( x ¹ 0) , biết rằng

F ( x) là biểu thức nào sau đây

1
F ( x) = x2 + + 2
x

B.

2

( x ¹ 0) , biết rằng

3
+4
x

F ( x) của hàm số

2

f ( x) = 2xe
.x

là

3 1
+
+C
x 2x2

F ( x) = ex là nguyên hàm của hàm số

Câu 41. Hàm số

( x ¹ 0)

F ( x) = x - 3ln x -

B.

F ( 1) = 4,

3

B.

3
F ( x) = 2ln x + + 2
x

Câu 40. Tìm một nguyên hàm

3

3 1
+C
x 2x2

F ( x) là biểu thức nào sau đây

F ( x) = 2x -

D.

1
co t(2 x + 1)
2

F ( x) = x - 3ln x -

F ( x) là nguyên hàm của hàm số

F ( 1) = 1.

1
tan(2 x + 1)
2


Trắc nghiệm nguyên hàm

f ( x) =
Câu 42. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số

A.

x2 + x - 1
x +1

C.

x2 + x + 1
x +1

B.

x2 - x - 1
x +1

D.

x2
x +1

x ( 2 + x)

( x + 1)

2

2

F ( x) của hàm số

Câu 43. Nguyên hàm

A.

x3 1

F ( x) = - + 2x +C
3 x

æx2 + 1ö
÷
÷
f ( x) = ççç
÷
÷
çè x ø

( x ¹ 0)

là

x3 1
F ( x) = + + 2x +C
3 x

B.

3

æx3
ö
x3
÷
ç
÷
+

x
ç
+x
÷
ç
3
3
ç
÷
F
x
=
+C
F ( x) =
+C
( ) çç x2 ÷
÷
2
÷
x
ç
÷
÷
ç
÷
ç
C.
D.
è 2 ø
2

Câu 44. Một nguyên hàm của hàm số: y = sinx.cosx là:

1
− cos 2 x
A.
+C B.
− cos x.sin x +C C. cos8x + cos2x+C
2
Câu 45. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. cos6x B. sin6x

C.

1 1
1

sin
6
x
+
sin 4 x ÷

2 6
4
 D.

D.

1
− cos 2 x

+C .
4

1  sin 6 x sin 4 x 
− 
+
÷
2 6
4 

Câu 46:Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin3xcos2x

1
cos5 x + cos x + C
5

A.

1
− cos 5 x − cos x + C
5

B.

C.

5cos5 x + cos x + C

D. Kết quả khác

Câu 47:Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
A. x2 + x + 3

B. x2 + x - 3

Câu 48:Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 4

8

C. x2 + x

x − x và f(4) = 0

D. Kết quả khác


Trắc nghiệm nguyên hàm

8 x x x 2 40
− −
A.
3
2 3
Kết quả khác

B.

8 x x 2 40
− −
3

2 3

C.

8 x x x 2 40
− +
3
2 3

D.

x
xe
∫ dx là
2

Câu 49: Nguyên hàm của hàm số
2

A.

2

xe x + C

ex
+C
2

B.

Câu 50: Tìm hàm số

C.

y = f ( x ) biết

2

ex + C

f ¢( x ) = ( x 2 - x )( x +1) và

D.

x + ex

f (0) = 3

A.

x 4 x2
y = f (x) = +3
4 2

B.

x4 x2
y = f (x) = - - 3
4 2

C.

x4 x2
y = f ( x) = + +3
4 2

D.

y = f ( x) = 3x 2 - 1

ò(sin x +1) cos xdx là:
3

Câu 51:Tìm
A.
C.

(cos x +1)4
+C
4
(sin x +1)4
+C
4

C.
Câu 53: Tìm
A.

D.

4(sin x +1)3 + C

dx
ò x 2 - 3x + 2 là:

Câu 52: Tìm

A.

B.

sin 4 x
+C
4

ln
ln

1
1
- ln
+C
x- 2
x- 1

B.

x- 1
+C

x- 2

D.

ln

x- 2
+C
x- 1

ln( x - 2)( x - 1) + C

ò x cos2 xdx là:
1
1
x sin 2 x + cos2 x +C
2
4

B.

x 2 sin 2 x
+C
C.
4
Câu 54: Lựa chọn phương án đúng:

D.

9

1
1
x sin 2 x + cos2 x +C
2
2

sin2x +C

2


Trắc nghiệm nguyên hàm

A.

∫ cot xdx = ln sin x + C

B.

∫ sin xdx = cos x + C
1

C.

1

∫ x dx = x + C

D.

2

∫ cos xdx = − sin x + C
Câu 55: Tính nguyên hàm
A.

sin x + C
4

∫ sin

3

x cos xdx ta được kết quả là:

1 4
sin x + C
4

B.

C.

− sin x + C
4

D.

f ( x) = 3x + 2 x − 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi

Câu 56: Cho
đó là kết quả nào sau đây?

x = 1 . Nguyên hàm

2

A.

F ( x) = x3 + x 2 − 3x

1
− sin 4 x + C
4

B.

F ( x ) = x 3 + x 2 − 3x + 1
C.

F ( x) = x 3 + x 2 − 3 x + 2

D.

F ( x ) = x 3 + x 2 − 3x − 1
Câu 57. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
x2 − x − 1
x2 + x − 1
A.
B.

C.
x+1
x+1
Câu 58: Kết quả nào sai trong các kết quả sau:

x2 + x + 1
x+1

A.

2 x + 1 − 5 x −1
1
1
∫ 10 x dx = 5.2 x.ln 2 + 5x.ln 5 + C B.

∫

C.

x2
1 x+1
dx
=
∫ 1 − x2 2 ln x − 1 − x + C

∫ tan

Câu 59: Tìm nguyên hàm

D.

3 2
∫  x +

4
÷dx
x

10

D.

f ( x) =

x( 2 + x )
( x + 1)2

x2
x+1

x4 + x −4 + 2
1
dx = ln x − 4 + C
3
x
4x
2

xdx = tan x − x + C

Trắc nghiệm nguyên hàm

53 5
x + 4 ln x + C
3

A.

−

C.

B.

33 5
x + 4 ln x + C
5
33 5
x − 4 ln x + C
5

−1

A.

1− x + C

B.

Câu 61: Tìm nguyên hàm

A.

1− x

C.

2
1
x − 2 cos 2 x − sin 2 x + C
3
4
2

C.

1− x

2

+C

− 1 − x2 + C

2

A.

∫ tan

2

1

+C

∫ (1 + sin x) dx

2
1
x + 2 cos x − sin 2 x + C
3
4

Câu 62: Tính

D.

x
∫ 1 − x2 dx là:

Câu 60: Kết quả của
2

D.

33 5
x + 4 ln x + C
5

B.

2
1
x − 2 cos x + sin 2 x + C
3
4

D.

2
1
x − 2 cos x − sin 2 x + C
3
4

xdx , kết quả là:

x − tan x + C

B.

− x + tan x + C

C.

− x − tan x + C D.

1 3

tan x + C
3

Câu 63: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
1
1
( I ) ò sin x sin 3 xdx = (sin 2 x - sin 4 x) + C
4
2
1
( II ) ò tan 2 xdx = tan 3 x + C
3
x +1
1
( III ) ò 2
dx = ln(x 2 + 2 x + 3) + C
x + 2x +3
2

A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II) và (III)

Câu 64. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của

f ( x) =

4

1
+
−5
1 − 3x 2 x

11

D. Chỉ (II)


Trắc nghiệm nguyên hàm

A.

−4
ln 1 − 3x + x − 5 x
3

4
ln 1 − 3x
C.
3

B.

4
ln 1 − 3x − 5 x
D.
3

4
ln 1 − 3x + x
3

f ( x ) = x là

Câu 65. Nguyên hàm của hàm số

1
A.

x+C

B.

C.

C.

2
x x+C
3

f ( x) = ex −

1
sin 2 x

f ( x) = e x −

1
cos2 x

B.
D.

Câu 67. Nguyên hàm F(x) của hàm số

f (x) = ex +

1
sin 2 x

f ( x) = ex +

1
cos2 x

3
x x+C
2

D.

F( x ) = e x + t anx + C là nguyên hàm của hàm số

Câu 66. Hàm số
A.

2 x

+C

f ( x ) nào ?

f ( x ) = 4 x 3 − 3x 2 + 2 trên R thoả mãn điều kiện

F(− 1) = 3 là
A.

x 4 − x 3 + 2x + 3

B.

x 4 − x3 + 2 x − 4

C.

x 4 − x 3 + 2x + 4

D.

x4 − x3 + 2x − 3

Câu 68. Một nguyên hàm của hàm số

A.

1
cos 2x

4

1
− cos 6x
6

B.

f ( x ) = 2sin3 x.cos3x
C.

là

− cos3 x.sin3 x

D.

1
− sin 2 x
4
Câu 69: Một nguyên hàm của hàm số

(

A.

x2
F ( x) =
2

C.

1
F ( x) =
1+ x2
3

(

1 + x2

)

)

y = x 1 + x 2 là:

2

12

)

(

)

B.
D.

1
F ( x) =
1 + x2
3

2

Câu 70: Một nguyên hàm của hàm số

(

1
1 + x2
2

F ( x) =

y = sin 3 x.cos x là:

2

3


Trắc nghiệm nguyên hàm

A.

sin 4 x
F ( x) =

+1
4

C.

cos 2 x cos 4 x
F ( x) =
−
2
4

Câu 71: Một nguyên hàm của hàm số
A.

F ( x ) = 3e

C.

F ( x) =

x2

B.

sin 4 x cos 2 x
F ( x) =
4
2

D.

cos2 x cos 4 x
F ( x) = −
−
2
4

2

y = 3x.e x là:
B.

3 x 2 x2
e
2

3 2
F ( x ) = ex
2

F ( x) =

D.

Câu 72: Một nguyên hàm của hàm số

y=

2ln x
x là:

A.

F ( x ) = 2ln x

B.

ln 2 x
F ( x) =
2

C.

F ( x ) = ln 2 x

D.

F ( x ) = ln x 2

2

Câu 73: Một nguyên hàm của hàm số

x 2 x3
e
2

(

)

y = 2 x e x − 1 là:

A.

F ( x ) = 2e x ( x − 1) − x 2

B.

F ( x ) = 2e x ( x − 1) − 4 x 2

C.

F ( x ) = 2e x ( 1 − x ) − 4 x 2

D.

F ( x ) = 2e x ( 1 − x ) − x 2

Câu 74: Một nguyên hàm của hàm số
A.

x
1
F ( x ) = cos 2 x − sin 2 x
2
4

C.

x
1
F ( x ) = − cos 2 x + sin 2 x
2
2

Câu 75: Một nguyên hàm của hàm số
A.

F ( x) = −

1
( ln 2 x − 2 )
x

y = x sin 2 x là:

y=

B.

x
1
F ( x ) = − cos 2 x − sin 2 x
2
2

D.

x

1
F ( x ) = − cos 2 x + sin 2 x
2
4

ln 2x
x 2 là:
B.

13

F ( x) =

1
( ln 2 x + 2 )
x


Trắc nghiệm nguyên hàm

C.

1
( ln 2 x + 2 )
x
1
F ( x ) = − ( 2 − ln 2 x )
x

F ( x) = −

D.

e t anx
cos 2 x là:

Câu 76:Một nguyên hàm của hàm số f(x) =
A.

e t anx
cos 2 x B.

e t anx

e tanx + t anx

C.

y = (t anx + cot x)2 là:

Câu 77: Nguyên hàm của hàm số
A.

1
F ( x ) = (t anx + cot x)3 + C
3

C.

F ( x ) = 2(t anx + cot x)(

t anx.cot x + C B.

F ( x ) = t anx-cot x + C

B.

1
1
−
)+ C
cos 2 x sin 2 x

Câu 78:Nguyên hàm của hàm số: y =
A.

e tanx .t anx

D.

F ( x ) = t anx+ cot x + C

D.

1
cos x sin 2 x là:
2

− t anx-cot x + C C.

t anx-cot x + C

D.

1 x
sin + C
.
2 2

1

Câu 79: Nguyên hàm của hàm số: y =
A.

−7
−3
( 1 − 4x ) 3 + C
7

C.

−7
3
( 1 − 4x ) 3 + C
28

3

( 1 − 4x )

A.

1
ln 7 x3 + 1
7

B.

B.
D.

−7
3
− ( 1 − 4x ) 3 + C
.
28

x2
7 x3 + 1 là:
C.

Câu 81: Nguyên hàm của hàm số f(x) =
A.

2e x + x + C

B.

e x − e − x + C C.
14

là:

−7
12
( 1 − 4x ) 3 + C
7

Câu 80: Một nguyên hàm của hàm số: y =

ln 7 x3 + 1

10

1
ln 7 x3 + 1
21

D.

1
ln 7 x 3 + 1
14

e x (2 − e− x ) là:
2e x − x + C

D.

2e x + 2 x + C

Trắc nghiệm nguyên hàm

Mức độ vận dụng.
cos x
5sin x − 9 là:

Câu 82: Một nguyên hàm của hàm số: y =
A.

ln 5sin x − 9

B.

1
ln 5sin x − 9
5

C.

1
− ln 5sin x − 9
5

B.

P = ex + C

D.

5ln 5sin x − 9

D.

P = x.e x + e x + C .

P = ∫ x.e x dx

Câu 83: Tính:
A.

P = x.e x + C

C.

P = x.e x − e x + C

f '( x) = ax+

Câu 84: Tìm hàm số f(x) biết rằng

x2 1 5
+ +
A.
2 x 2
quả khác

B.

x2 1 5
− +
2 x 2

b
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f (− 1) = 2
x2
C.

x2 1 5
+ −
2 x 2

D. Kết

Lược giải:
Sử dụng máy tính kiểm tra từng đáp án:
- Nhập hàm số
- Dùng phím CALC để kiểm tra các điều kiện f '(1) = 0, f (1) = 4, f (- 1) = 2
- Đáp án đúng: B

Câu 85: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

k ¹ 0?
A.
B.
C.
D.

f ( x) =

x 2
k
x + k + ln x + x 2 + k
2
2

f ( x) =

1 2
x
x + k + ln x + x 2 + k
2
2

k
f ( x) = ln x + x 2 + k
2

f ( x) =

1
x2 + k
15

f ( x) = x 2 + k với


Trc nghim nguyờn hm

Lc gii:
1+

x

ổx 2
ửÂ 1 2
x
x
k
x2 +k
ỗỗ x + k + k ln x + x 2 + k ữ
=
x
+
k
+
+
= x2 +k
ữ
ữ
ỗố2
2
2
ứ 2
2
2 x + k 2 x+ x + k

Cõu 86: Nu

f ( x ) = (ax 2 + bx + c ) 2 x -1 l mt nguyờn hm ca hm s
ổ1
ỗỗ ; +Ơ
ỗố2

10 x 2 - 7 x + 2
g ( x) =
2 x -1 trờn khong

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

ử
ữ
ữ
ữthỡ a+b+c cú giỏ tr l
ứ

Lc gii:

2
2
 5ax + (- 2a + 3b)x - b + c 10x - 7x + 2
(ax 2 + bx + c) 2x - 1 =
=

2x - 3
2x - 3
ỡù a = 2
ùù
ớ b =- 1 ị a + b + c = 2
ùù
ùùợ c = 1

(

)

Cõu 87: Xỏc nh a, b, c sao cho

g ( x) = (ax 2 + bx + c) 2 x -3 l mt nguyờn hm ca hm s

20 x 2 - 30 x + 7
f ( x) =
trong khong
2x - 3
A.a=4, b=2, c=2

ổ3
ỗỗ ; +Ơ
ỗố2

ử
ữ
ữ
ữ

ứ

B. a=1, b=-2, c=4

C. a=-2, b=1, c=4

D. a=4, b=-2, c=1

Lc gii:
2
2
 5ax + (- 6a + 3b)x - 3b + c 20x - 30x + 7
(ax 2 + bx + c) 2x - 3 =
=
2x - 3
2x - 3
ỡù a = 4
ùù
ớ b =- 2
ùù
ùùợ c =1

(

)

Cõu 88: Mt nguyờn hm ca hm s:

f ( x) = x sin 1 + x 2 l:

A.

F ( x) = 1 + x2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 B.

F ( x) = 1 + x2 cos 1 + x2 sin 1 + x 2

C.

F ( x) = 1 + x 2 cos 1 + x2 + sin 1 + x2

F ( x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 sin 1 + x 2

16

D.


Trắc nghiệm nguyên hàm

Lược giải:
Đặt

I = ò ( x sin 1 + x 2 )dx

t = 1 + x 2 ta được I = ò t sin tdt
u = t, dv = sin tdt
- Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt
- Dùng phương pháp đổi biến, đặt

òcos tdt =-

I =- t cos t -

- Ta được

1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2 + C

Câu 89: Trong các hàm số sau:

f ( x) = x 2 +1

(I)

f ( x) =

(III)

(II)

f ( x) = x 2 +1 + 5

1
x 2 +1

f ( x) =

(IV)

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số

1
x 2 +1

-2

F ( x) = ln x + x 2 +1

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (III) và (IV)

Lược giải:

(

¢
ln x + x 2 +1 =

)

1+

x
x 2 +1

x + x 2 +1

=

1
x 2 +1
2

Câu 90: Một nguyên hàm của hàm số

A.

3

3
12
F ( x ) = x 3 x 2 + 6 x 5 + ln x
5
5

(

F ( x) = x 3 x + x
C.

)

æ
1 ö
f ( x ) = çç3 x + ÷
÷

÷ là hàm số nào sau đây:
çè
xø

B.

1æ
1 ö
F ( x) = çç3 x + ÷
÷
3 çè
ø
x÷

D.

3
12
F ( x) = x 3 x 2 + ln x + 5 x 6
5
5

2

Lược giải:
æ3 3 2 12 6 5
çç x x +
x + ln
çè5
5

2
¢ æ
ö
ö
1
3
÷
x÷
= çç x + ÷
÷
÷
÷
ø çè
xø

Câu 91: Xét các mệnh đề

17


Trắc nghiệm nguyên hàm
2

F ( x) = x + cos x là một nguyên hàm của

(I)
(II)

x4

F ( x) = + 6 x
là một nguyên hàm của
4

(III)

F ( x) = tan x là một nguyên hàm của

æ x
xö
f ( x) = ççsin - cos ÷
÷
÷
çè 2
2ø

f ( x) = x3 +

3
x

f ( x) = -ln cos x

Mệnh đề nào sai ?
A. (I) và (II)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (I) và (III)

Lược giải:

(-

ln cos x ) ¢= tan x (vì

- ln cos x là một nguyên hàm của tanx)

Câu 92: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

òx

(I)

xdx
1
= ln( x 2 + 4) + C
+4 2

2

1

ò cot xdx = - sin

(II)
(III)

òe

2cos x

2

x

+C

1
sin xdx = - e 2cos x + C
2

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (I) và (II)

D. Chỉ (I) và (III)

Lược giải:
xdx
1 d(x 2 + 4) 1
2
ò x 2 + 4 = 2 ò x 2 + 4 = 2 ln(x + 4) + C
2cos x
ò e sin xdx =-

Câu 93: Tìm nguyên hàm

f ( x) = e
A.

x 2

3

1 2cos x
1 2cos x
e
d(cos
x)
=e +C
2ò
2

F ( x) = e x 2 (a tan 2 x + b tan x + c) là một nguyên hàm của

tan x trên khoản

æ p pö
çç- ; ÷
÷
÷
çè 2 2 ø

1
2

2
F ( x) = e x 2 ( tan 2 x tan x + )
2
2
2

18

B.

1
2
1
F ( x) = e x 2 ( tan 2 x tan x + )
2
2
2


Trắc nghiệm nguyên hàm

1
2
1
F ( x ) = e x 2 ( tan 2 x + tan x + )
C.
D.
2
2
2

Lược giải:
- Có thể dùng đạo hàm để kiểm tra từng đáp án.
- Hoặc tìm đạo hàm của

1
2
2
F ( x) = e x 2 ( tan 2 x tan x )
2
2
2

F ( x) = e x 2 (a tan 2 x + b tan x + c) rồi đồng nhất với

f ( x) = e x 2 tan 3 x
F '( x) = 2e x 2 (a tan 2 x + b tan x + c) + e x 2 éêë2a(1 + tan 2 x) tan x + b(1 + tan 2 x)ù
ú
û
= e x 2 éê2a tan 3 x + ( 2a + b) tan 2 x + (2a + 2b) tan x + b + 2c ù
ú
ë
û

F '( x) = f ( x)

F ( x) là nguyên hàm của f(x) nên
Suy ra
ìï 2a = 1
ïï
ïï 2a + b = 0

ïí
Û
ïï 2a + 2b = 0
ïï
ïï b + 2c = 0
î

ìï
1
ïï a =
ïï
2
ïï
2
ï
í b =ïï
2
ïï
ïï c = 1
ïï
2
î

Đáp án đúng: B

Câu 94:Nguyên hàm của hàm số: y =
B.

x

A.

e
+C
x
2 ln 2

ex
+C
x.2 x

x

e
+C
(1 − ln 2)2 x

Câu 95:Nguyên hàm của hàm số: y =
A.

ex
2 x là:

1
( x + sin x ) + C
2
1 x
sin + C
.
2 2

C.

cos 2

D.

e x ln 2
+C
2x

x
2 là:

B.

1
(1 + cosx ) + C
2

C.

1
x
cos + C
2 2

D.

1

− cos3 x + C
.
3

Câu 96:Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
A.

1 3
cos x + C
3

B.

3

− cos x + C

C.
19

1 3
sin x + C
3

D.


Trắc nghiệm nguyên hàm

ex

e x + 2 là:

Câu 97: Một nguyên hàm của hàm số: y =
A.2

ln(e x + 2) + CB.

C.

e x ln(e x + 2) + C D.

P = ∫ sin 3 xdx

Câu 98: Tính:
A.

ln(e x + 2) + C

P = 3sin 2 x.cos x + C

B.

1
P = − sin x + sin 3 x + C
3
C.

1
P = − cos x + cos3 x + C
3

D.

Câu 99: Một nguyên hàm của hàm số:

2

A.

x 2− x

C.

1
− x2 2 − x2
3

B.

−

(

y=

)

1 2
x + 4 2 − x2
3

D.

−

(

1 2
x −4
3

)

20

2 − x2

1
P = cosx + sin 3 x + C
.
3
x3
2 − x 2 là:

e2x + C.


Trắc nghiệm nguyên hàm

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1.Nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là:

1 3
1 3
cos x + C
sin x + C
B.
C.
3
3
Câu 2.Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:

A.−cos2x + C

A.

1 3
1
sin x − sin 5 x + C
3
5
D.Đápán khác.

B.

D. tg3x + C

1
1
− sin3 x + sin 5 x + C

C. sin3x− sin5x + C
3
5

Câu 3.Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:

1 3
1 3
cos x + C
sin x + C
3
A. 3
B. − cos x + C
C. 3
Câu 4.Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. F(x) = cos6x
C.

D.Đápán khác.

B. F(x) = sin6x

1 1
1

 sin 6 x + sin 4 x ÷
2 6
4


D.

1  sin 6 x sin 4 x 
− 
+
÷
2 6
4 
Câu 5.Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
A.

1  cos 6 x cos 2 x 
− 
+
÷
2 8
2 

B.

C. cos8x + cos2x

D.Đápán khác.
21

1  cos 6 x cos 2 x 
+

÷
2 8

2 


Trắc nghiệm nguyên hàm

P=

Câu 6.Tính:
A.

x2 + 1
dx
x

∫

P = x x2 + 1 − x + C

B.

)

(

P = x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 + C
1 + x2 + 1
P = x + 1 + ln
+C
x
2

C.

D.Đápán khác.
y=

Câu 7.Một nguyên hàm của hàm số:
A.

F ( x) = x 2 − x
−

(

1 2
x −4
3

)

x3

2

2 − x 2 là:

B.

−

(

)

1 2
x + 4 2 − x2
C.
3

2 − x2
y=

Câu 8.Hàm số nào dướiđây là một nguyên hàm của hàm số:
A.

(

F ( x) = ln x − 4 + x 2

(

)

F ( x) = ln x + 4 + x 2
C.

1
− x2 2 − x2
D.
3

1
4 + x2

B.

)

F ( x) = 2 4 + x 2

D.

F ( x) = x + 2 4 + x 2
f ( x) = x sin 1 + x 2 là:

Câu 9.Một nguyên hàm của hàm số:
A.

F ( x) = − 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 B.

F ( x) = − 1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2

C.

F ( x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2

F ( x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2

Câu 10.Một nguyên hàm của hàm số:
A.

F ( x) =

(

1
1 + x2
2

x2
F ( x) =
2

(

)

1+ x

D.

f ( x) = x 1 + x 2 là:

2

B.
2

)

2

D.
22

(
1
F ( x) = (
3

F ( x) =

) C.
1+ x )

1
1 + x2
3

2

3

2


Trắc nghiệm nguyên hàm

∫x

Câu 11.Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

1 x−a
ln
2a x + a +C

B.

dx
2

2
− a là:

1 x+a
ln
2a x − a +C

C.

1 x−a
ln
a x + a +C

D.

C.

1 x−a
ln
a x + a +C

D.

1 x+a
ln
a x − a +C

∫a

Câu 12.Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

1 a−x
ln
2a a + x +C

B.

dx
2

− x 2 là:

1 a+x
ln
2a a − x +C

1 x+a
ln
a x − a +C

∫

Câu 13.Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C
3
2

C.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C
6
2

x3
dx
x − 1 là:

∫x

Câu 14.Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

20  5
3

C.

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

14  5
3

B.

1 3 1 2
x + x + x + ln x + 1 + C
3
2

D.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C
3
4

4 x + 7 dx là:
B.

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

18  5
3

D.

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

16  5
3

dx
∫ 2 x + 5 là:

Câu 15.Nguyên hàm của hàm số: y =

23


Trắc nghiệm nguyên hàm

A.

1
2x
ln
+C
2ln 5 2 x + 5

B.

1
2x
ln
+C
5ln 2 2 x + 5

C.

1
2x
ln
+C
10ln 2 2 x + 5

1
2x
ln
+C
ln 2 2 x + 5

cos 5 x
∫ 1 − sin x dx là:

Câu 15.Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

sin 3 x cos 4 x
cos x −
−
+C
3
4

C.

sin 3 x cos 4 x
sin x −
−
+C
3
4

B.

sin 3 3x cos 4 4 x
sin x −
−
+C
3
4

D.

sin 3 x cos 4 x
sin x −
−
+C
9
4
1

Câu 16.Nguyên hàm của hàm số: y =

∫ sin 2 x.cos 2 x dx là:

A. F(x) = tanx - cotx + C

B.F(x) = sinx - cotx + C

C. F(x) = tanx - cosx + C

D.F(x) = tan2x - cot2x + C

Câu 17.Nguyên hàm của hàm số: y =

cos 2 x
∫ sin 2 x.cos 2 x dx là:

A.F(x) = - cosx – sinx + C

B.F(x) = cosx +sinx + C

C.F(x) = cotx – tanx + C

D. F(x) = - cotx – tanx + C

Câu 18.Nguyên hàm của hàm số: y =

∫ 2sin3xcos2 x.dx là:

A. F(x) =

1
− cos 5 x − cos x + C
5

C.F(x) =

1
1
− cos5 x − cos x + C
2
3

∫

Câu 19.Nguyên hàm của hàm số: y =
A. F(x) =

xe x + 1 − ln xe x + 1 + C

C.F(x) =

xe x + 1 − ln xe− x + 1 + C

B.F(x) =

1
1
− cos5 x − cos x + C
3
2

D. F(x) =

1
cos5 x − cos x + C
5

( x 2 + x )e x
x+e

−x

dx

là:

B.F(x) =
D. F(x) =
24

e x + 1 − ln xe x + 1 + C
xe x + 1 + ln xe x + 1 + C

D.


Trắc nghiệm nguyên hàm

I = ∫ cos 2 x.ln(sin x + cos x)dx

Câu 20.Nguyên hàm của hàm số:
A. F(x) =
B.F(x) =

1
1
( 1 + sin 2 x ) ln ( 1 + sin 2 x ) − sin 2 x + C
2
4
1
1

( 1 + sin 2 x ) ln ( 1 + sin 2 x ) − sin 2 x + C
4
2

C. F(x) =

1
1
( 1 + sin 2 x ) ln ( 1 + sin 2 x ) − sin 2 x + C
4
4

D. F(x) =

1
1
( 1 + sin 2 x ) ln ( 1 + sin 2 x ) + sin 2 x + C
4
4
I = ∫ ( x − 2 ) sin 3xdx là:

Câu 21.Nguyên hàm của hàm số:
A. F(x) =
C.F(x) =

−
−

( x − 2 ) cos3x + 1 sin 3x + C
3

C.F(x) =

( x + 2 ) cos3x + 1 sin 3x + C
3

( x − 2 ) cos3x + 1 sin 3x + C
3

−

D. F(x) =

9

I = ∫ x 3 ln xdx.

1 4
1
x .ln x + x 4 + C
4
16

1 4
1
x .ln x − x3 + C
4
16
I=∫

Câu 22.Nguyên hàm của hàm số:
A. F(x) =

B.F(x) =

9

Câu 21.Nguyên hàm của hàm số:
A. F(x) =

là:

2
5
ln 2 x + 1 − ln x − 1 + C
3
3

9

( x − 2 ) cos3 x + 1 sin 3x + C
3

3

là:

B.F(x) =

1 4 2

1
x .ln x − x 4 + C
4
16

D. F(x) =

1 4
1
x .ln x − x 4 + C
4
16

2x + 3
dx.
2 x2 − x − 1 là:
B.F(x)

=

2
5
= ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C
5
2
C.F(x) =

2
5
= − ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C

3
3

Câu 23. Nguyên hàm của hàm số:

D. F(x) =

I = ∫ x3 x − 1dx. là:
25

2
5
− ln 2 x − 1 + ln x − 1 + C
3
3